Theorem modprm0 12798

Description: For two positive integers less than a given prime number there is always a nonnegative integer (less than the given prime number) so that the sum of one of the two positive integers and the other of the positive integers multiplied by the nonnegative integer is 0 ( modulo the given prime number). (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
modprm0	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)

Distinct variable groups:   𝑗,𝐼   𝑗,𝑁   𝑃,𝑗

Proof of Theorem modprm0

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reumodprminv 12797	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ∃!𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1))((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1)
2		reurex 2750	. . . 4 ⊢ (∃!𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1))((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1 → ∃𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1))((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1)
3		prmz 12654	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
4	3	3ad2ant1 1042	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑃 ∈ ℤ)
5	4	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝑃 ∈ ℤ)
6		elfzelz 10238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑟 ∈ ℤ)
7	6	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) → 𝑟 ∈ ℤ)
8		elfzoelz 10360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝑃) → 𝐼 ∈ ℤ)
9	8	3ad2ant3 1044	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → 𝐼 ∈ ℤ)
10		zmulcl 9516	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑟 · 𝐼) ∈ ℤ)
11	7, 9, 10	syl2an 289	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝑟 · 𝐼) ∈ ℤ)
12	5, 11	zsubcld 9590	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) ∈ ℤ)
13		prmnn 12653	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
14	13	3ad2ant1 1042	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑃 ∈ ℕ)
15	14	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝑃 ∈ ℕ)
16		zmodfzo 10586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) ∈ (0..^𝑃))
17	12, 15, 16	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) ∈ (0..^𝑃))
18	9	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝐼 ∈ ℤ)
19		zq 9838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℚ)
20	18, 19	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝐼 ∈ ℚ)
21		zq 9838	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) ∈ ℤ → (𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) ∈ ℚ)
22	12, 21	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) ∈ ℚ)
23		elfzoelz 10360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^𝑃) → 𝑁 ∈ ℤ)
24	23	3ad2ant2 1043	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑁 ∈ ℤ)
25	24	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝑁 ∈ ℤ)
26		zq 9838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃 ∈ ℚ)
27	5, 26	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝑃 ∈ ℚ)
28	15	nngt0d 9170	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 0 < 𝑃)
29		modqaddmulmod 10630	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ ℚ ∧ (𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑃)) → ((𝐼 + (((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) · 𝑁)) mod 𝑃) = ((𝐼 + ((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) · 𝑁)) mod 𝑃))
30	20, 22, 25, 27, 28, 29	syl32anc 1279	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝐼 + (((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) · 𝑁)) mod 𝑃) = ((𝐼 + ((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) · 𝑁)) mod 𝑃))
31	13	nncnd 9140	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
32	31	3ad2ant1 1042	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑃 ∈ ℂ)
33	32	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝑃 ∈ ℂ)
34	6	zcnd 9586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑟 ∈ ℂ)
35	34	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) → 𝑟 ∈ ℂ)
36	8	zcnd 9586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝑃) → 𝐼 ∈ ℂ)
37	36	3ad2ant3 1044	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → 𝐼 ∈ ℂ)
38		mulcl 8142	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝐼 ∈ ℂ) → (𝑟 · 𝐼) ∈ ℂ)
39	35, 37, 38	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝑟 · 𝐼) ∈ ℂ)
40	23	zcnd 9586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^𝑃) → 𝑁 ∈ ℂ)
41	40	3ad2ant2 1043	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑁 ∈ ℂ)
42	41	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝑁 ∈ ℂ)
43	33, 39, 42	subdird 8577	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) · 𝑁) = ((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁)))
44	43	oveq2d 6026	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝐼 + ((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) · 𝑁)) = (𝐼 + ((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁))))
45	44	oveq1d 6025	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝐼 + ((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) · 𝑁)) mod 𝑃) = ((𝐼 + ((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁))) mod 𝑃))
46		mulcom 8144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑃 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑃))
47	31, 40, 46	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → (𝑃 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑃))
48	47	oveq1d 6025	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ((𝑃 · 𝑁) mod 𝑃) = ((𝑁 · 𝑃) mod 𝑃))
49	23	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑁 ∈ ℤ)
50	3	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑃 ∈ ℤ)
51	50, 26	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑃 ∈ ℚ)
52	13	nngt0d 9170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 0 < 𝑃)
53	52	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → 0 < 𝑃)
54		mulqmod0 10569	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑃) → ((𝑁 · 𝑃) mod 𝑃) = 0)
55	49, 51, 53, 54	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ((𝑁 · 𝑃) mod 𝑃) = 0)
56	48, 55	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ((𝑃 · 𝑁) mod 𝑃) = 0)
57	56	3adant3 1041	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ((𝑃 · 𝑁) mod 𝑃) = 0)
58	57	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝑃 · 𝑁) mod 𝑃) = 0)
59	35	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝑟 ∈ ℂ)
60	37	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝐼 ∈ ℂ)
61	59, 60, 42	mul32d 8315	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁) = ((𝑟 · 𝑁) · 𝐼))
62	61	oveq1d 6025	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (((𝑟 · 𝐼) · 𝑁) mod 𝑃) = (((𝑟 · 𝑁) · 𝐼) mod 𝑃))
63		elfznn 10267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑟 ∈ ℕ)
64	63	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) → 𝑟 ∈ ℕ)
65	64	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝑟 ∈ ℕ)
66		elfzo1 10408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^𝑃) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < 𝑃))
67	66	simp1bi 1036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^𝑃) → 𝑁 ∈ ℕ)
68	67	3ad2ant2 1043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑁 ∈ ℕ)
69	68	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝑁 ∈ ℕ)
70	65, 69	nnmulcld 9175	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝑟 · 𝑁) ∈ ℕ)
71		nnq 9845	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑟 · 𝑁) ∈ ℕ → (𝑟 · 𝑁) ∈ ℚ)
72	70, 71	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝑟 · 𝑁) ∈ ℚ)
73		modqmulmod 10628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑟 · 𝑁) ∈ ℚ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑃)) → ((((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) · 𝐼) mod 𝑃) = (((𝑟 · 𝑁) · 𝐼) mod 𝑃))
74	72, 18, 27, 28, 73	syl22anc 1272	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) · 𝐼) mod 𝑃) = (((𝑟 · 𝑁) · 𝐼) mod 𝑃))
75	62, 74	eqtr4d 2265	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (((𝑟 · 𝐼) · 𝑁) mod 𝑃) = ((((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) · 𝐼) mod 𝑃))
76	58, 75	oveq12d 6028	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (((𝑃 · 𝑁) mod 𝑃) − (((𝑟 · 𝐼) · 𝑁) mod 𝑃)) = (0 − ((((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) · 𝐼) mod 𝑃)))
77	76	oveq1d 6025	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((((𝑃 · 𝑁) mod 𝑃) − (((𝑟 · 𝐼) · 𝑁) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((0 − ((((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) · 𝐼) mod 𝑃)) mod 𝑃))
78	15, 69	nnmulcld 9175	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝑃 · 𝑁) ∈ ℕ)
79		nnq 9845	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 · 𝑁) ∈ ℕ → (𝑃 · 𝑁) ∈ ℚ)
80	78, 79	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝑃 · 𝑁) ∈ ℚ)
81		elfzo1 10408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝑃) ↔ (𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑃))
82	81	simp1bi 1036	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝑃) → 𝐼 ∈ ℕ)
83	82	3ad2ant3 1044	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → 𝐼 ∈ ℕ)
84	83	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝐼 ∈ ℕ)
85	65, 84	nnmulcld 9175	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝑟 · 𝐼) ∈ ℕ)
86	85, 69	nnmulcld 9175	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁) ∈ ℕ)
87		nnq 9845	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑟 · 𝐼) · 𝑁) ∈ ℕ → ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁) ∈ ℚ)
88	86, 87	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁) ∈ ℚ)
89		modqsubmodmod 10622	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 · 𝑁) ∈ ℚ ∧ ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁) ∈ ℚ) ∧ (𝑃 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑃)) → ((((𝑃 · 𝑁) mod 𝑃) − (((𝑟 · 𝐼) · 𝑁) mod 𝑃)) mod 𝑃) = (((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁)) mod 𝑃))
90	80, 88, 27, 28, 89	syl22anc 1272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((((𝑃 · 𝑁) mod 𝑃) − (((𝑟 · 𝐼) · 𝑁) mod 𝑃)) mod 𝑃) = (((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁)) mod 𝑃))
91		mulcom 8144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (𝑁 · 𝑟) = (𝑟 · 𝑁))
92	41, 34, 91	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝑁 · 𝑟) = (𝑟 · 𝑁))
93	92	oveq1d 6025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = ((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃))
94	93	eqeq1d 2238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1 ↔ ((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) = 1))
95	94	biimpd 144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1 → ((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) = 1))
96	95	impancom 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) = 1))
97	96	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) = 1)
98	97	oveq1d 6025	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) · 𝐼) = (1 · 𝐼))
99	98	oveq1d 6025	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) · 𝐼) mod 𝑃) = ((1 · 𝐼) mod 𝑃))
100	99	oveq2d 6026	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (0 − ((((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) · 𝐼) mod 𝑃)) = (0 − ((1 · 𝐼) mod 𝑃)))
101	100	oveq1d 6025	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((0 − ((((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) · 𝐼) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((0 − ((1 · 𝐼) mod 𝑃)) mod 𝑃))
102	60	mulid2d 8181	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (1 · 𝐼) = 𝐼)
103	102	oveq1d 6025	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((1 · 𝐼) mod 𝑃) = (𝐼 mod 𝑃))
104	84	nnnn0d 9438	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝐼 ∈ ℕ0)
105	104	nn0ge0d 9441	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 0 ≤ 𝐼)
106		elfzolt2 10370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝑃) → 𝐼 < 𝑃)
107	106	3ad2ant3 1044	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → 𝐼 < 𝑃)
108	107	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝐼 < 𝑃)
109		modqid 10588	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐼 ∈ ℚ ∧ 𝑃 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 < 𝑃)) → (𝐼 mod 𝑃) = 𝐼)
110	20, 27, 105, 108, 109	syl22anc 1272	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝐼 mod 𝑃) = 𝐼)
111	103, 110	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((1 · 𝐼) mod 𝑃) = 𝐼)
112	111	oveq2d 6026	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (0 − ((1 · 𝐼) mod 𝑃)) = (0 − 𝐼))
113	112	oveq1d 6025	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((0 − ((1 · 𝐼) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((0 − 𝐼) mod 𝑃))
114	101, 113	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((0 − ((((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) · 𝐼) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((0 − 𝐼) mod 𝑃))
115	77, 90, 114	3eqtr3d 2270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁)) mod 𝑃) = ((0 − 𝐼) mod 𝑃))
116	115	oveq2d 6026	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝐼 + (((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁)) mod 𝑃)) = (𝐼 + ((0 − 𝐼) mod 𝑃)))
117	116	oveq1d 6025	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝐼 + (((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((𝐼 + ((0 − 𝐼) mod 𝑃)) mod 𝑃))
118		qsubcl 9850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 · 𝑁) ∈ ℚ ∧ ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁) ∈ ℚ) → ((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁)) ∈ ℚ)
119	80, 88, 118	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁)) ∈ ℚ)
120		modqadd2mod 10613	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁)) ∈ ℚ ∧ 𝐼 ∈ ℚ) ∧ (𝑃 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑃)) → ((𝐼 + (((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((𝐼 + ((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁))) mod 𝑃))
121	119, 20, 27, 28, 120	syl22anc 1272	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝐼 + (((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((𝐼 + ((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁))) mod 𝑃))
122		0zd 9474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 0 ∈ ℤ)
123	122, 18	zsubcld 9590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (0 − 𝐼) ∈ ℤ)
124		zq 9838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 − 𝐼) ∈ ℤ → (0 − 𝐼) ∈ ℚ)
125	123, 124	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (0 − 𝐼) ∈ ℚ)
126		modqadd2mod 10613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((0 − 𝐼) ∈ ℚ ∧ 𝐼 ∈ ℚ) ∧ (𝑃 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑃)) → ((𝐼 + ((0 − 𝐼) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((𝐼 + (0 − 𝐼)) mod 𝑃))
127	125, 20, 27, 28, 126	syl22anc 1272	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝐼 + ((0 − 𝐼) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((𝐼 + (0 − 𝐼)) mod 𝑃))
128		0cnd 8155	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝑃) → 0 ∈ ℂ)
129	36, 128	pncan3d 8476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝑃) → (𝐼 + (0 − 𝐼)) = 0)
130	129	3ad2ant3 1044	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → (𝐼 + (0 − 𝐼)) = 0)
131	130	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝐼 + (0 − 𝐼)) = 0)
132	131	oveq1d 6025	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝐼 + (0 − 𝐼)) mod 𝑃) = (0 mod 𝑃))
133	3, 26	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℚ)
134		q0mod 10594	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑃) → (0 mod 𝑃) = 0)
135	133, 52, 134	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (0 mod 𝑃) = 0)
136	135	3ad2ant1 1042	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → (0 mod 𝑃) = 0)
137	136	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (0 mod 𝑃) = 0)
138	127, 132, 137	3eqtrd 2266	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝐼 + ((0 − 𝐼) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 0)
139	117, 121, 138	3eqtr3d 2270	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝐼 + ((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁))) mod 𝑃) = 0)
140	30, 45, 139	3eqtrd 2266	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝐼 + (((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
141		oveq1 6017	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = ((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) → (𝑗 · 𝑁) = (((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) · 𝑁))
142	141	oveq2d 6026	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = ((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) → (𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) = (𝐼 + (((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) · 𝑁)))
143	142	oveq1d 6025	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = ((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) → ((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = ((𝐼 + (((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) · 𝑁)) mod 𝑃))
144	143	eqeq1d 2238	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = ((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) → (((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0 ↔ ((𝐼 + (((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
145	144	rspcev 2907	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) ∈ (0..^𝑃) ∧ ((𝐼 + (((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) · 𝑁)) mod 𝑃) = 0) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
146	17, 140, 145	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
147	146	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
148	147	rexlimiva 2643	. . . 4 ⊢ (∃𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1))((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1 → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
149	1, 2, 148	3syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
150	149	3adant3 1041	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
151	150	pm2.43i 49	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∃wrex 2509  ∃!wreu 2510   class class class wbr 4083  (class class class)co 6010  ℂcc 8013  0cc0 8015  1c1 8016   + caddc 8018   · cmul 8020   < clt 8197   ≤ cle 8198   − cmin 8333  ℕcn 9126  ℤcz 9462  ℚcq 9831  ...cfz 10221  ..^cfzo 10355   mod cmo 10561  ℙcprime 12650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133  ax-arch 8134  ax-caucvg 8135

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-isom 5330  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-irdg 6527  df-frec 6548  df-1o 6573  df-2o 6574  df-oadd 6577  df-er 6693  df-en 6901  df-dom 6902  df-fin 6903  df-sup 7167  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-q 9832  df-rp 9867  df-fz 10222  df-fzo 10356  df-fl 10507  df-mod 10562  df-seqfrec 10687  df-exp 10778  df-ihash 11015  df-cj 11374  df-re 11375  df-im 11376  df-rsqrt 11530  df-abs 11531  df-clim 11811  df-proddc 12083  df-dvds 12320  df-gcd 12496  df-prm 12651  df-phi 12754

This theorem is referenced by:  nnnn0modprm0  12799