Theorem tgioo 12465

Description: The topology generated by open intervals of reals is the same as the open sets of the standard metric space on the reals. (Contributed by NM, 7-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
remet.1	⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
tgioo.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
tgioo	⊢ (topGen‘ran (,)) = 𝐽

Proof of Theorem tgioo

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑎 𝑏 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remet.1	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
2	1	rexmet 12460	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ)
3		tgioo.2	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
4	3	mopnval 12370	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) → 𝐽 = (topGen‘ran (ball‘𝐷)))
5	2, 4	ax-mp 7	. 2 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (ball‘𝐷))
6		blex 12315	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) → (ball‘𝐷) ∈ V)
7	2, 6	ax-mp 7	. . . 4 ⊢ (ball‘𝐷) ∈ V
8	7	rnex 4742	. . 3 ⊢ ran (ball‘𝐷) ∈ V
9	1	blssioo 12464	. . 3 ⊢ ran (ball‘𝐷) ⊆ ran (,)
10		elssuni 3711	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ ran (,) → 𝑣 ⊆ ∪ ran (,))
11		unirnioo 9597	. . . . . . 7 ⊢ ℝ = ∪ ran (,)
12	10, 11	syl6sseqr 3096	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ ran (,) → 𝑣 ⊆ ℝ)
13		retopbas 12445	. . . . . . . . . 10 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
14	13	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → ran (,) ∈ TopBases)
15		simpl 108	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → 𝑣 ∈ ran (,))
16	12	sselda 3047	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → 𝑥 ∈ ℝ)
17		1re 7637	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
18	1	bl2ioo 12461	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑥(ball‘𝐷)1) = ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1)))
19	17, 18	mpan2 419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥(ball‘𝐷)1) = ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1)))
20		peano2rem 7900	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
21	20	rexrd 7687	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 − 1) ∈ ℝ*)
22		peano2re 7769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
23	22	rexrd 7687	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ*)
24		ioorebasg 9599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 − 1) ∈ ℝ* ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ*) → ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1)) ∈ ran (,))
25	21, 23, 24	syl2anc 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1)) ∈ ran (,))
26	19, 25	eqeltrd 2176	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥(ball‘𝐷)1) ∈ ran (,))
27	16, 26	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ∈ ran (,))
28		simpr 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → 𝑥 ∈ 𝑣)
29		1rp 9295	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ+
30		blcntr 12344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)1))
31	2, 29, 30	mp3an13 1274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)1))
32	16, 31	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)1))
33	28, 32	elind 3208	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → 𝑥 ∈ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)))
34		basis2 11997	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ran (,) ∈ TopBases ∧ 𝑣 ∈ ran (,)) ∧ ((𝑥(ball‘𝐷)1) ∈ ran (,) ∧ 𝑥 ∈ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)))) → ∃𝑧 ∈ ran (,)(𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))))
35	14, 15, 27, 33, 34	syl22anc 1185	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → ∃𝑧 ∈ ran (,)(𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))))
36		ioof 9595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
37		ffn 5208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
38		ovelrn 5851	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝑧 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏)))
39	36, 37, 38	mp2b 8	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏))
40		eleq2 2163	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → (𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)))
41		sseq1 3070	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → (𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) ↔ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))))
42	40, 41	anbi12d 460	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) ↔ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)))))
43		inss2 3244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)1)
44		sstr 3055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) ∧ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)1)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)1))
45	43, 44	mpan2 419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)1))
46	45	adantl 273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)1))
47		elioore 9536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑥 ∈ ℝ)
48	47	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
49	48, 19	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑥(ball‘𝐷)1) = ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1)))
50	46, 49	sseqtrd 3085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1)))
51		dfss 3035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ⊆ ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1)) ↔ (𝑎(,)𝑏) = ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1))))
52	50, 51	sylib 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑎(,)𝑏) = ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1))))
53		eliooxr 9551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*))
54	21, 23	jca 302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 − 1) ∈ ℝ* ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ*))
55	47, 54	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑥 − 1) ∈ ℝ* ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ*))
56		iooinsup 10885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑥 − 1) ∈ ℝ* ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ*)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1))) = (sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < )(,)inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < )))
57	53, 55, 56	syl2anc 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1))) = (sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < )(,)inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < )))
58	57	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝑥 − 1)(,)(𝑥 + 1))) = (sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < )(,)inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < )))
59	52, 58	eqtrd 2132	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑎(,)𝑏) = (sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < )(,)inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < )))
60		mnfxr 7694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
61	60	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → -∞ ∈ ℝ*)
62	53	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*))
63	62	simpld 111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → 𝑎 ∈ ℝ*)
64	48, 21	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ*)
65		xrmaxcl 10860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ (𝑥 − 1) ∈ ℝ*) → sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
66	63, 64, 65	syl2anc 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
67	62	simprd 113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → 𝑏 ∈ ℝ*)
68	48, 22	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
69	68	rexrd 7687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ*)
70		xrmincl 10874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ*) → inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
71	67, 69, 70	syl2anc 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
72	47, 20	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
73	72	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
74		mnflt 9410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 − 1) ∈ ℝ → -∞ < (𝑥 − 1))
75	73, 74	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → -∞ < (𝑥 − 1))
76		xrmax2sup 10862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ (𝑥 − 1) ∈ ℝ*) → (𝑥 − 1) ≤ sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ))
77	63, 64, 76	syl2anc 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑥 − 1) ≤ sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ))
78	61, 64, 66, 75, 77	xrltletrd 9435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → -∞ < sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ))
79		simpl 108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏))
80	79, 59	eleqtrd 2178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → 𝑥 ∈ (sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < )(,)inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < )))
81		eliooxr 9551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ (sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < )(,)inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < )) → (sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*))
82		elex2 2657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ (sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < )(,)inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < )) → ∃𝑤 𝑤 ∈ (sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < )(,)inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < )))
83		ioom 9879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (∃𝑤 𝑤 ∈ (sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < )(,)inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < )) ↔ sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ) < inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < )))
84	82, 83	syl5ib 153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < )(,)inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < )) → sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ) < inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < )))
85	81, 84	mpcom 36	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ (sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < )(,)inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < )) → sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ) < inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < ))
86	80, 85	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ) < inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < ))
87		xrre2 9445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((-∞ ∈ ℝ* ∧ sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ) ∧ sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ) < inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < ))) → sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
88	61, 66, 71, 78, 86, 87	syl32anc 1192	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
89		mnfle 9419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → -∞ ≤ sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ))
90	66, 89	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → -∞ ≤ sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ))
91	61, 66, 71, 90, 86	xrlelttrd 9434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → -∞ < inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < ))
92		xrmin2inf 10876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ*) → inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < ) ≤ (𝑥 + 1))
93	67, 69, 92	syl2anc 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < ) ≤ (𝑥 + 1))
94		xrre 9444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < ) ∧ inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < ) ≤ (𝑥 + 1))) → inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
95	71, 68, 91, 93, 94	syl22anc 1185	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
96	1	ioo2blex 12463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → (sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < )(,)inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < )) ∈ ran (ball‘𝐷))
97	88, 95, 96	syl2anc 406	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (sup({𝑎, (𝑥 − 1)}, ℝ*, < )(,)inf({𝑏, (𝑥 + 1)}, ℝ*, < )) ∈ ran (ball‘𝐷))
98	59, 97	eqeltrd 2176	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑎(,)𝑏) ∈ ran (ball‘𝐷))
99		inss1 3243	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ 𝑣
100		sstr 3055	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) ∧ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) ⊆ 𝑣) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣)
101	99, 100	mpan2 419	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣)
102	101	adantl 273	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣)
103		sseq1 3070	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → (𝑧 ⊆ 𝑣 ↔ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣))
104	40, 103	anbi12d 460	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑣) ↔ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣)))
105	104	rspcev 2744	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣)) → ∃𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑣))
106	98, 79, 102, 105	syl12anc 1182	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → ∃𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑣))
107		blssex 12358	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑣) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣))
108	2, 48, 107	sylancr 408	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → (∃𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑣) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣))
109	106, 108	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣)
110	42, 109	syl6bi 162	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣))
111	110	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣)))
112	111	rexlimivv 2514	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣))
113	112	imp 123	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)))) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣)
114	39, 113	sylanb 280	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ran (,) ∧ (𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1)))) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣)
115	114	rexlimiva 2503	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧 ∈ ran (,)(𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑣 ∩ (𝑥(ball‘𝐷)1))) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣)
116	35, 115	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑣 ∈ ran (,) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣)
117	116	ralrimiva 2464	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ ran (,) → ∀𝑥 ∈ 𝑣 ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣)
118	3	elmopn2 12377	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) → (𝑣 ∈ 𝐽 ↔ (𝑣 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑣 ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣)))
119	2, 118	ax-mp 7	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐽 ↔ (𝑣 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑣 ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝑣))
120	12, 117, 119	sylanbrc 411	. . . . 5 ⊢ (𝑣 ∈ ran (,) → 𝑣 ∈ 𝐽)
121	120	ssriv 3051	. . . 4 ⊢ ran (,) ⊆ 𝐽
122	121, 5	sseqtri 3081	. . 3 ⊢ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (ball‘𝐷))
123		2basgeng 12033	. . 3 ⊢ ((ran (ball‘𝐷) ∈ V ∧ ran (ball‘𝐷) ⊆ ran (,) ∧ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (ball‘𝐷))) → (topGen‘ran (ball‘𝐷)) = (topGen‘ran (,)))
124	8, 9, 122, 123	mp3an 1283	. 2 ⊢ (topGen‘ran (ball‘𝐷)) = (topGen‘ran (,))
125	5, 124	eqtr2i 2121	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) = 𝐽

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1299  ∃wex 1436   ∈ wcel 1448  ∀wral 2375  ∃wrex 2376  Vcvv 2641   ∩ cin 3020   ⊆ wss 3021  𝒫 cpw 3457  {cpr 3475  ∪ cuni 3683   class class class wbr 3875   × cxp 4475  ran crn 4478   ↾ cres 4479   ∘ ccom 4481   Fn wfn 5054  ⟶wf 5055  ‘cfv 5059  (class class class)co 5706  supcsup 6784  infcinf 6785  ℝcr 7499  1c1 7501   + caddc 7503  -∞cmnf 7670  ℝ^*cxr 7671   < clt 7672   ≤ cle 7673   − cmin 7804  ℝ⁺crp 9291  (,)cioo 9512  abscabs 10609  topGenctg 11917  ∞Metcxmet 11931  ballcbl 11933  MetOpencmopn 11936  TopBasesctb 11991

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-precex 7605  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611  ax-pre-mulgt0 7612  ax-pre-mulext 7613  ax-arch 7614  ax-caucvg 7615

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rmo 2383  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-iord 4226  df-on 4228  df-ilim 4229  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-isom 5068  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-frec 6218  df-map 6474  df-sup 6786  df-inf 6787  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-reap 8203  df-ap 8210  df-div 8294  df-inn 8579  df-2 8637  df-3 8638  df-4 8639  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177  df-q 9262  df-rp 9292  df-xneg 9400  df-xadd 9401  df-ioo 9516  df-seqfrec 10060  df-exp 10134  df-cj 10455  df-re 10456  df-im 10457  df-rsqrt 10610  df-abs 10611  df-topgen 11923  df-psmet 11938  df-xmet 11939  df-met 11940  df-bl 11941  df-mopn 11942  df-top 11947  df-bases 11992

This theorem is referenced by:  resubmet  12467  tgioo2cntop  12468