Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpll3 1027 |
. . 3
⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)) → 𝐶 ∈ ℤ) |
2 | | 0z 9196 |
. . . . . . 7
⊢ 0 ∈
ℤ |
3 | | zdceq 9260 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 0 ∈
ℤ) → DECID 𝐶 = 0) |
4 | 2, 3 | mpan2 422 |
. . . . . 6
⊢ (𝐶 ∈ ℤ →
DECID 𝐶 =
0) |
5 | | exmiddc 826 |
. . . . . 6
⊢
(DECID 𝐶 = 0 → (𝐶 = 0 ∨ ¬ 𝐶 = 0)) |
6 | 4, 5 | syl 14 |
. . . . 5
⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (𝐶 = 0 ∨ ¬ 𝐶 = 0)) |
7 | | df-ne 2335 |
. . . . . 6
⊢ (𝐶 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐶 = 0) |
8 | 7 | orbi2i 752 |
. . . . 5
⊢ ((𝐶 = 0 ∨ 𝐶 ≠ 0) ↔ (𝐶 = 0 ∨ ¬ 𝐶 = 0)) |
9 | 6, 8 | sylibr 133 |
. . . 4
⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (𝐶 = 0 ∨ 𝐶 ≠ 0)) |
10 | | zcn 9190 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈
ℂ) |
11 | 10 | mul01d 8285 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 · 0) =
0) |
12 | 11 | 3ad2ant1 1007 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 · 0) =
0) |
13 | | zcn 9190 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈
ℂ) |
14 | 13 | mul01d 8285 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 · 0) =
0) |
15 | 14 | 3ad2ant2 1008 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 · 0) =
0) |
16 | 12, 15 | eqtr4d 2200 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 · 0) = (𝐵 · 0)) |
17 | 16 | adantr 274 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝐴 · 0) = (𝐵 · 0)) |
18 | 17 | oveq1d 5854 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → ((𝐴 · 0) mod 𝑁) = ((𝐵 · 0) mod 𝑁)) |
19 | 18 | adantr 274 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)) → ((𝐴 · 0) mod 𝑁) = ((𝐵 · 0) mod 𝑁)) |
20 | | oveq2 5847 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐶 = 0 → (𝐴 · 𝐶) = (𝐴 · 0)) |
21 | 20 | oveq1d 5854 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐶 = 0 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐴 · 0) mod 𝑁)) |
22 | | oveq2 5847 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐶 = 0 → (𝐵 · 𝐶) = (𝐵 · 0)) |
23 | 22 | oveq1d 5854 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐶 = 0 → ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 0) mod 𝑁)) |
24 | 21, 23 | eqeq12d 2179 |
. . . . . 6
⊢ (𝐶 = 0 → (((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁) ↔ ((𝐴 · 0) mod 𝑁) = ((𝐵 · 0) mod 𝑁))) |
25 | 19, 24 | syl5ibr 155 |
. . . . 5
⊢ (𝐶 = 0 → ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁))) |
26 | | oveq2 5847 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) → (𝐴 mod 𝑀) = (𝐴 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) |
27 | | oveq2 5847 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) → (𝐵 mod 𝑀) = (𝐵 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) |
28 | 26, 27 | eqeq12d 2179 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ (𝐴 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐵 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))))) |
29 | 28 | adantl 275 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ (𝐴 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐵 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))))) |
30 | 29 | adantl 275 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ (𝐴 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐵 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))))) |
31 | | simpl 108 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ) |
32 | | simp3 988 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈
ℤ) |
33 | | divgcdnnr 11903 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℕ) |
34 | 31, 32, 33 | syl2anr 288 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℕ) |
35 | | simpl1 989 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → 𝐴 ∈ ℤ) |
36 | | simpl2 990 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → 𝐵 ∈ ℤ) |
37 | | moddvds 11733 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐵 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) ↔ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∥ (𝐴 − 𝐵))) |
38 | 34, 35, 36, 37 | syl3anc 1227 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → ((𝐴 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐵 mod (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) ↔ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∥ (𝐴 − 𝐵))) |
39 | 34 | nnzd 9306 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℤ) |
40 | | zsubcl 9226 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ) |
41 | 40 | 3adant3 1006 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ) |
42 | 41 | adantr 274 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ) |
43 | | divides 11723 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ) → ((𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐴 − 𝐵))) |
44 | 39, 42, 43 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → ((𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐴 − 𝐵))) |
45 | 30, 38, 44 | 3bitrd 213 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐴 − 𝐵))) |
46 | | simpr 109 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℤ) |
47 | 39 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℤ) |
48 | 47 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℤ) |
49 | 46, 48 | zmulcld 9313 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) ∈ ℤ) |
50 | 49 | zcnd 9308 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) ∈ ℂ) |
51 | 40 | zcnd 9308 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ) |
52 | 51 | 3adant3 1006 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ) |
53 | 52 | ad3antrrr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ) |
54 | 32 | zcnd 9308 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈
ℂ) |
55 | 54 | ad3antrrr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℂ) |
56 | | simpr 109 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) → 𝐶 ≠ 0) |
57 | 56 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝐶 ≠ 0) |
58 | 32 | ad3antrrr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℤ) |
59 | | 0zd 9197 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 0 ∈
ℤ) |
60 | | zapne 9259 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 0 ∈
ℤ) → (𝐶 # 0
↔ 𝐶 ≠
0)) |
61 | 58, 59, 60 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐶 # 0 ↔ 𝐶 ≠ 0)) |
62 | 57, 61 | mpbird 166 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝐶 # 0) |
63 | 50, 53, 55, 62 | mulcanap2d 8553 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) ↔ (𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐴 − 𝐵))) |
64 | | zcn 9190 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈
ℂ) |
65 | | subdir 8278 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶))) |
66 | 10, 13, 64, 65 | syl3an 1269 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶))) |
67 | 66 | ad3antrrr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶))) |
68 | 67 | eqeq2d 2176 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) ↔ ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))) |
69 | 63, 68 | bitr3d 189 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐴 − 𝐵) ↔ ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))) |
70 | | nnz 9204 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈
ℤ) |
71 | 70 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈
ℤ) |
72 | | simpr 109 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈
ℤ) |
73 | 72 | zcnd 9308 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈
ℂ) |
74 | 73 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑘 ∈
ℂ) |
75 | 54 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝐶 ∈
ℂ) |
76 | | simpl 108 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈
ℕ) |
77 | 76 | nnzd 9306 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈
ℤ) |
78 | 32, 77 | anim12i 336 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈
ℤ)) |
79 | | gcdcl 11893 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐶 gcd 𝑁) ∈
ℕ0) |
80 | 78, 79 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝐶 gcd 𝑁) ∈
ℕ0) |
81 | 80 | nn0cnd 9163 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℂ) |
82 | | nnne0 8879 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0) |
83 | 82 | neneqd 2355 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬
𝑁 = 0) |
84 | 83 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ¬
𝑁 = 0) |
85 | 84 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ¬
𝑁 = 0) |
86 | 85 | intnand 921 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ¬
(𝐶 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) |
87 | | gcdeq0 11904 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐶 gcd 𝑁) = 0 ↔ (𝐶 = 0 ∧ 𝑁 = 0))) |
88 | 78, 87 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝐶 gcd 𝑁) = 0 ↔ (𝐶 = 0 ∧ 𝑁 = 0))) |
89 | 88 | necon3abid 2373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝐶 gcd 𝑁) ≠ 0 ↔ ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝑁 = 0))) |
90 | 86, 89 | mpbird 166 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝐶 gcd 𝑁) ≠ 0) |
91 | 80 | nn0zd 9305 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℤ) |
92 | | 0zd 9197 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 0
∈ ℤ) |
93 | | zapne 9259 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ)
→ ((𝐶 gcd 𝑁) # 0 ↔ (𝐶 gcd 𝑁) ≠ 0)) |
94 | 91, 92, 93 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝐶 gcd 𝑁) # 0 ↔ (𝐶 gcd 𝑁) ≠ 0)) |
95 | 90, 94 | mpbird 166 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝐶 gcd 𝑁) # 0) |
96 | 74, 75, 81, 95 | divassapd 8716 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘 · 𝐶) / (𝐶 gcd 𝑁)) = (𝑘 · (𝐶 / (𝐶 gcd 𝑁)))) |
97 | 72 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑘 ∈
ℤ) |
98 | 70, 82 | jca 304 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) |
99 | 98 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) |
100 | 32, 99 | anim12i 336 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0))) |
101 | | 3anass 971 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ↔ (𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0))) |
102 | 100, 101 | sylibr 133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) |
103 | | divgcdz 11898 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐶 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℤ) |
104 | 102, 103 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝐶 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℤ) |
105 | 97, 104 | zmulcld 9313 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 · (𝐶 / (𝐶 gcd 𝑁))) ∈ ℤ) |
106 | 96, 105 | eqeltrd 2241 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘 · 𝐶) / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℤ) |
107 | | dvdsmul1 11747 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑘 · 𝐶) / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · ((𝑘 · 𝐶) / (𝐶 gcd 𝑁)))) |
108 | 71, 106, 107 | syl2an2 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∥ (𝑁 · ((𝑘 · 𝐶) / (𝐶 gcd 𝑁)))) |
109 | 76 | nncnd 8865 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈
ℂ) |
110 | 109 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈
ℂ) |
111 | | divmulasscomap 8586 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐶 gcd 𝑁) # 0)) → ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶) = (𝑁 · ((𝑘 · 𝐶) / (𝐶 gcd 𝑁)))) |
112 | 74, 110, 75, 81, 95, 111 | syl32anc 1235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶) = (𝑁 · ((𝑘 · 𝐶) / (𝐶 gcd 𝑁)))) |
113 | 108, 112 | breqtrrd 4007 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∥ ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶)) |
114 | 113 | exp32 363 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶)))) |
115 | 114 | adantrd 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) → (𝑘 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶)))) |
116 | 115 | imp 123 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝑘 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶))) |
117 | 116 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝑘 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶))) |
118 | 117 | imp 123 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶)) |
119 | | breq2 3983 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) → (𝑁 ∥ ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))) |
120 | 118, 119 | syl5ibcom 154 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) → 𝑁 ∥ ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))) |
121 | 69, 120 | sylbid 149 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝐴 ∈
ℤ ∧ 𝐵 ∈
ℤ ∧ 𝐶 ∈
ℤ) ∧ (𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐴 − 𝐵) → 𝑁 ∥ ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))) |
122 | 121 | rexlimdva 2581 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐴 − 𝐵) → 𝑁 ∥ ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))) |
123 | 31 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → 𝑁 ∈ ℕ) |
124 | | zmulcl 9238 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℤ) |
125 | 124 | 3adant2 1005 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℤ) |
126 | 125 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℤ) |
127 | | zmulcl 9238 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℤ) |
128 | 127 | 3adant1 1004 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℤ) |
129 | 128 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℤ) |
130 | | moddvds 11733 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℤ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℤ) → (((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))) |
131 | 123, 126,
129, 130 | syl3anc 1227 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))) |
132 | 131 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) → (((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))) |
133 | 122, 132 | sylibrd 168 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝐶 ≠ 0) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐴 − 𝐵) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁))) |
134 | 133 | ex 114 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝐶 ≠ 0 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐴 − 𝐵) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁)))) |
135 | 134 | com23 78 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) = (𝐴 − 𝐵) → (𝐶 ≠ 0 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁)))) |
136 | 45, 135 | sylbid 149 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) → (𝐶 ≠ 0 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁)))) |
137 | 136 | imp 123 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)) → (𝐶 ≠ 0 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁))) |
138 | 137 | com12 30 |
. . . . 5
⊢ (𝐶 ≠ 0 → ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁))) |
139 | 25, 138 | jaoi 706 |
. . . 4
⊢ ((𝐶 = 0 ∨ 𝐶 ≠ 0) → ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁))) |
140 | 9, 139 | syl 14 |
. . 3
⊢ (𝐶 ∈ ℤ → ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁))) |
141 | 1, 140 | mpcom 36 |
. 2
⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁)) |
142 | 141 | ex 114 |
1
⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁))) |