Theorem 0pss 4395

Description: The null set is a proper subset of any nonempty set. (Contributed by NM, 27-Feb-1996.)

Assertion

Ref	Expression
0pss	⊢ (∅ ⊊ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem 0pss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4348	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
2		df-pss 3919	. . 3 ⊢ (∅ ⊊ 𝐴 ↔ (∅ ⊆ 𝐴 ∧ ∅ ≠ 𝐴))
3	1, 2	mpbiran 717	. 2 ⊢ (∅ ⊊ 𝐴 ↔ ∅ ≠ 𝐴)
4		necom 3004	. 2 ⊢ (∅ ≠ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅)
5	3, 4	bitri 277	1 ⊢ (∅ ⊊ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅)

Syntax hints:   ↔ wb 208   ≠ wne 2951   ⊆ wss 3899   ⊊ wpss 3900  ∅c0 4280

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-ext 2728

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-sb 2085  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-ne 2952  df-dif 3902  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281

This theorem is referenced by:  php  9164  zornn0g  10452  prn0  10937  genpn0  10951  nqpr  10962  ltexprlem5  10988  reclem2pr  10996  suplem1pr  11000  alexsubALTlem4  24083  bj-2upln0  37456  bj-2upln1upl  37457  0pssin  44295