Theorem nqpr 10770

Description: The canonical embedding of the rationals into the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nqpr	⊢ (𝐴 ∈ Q → {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∈ P)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem nqpr

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsmallnq 10733	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑥 𝑥 <Q 𝐴)
2		abn0 4314	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 <Q 𝐴)
3	1, 2	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Q → {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ≠ ∅)
4		0pss 4378	. . 3 ⊢ (∅ ⊊ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ↔ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ≠ ∅)
5	3, 4	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∅ ⊊ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴})
6		ltrelnq 10682	. . . . . 6 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
7	6	brel 5652	. . . . 5 ⊢ (𝑥 <Q 𝐴 → (𝑥 ∈ Q ∧ 𝐴 ∈ Q))
8	7	simpld 495	. . . 4 ⊢ (𝑥 <Q 𝐴 → 𝑥 ∈ Q)
9	8	abssi 4003	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ⊆ Q
10		ltsonq 10725	. . . . . 6 ⊢ <Q Or Q
11	10, 6	soirri 6031	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐴 <Q 𝐴
12		breq1 5077	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 <Q 𝐴 ↔ 𝐴 <Q 𝐴))
13	12	elabg 3607	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (𝐴 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ↔ 𝐴 <Q 𝐴))
14	11, 13	mtbiri 327	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ¬ 𝐴 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴})
15	14	ancli 549	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (𝐴 ∈ Q ∧ ¬ 𝐴 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}))
16		ssnelpss 4046	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ⊆ Q → ((𝐴 ∈ Q ∧ ¬ 𝐴 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}) → {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ⊊ Q))
17	9, 15, 16	mpsyl 68	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ⊊ Q)
18		vex 3436	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
19		breq1 5077	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 <Q 𝐴 ↔ 𝑦 <Q 𝐴))
20	18, 19	elab 3609	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ↔ 𝑦 <Q 𝐴)
21	10, 6	sotri 6032	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝑦 <Q 𝐴) → 𝑧 <Q 𝐴)
22	21	expcom 414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 <Q 𝐴 → (𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 <Q 𝐴))
23	22	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 <Q 𝐴) → (𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 <Q 𝐴))
24		vex 3436	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑧 ∈ V
25		breq1 5077	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 <Q 𝐴 ↔ 𝑧 <Q 𝐴))
26	24, 25	elab 3609	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ↔ 𝑧 <Q 𝐴)
27	23, 26	syl6ibr 251	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 <Q 𝐴) → (𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}))
28	27	alrimiv 1930	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 <Q 𝐴) → ∀𝑧(𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}))
29		ltbtwnnq 10734	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 <Q 𝐴 ↔ ∃𝑧(𝑦 <Q 𝑧 ∧ 𝑧 <Q 𝐴))
30	26	anbi2i 623	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 <Q 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}) ↔ (𝑦 <Q 𝑧 ∧ 𝑧 <Q 𝐴))
31	30	biimpri 227	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 <Q 𝑧 ∧ 𝑧 <Q 𝐴) → (𝑦 <Q 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}))
32	31	ancomd 462	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 <Q 𝑧 ∧ 𝑧 <Q 𝐴) → (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∧ 𝑦 <Q 𝑧))
33	32	eximi 1837	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧(𝑦 <Q 𝑧 ∧ 𝑧 <Q 𝐴) → ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∧ 𝑦 <Q 𝑧))
34	29, 33	sylbi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 <Q 𝐴 → ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∧ 𝑦 <Q 𝑧))
35	34	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 <Q 𝐴) → ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∧ 𝑦 <Q 𝑧))
36		df-rex 3070	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}𝑦 <Q 𝑧 ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∧ 𝑦 <Q 𝑧))
37	35, 36	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 <Q 𝐴) → ∃𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}𝑦 <Q 𝑧)
38	28, 37	jca 512	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 <Q 𝐴) → (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}) ∧ ∃𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}𝑦 <Q 𝑧))
39	20, 38	sylan2b 594	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}) → (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}) ∧ ∃𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}𝑦 <Q 𝑧))
40	39	ralrimiva 3103	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}) ∧ ∃𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}𝑦 <Q 𝑧))
41		elnp 10743	. 2 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∈ P ↔ ((∅ ⊊ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∧ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ⊊ Q) ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}) ∧ ∃𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}𝑦 <Q 𝑧)))
42	5, 17, 40, 41	syl21anbrc 1343	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q → {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∈ P)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396  ∀wal 1537  ∃wex 1782   ∈ wcel 2106  {cab 2715   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3887   ⊊ wpss 3888  ∅c0 4256   class class class wbr 5074  Qcnq 10608   <_Q cltq 10614  Pcnp 10615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-omul 8302  df-er 8498  df-ni 10628  df-pli 10629  df-mi 10630  df-lti 10631  df-plpq 10664  df-mpq 10665  df-ltpq 10666  df-enq 10667  df-nq 10668  df-erq 10669  df-plq 10670  df-mq 10671  df-1nq 10672  df-rq 10673  df-ltnq 10674  df-np 10737

This theorem is referenced by:  1pr  10771