ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tgioo GIF version

Theorem tgioo 12465
Description: The topology generated by open intervals of reals is the same as the open sets of the standard metric space on the reals. (Contributed by NM, 7-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
remet.1 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
tgioo.2 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
tgioo (topGen‘ran (,)) = 𝐽

Proof of Theorem tgioo
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑎 𝑏 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 remet.1 . . . 4 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
21rexmet 12460 . . 3 𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ)
3 tgioo.2 . . . 4 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
43mopnval 12370 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) → 𝐽 = (topGen‘ran (ball‘𝐷)))
52, 4ax-mp 7 . 2 𝐽 = (topGen‘ran (ball‘𝐷))
6 blex 12315 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) → (ball‘𝐷) ∈ V)
72, 6ax-mp 7 . . . 4 (ball‘𝐷) ∈ V
87rnex 4742 . . 3 ran (ball‘𝐷) ∈ V
91blssioo 12464 . . 3 ran (ball‘𝐷) ⊆ ran (,)
10 elssuni 3711 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ ran (,) → 𝑣 ran (,))
11 unirnioo 9597 . . . . . . 7 ℝ = ran (,)
1210, 11syl6sseqr 3096 . . . . . 6 (𝑣 ∈ ran (,) → 𝑣 ⊆ ℝ)
13 retopbas 12445 . . . . . . . . . 10 ran (,) ∈ TopBases
1413a1i 9 . . . . . . . . 9 ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥𝑣) → ran (,) ∈ TopBases)
15 simpl 108 . . . . . . . . 9 ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑣 ∈ ran (,))
1612sselda 3047 . . . . . . . . . 10 ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑥 ∈ ℝ)
17 1re 7637 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
181bl2ioo 12461 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑥(ball‘𝐷)1) = ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1)))
1917, 18mpan2 419 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥(ball‘𝐷)1) = ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1)))
20 peano2rem 7900 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
2120rexrd 7687 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 − 1) ∈ ℝ*)
22 peano2re 7769 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
2322rexrd 7687 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ*)
24 ioorebasg 9599 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 − 1) ∈ ℝ* ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ*) → ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1)) ∈ ran (,))
2521, 23, 24syl2anc 406 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1)) ∈ ran (,))
2619, 25eqeltrd 2176 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥(ball‘𝐷)1) ∈ ran (,))
2716, 26syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥𝑣) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ∈ ran (,))
28 simpr 109 . . . . . . . . . 10 ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑥𝑣)
29 1rp 9295 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ+
30 blcntr 12344 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)1))
312, 29, 30mp3an13 1274 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)1))
3216, 31syl 14 . . . . . . . . . 10 ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)1))
3328, 32elind 3208 . . . . . . . . 9 ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑥 ∈ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)))
34 basis2 11997 . . . . . . . . 9 (((ran (,) ∈ TopBases ∧ 𝑣 ∈ ran (,)) ∧ ((𝑥(ball‘𝐷)1) ∈ ran (,) ∧ 𝑥 ∈ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)))) → ∃𝑧 ∈ ran (,)(𝑥𝑧𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))))
3514, 15, 27, 33, 34syl22anc 1185 . . . . . . . 8 ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥𝑣) → ∃𝑧 ∈ ran (,)(𝑥𝑧𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))))
36 ioof 9595 . . . . . . . . . . 11 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
37 ffn 5208 . . . . . . . . . . 11 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
38 ovelrn 5851 . . . . . . . . . . 11 ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝑧 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏)))
3936, 37, 38mp2b 8 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏))
40 eleq2 2163 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → (𝑥𝑧𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)))
41 sseq1 3070 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → (𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) ↔ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))))
4240, 41anbi12d 460 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑥𝑧𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) ↔ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)))))
43 inss2 3244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)1)
44 sstr 3055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) ∧ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)1)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)1))
4543, 44mpan2 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)1))
4645adantl 273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)1))
47 elioore 9536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑥 ∈ ℝ)
4847adantr 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
4948, 19syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑥(ball‘𝐷)1) = ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1)))
5046, 49sseqtrd 3085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1)))
51 dfss 3035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑎(,)𝑏) ⊆ ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1)) ↔ (𝑎(,)𝑏) = ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1))))
5250, 51sylib 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑎(,)𝑏) = ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1))))
53 eliooxr 9551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*))
5421, 23jca 302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 − 1) ∈ ℝ* ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ*))
5547, 54syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑥 − 1) ∈ ℝ* ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ*))
56 iooinsup 10885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑥 − 1) ∈ ℝ* ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ*)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1))) = (sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < )(,)inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < )))
5753, 55, 56syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1))) = (sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < )(,)inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < )))
5857adantr 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1))) = (sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < )(,)inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < )))
5952, 58eqtrd 2132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑎(,)𝑏) = (sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < )(,)inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < )))
60 mnfxr 7694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -∞ ∈ ℝ*
6160a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → -∞ ∈ ℝ*)
6253adantr 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*))
6362simpld 111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → 𝑎 ∈ ℝ*)
6448, 21syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ*)
65 xrmaxcl 10860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ (𝑥 − 1) ∈ ℝ*) → sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
6663, 64, 65syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
6762simprd 113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → 𝑏 ∈ ℝ*)
6848, 22syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
6968rexrd 7687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ*)
70 xrmincl 10874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ*) → inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
7167, 69, 70syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
7247, 20syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
7372adantr 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
74 mnflt 9410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 − 1) ∈ ℝ → -∞ < (𝑥 − 1))
7573, 74syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → -∞ < (𝑥 − 1))
76 xrmax2sup 10862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ (𝑥 − 1) ∈ ℝ*) → (𝑥 − 1) ≤ sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ))
7763, 64, 76syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑥 − 1) ≤ sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ))
7861, 64, 66, 75, 77xrltletrd 9435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → -∞ < sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ))
79 simpl 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏))
8079, 59eleqtrd 2178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → 𝑥 ∈ (sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < )(,)inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < )))
81 eliooxr 9551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < )(,)inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < )) → (sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*))
82 elex2 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < )(,)inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < )) → ∃𝑤 𝑤 ∈ (sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < )(,)inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < )))
83 ioom 9879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (∃𝑤 𝑤 ∈ (sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < )(,)inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < )) ↔ sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ) < inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < )))
8482, 83syl5ib 153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < )(,)inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < )) → sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ) < inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < )))
8581, 84mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < )(,)inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < )) → sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ) < inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < ))
8680, 85syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ) < inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < ))
87 xrre2 9445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((-∞ ∈ ℝ* ∧ sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ) ∧ sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ) < inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < ))) → sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
8861, 66, 71, 78, 86, 87syl32anc 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
89 mnfle 9419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → -∞ ≤ sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ))
9066, 89syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → -∞ ≤ sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ))
9161, 66, 71, 90, 86xrlelttrd 9434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → -∞ < inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < ))
92 xrmin2inf 10876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ*) → inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < ) ≤ (𝑥 + 1))
9367, 69, 92syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < ) ≤ (𝑥 + 1))
94 xrre 9444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < ) ∧ inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < ) ≤ (𝑥 + 1))) → inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
9571, 68, 91, 93, 94syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
961ioo2blex 12463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → (sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < )(,)inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < )) ∈ ran (ball‘𝐷))
9788, 95, 96syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < )(,)inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < )) ∈ ran (ball‘𝐷))
9859, 97eqeltrd 2176 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑎(,)𝑏) ∈ ran (ball‘𝐷))
99 inss1 3243 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ 𝑣
100 sstr 3055 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) ∧ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ 𝑣) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣)
10199, 100mpan2 419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣)
102101adantl 273 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣)
103 sseq1 3070 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → (𝑧𝑣 ↔ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣))
10440, 103anbi12d 460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑥𝑧𝑧𝑣) ↔ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣)))
105104rspcev 2744 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑎(,)𝑏) ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣)) → ∃𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑥𝑧𝑧𝑣))
10698, 79, 102, 105syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → ∃𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑥𝑧𝑧𝑣))
107 blssex 12358 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑥𝑧𝑧𝑣) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣))
1082, 48, 107sylancr 408 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (∃𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑥𝑧𝑧𝑣) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣))
109106, 108mpbid 146 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣)
11042, 109syl6bi 162 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑥𝑧𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣))
111110a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑥𝑧𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣)))
112111rexlimivv 2514 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑥𝑧𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣))
113112imp 123 . . . . . . . . . 10 ((∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑥𝑧𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)))) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣)
11439, 113sylanb 280 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ran (,) ∧ (𝑥𝑧𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)))) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣)
115114rexlimiva 2503 . . . . . . . 8 (∃𝑧 ∈ ran (,)(𝑥𝑧𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣)
11635, 115syl 14 . . . . . . 7 ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥𝑣) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣)
117116ralrimiva 2464 . . . . . 6 (𝑣 ∈ ran (,) → ∀𝑥𝑣𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣)
1183elmopn2 12377 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) → (𝑣𝐽 ↔ (𝑣 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝑣𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣)))
1192, 118ax-mp 7 . . . . . 6 (𝑣𝐽 ↔ (𝑣 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝑣𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣))
12012, 117, 119sylanbrc 411 . . . . 5 (𝑣 ∈ ran (,) → 𝑣𝐽)
121120ssriv 3051 . . . 4 ran (,) ⊆ 𝐽
122121, 5sseqtri 3081 . . 3 ran (,) ⊆ (topGen‘ran (ball‘𝐷))
123 2basgeng 12033 . . 3 ((ran (ball‘𝐷) ∈ V ∧ ran (ball‘𝐷) ⊆ ran (,) ∧ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (ball‘𝐷))) → (topGen‘ran (ball‘𝐷)) = (topGen‘ran (,)))
1248, 9, 122, 123mp3an 1283 . 2 (topGen‘ran (ball‘𝐷)) = (topGen‘ran (,))
1255, 124eqtr2i 2121 1 (topGen‘ran (,)) = 𝐽
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1299  wex 1436  wcel 1448  wral 2375  wrex 2376  Vcvv 2641  cin 3020  wss 3021  𝒫 cpw 3457  {cpr 3475   cuni 3683   class class class wbr 3875   × cxp 4475  ran crn 4478  cres 4479  ccom 4481   Fn wfn 5054  wf 5055  cfv 5059  (class class class)co 5706  supcsup 6784  infcinf 6785  cr 7499  1c1 7501   + caddc 7503  -∞cmnf 7670  *cxr 7671   < clt 7672  cle 7673  cmin 7804  +crp 9291  (,)cioo 9512  abscabs 10609  topGenctg 11917  ∞Metcxmet 11931  ballcbl 11933  MetOpencmopn 11936  TopBasesctb 11991
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-precex 7605  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611  ax-pre-mulgt0 7612  ax-pre-mulext 7613  ax-arch 7614  ax-caucvg 7615
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rmo 2383  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-iord 4226  df-on 4228  df-ilim 4229  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-isom 5068  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-frec 6218  df-map 6474  df-sup 6786  df-inf 6787  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-reap 8203  df-ap 8210  df-div 8294  df-inn 8579  df-2 8637  df-3 8638  df-4 8639  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177  df-q 9262  df-rp 9292  df-xneg 9400  df-xadd 9401  df-ioo 9516  df-seqfrec 10060  df-exp 10134  df-cj 10455  df-re 10456  df-im 10457  df-rsqrt 10610  df-abs 10611  df-topgen 11923  df-psmet 11938  df-xmet 11939  df-met 11940  df-bl 11941  df-mopn 11942  df-top 11947  df-bases 11992
This theorem is referenced by:  resubmet  12467  tgioo2cntop  12468
  Copyright terms: Public domain W3C validator