Theorem nqpr 10935

Description: The canonical embedding of the rationals into the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nqpr	⊢ (𝐴 ∈ Q → {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∈ P)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem nqpr

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsmallnq 10898	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑥 𝑥 <Q 𝐴)
2		abn0 4320	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 <Q 𝐴)
3	1, 2	sylibr 235	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Q → {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ≠ ∅)
4		0pss 4382	. . 3 ⊢ (∅ ⊊ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ↔ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ≠ ∅)
5	3, 4	sylibr 235	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∅ ⊊ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴})
6		ltrelnq 10847	. . . . . 6 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
7	6	brel 5690	. . . . 5 ⊢ (𝑥 <Q 𝐴 → (𝑥 ∈ Q ∧ 𝐴 ∈ Q))
8	7	simpld 495	. . . 4 ⊢ (𝑥 <Q 𝐴 → 𝑥 ∈ Q)
9	8	abssi 4006	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ⊆ Q
10		ltsonq 10890	. . . . . 6 ⊢ <Q Or Q
11	10, 6	soirri 6083	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐴 <Q 𝐴
12		breq1 5082	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 <Q 𝐴 ↔ 𝐴 <Q 𝐴))
13	12	elabg 3621	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (𝐴 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ↔ 𝐴 <Q 𝐴))
14	11, 13	mtbiri 328	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ¬ 𝐴 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴})
15	14	ancli 553	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (𝐴 ∈ Q ∧ ¬ 𝐴 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}))
16		ssnelpss 4052	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ⊆ Q → ((𝐴 ∈ Q ∧ ¬ 𝐴 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}) → {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ⊊ Q))
17	9, 15, 16	mpsyl 68	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ⊊ Q)
18		vex 3436	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
19		breq1 5082	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 <Q 𝐴 ↔ 𝑦 <Q 𝐴))
20	18, 19	elab 3624	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ↔ 𝑦 <Q 𝐴)
21	10, 6	sotri 6084	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝑦 <Q 𝐴) → 𝑧 <Q 𝐴)
22	21	expcom 414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 <Q 𝐴 → (𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 <Q 𝐴))
23	22	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 <Q 𝐴) → (𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 <Q 𝐴))
24		vex 3436	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑧 ∈ V
25		breq1 5082	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 <Q 𝐴 ↔ 𝑧 <Q 𝐴))
26	24, 25	elab 3624	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ↔ 𝑧 <Q 𝐴)
27	23, 26	imbitrrdi 253	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 <Q 𝐴) → (𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}))
28	27	alrimiv 1934	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 <Q 𝐴) → ∀𝑧(𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}))
29		ltbtwnnq 10899	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 <Q 𝐴 ↔ ∃𝑧(𝑦 <Q 𝑧 ∧ 𝑧 <Q 𝐴))
30	26	anbi2i 629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 <Q 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}) ↔ (𝑦 <Q 𝑧 ∧ 𝑧 <Q 𝐴))
31	30	biimpri 229	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 <Q 𝑧 ∧ 𝑧 <Q 𝐴) → (𝑦 <Q 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}))
32	31	ancomd 462	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 <Q 𝑧 ∧ 𝑧 <Q 𝐴) → (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∧ 𝑦 <Q 𝑧))
33	32	eximi 1842	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧(𝑦 <Q 𝑧 ∧ 𝑧 <Q 𝐴) → ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∧ 𝑦 <Q 𝑧))
34	29, 33	sylbi 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 <Q 𝐴 → ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∧ 𝑦 <Q 𝑧))
35	34	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 <Q 𝐴) → ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∧ 𝑦 <Q 𝑧))
36		df-rex 3065	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}𝑦 <Q 𝑧 ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∧ 𝑦 <Q 𝑧))
37	35, 36	sylibr 235	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 <Q 𝐴) → ∃𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}𝑦 <Q 𝑧)
38	28, 37	jca 516	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 <Q 𝐴) → (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}) ∧ ∃𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}𝑦 <Q 𝑧))
39	20, 38	sylan2b 600	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}) → (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}) ∧ ∃𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}𝑦 <Q 𝑧))
40	39	ralrimiva 3132	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}) ∧ ∃𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}𝑦 <Q 𝑧))
41		elnp 10908	. 2 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∈ P ↔ ((∅ ⊊ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∧ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ⊊ Q) ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}) ∧ ∃𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}𝑦 <Q 𝑧)))
42	5, 17, 40, 41	syl21anbrc 1351	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q → {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∈ P)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396  ∀wal 1545  ∃wex 1786   ∈ wcel 2119  {cab 2718   ≠ wne 2935  ∀wral 3054  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3890   ⊊ wpss 3891  ∅c0 4268   class class class wbr 5079  Qcnq 10773   <_Q cltq 10779  Pcnp 10780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-oadd 8406  df-omul 8407  df-er 8640  df-ni 10793  df-pli 10794  df-mi 10795  df-lti 10796  df-plpq 10829  df-mpq 10830  df-ltpq 10831  df-enq 10832  df-nq 10833  df-erq 10834  df-plq 10835  df-mq 10836  df-1nq 10837  df-rq 10838  df-ltnq 10839  df-np 10902

This theorem is referenced by:  1pr  10936