Theorem bj-2upln0 37011

Description: A couple is nonempty. (Contributed by BJ, 21-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bj-2upln0	⊢ ⦅𝐴, 𝐵⦆ ≠ ∅

Proof of Theorem bj-2upln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-bj-2upl 36999	. 2 ⊢ ⦅𝐴, 𝐵⦆ = (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵))
2		bj-1upln0 36997	. . . . 5 ⊢ ⦅𝐴⦆ ≠ ∅
3		0pss 4410	. . . . 5 ⊢ (∅ ⊊ ⦅𝐴⦆ ↔ ⦅𝐴⦆ ≠ ∅)
4	2, 3	mpbir 231	. . . 4 ⊢ ∅ ⊊ ⦅𝐴⦆
5		ssun1 4141	. . . 4 ⊢ ⦅𝐴⦆ ⊆ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵))
6		psssstr 4072	. . . 4 ⊢ ((∅ ⊊ ⦅𝐴⦆ ∧ ⦅𝐴⦆ ⊆ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵))) → ∅ ⊊ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵)))
7	4, 5, 6	mp2an 692	. . 3 ⊢ ∅ ⊊ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵))
8		0pss 4410	. . 3 ⊢ (∅ ⊊ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵)) ↔ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵)) ≠ ∅)
9	7, 8	mpbi 230	. 2 ⊢ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵)) ≠ ∅
10	1, 9	eqnetri 2995	1 ⊢ ⦅𝐴, 𝐵⦆ ≠ ∅

Syntax hints:   ≠ wne 2925   ∪ cun 3912   ⊆ wss 3914   ⊊ wpss 3915  ∅c0 4296  {csn 4589   × cxp 5636  1_oc1o 8427  tag bj-ctag 36962  ⦅bj-c1upl 36985  ⦅bj-c2uple 36998

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-br 5108  df-opab 5170  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-bj-tag 36963  df-bj-1upl 36986  df-bj-2upl 36999

This theorem is referenced by: (None)