Theorem nqpr 11103

Description: The canonical embedding of the rationals into the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nqpr	⊢ (𝐴 ∈ Q → {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∈ P)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem nqpr

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsmallnq 11066	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑥 𝑥 <Q 𝐴)
2		abn0 4333	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 <Q 𝐴)
3	1, 2	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Q → {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ≠ ∅)
4		0pss 4359	. . 3 ⊢ (∅ ⊊ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ↔ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ≠ ∅)
5	3, 4	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∅ ⊊ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴})
6		ltrelnq 11015	. . . . . 6 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
7	6	brel 5715	. . . . 5 ⊢ (𝑥 <Q 𝐴 → (𝑥 ∈ Q ∧ 𝐴 ∈ Q))
8	7	simpld 500	. . . 4 ⊢ (𝑥 <Q 𝐴 → 𝑥 ∈ Q)
9	8	abssi 3993	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ⊆ Q
10		ltsonq 11058	. . . . . 6 ⊢ <Q Or Q
11	10, 6	soirri 6119	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐴 <Q 𝐴
12		breq1 5105	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 <Q 𝐴 ↔ 𝐴 <Q 𝐴))
13	12	elabg 3629	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (𝐴 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ↔ 𝐴 <Q 𝐴))
14	11, 13	mtbiri 330	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ¬ 𝐴 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴})
15	14	ancli 558	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (𝐴 ∈ Q ∧ ¬ 𝐴 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}))
16		ssnelpss 4042	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ⊆ Q → ((𝐴 ∈ Q ∧ ¬ 𝐴 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}) → {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ⊊ Q))
17	9, 15, 16	mpsyl 69	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ⊊ Q)
18		vex 3454	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
19		breq1 5105	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 <Q 𝐴 ↔ 𝑦 <Q 𝐴))
20	18, 19	elab 3632	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ↔ 𝑦 <Q 𝐴)
21	10, 6	sotri 6120	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝑦 <Q 𝐴) → 𝑧 <Q 𝐴)
22	21	expcom 419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 <Q 𝐴 → (𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 <Q 𝐴))
23	22	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 <Q 𝐴) → (𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 <Q 𝐴))
24		vex 3454	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑧 ∈ V
25		breq1 5105	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 <Q 𝐴 ↔ 𝑧 <Q 𝐴))
26	24, 25	elab 3632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ↔ 𝑧 <Q 𝐴)
27	23, 26	imbitrrdi 255	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 <Q 𝐴) → (𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}))
28	27	alrimiv 1959	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 <Q 𝐴) → ∀𝑧(𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}))
29		ltbtwnnq 11067	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 <Q 𝐴 ↔ ∃𝑧(𝑦 <Q 𝑧 ∧ 𝑧 <Q 𝐴))
30	26	anbi2i 635	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 <Q 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}) ↔ (𝑦 <Q 𝑧 ∧ 𝑧 <Q 𝐴))
31	30	biimpri 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 <Q 𝑧 ∧ 𝑧 <Q 𝐴) → (𝑦 <Q 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}))
32	31	ancomd 467	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 <Q 𝑧 ∧ 𝑧 <Q 𝐴) → (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∧ 𝑦 <Q 𝑧))
33	32	eximi 1867	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧(𝑦 <Q 𝑧 ∧ 𝑧 <Q 𝐴) → ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∧ 𝑦 <Q 𝑧))
34	29, 33	sylbi 220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 <Q 𝐴 → ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∧ 𝑦 <Q 𝑧))
35	34	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 <Q 𝐴) → ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∧ 𝑦 <Q 𝑧))
36		df-rex 3087	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}𝑦 <Q 𝑧 ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∧ 𝑦 <Q 𝑧))
37	35, 36	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 <Q 𝐴) → ∃𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}𝑦 <Q 𝑧)
38	28, 37	jca 521	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 <Q 𝐴) → (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}) ∧ ∃𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}𝑦 <Q 𝑧))
39	20, 38	sylan2b 606	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}) → (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}) ∧ ∃𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}𝑦 <Q 𝑧))
40	39	ralrimiva 3154	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}) ∧ ∃𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}𝑦 <Q 𝑧))
41		elnp 11076	. 2 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∈ P ↔ ((∅ ⊊ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∧ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ⊊ Q) ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}) ∧ ∃𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}𝑦 <Q 𝑧)))
42	5, 17, 40, 41	syl21anbrc 1363	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q → {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∈ P)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401  ∀wal 1567  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144  {cab 2738   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3895   ⊊ wpss 4013  ∅c0 4278   class class class wbr 5102  Qcnq 10941   <_Q cltq 10947  Pcnp 10948

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-inf2 9646

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8721  df-ni 10961  df-pli 10962  df-mi 10963  df-lti 10964  df-plpq 10997  df-mpq 10998  df-ltpq 10999  df-enq 11000  df-nq 11001  df-erq 11002  df-plq 11003  df-mq 11004  df-1nq 11005  df-rq 11006  df-ltnq 11007  df-np 11070

This theorem is used by:  1pr  11104