Theorem bj-2upln0 35140

Description: A couple is nonempty. (Contributed by BJ, 21-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bj-2upln0	⊢ ⦅𝐴, 𝐵⦆ ≠ ∅

Proof of Theorem bj-2upln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-bj-2upl 35128	. 2 ⊢ ⦅𝐴, 𝐵⦆ = (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵))
2		bj-1upln0 35126	. . . . 5 ⊢ ⦅𝐴⦆ ≠ ∅
3		0pss 4375	. . . . 5 ⊢ (∅ ⊊ ⦅𝐴⦆ ↔ ⦅𝐴⦆ ≠ ∅)
4	2, 3	mpbir 230	. . . 4 ⊢ ∅ ⊊ ⦅𝐴⦆
5		ssun1 4102	. . . 4 ⊢ ⦅𝐴⦆ ⊆ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵))
6		psssstr 4037	. . . 4 ⊢ ((∅ ⊊ ⦅𝐴⦆ ∧ ⦅𝐴⦆ ⊆ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵))) → ∅ ⊊ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵)))
7	4, 5, 6	mp2an 688	. . 3 ⊢ ∅ ⊊ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵))
8		0pss 4375	. . 3 ⊢ (∅ ⊊ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵)) ↔ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵)) ≠ ∅)
9	7, 8	mpbi 229	. 2 ⊢ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵)) ≠ ∅
10	1, 9	eqnetri 3013	1 ⊢ ⦅𝐴, 𝐵⦆ ≠ ∅

Syntax hints:   ≠ wne 2942   ∪ cun 3881   ⊆ wss 3883   ⊊ wpss 3884  ∅c0 4253  {csn 4558   × cxp 5578  1_oc1o 8260  tag bj-ctag 35091  ⦅bj-c1upl 35114  ⦅bj-c2uple 35127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-br 5071  df-opab 5133  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-bj-tag 35092  df-bj-1upl 35115  df-bj-2upl 35128

This theorem is referenced by: (None)