Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-2upln0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bj-2upln0 33953
Description: A couple is nonempty. (Contributed by BJ, 21-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
bj-2upln0 𝐴, 𝐵⦆ ≠ ∅

Proof of Theorem bj-2upln0
StepHypRef Expression
1 df-bj-2upl 33941 . 2 𝐴, 𝐵⦆ = (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵))
2 bj-1upln0 33939 . . . . 5 𝐴⦆ ≠ ∅
3 0pss 4312 . . . . 5 (∅ ⊊ ⦅𝐴⦆ ↔ ⦅𝐴⦆ ≠ ∅)
42, 3mpbir 232 . . . 4 ∅ ⊊ ⦅𝐴
5 ssun1 4071 . . . 4 𝐴⦆ ⊆ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵))
6 psssstr 4006 . . . 4 ((∅ ⊊ ⦅𝐴⦆ ∧ ⦅𝐴⦆ ⊆ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵))) → ∅ ⊊ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵)))
74, 5, 6mp2an 688 . . 3 ∅ ⊊ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵))
8 0pss 4312 . . 3 (∅ ⊊ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵)) ↔ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵)) ≠ ∅)
97, 8mpbi 231 . 2 (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵)) ≠ ∅
101, 9eqnetri 3053 1 𝐴, 𝐵⦆ ≠ ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wne 2983  cun 3859  wss 3861  wpss 3862  c0 4213  {csn 4474   × cxp 5444  1oc1o 7949  tag bj-ctag 33904  bj-c1upl 33927  bj-c2uple 33940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pr 5224
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-ral 3109  df-rex 3110  df-rab 3113  df-v 3438  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4214  df-if 4384  df-sn 4475  df-pr 4477  df-op 4481  df-br 4965  df-opab 5027  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-bj-tag 33905  df-bj-1upl 33928  df-bj-2upl 33941
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator