MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltexprlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltexprlem5 10451
Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 6-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ltexprlem.1 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}
Assertion
Ref Expression
ltexprlem5 ((𝐵P𝐴𝐵) → 𝐶P)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem ltexprlem5
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltexprlem.1 . . . . 5 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}
21ltexprlem1 10447 . . . 4 (𝐵P → (𝐴𝐵𝐶 ≠ ∅))
3 0pss 4368 . . . 4 (∅ ⊊ 𝐶𝐶 ≠ ∅)
42, 3syl6ibr 255 . . 3 (𝐵P → (𝐴𝐵 → ∅ ⊊ 𝐶))
54imp 410 . 2 ((𝐵P𝐴𝐵) → ∅ ⊊ 𝐶)
61ltexprlem2 10448 . . 3 (𝐵P𝐶Q)
76adantr 484 . 2 ((𝐵P𝐴𝐵) → 𝐶Q)
81ltexprlem3 10449 . . . . 5 (𝐵P → (𝑥𝐶 → ∀𝑧(𝑧 <Q 𝑥𝑧𝐶)))
91ltexprlem4 10450 . . . . . 6 (𝐵P → (𝑥𝐶 → ∃𝑧(𝑧𝐶𝑥 <Q 𝑧)))
10 df-rex 3136 . . . . . 6 (∃𝑧𝐶 𝑥 <Q 𝑧 ↔ ∃𝑧(𝑧𝐶𝑥 <Q 𝑧))
119, 10syl6ibr 255 . . . . 5 (𝐵P → (𝑥𝐶 → ∃𝑧𝐶 𝑥 <Q 𝑧))
128, 11jcad 516 . . . 4 (𝐵P → (𝑥𝐶 → (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑥𝑧𝐶) ∧ ∃𝑧𝐶 𝑥 <Q 𝑧)))
1312ralrimiv 3173 . . 3 (𝐵P → ∀𝑥𝐶 (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑥𝑧𝐶) ∧ ∃𝑧𝐶 𝑥 <Q 𝑧))
1413adantr 484 . 2 ((𝐵P𝐴𝐵) → ∀𝑥𝐶 (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑥𝑧𝐶) ∧ ∃𝑧𝐶 𝑥 <Q 𝑧))
15 elnp 10398 . 2 (𝐶P ↔ ((∅ ⊊ 𝐶𝐶Q) ∧ ∀𝑥𝐶 (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑥𝑧𝐶) ∧ ∃𝑧𝐶 𝑥 <Q 𝑧)))
165, 7, 14, 15syl21anbrc 1341 1 ((𝐵P𝐴𝐵) → 𝐶P)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  wal 1536   = wceq 1538  wex 1781  wcel 2114  {cab 2800  wne 3011  wral 3130  wrex 3131  wpss 3909  c0 4265   class class class wbr 5042  (class class class)co 7140  Qcnq 10263   +Q cplq 10266   <Q cltq 10269  Pcnp 10270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-inf2 9092
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-omul 8094  df-er 8276  df-ni 10283  df-pli 10284  df-mi 10285  df-lti 10286  df-plpq 10319  df-mpq 10320  df-ltpq 10321  df-enq 10322  df-nq 10323  df-erq 10324  df-plq 10325  df-mq 10326  df-1nq 10327  df-ltnq 10329  df-np 10392
This theorem is referenced by:  ltexprlem6  10452  ltexprlem7  10453  ltexpri  10454
  Copyright terms: Public domain W3C validator