Theorem bj-2upln0 37513

Description: A couple is nonempty. (Contributed by BJ, 21-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bj-2upln0	⊢ ⦅𝐴, 𝐵⦆ ≠ ∅

Proof of Theorem bj-2upln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-bj-2upl 37501	. 2 ⊢ ⦅𝐴, 𝐵⦆ = (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵))
2		bj-1upln0 37499	. . . . 5 ⊢ ⦅𝐴⦆ ≠ ∅
3		0pss 4403	. . . . 5 ⊢ (∅ ⊊ ⦅𝐴⦆ ↔ ⦅𝐴⦆ ≠ ∅)
4	2, 3	mpbir 233	. . . 4 ⊢ ∅ ⊊ ⦅𝐴⦆
5		ssun1 4132	. . . 4 ⊢ ⦅𝐴⦆ ⊆ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵))
6		psssstr 4065	. . . 4 ⊢ ((∅ ⊊ ⦅𝐴⦆ ∧ ⦅𝐴⦆ ⊆ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵))) → ∅ ⊊ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵)))
7	4, 5, 6	mp2an 702	. . 3 ⊢ ∅ ⊊ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵))
8		0pss 4403	. . 3 ⊢ (∅ ⊊ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵)) ↔ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵)) ≠ ∅)
9	7, 8	mpbi 232	. 2 ⊢ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵)) ≠ ∅
10	1, 9	eqnetri 3029	1 ⊢ ⦅𝐴, 𝐵⦆ ≠ ∅

Syntax hints:   ≠ wne 2959   ∪ cun 3904   ⊆ wss 3906   ⊊ wpss 3907  ∅c0 4287  {csn 4584   × cxp 5647  1_oc1o 8432  tag bj-ctag 37464  ⦅bj-c1upl 37487  ⦅bj-c2uple 37500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pr 5392

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-sb 2093  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3417  df-v 3458  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-opab 5165  df-xp 5655  df-bj-tag 37465  df-bj-1upl 37488  df-bj-2upl 37501

This theorem is referenced by: (None)