Theorem sqgcd 12425

Description: Square distributes over gcd. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sqgcd	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁)↑2) = ((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2)))

Proof of Theorem sqgcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdnncl 12363	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
2	1	nnsqcld 10861	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁)↑2) ∈ ℕ)
3	2	nncnd 9070	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁)↑2) ∈ ℂ)
4	3	mulridd 8109	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 gcd 𝑁)↑2) · 1) = ((𝑀 gcd 𝑁)↑2))
5		nnsqcl 10776	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑2) ∈ ℕ)
6	5	nnzd 9514	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑2) ∈ ℤ)
7	6	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀↑2) ∈ ℤ)
8		nnsqcl 10776	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁↑2) ∈ ℕ)
9	8	nnzd 9514	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁↑2) ∈ ℤ)
10	9	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁↑2) ∈ ℤ)
11		nnz 9411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
12		nnz 9411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
13		gcddvds 12359	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
14	11, 12, 13	syl2an 289	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
15	14	simpld 112	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀)
16	1	nnzd 9514	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
17	11	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
18		dvdssqim 12420	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 → ((𝑀 gcd 𝑁)↑2) ∥ (𝑀↑2)))
19	16, 17, 18	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 → ((𝑀 gcd 𝑁)↑2) ∥ (𝑀↑2)))
20	15, 19	mpd 13	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁)↑2) ∥ (𝑀↑2))
21	14	simprd 114	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
22	12	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
23		dvdssqim 12420	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 → ((𝑀 gcd 𝑁)↑2) ∥ (𝑁↑2)))
24	16, 22, 23	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 → ((𝑀 gcd 𝑁)↑2) ∥ (𝑁↑2)))
25	21, 24	mpd 13	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁)↑2) ∥ (𝑁↑2))
26		gcddiv 12415	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀↑2) ∈ ℤ ∧ (𝑁↑2) ∈ ℤ ∧ ((𝑀 gcd 𝑁)↑2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑀 gcd 𝑁)↑2) ∥ (𝑀↑2) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁)↑2) ∥ (𝑁↑2))) → (((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2)) / ((𝑀 gcd 𝑁)↑2)) = (((𝑀↑2) / ((𝑀 gcd 𝑁)↑2)) gcd ((𝑁↑2) / ((𝑀 gcd 𝑁)↑2))))
27	7, 10, 2, 20, 25, 26	syl32anc 1258	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2)) / ((𝑀 gcd 𝑁)↑2)) = (((𝑀↑2) / ((𝑀 gcd 𝑁)↑2)) gcd ((𝑁↑2) / ((𝑀 gcd 𝑁)↑2))))
28		nncn 9064	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
29	28	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℂ)
30	1	nncnd 9070	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℂ)
31	1	nnap0d 9102	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) # 0)
32	29, 30, 31	sqdivapd 10853	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁))↑2) = ((𝑀↑2) / ((𝑀 gcd 𝑁)↑2)))
33		nncn 9064	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
34	33	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
35	34, 30, 31	sqdivapd 10853	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁))↑2) = ((𝑁↑2) / ((𝑀 gcd 𝑁)↑2)))
36	32, 35	oveq12d 5975	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁))↑2) gcd ((𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁))↑2)) = (((𝑀↑2) / ((𝑀 gcd 𝑁)↑2)) gcd ((𝑁↑2) / ((𝑀 gcd 𝑁)↑2))))
37		gcddiv 12415	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)) → ((𝑀 gcd 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) = ((𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)) gcd (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁))))
38	17, 22, 1, 14, 37	syl31anc 1253	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) = ((𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)) gcd (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁))))
39	30, 31	dividapd 8879	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) = 1)
40	38, 39	eqtr3d 2241	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)) gcd (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁))) = 1)
41	1	nnne0d 9101	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ≠ 0)
42		dvdsval2 12176	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ))
43	16, 41, 17, 42	syl3anc 1250	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ))
44	15, 43	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
45		nnre 9063	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
46	45	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
47	1	nnred 9069	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℝ)
48		nngt0 9081	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 0 < 𝑀)
49	48	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 𝑀)
50	1	nngt0d 9100	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < (𝑀 gcd 𝑁))
51	46, 47, 49, 50	divgt0d 9028	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)))
52		elnnz 9402	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℕ ↔ ((𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁))))
53	44, 51, 52	sylanbrc 417	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℕ)
54		dvdsval2 12176	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ))
55	16, 41, 22, 54	syl3anc 1250	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ))
56	21, 55	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
57		nnre 9063	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
58	57	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
59		nngt0 9081	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
60	59	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 𝑁)
61	58, 47, 60, 50	divgt0d 9028	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁)))
62		elnnz 9402	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁))))
63	56, 61, 62	sylanbrc 417	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℕ)
64		2nn 9218	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
65		rppwr 12424	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℕ ∧ (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (((𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)) gcd (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁))) = 1 → (((𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁))↑2) gcd ((𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁))↑2)) = 1))
66	64, 65	mp3an3 1339	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℕ ∧ (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℕ) → (((𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)) gcd (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁))) = 1 → (((𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁))↑2) gcd ((𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁))↑2)) = 1))
67	53, 63, 66	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)) gcd (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁))) = 1 → (((𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁))↑2) gcd ((𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁))↑2)) = 1))
68	40, 67	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁))↑2) gcd ((𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁))↑2)) = 1)
69	27, 36, 68	3eqtr2d 2245	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2)) / ((𝑀 gcd 𝑁)↑2)) = 1)
70	6, 9	anim12i 338	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀↑2) ∈ ℤ ∧ (𝑁↑2) ∈ ℤ))
71	5	nnne0d 9101	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑2) ≠ 0)
72	71	neneqd 2398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ¬ (𝑀↑2) = 0)
73	72	intnanrd 934	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ¬ ((𝑀↑2) = 0 ∧ (𝑁↑2) = 0))
74	73	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ ((𝑀↑2) = 0 ∧ (𝑁↑2) = 0))
75		gcdn0cl 12358	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀↑2) ∈ ℤ ∧ (𝑁↑2) ∈ ℤ) ∧ ¬ ((𝑀↑2) = 0 ∧ (𝑁↑2) = 0)) → ((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2)) ∈ ℕ)
76	70, 74, 75	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2)) ∈ ℕ)
77	76	nncnd 9070	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2)) ∈ ℂ)
78	2	nnap0d 9102	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁)↑2) # 0)
79		ax-1cn 8038	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
80		divmulap 8768	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (((𝑀 gcd 𝑁)↑2) ∈ ℂ ∧ ((𝑀 gcd 𝑁)↑2) # 0)) → ((((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2)) / ((𝑀 gcd 𝑁)↑2)) = 1 ↔ (((𝑀 gcd 𝑁)↑2) · 1) = ((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2))))
81	79, 80	mp3an2 1338	. . . 4 ⊢ ((((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2)) ∈ ℂ ∧ (((𝑀 gcd 𝑁)↑2) ∈ ℂ ∧ ((𝑀 gcd 𝑁)↑2) # 0)) → ((((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2)) / ((𝑀 gcd 𝑁)↑2)) = 1 ↔ (((𝑀 gcd 𝑁)↑2) · 1) = ((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2))))
82	77, 3, 78, 81	syl12anc 1248	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2)) / ((𝑀 gcd 𝑁)↑2)) = 1 ↔ (((𝑀 gcd 𝑁)↑2) · 1) = ((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2))))
83	69, 82	mpbid 147	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 gcd 𝑁)↑2) · 1) = ((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2)))
84	4, 83	eqtr3d 2241	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁)↑2) = ((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   ≠ wne 2377   class class class wbr 4051  (class class class)co 5957  ℂcc 7943  ℝcr 7944  0cc0 7945  1c1 7946   · cmul 7950   < clt 8127   # cap 8674   / cdiv 8765  ℕcn 9056  2c2 9107  ℤcz 9392  ↑cexp 10705   ∥ cdvds 12173   gcd cgcd 12349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-mulrcl 8044  ax-addcom 8045  ax-mulcom 8046  ax-addass 8047  ax-mulass 8048  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-1rid 8052  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-precex 8055  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-apti 8060  ax-pre-ltadd 8061  ax-pre-mulgt0 8062  ax-pre-mulext 8063  ax-arch 8064  ax-caucvg 8065

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-po 4351  df-iso 4352  df-iord 4421  df-on 4423  df-ilim 4424  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-recs 6404  df-frec 6490  df-sup 7101  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-reap 8668  df-ap 8675  df-div 8766  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-4 9117  df-n0 9316  df-z 9393  df-uz 9669  df-q 9761  df-rp 9796  df-fz 10151  df-fzo 10285  df-fl 10435  df-mod 10490  df-seqfrec 10615  df-exp 10706  df-cj 11228  df-re 11229  df-im 11230  df-rsqrt 11384  df-abs 11385  df-dvds 12174  df-gcd 12350

This theorem is referenced by:  dvdssqlem  12426  nn0gcdsq  12597  pythagtriplem3  12665