Theorem modprm0 12145

Description: For two positive integers less than a given prime number there is always a nonnegative integer (less than the given prime number) so that the sum of one of the two positive integers and the other of the positive integers multiplied by the nonnegative integer is 0 ( modulo the given prime number). (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
modprm0	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)

Distinct variable groups:   𝑗,𝐼   𝑗,𝑁   𝑃,𝑗

Proof of Theorem modprm0

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reumodprminv 12144	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ∃!𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1))((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1)
2		reurex 2670	. . . 4 ⊢ (∃!𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1))((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1 → ∃𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1))((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1)
3		prmz 12004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
4	3	3ad2ant1 1003	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑃 ∈ ℤ)
5	4	adantl 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝑃 ∈ ℤ)
6		elfzelz 9935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑟 ∈ ℤ)
7	6	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) → 𝑟 ∈ ℤ)
8		elfzoelz 10056	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝑃) → 𝐼 ∈ ℤ)
9	8	3ad2ant3 1005	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → 𝐼 ∈ ℤ)
10		zmulcl 9226	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑟 · 𝐼) ∈ ℤ)
11	7, 9, 10	syl2an 287	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝑟 · 𝐼) ∈ ℤ)
12	5, 11	zsubcld 9297	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) ∈ ℤ)
13		prmnn 12003	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
14	13	3ad2ant1 1003	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑃 ∈ ℕ)
15	14	adantl 275	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝑃 ∈ ℕ)
16		zmodfzo 10256	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) ∈ (0..^𝑃))
17	12, 15, 16	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) ∈ (0..^𝑃))
18	9	adantl 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝐼 ∈ ℤ)
19		zq 9542	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℚ)
20	18, 19	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝐼 ∈ ℚ)
21		zq 9542	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) ∈ ℤ → (𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) ∈ ℚ)
22	12, 21	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) ∈ ℚ)
23		elfzoelz 10056	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^𝑃) → 𝑁 ∈ ℤ)
24	23	3ad2ant2 1004	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑁 ∈ ℤ)
25	24	adantl 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝑁 ∈ ℤ)
26		zq 9542	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃 ∈ ℚ)
27	5, 26	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝑃 ∈ ℚ)
28	15	nngt0d 8883	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 0 < 𝑃)
29		modqaddmulmod 10300	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ ℚ ∧ (𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑃)) → ((𝐼 + (((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) · 𝑁)) mod 𝑃) = ((𝐼 + ((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) · 𝑁)) mod 𝑃))
30	20, 22, 25, 27, 28, 29	syl32anc 1228	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝐼 + (((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) · 𝑁)) mod 𝑃) = ((𝐼 + ((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) · 𝑁)) mod 𝑃))
31	13	nncnd 8853	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
32	31	3ad2ant1 1003	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑃 ∈ ℂ)
33	32	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝑃 ∈ ℂ)
34	6	zcnd 9293	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑟 ∈ ℂ)
35	34	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) → 𝑟 ∈ ℂ)
36	8	zcnd 9293	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝑃) → 𝐼 ∈ ℂ)
37	36	3ad2ant3 1005	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → 𝐼 ∈ ℂ)
38		mulcl 7862	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝐼 ∈ ℂ) → (𝑟 · 𝐼) ∈ ℂ)
39	35, 37, 38	syl2an 287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝑟 · 𝐼) ∈ ℂ)
40	23	zcnd 9293	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^𝑃) → 𝑁 ∈ ℂ)
41	40	3ad2ant2 1004	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑁 ∈ ℂ)
42	41	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝑁 ∈ ℂ)
43	33, 39, 42	subdird 8295	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) · 𝑁) = ((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁)))
44	43	oveq2d 5843	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝐼 + ((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) · 𝑁)) = (𝐼 + ((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁))))
45	44	oveq1d 5842	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝐼 + ((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) · 𝑁)) mod 𝑃) = ((𝐼 + ((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁))) mod 𝑃))
46		mulcom 7864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑃 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑃))
47	31, 40, 46	syl2an 287	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → (𝑃 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑃))
48	47	oveq1d 5842	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ((𝑃 · 𝑁) mod 𝑃) = ((𝑁 · 𝑃) mod 𝑃))
49	23	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑁 ∈ ℤ)
50	3	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑃 ∈ ℤ)
51	50, 26	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑃 ∈ ℚ)
52	13	nngt0d 8883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 0 < 𝑃)
53	52	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → 0 < 𝑃)
54		mulqmod0 10239	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑃) → ((𝑁 · 𝑃) mod 𝑃) = 0)
55	49, 51, 53, 54	syl3anc 1220	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ((𝑁 · 𝑃) mod 𝑃) = 0)
56	48, 55	eqtrd 2190	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ((𝑃 · 𝑁) mod 𝑃) = 0)
57	56	3adant3 1002	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ((𝑃 · 𝑁) mod 𝑃) = 0)
58	57	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝑃 · 𝑁) mod 𝑃) = 0)
59	35	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝑟 ∈ ℂ)
60	37	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝐼 ∈ ℂ)
61	59, 60, 42	mul32d 8033	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁) = ((𝑟 · 𝑁) · 𝐼))
62	61	oveq1d 5842	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (((𝑟 · 𝐼) · 𝑁) mod 𝑃) = (((𝑟 · 𝑁) · 𝐼) mod 𝑃))
63		elfznn 9963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑟 ∈ ℕ)
64	63	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) → 𝑟 ∈ ℕ)
65	64	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝑟 ∈ ℕ)
66		elfzo1 10099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^𝑃) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < 𝑃))
67	66	simp1bi 997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^𝑃) → 𝑁 ∈ ℕ)
68	67	3ad2ant2 1004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑁 ∈ ℕ)
69	68	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝑁 ∈ ℕ)
70	65, 69	nnmulcld 8888	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝑟 · 𝑁) ∈ ℕ)
71		nnq 9549	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑟 · 𝑁) ∈ ℕ → (𝑟 · 𝑁) ∈ ℚ)
72	70, 71	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝑟 · 𝑁) ∈ ℚ)
73		modqmulmod 10298	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑟 · 𝑁) ∈ ℚ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑃)) → ((((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) · 𝐼) mod 𝑃) = (((𝑟 · 𝑁) · 𝐼) mod 𝑃))
74	72, 18, 27, 28, 73	syl22anc 1221	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) · 𝐼) mod 𝑃) = (((𝑟 · 𝑁) · 𝐼) mod 𝑃))
75	62, 74	eqtr4d 2193	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (((𝑟 · 𝐼) · 𝑁) mod 𝑃) = ((((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) · 𝐼) mod 𝑃))
76	58, 75	oveq12d 5845	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (((𝑃 · 𝑁) mod 𝑃) − (((𝑟 · 𝐼) · 𝑁) mod 𝑃)) = (0 − ((((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) · 𝐼) mod 𝑃)))
77	76	oveq1d 5842	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((((𝑃 · 𝑁) mod 𝑃) − (((𝑟 · 𝐼) · 𝑁) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((0 − ((((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) · 𝐼) mod 𝑃)) mod 𝑃))
78	15, 69	nnmulcld 8888	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝑃 · 𝑁) ∈ ℕ)
79		nnq 9549	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 · 𝑁) ∈ ℕ → (𝑃 · 𝑁) ∈ ℚ)
80	78, 79	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝑃 · 𝑁) ∈ ℚ)
81		elfzo1 10099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝑃) ↔ (𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑃))
82	81	simp1bi 997	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝑃) → 𝐼 ∈ ℕ)
83	82	3ad2ant3 1005	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → 𝐼 ∈ ℕ)
84	83	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝐼 ∈ ℕ)
85	65, 84	nnmulcld 8888	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝑟 · 𝐼) ∈ ℕ)
86	85, 69	nnmulcld 8888	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁) ∈ ℕ)
87		nnq 9549	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑟 · 𝐼) · 𝑁) ∈ ℕ → ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁) ∈ ℚ)
88	86, 87	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁) ∈ ℚ)
89		modqsubmodmod 10292	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 · 𝑁) ∈ ℚ ∧ ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁) ∈ ℚ) ∧ (𝑃 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑃)) → ((((𝑃 · 𝑁) mod 𝑃) − (((𝑟 · 𝐼) · 𝑁) mod 𝑃)) mod 𝑃) = (((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁)) mod 𝑃))
90	80, 88, 27, 28, 89	syl22anc 1221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((((𝑃 · 𝑁) mod 𝑃) − (((𝑟 · 𝐼) · 𝑁) mod 𝑃)) mod 𝑃) = (((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁)) mod 𝑃))
91		mulcom 7864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (𝑁 · 𝑟) = (𝑟 · 𝑁))
92	41, 34, 91	syl2anr 288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝑁 · 𝑟) = (𝑟 · 𝑁))
93	92	oveq1d 5842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = ((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃))
94	93	eqeq1d 2166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1 ↔ ((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) = 1))
95	94	biimpd 143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1 → ((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) = 1))
96	95	impancom 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) = 1))
97	96	imp 123	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) = 1)
98	97	oveq1d 5842	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) · 𝐼) = (1 · 𝐼))
99	98	oveq1d 5842	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) · 𝐼) mod 𝑃) = ((1 · 𝐼) mod 𝑃))
100	99	oveq2d 5843	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (0 − ((((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) · 𝐼) mod 𝑃)) = (0 − ((1 · 𝐼) mod 𝑃)))
101	100	oveq1d 5842	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((0 − ((((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) · 𝐼) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((0 − ((1 · 𝐼) mod 𝑃)) mod 𝑃))
102	60	mulid2d 7899	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (1 · 𝐼) = 𝐼)
103	102	oveq1d 5842	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((1 · 𝐼) mod 𝑃) = (𝐼 mod 𝑃))
104	84	nnnn0d 9149	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝐼 ∈ ℕ0)
105	104	nn0ge0d 9152	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 0 ≤ 𝐼)
106		elfzolt2 10065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝑃) → 𝐼 < 𝑃)
107	106	3ad2ant3 1005	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → 𝐼 < 𝑃)
108	107	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 𝐼 < 𝑃)
109		modqid 10258	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐼 ∈ ℚ ∧ 𝑃 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 < 𝑃)) → (𝐼 mod 𝑃) = 𝐼)
110	20, 27, 105, 108, 109	syl22anc 1221	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝐼 mod 𝑃) = 𝐼)
111	103, 110	eqtrd 2190	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((1 · 𝐼) mod 𝑃) = 𝐼)
112	111	oveq2d 5843	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (0 − ((1 · 𝐼) mod 𝑃)) = (0 − 𝐼))
113	112	oveq1d 5842	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((0 − ((1 · 𝐼) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((0 − 𝐼) mod 𝑃))
114	101, 113	eqtrd 2190	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((0 − ((((𝑟 · 𝑁) mod 𝑃) · 𝐼) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((0 − 𝐼) mod 𝑃))
115	77, 90, 114	3eqtr3d 2198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁)) mod 𝑃) = ((0 − 𝐼) mod 𝑃))
116	115	oveq2d 5843	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝐼 + (((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁)) mod 𝑃)) = (𝐼 + ((0 − 𝐼) mod 𝑃)))
117	116	oveq1d 5842	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝐼 + (((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((𝐼 + ((0 − 𝐼) mod 𝑃)) mod 𝑃))
118		qsubcl 9554	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 · 𝑁) ∈ ℚ ∧ ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁) ∈ ℚ) → ((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁)) ∈ ℚ)
119	80, 88, 118	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁)) ∈ ℚ)
120		modqadd2mod 10283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁)) ∈ ℚ ∧ 𝐼 ∈ ℚ) ∧ (𝑃 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑃)) → ((𝐼 + (((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((𝐼 + ((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁))) mod 𝑃))
121	119, 20, 27, 28, 120	syl22anc 1221	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝐼 + (((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((𝐼 + ((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁))) mod 𝑃))
122		0zd 9185	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → 0 ∈ ℤ)
123	122, 18	zsubcld 9297	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (0 − 𝐼) ∈ ℤ)
124		zq 9542	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 − 𝐼) ∈ ℤ → (0 − 𝐼) ∈ ℚ)
125	123, 124	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (0 − 𝐼) ∈ ℚ)
126		modqadd2mod 10283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((0 − 𝐼) ∈ ℚ ∧ 𝐼 ∈ ℚ) ∧ (𝑃 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑃)) → ((𝐼 + ((0 − 𝐼) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((𝐼 + (0 − 𝐼)) mod 𝑃))
127	125, 20, 27, 28, 126	syl22anc 1221	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝐼 + ((0 − 𝐼) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((𝐼 + (0 − 𝐼)) mod 𝑃))
128		0cnd 7874	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝑃) → 0 ∈ ℂ)
129	36, 128	pncan3d 8194	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝑃) → (𝐼 + (0 − 𝐼)) = 0)
130	129	3ad2ant3 1005	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → (𝐼 + (0 − 𝐼)) = 0)
131	130	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (𝐼 + (0 − 𝐼)) = 0)
132	131	oveq1d 5842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝐼 + (0 − 𝐼)) mod 𝑃) = (0 mod 𝑃))
133	3, 26	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℚ)
134		q0mod 10264	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑃) → (0 mod 𝑃) = 0)
135	133, 52, 134	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (0 mod 𝑃) = 0)
136	135	3ad2ant1 1003	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → (0 mod 𝑃) = 0)
137	136	adantl 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → (0 mod 𝑃) = 0)
138	127, 132, 137	3eqtrd 2194	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝐼 + ((0 − 𝐼) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 0)
139	117, 121, 138	3eqtr3d 2198	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝐼 + ((𝑃 · 𝑁) − ((𝑟 · 𝐼) · 𝑁))) mod 𝑃) = 0)
140	30, 45, 139	3eqtrd 2194	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ((𝐼 + (((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
141		oveq1 5834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = ((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) → (𝑗 · 𝑁) = (((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) · 𝑁))
142	141	oveq2d 5843	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = ((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) → (𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) = (𝐼 + (((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) · 𝑁)))
143	142	oveq1d 5842	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = ((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) → ((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = ((𝐼 + (((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) · 𝑁)) mod 𝑃))
144	143	eqeq1d 2166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = ((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) → (((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0 ↔ ((𝐼 + (((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
145	144	rspcev 2816	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) ∈ (0..^𝑃) ∧ ((𝐼 + (((𝑃 − (𝑟 · 𝐼)) mod 𝑃) · 𝑁)) mod 𝑃) = 0) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
146	17, 140, 145	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ (((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃))) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
147	146	ex 114	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
148	147	rexlimiva 2569	. . . 4 ⊢ (∃𝑟 ∈ (1...(𝑃 − 1))((𝑁 · 𝑟) mod 𝑃) = 1 → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
149	1, 2, 148	3syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
150	149	3adant3 1002	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
151	150	pm2.43i 49	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 963   = wceq 1335   ∈ wcel 2128  ∃wrex 2436  ∃!wreu 2437   class class class wbr 3967  (class class class)co 5827  ℂcc 7733  0cc0 7735  1c1 7736   + caddc 7738   · cmul 7740   < clt 7915   ≤ cle 7916   − cmin 8051  ℕcn 8839  ℤcz 9173  ℚcq 9535  ...cfz 9919  ..^cfzo 10051   mod cmo 10231  ℙcprime 12000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4082  ax-sep 4085  ax-nul 4093  ax-pow 4138  ax-pr 4172  ax-un 4396  ax-setind 4499  ax-iinf 4550  ax-cnex 7826  ax-resscn 7827  ax-1cn 7828  ax-1re 7829  ax-icn 7830  ax-addcl 7831  ax-addrcl 7832  ax-mulcl 7833  ax-mulrcl 7834  ax-addcom 7835  ax-mulcom 7836  ax-addass 7837  ax-mulass 7838  ax-distr 7839  ax-i2m1 7840  ax-0lt1 7841  ax-1rid 7842  ax-0id 7843  ax-rnegex 7844  ax-precex 7845  ax-cnre 7846  ax-pre-ltirr 7847  ax-pre-ltwlin 7848  ax-pre-lttrn 7849  ax-pre-apti 7850  ax-pre-ltadd 7851  ax-pre-mulgt0 7852  ax-pre-mulext 7853  ax-arch 7854  ax-caucvg 7855

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-if 3507  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-iun 3853  df-br 3968  df-opab 4029  df-mpt 4030  df-tr 4066  df-id 4256  df-po 4259  df-iso 4260  df-iord 4329  df-on 4331  df-ilim 4332  df-suc 4334  df-iom 4553  df-xp 4595  df-rel 4596  df-cnv 4597  df-co 4598  df-dm 4599  df-rn 4600  df-res 4601  df-ima 4602  df-iota 5138  df-fun 5175  df-fn 5176  df-f 5177  df-f1 5178  df-fo 5179  df-f1o 5180  df-fv 5181  df-isom 5182  df-riota 5783  df-ov 5830  df-oprab 5831  df-mpo 5832  df-1st 6091  df-2nd 6092  df-recs 6255  df-irdg 6320  df-frec 6341  df-1o 6366  df-2o 6367  df-oadd 6370  df-er 6483  df-en 6689  df-dom 6690  df-fin 6691  df-sup 6931  df-pnf 7917  df-mnf 7918  df-xr 7919  df-ltxr 7920  df-le 7921  df-sub 8053  df-neg 8054  df-reap 8455  df-ap 8462  df-div 8551  df-inn 8840  df-2 8898  df-3 8899  df-4 8900  df-n0 9097  df-z 9174  df-uz 9446  df-q 9536  df-rp 9568  df-fz 9920  df-fzo 10052  df-fl 10179  df-mod 10232  df-seqfrec 10355  df-exp 10429  df-ihash 10662  df-cj 10754  df-re 10755  df-im 10756  df-rsqrt 10910  df-abs 10911  df-clim 11188  df-proddc 11460  df-dvds 11696  df-gcd 11843  df-prm 12001  df-phi 12102

This theorem is referenced by:  nnnn0modprm0  12146