Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-2upln0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bj-2upln0 34232
Description: A couple is nonempty. (Contributed by BJ, 21-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
bj-2upln0 𝐴, 𝐵⦆ ≠ ∅

Proof of Theorem bj-2upln0
StepHypRef Expression
1 df-bj-2upl 34220 . 2 𝐴, 𝐵⦆ = (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵))
2 bj-1upln0 34218 . . . . 5 𝐴⦆ ≠ ∅
3 0pss 4392 . . . . 5 (∅ ⊊ ⦅𝐴⦆ ↔ ⦅𝐴⦆ ≠ ∅)
42, 3mpbir 232 . . . 4 ∅ ⊊ ⦅𝐴
5 ssun1 4145 . . . 4 𝐴⦆ ⊆ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵))
6 psssstr 4080 . . . 4 ((∅ ⊊ ⦅𝐴⦆ ∧ ⦅𝐴⦆ ⊆ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵))) → ∅ ⊊ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵)))
74, 5, 6mp2an 688 . . 3 ∅ ⊊ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵))
8 0pss 4392 . . 3 (∅ ⊊ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵)) ↔ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵)) ≠ ∅)
97, 8mpbi 231 . 2 (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵)) ≠ ∅
101, 9eqnetri 3083 1 𝐴, 𝐵⦆ ≠ ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wne 3013  cun 3931  wss 3933  wpss 3934  c0 4288  {csn 4557   × cxp 5546  1oc1o 8084  tag bj-ctag 34183  bj-c1upl 34206  bj-c2uple 34219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-br 5058  df-opab 5120  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-bj-tag 34184  df-bj-1upl 34207  df-bj-2upl 34220
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator