Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-2upln0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bj-2upln0 33503
Description: A couple is nonempty. (Contributed by BJ, 21-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
bj-2upln0 𝐴, 𝐵⦆ ≠ ∅

Proof of Theorem bj-2upln0
StepHypRef Expression
1 df-bj-2upl 33491 . 2 𝐴, 𝐵⦆ = (⦅𝐴⦆ ∪ ({1𝑜} × tag 𝐵))
2 bj-1upln0 33489 . . . . 5 𝐴⦆ ≠ ∅
3 0pss 4209 . . . . 5 (∅ ⊊ ⦅𝐴⦆ ↔ ⦅𝐴⦆ ≠ ∅)
42, 3mpbir 223 . . . 4 ∅ ⊊ ⦅𝐴
5 ssun1 3974 . . . 4 𝐴⦆ ⊆ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1𝑜} × tag 𝐵))
6 psssstr 3910 . . . 4 ((∅ ⊊ ⦅𝐴⦆ ∧ ⦅𝐴⦆ ⊆ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1𝑜} × tag 𝐵))) → ∅ ⊊ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1𝑜} × tag 𝐵)))
74, 5, 6mp2an 684 . . 3 ∅ ⊊ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1𝑜} × tag 𝐵))
8 0pss 4209 . . 3 (∅ ⊊ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1𝑜} × tag 𝐵)) ↔ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1𝑜} × tag 𝐵)) ≠ ∅)
97, 8mpbi 222 . 2 (⦅𝐴⦆ ∪ ({1𝑜} × tag 𝐵)) ≠ ∅
101, 9eqnetri 3041 1 𝐴, 𝐵⦆ ≠ ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wne 2971  cun 3767  wss 3769  wpss 3770  c0 4115  {csn 4368   × cxp 5310  1𝑜c1o 7792  tag bj-ctag 33454  bj-c1upl 33477  bj-c2uple 33490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pr 5097
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-br 4844  df-opab 4906  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-bj-tag 33455  df-bj-1upl 33478  df-bj-2upl 33491
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator