Theorem tgioo 13340

Description: The topology generated by open intervals of reals is the same as the open sets of the standard metric space on the reals. (Contributed by NM, 7-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
remet.1	⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
tgioo.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
tgioo	⊢ (topGen‘ran (,)) = 𝐽

Proof of Theorem tgioo

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑎 𝑏 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remet.1	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
2	1	rexmet 13335	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ)
3		tgioo.2	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
4	3	mopnval 13236	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) → 𝐽 = (topGen‘ran (ball‘𝐷)))
5	2, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (ball‘𝐷))
6		blex 13181	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) → (ball‘𝐷) ∈ V)
7	2, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ball‘𝐷) ∈ V
8	7	rnex 4878	. . 3 ⊢ ran (ball‘𝐷) ∈ V
9	1	blssioo 13339	. . 3 ⊢ ran (ball‘𝐷) ⊆ ran (,)
10		elssuni 3824	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ ran (,) → 𝑣 ⊆ ∪ ran (,))
11		unirnioo 9930	. . . . . . 7 ⊢ ℝ = ∪ ran (,)
12	10, 11	sseqtrrdi 3196	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ ran (,) → 𝑣 ⊆ ℝ)
13		retopbas 13317	. . . . . . . . . 10 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
14	13	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → ran (,) ∈ TopBases)
15		simpl 108	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → 𝑣 ∈ ran (,))
16	12	sselda 3147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → 𝑥 ∈ ℝ)
17		1re 7919	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
18	1	bl2ioo 13336	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑥(ball‘𝐷)1) = ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1)))
19	17, 18	mpan2 423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥(ball‘𝐷)1) = ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1)))
20		peano2rem 8186	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
21	20	rexrd 7969	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 − 1) ∈ ℝ*)
22		peano2re 8055	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
23	22	rexrd 7969	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ*)
24		ioorebasg 9932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 − 1) ∈ ℝ* ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ*) → ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1)) ∈ ran (,))
25	21, 23, 24	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1)) ∈ ran (,))
26	19, 25	eqeltrd 2247	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥(ball‘𝐷)1) ∈ ran (,))
27	16, 26	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ∈ ran (,))
28		simpr 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → 𝑥 ∈ 𝑣)
29		1rp 9614	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ+
30		blcntr 13210	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)1))
31	2, 29, 30	mp3an13 1323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)1))
32	16, 31	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)1))
33	28, 32	elind 3312	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → 𝑥 ∈ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)))
34		basis2 12840	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ran (,) ∈ TopBases ∧ 𝑣 ∈ ran (,)) ∧ ((𝑥(ball‘𝐷)1) ∈ ran (,) ∧ 𝑥 ∈ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)))) → ∃𝑧 ∈ ran (,)(𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))))
35	14, 15, 27, 33, 34	syl22anc 1234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → ∃𝑧 ∈ ran (,)(𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))))
36		ioof 9928	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
37		ffn 5347	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
38		ovelrn 6001	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝑧 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏)))
39	36, 37, 38	mp2b 8	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏))
40		eleq2 2234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → (𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)))
41		sseq1 3170	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → (𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) ↔ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))))
42	40, 41	anbi12d 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) ↔ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)))))
43		inss2 3348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)1)
44		sstr 3155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) ∧ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)1)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)1))
45	43, 44	mpan2 423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)1))
46	45	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)1))
47		elioore 9869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑥 ∈ ℝ)
48	47	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
49	48, 19	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑥(ball‘𝐷)1) = ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1)))
50	46, 49	sseqtrd 3185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1)))
51		dfss 3135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ⊆ ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1)) ↔ (𝑎(,)𝑏) = ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1))))
52	50, 51	sylib 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑎(,)𝑏) = ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1))))
53		eliooxr 9884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*))
54	21, 23	jca 304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 − 1) ∈ ℝ* ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ*))
55	47, 54	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑥 − 1) ∈ ℝ* ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ*))
56		iooinsup 11240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑥 − 1) ∈ ℝ* ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ*)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1))) = (sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < )(,)inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < )))
57	53, 55, 56	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1))) = (sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < )(,)inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < )))
58	57	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1))) = (sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < )(,)inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < )))
59	52, 58	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑎(,)𝑏) = (sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < )(,)inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < )))
60		mnfxr 7976	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
61	60	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → -∞ ∈ ℝ*)
62	53	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*))
63	62	simpld 111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → 𝑎 ∈ ℝ*)
64	48, 21	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ*)
65		xrmaxcl 11215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ (𝑥 − 1) ∈ ℝ*) → sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
66	63, 64, 65	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
67	62	simprd 113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → 𝑏 ∈ ℝ*)
68	48, 22	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
69	68	rexrd 7969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ*)
70		xrmincl 11229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ*) → inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
71	67, 69, 70	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
72	47, 20	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
73	72	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
74		mnflt 9740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 − 1) ∈ ℝ → -∞ < (𝑥 − 1))
75	73, 74	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → -∞ < (𝑥 − 1))
76		xrmax2sup 11217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ (𝑥 − 1) ∈ ℝ*) → (𝑥 − 1) ≤ sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ))
77	63, 64, 76	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑥 − 1) ≤ sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ))
78	61, 64, 66, 75, 77	xrltletrd 9768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → -∞ < sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ))
79		simpl 108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏))
80	79, 59	eleqtrd 2249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → 𝑥 ∈ (sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < )(,)inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < )))
81		eliooxr 9884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ (sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < )(,)inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < )) → (sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*))
82		elex2 2746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ (sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < )(,)inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < )) → ∃𝑤 𝑤 ∈ (sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < )(,)inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < )))
83		ioom 10217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (∃𝑤 𝑤 ∈ (sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < )(,)inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < )) ↔ sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ) < inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < )))
84	82, 83	syl5ib 153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < )(,)inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < )) → sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ) < inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < )))
85	81, 84	mpcom 36	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ (sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < )(,)inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < )) → sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ) < inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < ))
86	80, 85	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ) < inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < ))
87		xrre2 9778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((-∞ ∈ ℝ* ∧ sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ) ∧ sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ) < inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < ))) → sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
88	61, 66, 71, 78, 86, 87	syl32anc 1241	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
89		mnfle 9749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → -∞ ≤ sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ))
90	66, 89	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → -∞ ≤ sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ))
91	61, 66, 71, 90, 86	xrlelttrd 9767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → -∞ < inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < ))
92		xrmin2inf 11231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ*) → inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < ) ≤ (𝑥 + 1))
93	67, 69, 92	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < ) ≤ (𝑥 + 1))
94		xrre 9777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < ) ∧ inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < ) ≤ (𝑥 + 1))) → inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
95	71, 68, 91, 93, 94	syl22anc 1234	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
96	1	ioo2blex 13338	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → (sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < )(,)inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < )) ∈ ran (ball‘𝐷))
97	88, 95, 96	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < )(,)inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < )) ∈ ran (ball‘𝐷))
98	59, 97	eqeltrd 2247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑎(,)𝑏) ∈ ran (ball‘𝐷))
99		inss1 3347	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ 𝑣
100		sstr 3155	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) ∧ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ 𝑣) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣)
101	99, 100	mpan2 423	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣)
102	101	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣)
103		sseq1 3170	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → (𝑧 ⊆ 𝑣 ↔ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣))
104	40, 103	anbi12d 470	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑣) ↔ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣)))
105	104	rspcev 2834	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣)) → ∃𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑣))
106	98, 79, 102, 105	syl12anc 1231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → ∃𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑣))
107		blssex 13224	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑣) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣))
108	2, 48, 107	sylancr 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (∃𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑣) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣))
109	106, 108	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣)
110	42, 109	syl6bi 162	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣))
111	110	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣)))
112	111	rexlimivv 2593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣))
113	112	imp 123	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)))) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣)
114	39, 113	sylanb 282	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ran (,) ∧ (𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)))) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣)
115	114	rexlimiva 2582	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧 ∈ ran (,)(𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣)
116	35, 115	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣)
117	116	ralrimiva 2543	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ ran (,) → ∀𝑥 ∈ 𝑣 ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣)
118	3	elmopn2 13243	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) → (𝑣 ∈ 𝐽 ↔ (𝑣 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑣 ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣)))
119	2, 118	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐽 ↔ (𝑣 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑣 ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣))
120	12, 117, 119	sylanbrc 415	. . . . 5 ⊢ (𝑣 ∈ ran (,) → 𝑣 ∈ 𝐽)
121	120	ssriv 3151	. . . 4 ⊢ ran (,) ⊆ 𝐽
122	121, 5	sseqtri 3181	. . 3 ⊢ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (ball‘𝐷))
123		2basgeng 12876	. . 3 ⊢ ((ran (ball‘𝐷) ∈ V ∧ ran (ball‘𝐷) ⊆ ran (,) ∧ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (ball‘𝐷))) → (topGen‘ran (ball‘𝐷)) = (topGen‘ran (,)))
124	8, 9, 122, 123	mp3an 1332	. 2 ⊢ (topGen‘ran (ball‘𝐷)) = (topGen‘ran (,))
125	5, 124	eqtr2i 2192	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) = 𝐽

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1348  ∃wex 1485   ∈ wcel 2141  ∀wral 2448  ∃wrex 2449  Vcvv 2730   ∩ cin 3120   ⊆ wss 3121  𝒫 cpw 3566  {cpr 3584  ∪ cuni 3796   class class class wbr 3989   × cxp 4609  ran crn 4612   ↾ cres 4613   ∘ ccom 4615   Fn wfn 5193  ⟶wf 5194  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  supcsup 6959  infcinf 6960  ℝcr 7773  1c1 7775   + caddc 7777  -∞cmnf 7952  ℝ^*cxr 7953   < clt 7954   ≤ cle 7955   − cmin 8090  ℝ⁺crp 9610  (,)cioo 9845  abscabs 10961  topGenctg 12594  ∞Metcxmet 12774  ballcbl 12776  MetOpencmopn 12779  TopBasesctb 12834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-map 6628  df-sup 6961  df-inf 6962  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-xneg 9729  df-xadd 9730  df-ioo 9849  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-topgen 12600  df-psmet 12781  df-xmet 12782  df-met 12783  df-bl 12784  df-mopn 12785  df-top 12790  df-bases 12835

This theorem is referenced by:  resubmet  13342  tgioo2cntop  13343