Theorem 0pss 4395

Description: The null set is a proper subset of any nonempty set. (Contributed by NM, 27-Feb-1996.)

Assertion

Ref	Expression
0pss	⊢ (∅ ⊊ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem 0pss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4349	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
2		df-pss 3953	. . 3 ⊢ (∅ ⊊ 𝐴 ↔ (∅ ⊆ 𝐴 ∧ ∅ ≠ 𝐴))
3	1, 2	mpbiran 707	. 2 ⊢ (∅ ⊊ 𝐴 ↔ ∅ ≠ 𝐴)
4		necom 3069	. 2 ⊢ (∅ ≠ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅)
5	3, 4	bitri 277	1 ⊢ (∅ ⊊ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅)

Syntax hints:   ↔ wb 208   ≠ wne 3016   ⊆ wss 3935   ⊊ wpss 3936  ∅c0 4290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-ne 3017  df-dif 3938  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291

This theorem is referenced by:  php  8695  zornn0g  9921  prn0  10405  genpn0  10419  nqpr  10430  ltexprlem5  10456  reclem2pr  10464  suplem1pr  10468  alexsubALTlem4  22652  bj-2upln0  34330  bj-2upln1upl  34331  0pssin  40109