MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nqpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nqpr 11039
Description: The canonical embedding of the rationals into the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nqpr (𝐴Q → {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∈ P)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem nqpr
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nsmallnq 11002 . . . 4 (𝐴Q → ∃𝑥 𝑥 <Q 𝐴)
2 abn0 4382 . . . 4 ({𝑥𝑥 <Q 𝐴} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 <Q 𝐴)
31, 2sylibr 233 . . 3 (𝐴Q → {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ≠ ∅)
4 0pss 4446 . . 3 (∅ ⊊ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ↔ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ≠ ∅)
53, 4sylibr 233 . 2 (𝐴Q → ∅ ⊊ {𝑥𝑥 <Q 𝐴})
6 ltrelnq 10951 . . . . . 6 <Q ⊆ (Q × Q)
76brel 5743 . . . . 5 (𝑥 <Q 𝐴 → (𝑥Q𝐴Q))
87simpld 493 . . . 4 (𝑥 <Q 𝐴𝑥Q)
98abssi 4063 . . 3 {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ⊆ Q
10 ltsonq 10994 . . . . . 6 <Q Or Q
1110, 6soirri 6133 . . . . 5 ¬ 𝐴 <Q 𝐴
12 breq1 5152 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 <Q 𝐴𝐴 <Q 𝐴))
1312elabg 3662 . . . . 5 (𝐴Q → (𝐴 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ↔ 𝐴 <Q 𝐴))
1411, 13mtbiri 326 . . . 4 (𝐴Q → ¬ 𝐴 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴})
1514ancli 547 . . 3 (𝐴Q → (𝐴Q ∧ ¬ 𝐴 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴}))
16 ssnelpss 4107 . . 3 ({𝑥𝑥 <Q 𝐴} ⊆ Q → ((𝐴Q ∧ ¬ 𝐴 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴}) → {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ⊊ Q))
179, 15, 16mpsyl 68 . 2 (𝐴Q → {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ⊊ Q)
18 vex 3465 . . . . 5 𝑦 ∈ V
19 breq1 5152 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 <Q 𝐴𝑦 <Q 𝐴))
2018, 19elab 3664 . . . 4 (𝑦 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ↔ 𝑦 <Q 𝐴)
2110, 6sotri 6134 . . . . . . . . 9 ((𝑧 <Q 𝑦𝑦 <Q 𝐴) → 𝑧 <Q 𝐴)
2221expcom 412 . . . . . . . 8 (𝑦 <Q 𝐴 → (𝑧 <Q 𝑦𝑧 <Q 𝐴))
2322adantl 480 . . . . . . 7 ((𝐴Q𝑦 <Q 𝐴) → (𝑧 <Q 𝑦𝑧 <Q 𝐴))
24 vex 3465 . . . . . . . 8 𝑧 ∈ V
25 breq1 5152 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 <Q 𝐴𝑧 <Q 𝐴))
2624, 25elab 3664 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ↔ 𝑧 <Q 𝐴)
2723, 26imbitrrdi 251 . . . . . 6 ((𝐴Q𝑦 <Q 𝐴) → (𝑧 <Q 𝑦𝑧 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴}))
2827alrimiv 1922 . . . . 5 ((𝐴Q𝑦 <Q 𝐴) → ∀𝑧(𝑧 <Q 𝑦𝑧 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴}))
29 ltbtwnnq 11003 . . . . . . . 8 (𝑦 <Q 𝐴 ↔ ∃𝑧(𝑦 <Q 𝑧𝑧 <Q 𝐴))
3026anbi2i 621 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 <Q 𝑧𝑧 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴}) ↔ (𝑦 <Q 𝑧𝑧 <Q 𝐴))
3130biimpri 227 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 <Q 𝑧𝑧 <Q 𝐴) → (𝑦 <Q 𝑧𝑧 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴}))
3231ancomd 460 . . . . . . . . 9 ((𝑦 <Q 𝑧𝑧 <Q 𝐴) → (𝑧 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∧ 𝑦 <Q 𝑧))
3332eximi 1829 . . . . . . . 8 (∃𝑧(𝑦 <Q 𝑧𝑧 <Q 𝐴) → ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∧ 𝑦 <Q 𝑧))
3429, 33sylbi 216 . . . . . . 7 (𝑦 <Q 𝐴 → ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∧ 𝑦 <Q 𝑧))
3534adantl 480 . . . . . 6 ((𝐴Q𝑦 <Q 𝐴) → ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∧ 𝑦 <Q 𝑧))
36 df-rex 3060 . . . . . 6 (∃𝑧 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴}𝑦 <Q 𝑧 ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∧ 𝑦 <Q 𝑧))
3735, 36sylibr 233 . . . . 5 ((𝐴Q𝑦 <Q 𝐴) → ∃𝑧 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴}𝑦 <Q 𝑧)
3828, 37jca 510 . . . 4 ((𝐴Q𝑦 <Q 𝐴) → (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑦𝑧 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴}) ∧ ∃𝑧 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴}𝑦 <Q 𝑧))
3920, 38sylan2b 592 . . 3 ((𝐴Q𝑦 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴}) → (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑦𝑧 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴}) ∧ ∃𝑧 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴}𝑦 <Q 𝑧))
4039ralrimiva 3135 . 2 (𝐴Q → ∀𝑦 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑦𝑧 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴}) ∧ ∃𝑧 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴}𝑦 <Q 𝑧))
41 elnp 11012 . 2 ({𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∈ P ↔ ((∅ ⊊ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∧ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ⊊ Q) ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑦𝑧 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴}) ∧ ∃𝑧 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴}𝑦 <Q 𝑧)))
425, 17, 40, 41syl21anbrc 1341 1 (𝐴Q → {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∈ P)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394  wal 1531  wex 1773  wcel 2098  {cab 2702  wne 2929  wral 3050  wrex 3059  wss 3944  wpss 3945  c0 4322   class class class wbr 5149  Qcnq 10877   <Q cltq 10883  Pcnp 10884
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8725  df-ni 10897  df-pli 10898  df-mi 10899  df-lti 10900  df-plpq 10933  df-mpq 10934  df-ltpq 10935  df-enq 10936  df-nq 10937  df-erq 10938  df-plq 10939  df-mq 10940  df-1nq 10941  df-rq 10942  df-ltnq 10943  df-np 11006
This theorem is referenced by:  1pr  11040
  Copyright terms: Public domain W3C validator