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Theorem tgioo 14016
Description: The topology generated by open intervals of reals is the same as the open sets of the standard metric space on the reals. (Contributed by NM, 7-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
remet.1 𝐷 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
tgioo.2 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
tgioo (topGenβ€˜ran (,)) = 𝐽

Proof of Theorem tgioo
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 𝑀 π‘Ž 𝑏 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 remet.1 . . . 4 𝐷 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
21rexmet 14011 . . 3 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜β„)
3 tgioo.2 . . . 4 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
43mopnval 13912 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜β„) β†’ 𝐽 = (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π·)))
52, 4ax-mp 5 . 2 𝐽 = (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π·))
6 blex 13857 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜β„) β†’ (ballβ€˜π·) ∈ V)
72, 6ax-mp 5 . . . 4 (ballβ€˜π·) ∈ V
87rnex 4894 . . 3 ran (ballβ€˜π·) ∈ V
91blssioo 14015 . . 3 ran (ballβ€˜π·) βŠ† ran (,)
10 elssuni 3837 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ ran (,) β†’ 𝑣 βŠ† βˆͺ ran (,))
11 unirnioo 9972 . . . . . . 7 ℝ = βˆͺ ran (,)
1210, 11sseqtrrdi 3204 . . . . . 6 (𝑣 ∈ ran (,) β†’ 𝑣 βŠ† ℝ)
13 retopbas 13993 . . . . . . . . . 10 ran (,) ∈ TopBases
1413a1i 9 . . . . . . . . 9 ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ π‘₯ ∈ 𝑣) β†’ ran (,) ∈ TopBases)
15 simpl 109 . . . . . . . . 9 ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ π‘₯ ∈ 𝑣) β†’ 𝑣 ∈ ran (,))
1612sselda 3155 . . . . . . . . . 10 ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ π‘₯ ∈ 𝑣) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
17 1re 7955 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
181bl2ioo 14012 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)1) = ((π‘₯ βˆ’ 1)(,)(π‘₯ + 1)))
1917, 18mpan2 425 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)1) = ((π‘₯ βˆ’ 1)(,)(π‘₯ + 1)))
20 peano2rem 8223 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (π‘₯ βˆ’ 1) ∈ ℝ)
2120rexrd 8006 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (π‘₯ βˆ’ 1) ∈ ℝ*)
22 peano2re 8092 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ)
2322rexrd 8006 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ*)
24 ioorebasg 9974 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ βˆ’ 1) ∈ ℝ* ∧ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ*) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 1)(,)(π‘₯ + 1)) ∈ ran (,))
2521, 23, 24syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ ((π‘₯ βˆ’ 1)(,)(π‘₯ + 1)) ∈ ran (,))
2619, 25eqeltrd 2254 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)1) ∈ ran (,))
2716, 26syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ π‘₯ ∈ 𝑣) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)1) ∈ ran (,))
28 simpr 110 . . . . . . . . . 10 ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ π‘₯ ∈ 𝑣) β†’ π‘₯ ∈ 𝑣)
29 1rp 9656 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ+
30 blcntr 13886 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))
312, 29, 30mp3an13 1328 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))
3216, 31syl 14 . . . . . . . . . 10 ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ π‘₯ ∈ 𝑣) β†’ π‘₯ ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))
3328, 32elind 3320 . . . . . . . . 9 ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ π‘₯ ∈ 𝑣) β†’ π‘₯ ∈ (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1)))
34 basis2 13518 . . . . . . . . 9 (((ran (,) ∈ TopBases ∧ 𝑣 ∈ ran (,)) ∧ ((π‘₯(ballβ€˜π·)1) ∈ ran (,) ∧ π‘₯ ∈ (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1)))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))))
3514, 15, 27, 33, 34syl22anc 1239 . . . . . . . 8 ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ π‘₯ ∈ 𝑣) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))))
36 ioof 9970 . . . . . . . . . . 11 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
37 ffn 5365 . . . . . . . . . . 11 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ β†’ (,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*))
38 ovelrn 6022 . . . . . . . . . . 11 ((,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*) β†’ (𝑧 ∈ ran (,) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* 𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏)))
3936, 37, 38mp2b 8 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ran (,) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* 𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏))
40 eleq2 2241 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑧 ↔ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)))
41 sseq1 3178 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (𝑧 βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1)) ↔ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))))
4240, 41anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) ↔ (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1)))))
43 inss2 3356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π·)1)
44 sstr 3163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1)) ∧ (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π·)1)) β†’ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π·)1))
4543, 44mpan2 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1)) β†’ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π·)1))
4645adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π·)1))
47 elioore 9911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
4847adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
4948, 19syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)1) = ((π‘₯ βˆ’ 1)(,)(π‘₯ + 1)))
5046, 49sseqtrd 3193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† ((π‘₯ βˆ’ 1)(,)(π‘₯ + 1)))
51 dfss 3143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘Ž(,)𝑏) βŠ† ((π‘₯ βˆ’ 1)(,)(π‘₯ + 1)) ↔ (π‘Ž(,)𝑏) = ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ ((π‘₯ βˆ’ 1)(,)(π‘₯ + 1))))
5250, 51sylib 122 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ (π‘Ž(,)𝑏) = ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ ((π‘₯ βˆ’ 1)(,)(π‘₯ + 1))))
53 eliooxr 9926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*))
5421, 23jca 306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ ((π‘₯ βˆ’ 1) ∈ ℝ* ∧ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ*))
5547, 54syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 1) ∈ ℝ* ∧ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ*))
56 iooinsup 11284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ ((π‘₯ βˆ’ 1) ∈ ℝ* ∧ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ*)) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ ((π‘₯ βˆ’ 1)(,)(π‘₯ + 1))) = (sup({π‘Ž, (π‘₯ βˆ’ 1)}, ℝ*, < )(,)inf({𝑏, (π‘₯ + 1)}, ℝ*, < )))
5753, 55, 56syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ ((π‘₯ βˆ’ 1)(,)(π‘₯ + 1))) = (sup({π‘Ž, (π‘₯ βˆ’ 1)}, ℝ*, < )(,)inf({𝑏, (π‘₯ + 1)}, ℝ*, < )))
5857adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ ((π‘₯ βˆ’ 1)(,)(π‘₯ + 1))) = (sup({π‘Ž, (π‘₯ βˆ’ 1)}, ℝ*, < )(,)inf({𝑏, (π‘₯ + 1)}, ℝ*, < )))
5952, 58eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ (π‘Ž(,)𝑏) = (sup({π‘Ž, (π‘₯ βˆ’ 1)}, ℝ*, < )(,)inf({𝑏, (π‘₯ + 1)}, ℝ*, < )))
60 mnfxr 8013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -∞ ∈ ℝ*
6160a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ -∞ ∈ ℝ*)
6253adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*))
6362simpld 112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ π‘Ž ∈ ℝ*)
6448, 21syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 1) ∈ ℝ*)
65 xrmaxcl 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ (π‘₯ βˆ’ 1) ∈ ℝ*) β†’ sup({π‘Ž, (π‘₯ βˆ’ 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
6663, 64, 65syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ sup({π‘Ž, (π‘₯ βˆ’ 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
6762simprd 114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ 𝑏 ∈ ℝ*)
6848, 22syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ)
6968rexrd 8006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ*)
70 xrmincl 11273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑏 ∈ ℝ* ∧ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ*) β†’ inf({𝑏, (π‘₯ + 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
7167, 69, 70syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ inf({𝑏, (π‘₯ + 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
7247, 20syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (π‘₯ βˆ’ 1) ∈ ℝ)
7372adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 1) ∈ ℝ)
74 mnflt 9782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ βˆ’ 1) ∈ ℝ β†’ -∞ < (π‘₯ βˆ’ 1))
7573, 74syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ -∞ < (π‘₯ βˆ’ 1))
76 xrmax2sup 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ (π‘₯ βˆ’ 1) ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ βˆ’ 1) ≀ sup({π‘Ž, (π‘₯ βˆ’ 1)}, ℝ*, < ))
7763, 64, 76syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 1) ≀ sup({π‘Ž, (π‘₯ βˆ’ 1)}, ℝ*, < ))
7861, 64, 66, 75, 77xrltletrd 9810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ -∞ < sup({π‘Ž, (π‘₯ βˆ’ 1)}, ℝ*, < ))
79 simpl 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏))
8079, 59eleqtrd 2256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ π‘₯ ∈ (sup({π‘Ž, (π‘₯ βˆ’ 1)}, ℝ*, < )(,)inf({𝑏, (π‘₯ + 1)}, ℝ*, < )))
81 eliooxr 9926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ ∈ (sup({π‘Ž, (π‘₯ βˆ’ 1)}, ℝ*, < )(,)inf({𝑏, (π‘₯ + 1)}, ℝ*, < )) β†’ (sup({π‘Ž, (π‘₯ βˆ’ 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ inf({𝑏, (π‘₯ + 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*))
82 elex2 2753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ ∈ (sup({π‘Ž, (π‘₯ βˆ’ 1)}, ℝ*, < )(,)inf({𝑏, (π‘₯ + 1)}, ℝ*, < )) β†’ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ (sup({π‘Ž, (π‘₯ βˆ’ 1)}, ℝ*, < )(,)inf({𝑏, (π‘₯ + 1)}, ℝ*, < )))
83 ioom 10260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((sup({π‘Ž, (π‘₯ βˆ’ 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ inf({𝑏, (π‘₯ + 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) β†’ (βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ (sup({π‘Ž, (π‘₯ βˆ’ 1)}, ℝ*, < )(,)inf({𝑏, (π‘₯ + 1)}, ℝ*, < )) ↔ sup({π‘Ž, (π‘₯ βˆ’ 1)}, ℝ*, < ) < inf({𝑏, (π‘₯ + 1)}, ℝ*, < )))
8482, 83imbitrid 154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((sup({π‘Ž, (π‘₯ βˆ’ 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ inf({𝑏, (π‘₯ + 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (sup({π‘Ž, (π‘₯ βˆ’ 1)}, ℝ*, < )(,)inf({𝑏, (π‘₯ + 1)}, ℝ*, < )) β†’ sup({π‘Ž, (π‘₯ βˆ’ 1)}, ℝ*, < ) < inf({𝑏, (π‘₯ + 1)}, ℝ*, < )))
8581, 84mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ ∈ (sup({π‘Ž, (π‘₯ βˆ’ 1)}, ℝ*, < )(,)inf({𝑏, (π‘₯ + 1)}, ℝ*, < )) β†’ sup({π‘Ž, (π‘₯ βˆ’ 1)}, ℝ*, < ) < inf({𝑏, (π‘₯ + 1)}, ℝ*, < ))
8680, 85syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ sup({π‘Ž, (π‘₯ βˆ’ 1)}, ℝ*, < ) < inf({𝑏, (π‘₯ + 1)}, ℝ*, < ))
87 xrre2 9820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((-∞ ∈ ℝ* ∧ sup({π‘Ž, (π‘₯ βˆ’ 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ inf({𝑏, (π‘₯ + 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < sup({π‘Ž, (π‘₯ βˆ’ 1)}, ℝ*, < ) ∧ sup({π‘Ž, (π‘₯ βˆ’ 1)}, ℝ*, < ) < inf({𝑏, (π‘₯ + 1)}, ℝ*, < ))) β†’ sup({π‘Ž, (π‘₯ βˆ’ 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
8861, 66, 71, 78, 86, 87syl32anc 1246 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ sup({π‘Ž, (π‘₯ βˆ’ 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
89 mnfle 9791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (sup({π‘Ž, (π‘₯ βˆ’ 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ* β†’ -∞ ≀ sup({π‘Ž, (π‘₯ βˆ’ 1)}, ℝ*, < ))
9066, 89syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ -∞ ≀ sup({π‘Ž, (π‘₯ βˆ’ 1)}, ℝ*, < ))
9161, 66, 71, 90, 86xrlelttrd 9809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ -∞ < inf({𝑏, (π‘₯ + 1)}, ℝ*, < ))
92 xrmin2inf 11275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑏 ∈ ℝ* ∧ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ*) β†’ inf({𝑏, (π‘₯ + 1)}, ℝ*, < ) ≀ (π‘₯ + 1))
9367, 69, 92syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ inf({𝑏, (π‘₯ + 1)}, ℝ*, < ) ≀ (π‘₯ + 1))
94 xrre 9819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((inf({𝑏, (π‘₯ + 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < inf({𝑏, (π‘₯ + 1)}, ℝ*, < ) ∧ inf({𝑏, (π‘₯ + 1)}, ℝ*, < ) ≀ (π‘₯ + 1))) β†’ inf({𝑏, (π‘₯ + 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
9571, 68, 91, 93, 94syl22anc 1239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ inf({𝑏, (π‘₯ + 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
961ioo2blex 14014 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((sup({π‘Ž, (π‘₯ βˆ’ 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ inf({𝑏, (π‘₯ + 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ) β†’ (sup({π‘Ž, (π‘₯ βˆ’ 1)}, ℝ*, < )(,)inf({𝑏, (π‘₯ + 1)}, ℝ*, < )) ∈ ran (ballβ€˜π·))
9788, 95, 96syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ (sup({π‘Ž, (π‘₯ βˆ’ 1)}, ℝ*, < )(,)inf({𝑏, (π‘₯ + 1)}, ℝ*, < )) ∈ ran (ballβ€˜π·))
9859, 97eqeltrd 2254 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ (π‘Ž(,)𝑏) ∈ ran (ballβ€˜π·))
99 inss1 3355 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1)) βŠ† 𝑣
100 sstr 3163 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1)) ∧ (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1)) βŠ† 𝑣) β†’ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† 𝑣)
10199, 100mpan2 425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1)) β†’ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† 𝑣)
102101adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† 𝑣)
103 sseq1 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (𝑧 βŠ† 𝑣 ↔ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† 𝑣))
10440, 103anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑣) ↔ (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† 𝑣)))
105104rspcev 2841 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘Ž(,)𝑏) ∈ ran (ballβ€˜π·) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ran (ballβ€˜π·)(π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑣))
10698, 79, 102, 105syl12anc 1236 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ran (ballβ€˜π·)(π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑣))
107 blssex 13900 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ran (ballβ€˜π·)(π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑣) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑣))
1082, 48, 107sylancr 414 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ran (ballβ€˜π·)(π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑣) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑣))
109106, 108mpbid 147 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑣)
11042, 109syl6bi 163 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑣))
111110a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) β†’ (𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑣)))
112111rexlimivv 2600 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* 𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑣))
113112imp 124 . . . . . . . . . 10 ((βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* 𝑧 = (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1)))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑣)
11439, 113sylanb 284 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ran (,) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1)))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑣)
115114rexlimiva 2589 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘§ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† (𝑣 ∩ (π‘₯(ballβ€˜π·)1))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑣)
11635, 115syl 14 . . . . . . 7 ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ π‘₯ ∈ 𝑣) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑣)
117116ralrimiva 2550 . . . . . 6 (𝑣 ∈ ran (,) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑣 βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑣)
1183elmopn2 13919 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜β„) β†’ (𝑣 ∈ 𝐽 ↔ (𝑣 βŠ† ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑣 βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑣)))
1192, 118ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑣 ∈ 𝐽 ↔ (𝑣 βŠ† ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑣 βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑦) βŠ† 𝑣))
12012, 117, 119sylanbrc 417 . . . . 5 (𝑣 ∈ ran (,) β†’ 𝑣 ∈ 𝐽)
121120ssriv 3159 . . . 4 ran (,) βŠ† 𝐽
122121, 5sseqtri 3189 . . 3 ran (,) βŠ† (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π·))
123 2basgeng 13552 . . 3 ((ran (ballβ€˜π·) ∈ V ∧ ran (ballβ€˜π·) βŠ† ran (,) ∧ ran (,) βŠ† (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π·))) β†’ (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π·)) = (topGenβ€˜ran (,)))
1248, 9, 122, 123mp3an 1337 . 2 (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π·)) = (topGenβ€˜ran (,))
1255, 124eqtr2i 2199 1 (topGenβ€˜ran (,)) = 𝐽
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353  βˆƒwex 1492   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  βˆƒwrex 2456  Vcvv 2737   ∩ cin 3128   βŠ† wss 3129  π’« cpw 3575  {cpr 3593  βˆͺ cuni 3809   class class class wbr 4003   Γ— cxp 4624  ran crn 4627   β†Ύ cres 4628   ∘ ccom 4630   Fn wfn 5211  βŸΆwf 5212  β€˜cfv 5216  (class class class)co 5874  supcsup 6980  infcinf 6981  β„cr 7809  1c1 7811   + caddc 7813  -∞cmnf 7989  β„*cxr 7990   < clt 7991   ≀ cle 7992   βˆ’ cmin 8127  β„+crp 9652  (,)cioo 9887  abscabs 11005  topGenctg 12702  βˆžMetcxmet 13410  ballcbl 13412  MetOpencmopn 13415  TopBasesctb 13512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-map 6649  df-sup 6982  df-inf 6983  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-xneg 9771  df-xadd 9772  df-ioo 9891  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-topgen 12708  df-psmet 13417  df-xmet 13418  df-met 13419  df-bl 13420  df-mopn 13421  df-top 13468  df-bases 13513
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