Theorem 0pss 4359

Description: The empty set is a proper subset of any nonempty set. Dual of pssv 4361. (Contributed by NM, 27-Feb-1996.)

Assertion

Ref	Expression
0pss	⊢ (∅ ⊊ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem 0pss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4349	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
2		df-pss 4014	. . 3 ⊢ (∅ ⊊ 𝐴 ↔ (∅ ⊆ 𝐴 ∧ ∅ ≠ 𝐴))
3	1, 2	mpbiran 722	. 2 ⊢ (∅ ⊊ 𝐴 ↔ ∅ ≠ 𝐴)
4		necom 3008	. 2 ⊢ (∅ ≠ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅)
5	3, 4	bitri 278	1 ⊢ (∅ ⊊ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ≠ wne 2955   ⊆ wss 3895   ⊊ wpss 4013  ∅c0 4278

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-nul 4279

This theorem is used by:  php  9223  zornn0g  10584  prn0  11075  genpn0  11089  nqpr  11100  ltexprlem5  11126  reclem2pr  11134  suplem1pr  11138  alexsubALTlem4  24370  bj-2upln0  38011  bj-2upln1upl  38012  0pssin  44847