Theorem bj-2upln0 37006

Description: A couple is nonempty. (Contributed by BJ, 21-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bj-2upln0	⊢ ⦅𝐴, 𝐵⦆ ≠ ∅

Proof of Theorem bj-2upln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-bj-2upl 36994	. 2 ⊢ ⦅𝐴, 𝐵⦆ = (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵))
2		bj-1upln0 36992	. . . . 5 ⊢ ⦅𝐴⦆ ≠ ∅
3		0pss 4453	. . . . 5 ⊢ (∅ ⊊ ⦅𝐴⦆ ↔ ⦅𝐴⦆ ≠ ∅)
4	2, 3	mpbir 231	. . . 4 ⊢ ∅ ⊊ ⦅𝐴⦆
5		ssun1 4188	. . . 4 ⊢ ⦅𝐴⦆ ⊆ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵))
6		psssstr 4119	. . . 4 ⊢ ((∅ ⊊ ⦅𝐴⦆ ∧ ⦅𝐴⦆ ⊆ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵))) → ∅ ⊊ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵)))
7	4, 5, 6	mp2an 692	. . 3 ⊢ ∅ ⊊ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵))
8		0pss 4453	. . 3 ⊢ (∅ ⊊ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵)) ↔ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵)) ≠ ∅)
9	7, 8	mpbi 230	. 2 ⊢ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵)) ≠ ∅
10	1, 9	eqnetri 3009	1 ⊢ ⦅𝐴, 𝐵⦆ ≠ ∅

Syntax hints:   ≠ wne 2938   ∪ cun 3961   ⊆ wss 3963   ⊊ wpss 3964  ∅c0 4339  {csn 4631   × cxp 5687  1_oc1o 8498  tag bj-ctag 36957  ⦅bj-c1upl 36980  ⦅bj-c2uple 36993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-br 5149  df-opab 5211  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-bj-tag 36958  df-bj-1upl 36981  df-bj-2upl 36994

This theorem is referenced by: (None)