Theorem nqpr 10965

Description: The canonical embedding of the rationals into the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nqpr	⊢ (𝐴 ∈ Q → {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∈ P)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem nqpr

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsmallnq 10928	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑥 𝑥 <Q 𝐴)
2		abn0 4335	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 <Q 𝐴)
3	1, 2	sylibr 236	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Q → {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ≠ ∅)
4		0pss 4398	. . 3 ⊢ (∅ ⊊ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ↔ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ≠ ∅)
5	3, 4	sylibr 236	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∅ ⊊ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴})
6		ltrelnq 10877	. . . . . 6 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
7	6	brel 5708	. . . . 5 ⊢ (𝑥 <Q 𝐴 → (𝑥 ∈ Q ∧ 𝐴 ∈ Q))
8	7	simpld 498	. . . 4 ⊢ (𝑥 <Q 𝐴 → 𝑥 ∈ Q)
9	8	abssi 4019	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ⊆ Q
10		ltsonq 10920	. . . . . 6 ⊢ <Q Or Q
11	10, 6	soirri 6108	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐴 <Q 𝐴
12		breq1 5100	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 <Q 𝐴 ↔ 𝐴 <Q 𝐴))
13	12	elabg 3634	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (𝐴 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ↔ 𝐴 <Q 𝐴))
14	11, 13	mtbiri 329	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ¬ 𝐴 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴})
15	14	ancli 556	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (𝐴 ∈ Q ∧ ¬ 𝐴 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}))
16		ssnelpss 4066	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ⊆ Q → ((𝐴 ∈ Q ∧ ¬ 𝐴 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}) → {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ⊊ Q))
17	9, 15, 16	mpsyl 68	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ⊊ Q)
18		vex 3457	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
19		breq1 5100	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 <Q 𝐴 ↔ 𝑦 <Q 𝐴))
20	18, 19	elab 3637	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ↔ 𝑦 <Q 𝐴)
21	10, 6	sotri 6109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝑦 <Q 𝐴) → 𝑧 <Q 𝐴)
22	21	expcom 417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 <Q 𝐴 → (𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 <Q 𝐴))
23	22	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 <Q 𝐴) → (𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 <Q 𝐴))
24		vex 3457	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑧 ∈ V
25		breq1 5100	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 <Q 𝐴 ↔ 𝑧 <Q 𝐴))
26	24, 25	elab 3637	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ↔ 𝑧 <Q 𝐴)
27	23, 26	imbitrrdi 254	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 <Q 𝐴) → (𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}))
28	27	alrimiv 1946	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 <Q 𝐴) → ∀𝑧(𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}))
29		ltbtwnnq 10929	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 <Q 𝐴 ↔ ∃𝑧(𝑦 <Q 𝑧 ∧ 𝑧 <Q 𝐴))
30	26	anbi2i 632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 <Q 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}) ↔ (𝑦 <Q 𝑧 ∧ 𝑧 <Q 𝐴))
31	30	biimpri 230	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 <Q 𝑧 ∧ 𝑧 <Q 𝐴) → (𝑦 <Q 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}))
32	31	ancomd 465	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 <Q 𝑧 ∧ 𝑧 <Q 𝐴) → (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∧ 𝑦 <Q 𝑧))
33	32	eximi 1854	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧(𝑦 <Q 𝑧 ∧ 𝑧 <Q 𝐴) → ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∧ 𝑦 <Q 𝑧))
34	29, 33	sylbi 219	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 <Q 𝐴 → ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∧ 𝑦 <Q 𝑧))
35	34	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 <Q 𝐴) → ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∧ 𝑦 <Q 𝑧))
36		df-rex 3086	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}𝑦 <Q 𝑧 ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∧ 𝑦 <Q 𝑧))
37	35, 36	sylibr 236	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 <Q 𝐴) → ∃𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}𝑦 <Q 𝑧)
38	28, 37	jca 519	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 <Q 𝐴) → (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}) ∧ ∃𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}𝑦 <Q 𝑧))
39	20, 38	sylan2b 603	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}) → (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}) ∧ ∃𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}𝑦 <Q 𝑧))
40	39	ralrimiva 3153	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}) ∧ ∃𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}𝑦 <Q 𝑧))
41		elnp 10938	. 2 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∈ P ↔ ((∅ ⊊ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∧ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ⊊ Q) ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}) ∧ ∃𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}𝑦 <Q 𝑧)))
42	5, 17, 40, 41	syl21anbrc 1357	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q → {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∈ P)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399  ∀wal 1557  ∃wex 1798   ∈ wcel 2141  {cab 2739   ≠ wne 2956  ∀wral 3075  ∃wrex 3085   ⊆ wss 3902   ⊊ wpss 3903  ∅c0 4283   class class class wbr 5097  Qcnq 10803   <_Q cltq 10809  Pcnp 10810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-inf2 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-oadd 8434  df-omul 8435  df-er 8671  df-ni 10823  df-pli 10824  df-mi 10825  df-lti 10826  df-plpq 10859  df-mpq 10860  df-ltpq 10861  df-enq 10862  df-nq 10863  df-erq 10864  df-plq 10865  df-mq 10866  df-1nq 10867  df-rq 10868  df-ltnq 10869  df-np 10932

This theorem is referenced by:  1pr  10966