Theorem 0pss 4400

Description: The null set is a proper subset of any nonempty set. (Contributed by NM, 27-Feb-1996.)

Assertion

Ref	Expression
0pss	⊢ (∅ ⊊ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem 0pss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4353	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
2		df-pss 3922	. . 3 ⊢ (∅ ⊊ 𝐴 ↔ (∅ ⊆ 𝐴 ∧ ∅ ≠ 𝐴))
3	1, 2	mpbiran 710	. 2 ⊢ (∅ ⊊ 𝐴 ↔ ∅ ≠ 𝐴)
4		necom 2986	. 2 ⊢ (∅ ≠ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅)
5	3, 4	bitri 275	1 ⊢ (∅ ⊊ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ≠ wne 2933   ⊆ wss 3902   ⊊ wpss 3903  ∅c0 4286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-dif 3905  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287

This theorem is referenced by:  php  9135  zornn0g  10419  prn0  10904  genpn0  10918  nqpr  10929  ltexprlem5  10955  reclem2pr  10963  suplem1pr  10967  alexsubALTlem4  23998  bj-2upln0  37199  bj-2upln1upl  37200  0pssin  44048