Theorem bj-2upln0 37067

Description: A couple is nonempty. (Contributed by BJ, 21-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bj-2upln0	⊢ ⦅𝐴, 𝐵⦆ ≠ ∅

Proof of Theorem bj-2upln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-bj-2upl 37055	. 2 ⊢ ⦅𝐴, 𝐵⦆ = (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵))
2		bj-1upln0 37053	. . . . 5 ⊢ ⦅𝐴⦆ ≠ ∅
3		0pss 4394	. . . . 5 ⊢ (∅ ⊊ ⦅𝐴⦆ ↔ ⦅𝐴⦆ ≠ ∅)
4	2, 3	mpbir 231	. . . 4 ⊢ ∅ ⊊ ⦅𝐴⦆
5		ssun1 4125	. . . 4 ⊢ ⦅𝐴⦆ ⊆ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵))
6		psssstr 4056	. . . 4 ⊢ ((∅ ⊊ ⦅𝐴⦆ ∧ ⦅𝐴⦆ ⊆ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵))) → ∅ ⊊ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵)))
7	4, 5, 6	mp2an 692	. . 3 ⊢ ∅ ⊊ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵))
8		0pss 4394	. . 3 ⊢ (∅ ⊊ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵)) ↔ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵)) ≠ ∅)
9	7, 8	mpbi 230	. 2 ⊢ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵)) ≠ ∅
10	1, 9	eqnetri 2998	1 ⊢ ⦅𝐴, 𝐵⦆ ≠ ∅

Syntax hints:   ≠ wne 2928   ∪ cun 3895   ⊆ wss 3897   ⊊ wpss 3898  ∅c0 4280  {csn 4573   × cxp 5612  1_oc1o 8378  tag bj-ctag 37018  ⦅bj-c1upl 37041  ⦅bj-c2uple 37054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-opab 5152  df-xp 5620  df-bj-tag 37019  df-bj-1upl 37042  df-bj-2upl 37055

This theorem is referenced by: (None)