Theorem 0pss 4366

Description: The empty set is a proper subset of any nonempty set. Dual of pssv 4368. (Contributed by NM, 27-Feb-1996.)

Assertion

Ref	Expression
0pss	⊢ (∅ ⊊ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem 0pss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4356	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
2		df-pss 3924	. . 3 ⊢ (∅ ⊊ 𝐴 ↔ (∅ ⊆ 𝐴 ∧ ∅ ≠ 𝐴))
3	1, 2	mpbiran 721	. 2 ⊢ (∅ ⊊ 𝐴 ↔ ∅ ≠ 𝐴)
4		necom 3010	. 2 ⊢ (∅ ≠ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅)
5	3, 4	bitri 278	1 ⊢ (∅ ⊊ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ≠ wne 2957   ⊆ wss 3904   ⊊ wpss 3905  ∅c0 4285

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-sb 2096  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-dif 3907  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286

This theorem is used by:  php  9189  zornn0g  10495  prn0  10980  genpn0  10994  nqpr  11005  ltexprlem5  11031  reclem2pr  11039  suplem1pr  11043  alexsubALTlem4  24218  bj-2upln0  37687  bj-2upln1upl  37688  0pssin  44525