MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nqpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nqpr 10039
Description: The canonical embedding of the rationals into the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nqpr (𝐴Q → {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∈ P)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem nqpr
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nsmallnq 10002 . . . . 5 (𝐴Q → ∃𝑥 𝑥 <Q 𝐴)
2 abn0 4102 . . . . 5 ({𝑥𝑥 <Q 𝐴} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 <Q 𝐴)
31, 2sylibr 224 . . . 4 (𝐴Q → {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ≠ ∅)
4 0pss 4158 . . . 4 (∅ ⊊ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ↔ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ≠ ∅)
53, 4sylibr 224 . . 3 (𝐴Q → ∅ ⊊ {𝑥𝑥 <Q 𝐴})
6 ltrelnq 9951 . . . . . . 7 <Q ⊆ (Q × Q)
76brel 5309 . . . . . 6 (𝑥 <Q 𝐴 → (𝑥Q𝐴Q))
87simpld 478 . . . . 5 (𝑥 <Q 𝐴𝑥Q)
98abssi 3827 . . . 4 {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ⊆ Q
10 ltsonq 9994 . . . . . . 7 <Q Or Q
1110, 6soirri 5664 . . . . . 6 ¬ 𝐴 <Q 𝐴
12 breq1 4790 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 <Q 𝐴𝐴 <Q 𝐴))
1312elabg 3503 . . . . . 6 (𝐴Q → (𝐴 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ↔ 𝐴 <Q 𝐴))
1411, 13mtbiri 316 . . . . 5 (𝐴Q → ¬ 𝐴 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴})
1514ancli 532 . . . 4 (𝐴Q → (𝐴Q ∧ ¬ 𝐴 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴}))
16 ssnelpss 3869 . . . 4 ({𝑥𝑥 <Q 𝐴} ⊆ Q → ((𝐴Q ∧ ¬ 𝐴 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴}) → {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ⊊ Q))
179, 15, 16mpsyl 68 . . 3 (𝐴Q → {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ⊊ Q)
185, 17jca 497 . 2 (𝐴Q → (∅ ⊊ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∧ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ⊊ Q))
19 vex 3354 . . . . 5 𝑦 ∈ V
20 breq1 4790 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 <Q 𝐴𝑦 <Q 𝐴))
2119, 20elab 3502 . . . 4 (𝑦 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ↔ 𝑦 <Q 𝐴)
2210, 6sotri 5665 . . . . . . . . 9 ((𝑧 <Q 𝑦𝑦 <Q 𝐴) → 𝑧 <Q 𝐴)
2322expcom 398 . . . . . . . 8 (𝑦 <Q 𝐴 → (𝑧 <Q 𝑦𝑧 <Q 𝐴))
2423adantl 467 . . . . . . 7 ((𝐴Q𝑦 <Q 𝐴) → (𝑧 <Q 𝑦𝑧 <Q 𝐴))
25 vex 3354 . . . . . . . 8 𝑧 ∈ V
26 breq1 4790 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 <Q 𝐴𝑧 <Q 𝐴))
2725, 26elab 3502 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ↔ 𝑧 <Q 𝐴)
2824, 27syl6ibr 242 . . . . . 6 ((𝐴Q𝑦 <Q 𝐴) → (𝑧 <Q 𝑦𝑧 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴}))
2928alrimiv 2007 . . . . 5 ((𝐴Q𝑦 <Q 𝐴) → ∀𝑧(𝑧 <Q 𝑦𝑧 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴}))
30 ltbtwnnq 10003 . . . . . . . 8 (𝑦 <Q 𝐴 ↔ ∃𝑧(𝑦 <Q 𝑧𝑧 <Q 𝐴))
3127anbi2i 603 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 <Q 𝑧𝑧 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴}) ↔ (𝑦 <Q 𝑧𝑧 <Q 𝐴))
3231biimpri 218 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 <Q 𝑧𝑧 <Q 𝐴) → (𝑦 <Q 𝑧𝑧 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴}))
3332ancomd 453 . . . . . . . . 9 ((𝑦 <Q 𝑧𝑧 <Q 𝐴) → (𝑧 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∧ 𝑦 <Q 𝑧))
3433eximi 1910 . . . . . . . 8 (∃𝑧(𝑦 <Q 𝑧𝑧 <Q 𝐴) → ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∧ 𝑦 <Q 𝑧))
3530, 34sylbi 207 . . . . . . 7 (𝑦 <Q 𝐴 → ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∧ 𝑦 <Q 𝑧))
3635adantl 467 . . . . . 6 ((𝐴Q𝑦 <Q 𝐴) → ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∧ 𝑦 <Q 𝑧))
37 df-rex 3067 . . . . . 6 (∃𝑧 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴}𝑦 <Q 𝑧 ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∧ 𝑦 <Q 𝑧))
3836, 37sylibr 224 . . . . 5 ((𝐴Q𝑦 <Q 𝐴) → ∃𝑧 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴}𝑦 <Q 𝑧)
3929, 38jca 497 . . . 4 ((𝐴Q𝑦 <Q 𝐴) → (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑦𝑧 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴}) ∧ ∃𝑧 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴}𝑦 <Q 𝑧))
4021, 39sylan2b 575 . . 3 ((𝐴Q𝑦 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴}) → (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑦𝑧 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴}) ∧ ∃𝑧 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴}𝑦 <Q 𝑧))
4140ralrimiva 3115 . 2 (𝐴Q → ∀𝑦 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑦𝑧 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴}) ∧ ∃𝑧 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴}𝑦 <Q 𝑧))
42 elnp 10012 . 2 ({𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∈ P ↔ ((∅ ⊊ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∧ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ⊊ Q) ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑦𝑧 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴}) ∧ ∃𝑧 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴}𝑦 <Q 𝑧)))
4318, 41, 42sylanbrc 566 1 (𝐴Q → {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∈ P)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382  wal 1629  wex 1852  wcel 2145  {cab 2757  wne 2943  wral 3061  wrex 3062  wss 3724  wpss 3725  c0 4064   class class class wbr 4787  Qcnq 9877   <Q cltq 9883  Pcnp 9884
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097  ax-inf2 8703
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-pss 3740  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5824  df-ord 5870  df-on 5871  df-lim 5872  df-suc 5873  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-mpt2 6799  df-om 7214  df-1st 7316  df-2nd 7317  df-wrecs 7560  df-recs 7622  df-rdg 7660  df-1o 7714  df-oadd 7718  df-omul 7719  df-er 7897  df-ni 9897  df-pli 9898  df-mi 9899  df-lti 9900  df-plpq 9933  df-mpq 9934  df-ltpq 9935  df-enq 9936  df-nq 9937  df-erq 9938  df-plq 9939  df-mq 9940  df-1nq 9941  df-rq 9942  df-ltnq 9943  df-np 10006
This theorem is referenced by:  1pr  10040
  Copyright terms: Public domain W3C validator