ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cncongr2 GIF version

Theorem cncongr2 10992
Description: The other direction of the bicondition in cncongr 10993. (Contributed by AV, 11-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
cncongr2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁)))

Proof of Theorem cncongr2
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll3 982 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)) → 𝐶 ∈ ℤ)
2 0z 8697 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
3 zdceq 8758 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝐶 = 0)
42, 3mpan2 416 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℤ → DECID 𝐶 = 0)
5 exmiddc 780 . . . . . 6 (DECID 𝐶 = 0 → (𝐶 = 0 ∨ ¬ 𝐶 = 0))
64, 5syl 14 . . . . 5 (𝐶 ∈ ℤ → (𝐶 = 0 ∨ ¬ 𝐶 = 0))
7 df-ne 2252 . . . . . 6 (𝐶 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐶 = 0)
87orbi2i 712 . . . . 5 ((𝐶 = 0 ∨ 𝐶 ≠ 0) ↔ (𝐶 = 0 ∨ ¬ 𝐶 = 0))
96, 8sylibr 132 . . . 4 (𝐶 ∈ ℤ → (𝐶 = 0 ∨ 𝐶 ≠ 0))
10 zcn 8691 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
1110mul01d 7818 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 · 0) = 0)
12113ad2ant1 962 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 · 0) = 0)
13 zcn 8691 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
1413mul01d 7818 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 · 0) = 0)
15143ad2ant2 963 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 · 0) = 0)
1612, 15eqtr4d 2120 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 · 0) = (𝐵 · 0))
1716adantr 270 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝐴 · 0) = (𝐵 · 0))
1817oveq1d 5630 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → ((𝐴 · 0) mod 𝑁) = ((𝐵 · 0) mod 𝑁))
1918adantr 270 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)) → ((𝐴 · 0) mod 𝑁) = ((𝐵 · 0) mod 𝑁))
20 oveq2 5623 . . . . . . . 8 (𝐶 = 0 → (𝐴 · 𝐶) = (𝐴 · 0))
2120oveq1d 5630 . . . . . . 7 (𝐶 = 0 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐴 · 0) mod 𝑁))
22 oveq2 5623 . . . . . . . 8 (𝐶 = 0 → (𝐵 · 𝐶) = (𝐵 · 0))
2322oveq1d 5630 . . . . . . 7 (𝐶 = 0 → ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 0) mod 𝑁))
2421, 23eqeq12d 2099 . . . . . 6 (𝐶 = 0 → (((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁) ↔ ((𝐴 · 0) mod 𝑁) = ((𝐵 · 0) mod 𝑁)))
2519, 24syl5ibr 154 . . . . 5 (𝐶 = 0 → ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁)))
26 oveq2 5623 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) → (𝐴 mod 𝑀) = (𝐴 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))))
27 oveq2 5623 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) → (𝐵 mod 𝑀) = (𝐵 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))))
2826, 27eqeq12d 2099 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ (𝐴 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐵 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))))
2928adantl 271 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ (𝐴 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐵 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))))
3029adantl 271 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ (𝐴 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐵 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))))
31 simpl 107 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
32 simp3 943 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℤ)
33 divgcdnnr 10873 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℕ)
3431, 32, 33syl2anr 284 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℕ)
35 simpl1 944 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → 𝐴 ∈ ℤ)
36 simpl2 945 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → 𝐵 ∈ ℤ)
37 moddvds 10711 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐵 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) ↔ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∥ (𝐴𝐵)))
3834, 35, 36, 37syl3anc 1172 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → ((𝐴 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐵 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) ↔ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∥ (𝐴𝐵)))
3934nnzd 8803 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
40 zsubcl 8727 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
41403adant3 961 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
4241adantr 270 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
43 divides 10704 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℤ) → ((𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∥ (𝐴𝐵) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐴𝐵)))
4439, 42, 43syl2anc 403 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → ((𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∥ (𝐴𝐵) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐴𝐵)))
4530, 38, 443bitrd 212 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐴𝐵)))
46 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℤ)
4739adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
4847adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
4946, 48zmulcld 8810 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) ∈ ℤ)
5049zcnd 8805 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) ∈ ℂ)
5140zcnd 8805 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
52513adant3 961 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
5352ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
5432zcnd 8805 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℂ)
5554ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℂ)
56 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) → 𝐶 ≠ 0)
5756adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝐶 ≠ 0)
5832ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℤ)
59 0zd 8698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℤ)
60 zapne 8757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐶 # 0 ↔ 𝐶 ≠ 0))
6158, 59, 60syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐶 # 0 ↔ 𝐶 ≠ 0))
6257, 61mpbird 165 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝐶 # 0)
6350, 53, 55, 62mulcanap2d 8073 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶) = ((𝐴𝐵) · 𝐶) ↔ (𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐴𝐵)))
64 zcn 8691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℂ)
65 subdir 7811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))
6610, 13, 64, 65syl3an 1214 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐴𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))
6766ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝐴𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))
6867eqeq2d 2096 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶) = ((𝐴𝐵) · 𝐶) ↔ ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶))))
6963, 68bitr3d 188 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐴𝐵) ↔ ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶))))
70 nnz 8705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
7170adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
72 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℤ)
7372zcnd 8805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℂ)
7473adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℂ)
7554adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
76 simpl 107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
7776nnzd 8803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
7832, 77anim12i 331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
79 gcdcl 10864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
8078, 79syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
8180nn0cnd 8664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℂ)
82 nnne0 8388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
8382neneqd 2272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 𝑁 = 0)
8483adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ¬ 𝑁 = 0)
8584adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ¬ 𝑁 = 0)
8685intnand 876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
87 gcdeq0 10874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐶 gcd 𝑁) = 0 ↔ (𝐶 = 0 ∧ 𝑁 = 0)))
8878, 87syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝐶 gcd 𝑁) = 0 ↔ (𝐶 = 0 ∧ 𝑁 = 0)))
8988necon3abid 2290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝐶 gcd 𝑁) ≠ 0 ↔ ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝑁 = 0)))
9086, 89mpbird 165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝐶 gcd 𝑁) ≠ 0)
9180nn0zd 8802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
92 0zd 8698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 0 ∈ ℤ)
93 zapne 8757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((𝐶 gcd 𝑁) # 0 ↔ (𝐶 gcd 𝑁) ≠ 0))
9491, 92, 93syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝐶 gcd 𝑁) # 0 ↔ (𝐶 gcd 𝑁) ≠ 0))
9590, 94mpbird 165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝐶 gcd 𝑁) # 0)
9674, 75, 81, 95divassapd 8233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘 · 𝐶) / (𝐶 gcd 𝑁)) = (𝑘 · (𝐶 / (𝐶 gcd 𝑁))))
9772adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℤ)
9870, 82jca 300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0))
9998adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0))
10032, 99anim12i 331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)))
101 3anass 926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ↔ (𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)))
102100, 101sylibr 132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0))
103 divgcdz 10869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐶 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
104102, 103syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝐶 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
10597, 104zmulcld 8810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 · (𝐶 / (𝐶 gcd 𝑁))) ∈ ℤ)
10696, 105eqeltrd 2161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘 · 𝐶) / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
107 dvdsmul1 10724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑘 · 𝐶) / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · ((𝑘 · 𝐶) / (𝐶 gcd 𝑁))))
10871, 106, 107syl2an2 559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∥ (𝑁 · ((𝑘 · 𝐶) / (𝐶 gcd 𝑁))))
10976nncnd 8374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
110109adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
111 divmulasscomap 8105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐶 gcd 𝑁) # 0)) → ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶) = (𝑁 · ((𝑘 · 𝐶) / (𝐶 gcd 𝑁))))
11274, 110, 75, 81, 95, 111syl32anc 1180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶) = (𝑁 · ((𝑘 · 𝐶) / (𝐶 gcd 𝑁))))
113108, 112breqtrrd 3848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∥ ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶))
114113exp32 357 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶))))
115114adantrd 273 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) → (𝑘 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶))))
116115imp 122 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝑘 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶)))
117116adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝑘 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶)))
118117imp 122 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶))
119 breq2 3826 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) → (𝑁 ∥ ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶))))
120118, 119syl5ibcom 153 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) → 𝑁 ∥ ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶))))
12169, 120sylbid 148 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐴𝐵) → 𝑁 ∥ ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶))))
122121rexlimdva 2485 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐴𝐵) → 𝑁 ∥ ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶))))
12331adantl 271 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
124 zmulcl 8739 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℤ)
1251243adant2 960 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℤ)
126125adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℤ)
127 zmulcl 8739 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℤ)
1281273adant1 959 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℤ)
129128adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℤ)
130 moddvds 10711 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℤ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℤ) → (((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶))))
131123, 126, 129, 130syl3anc 1172 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶))))
132131adantr 270 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) → (((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶))))
133122, 132sylibrd 167 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐴𝐵) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁)))
134133ex 113 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝐶 ≠ 0 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐴𝐵) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁))))
135134com23 77 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐴𝐵) → (𝐶 ≠ 0 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁))))
13645, 135sylbid 148 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) → (𝐶 ≠ 0 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁))))
137136imp 122 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)) → (𝐶 ≠ 0 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁)))
138137com12 30 . . . . 5 (𝐶 ≠ 0 → ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁)))
13925, 138jaoi 669 . . . 4 ((𝐶 = 0 ∨ 𝐶 ≠ 0) → ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁)))
1409, 139syl 14 . . 3 (𝐶 ∈ ℤ → ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁)))
1411, 140mpcom 36 . 2 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁))
142141ex 113 1 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662  DECID wdc 778  w3a 922   = wceq 1287  wcel 1436  wne 2251  wrex 2356   class class class wbr 3822  (class class class)co 5615  cc 7295  0cc0 7297   · cmul 7302  cmin 7600   # cap 8002   / cdiv 8081  cn 8360  0cn0 8609  cz 8686   mod cmo 9660  cdvds 10702   gcd cgcd 10844
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3931  ax-sep 3934  ax-nul 3942  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-un 4236  ax-setind 4328  ax-iinf 4378  ax-cnex 7383  ax-resscn 7384  ax-1cn 7385  ax-1re 7386  ax-icn 7387  ax-addcl 7388  ax-addrcl 7389  ax-mulcl 7390  ax-mulrcl 7391  ax-addcom 7392  ax-mulcom 7393  ax-addass 7394  ax-mulass 7395  ax-distr 7396  ax-i2m1 7397  ax-0lt1 7398  ax-1rid 7399  ax-0id 7400  ax-rnegex 7401  ax-precex 7402  ax-cnre 7403  ax-pre-ltirr 7404  ax-pre-ltwlin 7405  ax-pre-lttrn 7406  ax-pre-apti 7407  ax-pre-ltadd 7408  ax-pre-mulgt0 7409  ax-pre-mulext 7410  ax-arch 7411  ax-caucvg 7412
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-if 3380  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-int 3674  df-iun 3717  df-br 3823  df-opab 3877  df-mpt 3878  df-tr 3914  df-id 4096  df-po 4099  df-iso 4100  df-iord 4169  df-on 4171  df-ilim 4172  df-suc 4174  df-iom 4381  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-co 4422  df-dm 4423  df-rn 4424  df-res 4425  df-ima 4426  df-iota 4948  df-fun 4985  df-fn 4986  df-f 4987  df-f1 4988  df-fo 4989  df-f1o 4990  df-fv 4991  df-riota 5571  df-ov 5618  df-oprab 5619  df-mpt2 5620  df-1st 5870  df-2nd 5871  df-recs 6026  df-frec 6112  df-sup 6626  df-pnf 7471  df-mnf 7472  df-xr 7473  df-ltxr 7474  df-le 7475  df-sub 7602  df-neg 7603  df-reap 7996  df-ap 8003  df-div 8082  df-inn 8361  df-2 8419  df-3 8420  df-4 8421  df-n0 8610  df-z 8687  df-uz 8955  df-q 9040  df-rp 9070  df-fz 9360  df-fzo 9485  df-fl 9608  df-mod 9661  df-iseq 9783  df-iexp 9857  df-cj 10175  df-re 10176  df-im 10177  df-rsqrt 10330  df-abs 10331  df-dvds 10703  df-gcd 10845
This theorem is referenced by:  cncongr  10993
  Copyright terms: Public domain W3C validator