Theorem modprm0 12982

Description: For two positive integers less than a given prime number there is always a nonnegative integer (less than the given prime number) so that the sum of one of the two positive integers and the other of the positive integers multiplied by the nonnegative integer is 0 ( modulo the given prime number). (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
modprm0	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)

Distinct variable groups:   𝑗,𝐼   𝑗,𝑁   𝑃,𝑗

Proof of Theorem modprm0

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reumodprminv 12981	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ∃!𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1))((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1)
2		reurex 2765	. . . 4 ⊢ (∃!𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1))((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1 → ∃𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1))((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1)
3		prmz 12838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
4	3	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑃 ∈ ℤ)
5	4	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝑃 ∈ ℤ)
6		elfzelz 10382	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑟 ∈ ℤ)
7	6	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) → 𝑟 ∈ ℤ)
8		elfzoelz 10507	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝑃) → 𝐼 ∈ ℤ)
9	8	3ad2ant3 1047	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → 𝐼 ∈ ℤ)
10		zmulcl 9652	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑟 · 𝐼) ∈ ℤ)
11	7, 9, 10	syl2an 289	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝑟 · 𝐼) ∈ ℤ)
12	5, 11	zsubcld 9727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) ∈ ℤ)
13		prmnn 12837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
14	13	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑃 ∈ ℕ)
15	14	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝑃 ∈ ℕ)
16		zmodfzo 10737	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) ∈ (0..^𝑃))
17	12, 15, 16	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) ∈ (0..^𝑃))
18	9	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝐼 ∈ ℤ)
19		zq 9980	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℚ)
20	18, 19	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝐼 ∈ ℚ)
21		zq 9980	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) ∈ ℤ → (𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) ∈ ℚ)
22	12, 21	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) ∈ ℚ)
23		elfzoelz 10507	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^𝑃) → 𝑁 ∈ ℤ)
24	23	3ad2ant2 1046	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑁 ∈ ℤ)
25	24	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝑁 ∈ ℤ)
26		zq 9980	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃 ∈ ℚ)
27	5, 26	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝑃 ∈ ℚ)
28	15	nngt0d 9302	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 0 < 𝑃)
29		modqaddmulmod 10781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ ℚ ∧ (𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑃)) → ((𝐼 + (((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) · 𝑁)) mod 𝑃) = ((𝐼 + ((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) · 𝑁)) mod 𝑃))
30	20, 22, 25, 27, 28, 29	syl32anc 1282	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝐼 + (((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) · 𝑁)) mod 𝑃) = ((𝐼 + ((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) · 𝑁)) mod 𝑃))
31	13	nncnd 9272	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
32	31	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑃 ∈ ℂ)
33	32	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝑃 ∈ ℂ)
34	6	zcnd 9723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑟 ∈ ℂ)
35	34	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) → 𝑟 ∈ ℂ)
36	8	zcnd 9723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝑃) → 𝐼 ∈ ℂ)
37	36	3ad2ant3 1047	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → 𝐼 ∈ ℂ)
38		mulcl 8271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝐼 ∈ ℂ) → (𝑟 · 𝐼) ∈ ℂ)
39	35, 37, 38	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝑟 · 𝐼) ∈ ℂ)
40	23	zcnd 9723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^𝑃) → 𝑁 ∈ ℂ)
41	40	3ad2ant2 1046	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑁 ∈ ℂ)
42	41	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝑁 ∈ ℂ)
43	33, 39, 42	subdird 8707	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) · 𝑁) = ((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁)))
44	43	oveq2d 6075	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝐼 + ((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) · 𝑁)) = (𝐼 + ((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁))))
45	44	oveq1d 6074	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝐼 + ((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) · 𝑁)) mod 𝑃) = ((𝐼 + ((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁))) mod 𝑃))
46		mulcom 8273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑃 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑃))
47	31, 40, 46	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → (𝑃 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑃))
48	47	oveq1d 6074	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ((𝑃 · 𝑁) mod 𝑃) = ((𝑁 · 𝑃) mod 𝑃))
49	23	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑁 ∈ ℤ)
50	3	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑃 ∈ ℤ)
51	50, 26	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑃 ∈ ℚ)
52	13	nngt0d 9302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 0 < 𝑃)
53	52	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → 0 < 𝑃)
54		mulqmod0 10720	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑃) → ((𝑁 · 𝑃) mod 𝑃) = 0)
55	49, 51, 53, 54	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ((𝑁 · 𝑃) mod 𝑃) = 0)
56	48, 55	eqtrd 2267	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ((𝑃 · 𝑁) mod 𝑃) = 0)
57	56	3adant3 1044	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ((𝑃 · 𝑁) mod 𝑃) = 0)
58	57	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝑃 · 𝑁) mod 𝑃) = 0)
59	35	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝑟 ∈ ℂ)
60	37	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝐼 ∈ ℂ)
61	59, 60, 42	mul32d 8444	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁) = ((𝑟 · 𝑁) · 𝐼))
62	61	oveq1d 6074	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (((𝑟 · 𝐼) · 𝑁) mod 𝑃) = (((𝑟 · 𝑁) · 𝐼) mod 𝑃))
63		elfznn 10413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑟 ∈ ℕ)
64	63	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) → 𝑟 ∈ ℕ)
65	64	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝑟 ∈ ℕ)
66		elfzo1 10556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^𝑃) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < 𝑃))
67	66	simp1bi 1039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^𝑃) → 𝑁 ∈ ℕ)
68	67	3ad2ant2 1046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑁 ∈ ℕ)
69	68	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝑁 ∈ ℕ)
70	65, 69	nnmulcld 9307	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝑟 · 𝑁) ∈ ℕ)
71		nnq 9987	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑟 · 𝑁) ∈ ℕ → (𝑟 · 𝑁) ∈ ℚ)
72	70, 71	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝑟 · 𝑁) ∈ ℚ)
73		modqmulmod 10779	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑟 · 𝑁) ∈ ℚ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑃)) → ((((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) · 𝐼) mod 𝑃) = (((𝑟 · 𝑁) · 𝐼) mod 𝑃))
74	72, 18, 27, 28, 73	syl22anc 1275	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) · 𝐼) mod 𝑃) = (((𝑟 · 𝑁) · 𝐼) mod 𝑃))
75	62, 74	eqtr4d 2270	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (((𝑟 · 𝐼) · 𝑁) mod 𝑃) = ((((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) · 𝐼) mod 𝑃))
76	58, 75	oveq12d 6077	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (((𝑃 · 𝑁) mod 𝑃) − (((𝑟 · 𝐼) · 𝑁) mod 𝑃)) = (0 − ((((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) · 𝐼) mod 𝑃)))
77	76	oveq1d 6074	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((((𝑃 · 𝑁) mod 𝑃) − (((𝑟 · 𝐼) · 𝑁) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((0 − ((((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) · 𝐼) mod 𝑃)) mod 𝑃))
78	15, 69	nnmulcld 9307	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝑃 · 𝑁) ∈ ℕ)
79		nnq 9987	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 · 𝑁) ∈ ℕ → (𝑃 · 𝑁) ∈ ℚ)
80	78, 79	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝑃 · 𝑁) ∈ ℚ)
81		elfzo1 10556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝑃) ↔ (𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑃))
82	81	simp1bi 1039	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝑃) → 𝐼 ∈ ℕ)
83	82	3ad2ant3 1047	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → 𝐼 ∈ ℕ)
84	83	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝐼 ∈ ℕ)
85	65, 84	nnmulcld 9307	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝑟 · 𝐼) ∈ ℕ)
86	85, 69	nnmulcld 9307	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁) ∈ ℕ)
87		nnq 9987	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑟 · 𝐼) · 𝑁) ∈ ℕ → ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁) ∈ ℚ)
88	86, 87	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁) ∈ ℚ)
89		modqsubmodmod 10773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 · 𝑁) ∈ ℚ ∧ ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁) ∈ ℚ) ∧ (𝑃 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑃)) → ((((𝑃 · 𝑁) mod 𝑃) − (((𝑟 · 𝐼) · 𝑁) mod 𝑃)) mod 𝑃) = (((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁)) mod 𝑃))
90	80, 88, 27, 28, 89	syl22anc 1275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((((𝑃 · 𝑁) mod 𝑃) − (((𝑟 · 𝐼) · 𝑁) mod 𝑃)) mod 𝑃) = (((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁)) mod 𝑃))
91		mulcom 8273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (𝑁 · 𝑟) = (𝑟 · 𝑁))
92	41, 34, 91	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝑁 · 𝑟) = (𝑟 · 𝑁))
93	92	oveq1d 6074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = ((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃))
94	93	eqeq1d 2243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1 ↔ ((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) = 1))
95	94	biimpd 144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1 → ((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) = 1))
96	95	impancom 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) = 1))
97	96	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) = 1)
98	97	oveq1d 6074	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) · 𝐼) = (1 · 𝐼))
99	98	oveq1d 6074	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) · 𝐼) mod 𝑃) = ((1 · 𝐼) mod 𝑃))
100	99	oveq2d 6075	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (0 − ((((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) · 𝐼) mod 𝑃)) = (0 − ((1 · 𝐼) mod 𝑃)))
101	100	oveq1d 6074	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((0 − ((((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) · 𝐼) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((0 − ((1 · 𝐼) mod 𝑃)) mod 𝑃))
102	60	mullidd 8309	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (1 · 𝐼) = 𝐼)
103	102	oveq1d 6074	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((1 · 𝐼) mod 𝑃) = (𝐼 mod 𝑃))
104	84	nnnn0d 9574	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝐼 ∈ ℕ0)
105	104	nn0ge0d 9577	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 0 ≤ 𝐼)
106		elfzolt2 10517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝑃) → 𝐼 < 𝑃)
107	106	3ad2ant3 1047	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → 𝐼 < 𝑃)
108	107	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝐼 < 𝑃)
109		modqid 10739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐼 ∈ ℚ ∧ 𝑃 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 < 𝑃)) → (𝐼 mod 𝑃) = 𝐼)
110	20, 27, 105, 108, 109	syl22anc 1275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝐼 mod 𝑃) = 𝐼)
111	103, 110	eqtrd 2267	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((1 · 𝐼) mod 𝑃) = 𝐼)
112	111	oveq2d 6075	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (0 − ((1 · 𝐼) mod 𝑃)) = (0 − 𝐼))
113	112	oveq1d 6074	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((0 − ((1 · 𝐼) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((0 − 𝐼) mod 𝑃))
114	101, 113	eqtrd 2267	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((0 − ((((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) · 𝐼) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((0 − 𝐼) mod 𝑃))
115	77, 90, 114	3eqtr3d 2275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁)) mod 𝑃) = ((0 − 𝐼) mod 𝑃))
116	115	oveq2d 6075	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝐼 + (((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁)) mod 𝑃)) = (𝐼 + ((0 − 𝐼) mod 𝑃)))
117	116	oveq1d 6074	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝐼 + (((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((𝐼 + ((0 − 𝐼) mod 𝑃)) mod 𝑃))
118		qsubcl 9992	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 · 𝑁) ∈ ℚ ∧ ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁) ∈ ℚ) → ((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁)) ∈ ℚ)
119	80, 88, 118	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁)) ∈ ℚ)
120		modqadd2mod 10764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁)) ∈ ℚ ∧ 𝐼 ∈ ℚ) ∧ (𝑃 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑃)) → ((𝐼 + (((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((𝐼 + ((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁))) mod 𝑃))
121	119, 20, 27, 28, 120	syl22anc 1275	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝐼 + (((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((𝐼 + ((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁))) mod 𝑃))
122		0zd 9610	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 0 ∈ ℤ)
123	122, 18	zsubcld 9727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (0 − 𝐼) ∈ ℤ)
124		zq 9980	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 − 𝐼) ∈ ℤ → (0 − 𝐼) ∈ ℚ)
125	123, 124	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (0 − 𝐼) ∈ ℚ)
126		modqadd2mod 10764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((0 − 𝐼) ∈ ℚ ∧ 𝐼 ∈ ℚ) ∧ (𝑃 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑃)) → ((𝐼 + ((0 − 𝐼) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((𝐼 + (0 − 𝐼)) mod 𝑃))
127	125, 20, 27, 28, 126	syl22anc 1275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝐼 + ((0 − 𝐼) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((𝐼 + (0 − 𝐼)) mod 𝑃))
128		0cnd 8284	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝑃) → 0 ∈ ℂ)
129	36, 128	pncan3d 8605	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝑃) → (𝐼 + (0 − 𝐼)) = 0)
130	129	3ad2ant3 1047	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → (𝐼 + (0 − 𝐼)) = 0)
131	130	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝐼 + (0 − 𝐼)) = 0)
132	131	oveq1d 6074	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝐼 + (0 − 𝐼)) mod 𝑃) = (0 mod 𝑃))
133	3, 26	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℚ)
134		q0mod 10745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑃) → (0 mod 𝑃) = 0)
135	133, 52, 134	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (0 mod 𝑃) = 0)
136	135	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → (0 mod 𝑃) = 0)
137	136	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (0 mod 𝑃) = 0)
138	127, 132, 137	3eqtrd 2271	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝐼 + ((0 − 𝐼) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 0)
139	117, 121, 138	3eqtr3d 2275	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝐼 + ((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁))) mod 𝑃) = 0)
140	30, 45, 139	3eqtrd 2271	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝐼 + (((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
141		oveq1 6066	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = ((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) → (𝑗 · 𝑁) = (((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) · 𝑁))
142	141	oveq2d 6075	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = ((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) → (𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) = (𝐼 + (((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) · 𝑁)))
143	142	oveq1d 6074	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = ((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) → ((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = ((𝐼 + (((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) · 𝑁)) mod 𝑃))
144	143	eqeq1d 2243	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = ((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) → (((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0 ↔ ((𝐼 + (((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
145	144	rspcev 2923	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) ∈ (0..^𝑃) ∧ ((𝐼 + (((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) · 𝑁)) mod 𝑃) = 0) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
146	17, 140, 145	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
147	146	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
148	147	rexlimiva 2657	. . . 4 ⊢ (∃𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1))((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1 → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
149	1, 2, 148	3syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
150	149	3adant3 1044	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
151	150	pm2.43i 49	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∃wrex 2523  ∃!wreu 2524   class class class wbr 4115  (class class class)co 6059  ℂcc 8142  0cc0 8144  1c1 8145   + caddc 8147   · cmul 8149   < clt 8325   ≤ cle 8326   − cmin 8462  ℕcn 9258  ℤcz 9598  ℚcq 9973  ...cfz 10365  ..^cfzo 10502   mod cmo 10712  ℙcprime 12834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-nul 4242  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4665  ax-iinf 4716  ax-cnex 8235  ax-resscn 8236  ax-1cn 8237  ax-1re 8238  ax-icn 8239  ax-addcl 8240  ax-addrcl 8241  ax-mulcl 8242  ax-mulrcl 8243  ax-addcom 8244  ax-mulcom 8245  ax-addass 8246  ax-mulass 8247  ax-distr 8248  ax-i2m1 8249  ax-0lt1 8250  ax-1rid 8251  ax-0id 8252  ax-rnegex 8253  ax-precex 8254  ax-cnre 8255  ax-pre-ltirr 8256  ax-pre-ltwlin 8257  ax-pre-lttrn 8258  ax-pre-apti 8259  ax-pre-ltadd 8260  ax-pre-mulgt0 8261  ax-pre-mulext 8262  ax-arch 8263  ax-caucvg 8264

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3626  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-tr 4215  df-id 4420  df-po 4423  df-iso 4424  df-iord 4493  df-on 4495  df-ilim 4496  df-suc 4498  df-iom 4719  df-xp 4761  df-rel 4762  df-cnv 4763  df-co 4764  df-dm 4765  df-rn 4766  df-res 4767  df-ima 4768  df-iota 5318  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-isom 5367  df-riota 6012  df-ov 6062  df-oprab 6063  df-mpo 6064  df-1st 6348  df-2nd 6349  df-recs 6550  df-irdg 6615  df-frec 6636  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-er 6781  df-en 6990  df-dom 6991  df-fin 6992  df-sup 7289  df-pnf 8327  df-mnf 8328  df-xr 8329  df-ltxr 8330  df-le 8331  df-sub 8464  df-neg 8465  df-reap 8868  df-ap 8875  df-div 8968  df-inn 9259  df-2 9317  df-3 9318  df-4 9319  df-n0 9518  df-z 9599  df-uz 9876  df-q 9974  df-rp 10009  df-fz 10366  df-fzo 10503  df-fl 10658  df-mod 10713  df-seqfrec 10838  df-exp 10929  df-ihash 11168  df-cj 11556  df-re 11557  df-im 11558  df-rsqrt 11713  df-abs 11714  df-clim 11994  df-proddc 12267  df-dvds 12504  df-gcd 12680  df-prm 12835  df-phi 12938

This theorem is referenced by:  nnnn0modprm0  12983