Theorem 0pss 4398

Description: The null set is a proper subset of any nonempty set. (Contributed by NM, 27-Feb-1996.)

Assertion

Ref	Expression
0pss	⊢ (∅ ⊊ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem 0pss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4351	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
2		df-pss 3919	. . 3 ⊢ (∅ ⊊ 𝐴 ↔ (∅ ⊆ 𝐴 ∧ ∅ ≠ 𝐴))
3	1, 2	mpbiran 709	. 2 ⊢ (∅ ⊊ 𝐴 ↔ ∅ ≠ 𝐴)
4		necom 2983	. 2 ⊢ (∅ ≠ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅)
5	3, 4	bitri 275	1 ⊢ (∅ ⊊ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ≠ wne 2930   ⊆ wss 3899   ⊊ wpss 3900  ∅c0 4284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2705

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-ne 2931  df-dif 3902  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285

This theorem is referenced by:  php  9126  zornn0g  10406  prn0  10890  genpn0  10904  nqpr  10915  ltexprlem5  10941  reclem2pr  10949  suplem1pr  10953  alexsubALTlem4  23975  bj-2upln0  37078  bj-2upln1upl  37079  0pssin  43878