Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-2upln0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bj-2upln0 37025
Description: A couple is nonempty. (Contributed by BJ, 21-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
bj-2upln0 𝐴, 𝐵⦆ ≠ ∅

Proof of Theorem bj-2upln0
StepHypRef Expression
1 df-bj-2upl 37013 . 2 𝐴, 𝐵⦆ = (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵))
2 bj-1upln0 37011 . . . . 5 𝐴⦆ ≠ ∅
3 0pss 4446 . . . . 5 (∅ ⊊ ⦅𝐴⦆ ↔ ⦅𝐴⦆ ≠ ∅)
42, 3mpbir 231 . . . 4 ∅ ⊊ ⦅𝐴
5 ssun1 4177 . . . 4 𝐴⦆ ⊆ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵))
6 psssstr 4108 . . . 4 ((∅ ⊊ ⦅𝐴⦆ ∧ ⦅𝐴⦆ ⊆ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵))) → ∅ ⊊ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵)))
74, 5, 6mp2an 692 . . 3 ∅ ⊊ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵))
8 0pss 4446 . . 3 (∅ ⊊ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵)) ↔ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵)) ≠ ∅)
97, 8mpbi 230 . 2 (⦅𝐴⦆ ∪ ({1o} × tag 𝐵)) ≠ ∅
101, 9eqnetri 3010 1 𝐴, 𝐵⦆ ≠ ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wne 2939  cun 3948  wss 3950  wpss 3951  c0 4332  {csn 4625   × cxp 5682  1oc1o 8500  tag bj-ctag 36976  bj-c1upl 36999  bj-c2uple 37012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-sb 2064  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-dif 3953  df-un 3955  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-br 5143  df-opab 5205  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-bj-tag 36977  df-bj-1upl 37000  df-bj-2upl 37013
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator