ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cncongr2 GIF version

Theorem cncongr2 11791
Description: The other direction of the bicondition in cncongr 11792. (Contributed by AV, 11-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
cncongr2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁)))

Proof of Theorem cncongr2
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll3 1022 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)) → 𝐶 ∈ ℤ)
2 0z 9072 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
3 zdceq 9133 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝐶 = 0)
42, 3mpan2 421 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℤ → DECID 𝐶 = 0)
5 exmiddc 821 . . . . . 6 (DECID 𝐶 = 0 → (𝐶 = 0 ∨ ¬ 𝐶 = 0))
64, 5syl 14 . . . . 5 (𝐶 ∈ ℤ → (𝐶 = 0 ∨ ¬ 𝐶 = 0))
7 df-ne 2309 . . . . . 6 (𝐶 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐶 = 0)
87orbi2i 751 . . . . 5 ((𝐶 = 0 ∨ 𝐶 ≠ 0) ↔ (𝐶 = 0 ∨ ¬ 𝐶 = 0))
96, 8sylibr 133 . . . 4 (𝐶 ∈ ℤ → (𝐶 = 0 ∨ 𝐶 ≠ 0))
10 zcn 9066 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
1110mul01d 8162 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 · 0) = 0)
12113ad2ant1 1002 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 · 0) = 0)
13 zcn 9066 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
1413mul01d 8162 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 · 0) = 0)
15143ad2ant2 1003 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 · 0) = 0)
1612, 15eqtr4d 2175 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 · 0) = (𝐵 · 0))
1716adantr 274 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝐴 · 0) = (𝐵 · 0))
1817oveq1d 5789 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → ((𝐴 · 0) mod 𝑁) = ((𝐵 · 0) mod 𝑁))
1918adantr 274 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)) → ((𝐴 · 0) mod 𝑁) = ((𝐵 · 0) mod 𝑁))
20 oveq2 5782 . . . . . . . 8 (𝐶 = 0 → (𝐴 · 𝐶) = (𝐴 · 0))
2120oveq1d 5789 . . . . . . 7 (𝐶 = 0 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐴 · 0) mod 𝑁))
22 oveq2 5782 . . . . . . . 8 (𝐶 = 0 → (𝐵 · 𝐶) = (𝐵 · 0))
2322oveq1d 5789 . . . . . . 7 (𝐶 = 0 → ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 0) mod 𝑁))
2421, 23eqeq12d 2154 . . . . . 6 (𝐶 = 0 → (((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁) ↔ ((𝐴 · 0) mod 𝑁) = ((𝐵 · 0) mod 𝑁)))
2519, 24syl5ibr 155 . . . . 5 (𝐶 = 0 → ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁)))
26 oveq2 5782 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) → (𝐴 mod 𝑀) = (𝐴 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))))
27 oveq2 5782 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) → (𝐵 mod 𝑀) = (𝐵 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))))
2826, 27eqeq12d 2154 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ (𝐴 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐵 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))))
2928adantl 275 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ (𝐴 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐵 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))))
3029adantl 275 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ (𝐴 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐵 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))))
31 simpl 108 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
32 simp3 983 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℤ)
33 divgcdnnr 11670 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℕ)
3431, 32, 33syl2anr 288 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℕ)
35 simpl1 984 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → 𝐴 ∈ ℤ)
36 simpl2 985 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → 𝐵 ∈ ℤ)
37 moddvds 11508 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐵 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) ↔ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∥ (𝐴𝐵)))
3834, 35, 36, 37syl3anc 1216 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → ((𝐴 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐵 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) ↔ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∥ (𝐴𝐵)))
3934nnzd 9179 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
40 zsubcl 9102 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
41403adant3 1001 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
4241adantr 274 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
43 divides 11501 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℤ) → ((𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∥ (𝐴𝐵) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐴𝐵)))
4439, 42, 43syl2anc 408 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → ((𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∥ (𝐴𝐵) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐴𝐵)))
4530, 38, 443bitrd 213 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐴𝐵)))
46 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℤ)
4739adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
4847adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
4946, 48zmulcld 9186 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) ∈ ℤ)
5049zcnd 9181 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) ∈ ℂ)
5140zcnd 9181 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
52513adant3 1001 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
5352ad3antrrr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
5432zcnd 9181 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℂ)
5554ad3antrrr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℂ)
56 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) → 𝐶 ≠ 0)
5756adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝐶 ≠ 0)
5832ad3antrrr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℤ)
59 0zd 9073 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℤ)
60 zapne 9132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐶 # 0 ↔ 𝐶 ≠ 0))
6158, 59, 60syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐶 # 0 ↔ 𝐶 ≠ 0))
6257, 61mpbird 166 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝐶 # 0)
6350, 53, 55, 62mulcanap2d 8430 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶) = ((𝐴𝐵) · 𝐶) ↔ (𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐴𝐵)))
64 zcn 9066 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℂ)
65 subdir 8155 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))
6610, 13, 64, 65syl3an 1258 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐴𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))
6766ad3antrrr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝐴𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))
6867eqeq2d 2151 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶) = ((𝐴𝐵) · 𝐶) ↔ ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶))))
6963, 68bitr3d 189 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐴𝐵) ↔ ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶))))
70 nnz 9080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
7170adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
72 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℤ)
7372zcnd 9181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℂ)
7473adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℂ)
7554adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
76 simpl 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
7776nnzd 9179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
7832, 77anim12i 336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
79 gcdcl 11661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
8078, 79syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
8180nn0cnd 9039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℂ)
82 nnne0 8755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
8382neneqd 2329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 𝑁 = 0)
8483adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ¬ 𝑁 = 0)
8584adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ¬ 𝑁 = 0)
8685intnand 916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
87 gcdeq0 11671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐶 gcd 𝑁) = 0 ↔ (𝐶 = 0 ∧ 𝑁 = 0)))
8878, 87syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝐶 gcd 𝑁) = 0 ↔ (𝐶 = 0 ∧ 𝑁 = 0)))
8988necon3abid 2347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝐶 gcd 𝑁) ≠ 0 ↔ ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝑁 = 0)))
9086, 89mpbird 166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝐶 gcd 𝑁) ≠ 0)
9180nn0zd 9178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
92 0zd 9073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 0 ∈ ℤ)
93 zapne 9132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((𝐶 gcd 𝑁) # 0 ↔ (𝐶 gcd 𝑁) ≠ 0))
9491, 92, 93syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝐶 gcd 𝑁) # 0 ↔ (𝐶 gcd 𝑁) ≠ 0))
9590, 94mpbird 166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝐶 gcd 𝑁) # 0)
9674, 75, 81, 95divassapd 8593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘 · 𝐶) / (𝐶 gcd 𝑁)) = (𝑘 · (𝐶 / (𝐶 gcd 𝑁))))
9772adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℤ)
9870, 82jca 304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0))
9998adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0))
10032, 99anim12i 336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)))
101 3anass 966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ↔ (𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)))
102100, 101sylibr 133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0))
103 divgcdz 11666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐶 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
104102, 103syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝐶 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
10597, 104zmulcld 9186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 · (𝐶 / (𝐶 gcd 𝑁))) ∈ ℤ)
10696, 105eqeltrd 2216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘 · 𝐶) / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
107 dvdsmul1 11521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑘 · 𝐶) / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · ((𝑘 · 𝐶) / (𝐶 gcd 𝑁))))
10871, 106, 107syl2an2 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∥ (𝑁 · ((𝑘 · 𝐶) / (𝐶 gcd 𝑁))))
10976nncnd 8741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
110109adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
111 divmulasscomap 8463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐶 gcd 𝑁) # 0)) → ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶) = (𝑁 · ((𝑘 · 𝐶) / (𝐶 gcd 𝑁))))
11274, 110, 75, 81, 95, 111syl32anc 1224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶) = (𝑁 · ((𝑘 · 𝐶) / (𝐶 gcd 𝑁))))
113108, 112breqtrrd 3956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∥ ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶))
114113exp32 362 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶))))
115114adantrd 277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) → (𝑘 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶))))
116115imp 123 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝑘 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶)))
117116adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝑘 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶)))
118117imp 123 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶))
119 breq2 3933 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) → (𝑁 ∥ ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶))))
120118, 119syl5ibcom 154 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) → 𝑁 ∥ ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶))))
12169, 120sylbid 149 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐴𝐵) → 𝑁 ∥ ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶))))
122121rexlimdva 2549 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐴𝐵) → 𝑁 ∥ ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶))))
12331adantl 275 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
124 zmulcl 9114 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℤ)
1251243adant2 1000 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℤ)
126125adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℤ)
127 zmulcl 9114 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℤ)
1281273adant1 999 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℤ)
129128adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℤ)
130 moddvds 11508 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℤ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℤ) → (((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶))))
131123, 126, 129, 130syl3anc 1216 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶))))
132131adantr 274 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) → (((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶))))
133122, 132sylibrd 168 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐴𝐵) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁)))
134133ex 114 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝐶 ≠ 0 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐴𝐵) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁))))
135134com23 78 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐴𝐵) → (𝐶 ≠ 0 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁))))
13645, 135sylbid 149 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) → (𝐶 ≠ 0 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁))))
137136imp 123 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)) → (𝐶 ≠ 0 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁)))
138137com12 30 . . . . 5 (𝐶 ≠ 0 → ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁)))
13925, 138jaoi 705 . . . 4 ((𝐶 = 0 ∨ 𝐶 ≠ 0) → ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁)))
1409, 139syl 14 . . 3 (𝐶 ∈ ℤ → ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁)))
1411, 140mpcom 36 . 2 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁))
142141ex 114 1 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 697  DECID wdc 819  w3a 962   = wceq 1331  wcel 1480  wne 2308  wrex 2417   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  cc 7625  0cc0 7627   · cmul 7632  cmin 7940   # cap 8350   / cdiv 8439  cn 8727  0cn0 8984  cz 9061   mod cmo 10102  cdvds 11499   gcd cgcd 11641
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746  ax-caucvg 7747
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-sup 6871  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-q 9419  df-rp 9449  df-fz 9798  df-fzo 9927  df-fl 10050  df-mod 10103  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-cj 10621  df-re 10622  df-im 10623  df-rsqrt 10777  df-abs 10778  df-dvds 11500  df-gcd 11642
This theorem is referenced by:  cncongr  11792
  Copyright terms: Public domain W3C validator