MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nqpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nqpr 11009
Description: The canonical embedding of the rationals into the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nqpr (𝐴Q → {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∈ P)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem nqpr
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nsmallnq 10972 . . . 4 (𝐴Q → ∃𝑥 𝑥 <Q 𝐴)
2 abn0 4381 . . . 4 ({𝑥𝑥 <Q 𝐴} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 <Q 𝐴)
31, 2sylibr 233 . . 3 (𝐴Q → {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ≠ ∅)
4 0pss 4445 . . 3 (∅ ⊊ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ↔ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ≠ ∅)
53, 4sylibr 233 . 2 (𝐴Q → ∅ ⊊ {𝑥𝑥 <Q 𝐴})
6 ltrelnq 10921 . . . . . 6 <Q ⊆ (Q × Q)
76brel 5742 . . . . 5 (𝑥 <Q 𝐴 → (𝑥Q𝐴Q))
87simpld 496 . . . 4 (𝑥 <Q 𝐴𝑥Q)
98abssi 4068 . . 3 {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ⊆ Q
10 ltsonq 10964 . . . . . 6 <Q Or Q
1110, 6soirri 6128 . . . . 5 ¬ 𝐴 <Q 𝐴
12 breq1 5152 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 <Q 𝐴𝐴 <Q 𝐴))
1312elabg 3667 . . . . 5 (𝐴Q → (𝐴 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ↔ 𝐴 <Q 𝐴))
1411, 13mtbiri 327 . . . 4 (𝐴Q → ¬ 𝐴 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴})
1514ancli 550 . . 3 (𝐴Q → (𝐴Q ∧ ¬ 𝐴 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴}))
16 ssnelpss 4112 . . 3 ({𝑥𝑥 <Q 𝐴} ⊆ Q → ((𝐴Q ∧ ¬ 𝐴 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴}) → {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ⊊ Q))
179, 15, 16mpsyl 68 . 2 (𝐴Q → {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ⊊ Q)
18 vex 3479 . . . . 5 𝑦 ∈ V
19 breq1 5152 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 <Q 𝐴𝑦 <Q 𝐴))
2018, 19elab 3669 . . . 4 (𝑦 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ↔ 𝑦 <Q 𝐴)
2110, 6sotri 6129 . . . . . . . . 9 ((𝑧 <Q 𝑦𝑦 <Q 𝐴) → 𝑧 <Q 𝐴)
2221expcom 415 . . . . . . . 8 (𝑦 <Q 𝐴 → (𝑧 <Q 𝑦𝑧 <Q 𝐴))
2322adantl 483 . . . . . . 7 ((𝐴Q𝑦 <Q 𝐴) → (𝑧 <Q 𝑦𝑧 <Q 𝐴))
24 vex 3479 . . . . . . . 8 𝑧 ∈ V
25 breq1 5152 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 <Q 𝐴𝑧 <Q 𝐴))
2624, 25elab 3669 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ↔ 𝑧 <Q 𝐴)
2723, 26imbitrrdi 251 . . . . . 6 ((𝐴Q𝑦 <Q 𝐴) → (𝑧 <Q 𝑦𝑧 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴}))
2827alrimiv 1931 . . . . 5 ((𝐴Q𝑦 <Q 𝐴) → ∀𝑧(𝑧 <Q 𝑦𝑧 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴}))
29 ltbtwnnq 10973 . . . . . . . 8 (𝑦 <Q 𝐴 ↔ ∃𝑧(𝑦 <Q 𝑧𝑧 <Q 𝐴))
3026anbi2i 624 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 <Q 𝑧𝑧 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴}) ↔ (𝑦 <Q 𝑧𝑧 <Q 𝐴))
3130biimpri 227 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 <Q 𝑧𝑧 <Q 𝐴) → (𝑦 <Q 𝑧𝑧 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴}))
3231ancomd 463 . . . . . . . . 9 ((𝑦 <Q 𝑧𝑧 <Q 𝐴) → (𝑧 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∧ 𝑦 <Q 𝑧))
3332eximi 1838 . . . . . . . 8 (∃𝑧(𝑦 <Q 𝑧𝑧 <Q 𝐴) → ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∧ 𝑦 <Q 𝑧))
3429, 33sylbi 216 . . . . . . 7 (𝑦 <Q 𝐴 → ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∧ 𝑦 <Q 𝑧))
3534adantl 483 . . . . . 6 ((𝐴Q𝑦 <Q 𝐴) → ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∧ 𝑦 <Q 𝑧))
36 df-rex 3072 . . . . . 6 (∃𝑧 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴}𝑦 <Q 𝑧 ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∧ 𝑦 <Q 𝑧))
3735, 36sylibr 233 . . . . 5 ((𝐴Q𝑦 <Q 𝐴) → ∃𝑧 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴}𝑦 <Q 𝑧)
3828, 37jca 513 . . . 4 ((𝐴Q𝑦 <Q 𝐴) → (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑦𝑧 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴}) ∧ ∃𝑧 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴}𝑦 <Q 𝑧))
3920, 38sylan2b 595 . . 3 ((𝐴Q𝑦 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴}) → (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑦𝑧 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴}) ∧ ∃𝑧 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴}𝑦 <Q 𝑧))
4039ralrimiva 3147 . 2 (𝐴Q → ∀𝑦 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑦𝑧 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴}) ∧ ∃𝑧 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴}𝑦 <Q 𝑧))
41 elnp 10982 . 2 ({𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∈ P ↔ ((∅ ⊊ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∧ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ⊊ Q) ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑦𝑧 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴}) ∧ ∃𝑧 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴}𝑦 <Q 𝑧)))
425, 17, 40, 41syl21anbrc 1345 1 (𝐴Q → {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∈ P)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397  wal 1540  wex 1782  wcel 2107  {cab 2710  wne 2941  wral 3062  wrex 3071  wss 3949  wpss 3950  c0 4323   class class class wbr 5149  Qcnq 10847   <Q cltq 10853  Pcnp 10854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-ni 10867  df-pli 10868  df-mi 10869  df-lti 10870  df-plpq 10903  df-mpq 10904  df-ltpq 10905  df-enq 10906  df-nq 10907  df-erq 10908  df-plq 10909  df-mq 10910  df-1nq 10911  df-rq 10912  df-ltnq 10913  df-np 10976
This theorem is referenced by:  1pr  11010
  Copyright terms: Public domain W3C validator