Theorem 0pss 4363

Description: The empty set is a proper subset of any nonempty set. Dual of pssv 4365. (Contributed by NM, 27-Feb-1996.)

Assertion

Ref	Expression
0pss	⊢ (∅ ⊊ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem 0pss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4353	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
2		df-pss 3922	. . 3 ⊢ (∅ ⊊ 𝐴 ↔ (∅ ⊆ 𝐴 ∧ ∅ ≠ 𝐴))
3	1, 2	mpbiran 722	. 2 ⊢ (∅ ⊊ 𝐴 ↔ ∅ ≠ 𝐴)
4		necom 3010	. 2 ⊢ (∅ ≠ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅)
5	3, 4	bitri 278	1 ⊢ (∅ ⊊ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ≠ wne 2957   ⊆ wss 3902   ⊊ wpss 3903  ∅c0 4282

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-dif 3905  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283

This theorem is used by:  php  9204  zornn0g  10510  prn0  11001  genpn0  11015  nqpr  11026  ltexprlem5  11052  reclem2pr  11060  suplem1pr  11064  alexsubALTlem4  24280  bj-2upln0  37769  bj-2upln1upl  37770  0pssin  44613