Theorem 0pss 4363

Description: The empty set is a proper subset of any nonempty set. Dual of pssv 4365. (Contributed by NM, 27-Feb-1996.)

Assertion

Ref	Expression
0pss	⊢ (∅ ⊊ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem 0pss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4353	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
2		df-pss 4017	. . 3 ⊢ (∅ ⊊ 𝐴 ↔ (∅ ⊆ 𝐴 ∧ ∅ ≠ 𝐴))
3	1, 2	mpbiran 722	. 2 ⊢ (∅ ⊊ 𝐴 ↔ ∅ ≠ 𝐴)
4		necom 3012	. 2 ⊢ (∅ ≠ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅)
5	3, 4	bitri 278	1 ⊢ (∅ ⊊ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ≠ wne 2959   ⊆ wss 3900   ⊊ wpss 4016  ∅c0 4281

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-nul 4282

This theorem is used by:  php  9250  zornn0g  10610  prn0  11101  genpn0  11115  nqpr  11126  ltexprlem5  11152  reclem2pr  11160  suplem1pr  11164  alexsubALTlem4  24399  bj-2upln0  38114  bj-2upln1upl  38115  0pssin  44963