Theorem reclem2pr 10316

Description: Lemma for Proposition 9-3.7 of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 30-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
reclempr.1	⊢ 𝐵 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)}

Assertion

Ref	Expression
reclem2pr	⊢ (𝐴 ∈ P → 𝐵 ∈ P)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem reclem2pr

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prpssnq 10258	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ P → 𝐴 ⊊ Q)
2		pssnel 4334	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊊ Q → ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴))
3		recclnq 10234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ Q → (*Q‘𝑥) ∈ Q)
4		nsmallnq 10245	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((*Q‘𝑥) ∈ Q → ∃𝑧 𝑧 <Q (*Q‘𝑥))
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ Q → ∃𝑧 𝑧 <Q (*Q‘𝑥))
6	5	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑧 𝑧 <Q (*Q‘𝑥))
7		recrecnq 10235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ Q → (*Q‘(*Q‘𝑥)) = 𝑥)
8	7	eleq1d 2867	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ Q → ((*Q‘(*Q‘𝑥)) ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
9	8	notbid 319	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ Q → (¬ (*Q‘(*Q‘𝑥)) ∈ 𝐴 ↔ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴))
10	9	anbi2d 628	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ Q → ((𝑧 <Q (*Q‘𝑥) ∧ ¬ (*Q‘(*Q‘𝑥)) ∈ 𝐴) ↔ (𝑧 <Q (*Q‘𝑥) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)))
11		fvex 6551	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (*Q‘𝑥) ∈ V
12		breq2 4966	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = (*Q‘𝑥) → (𝑧 <Q 𝑦 ↔ 𝑧 <Q (*Q‘𝑥)))
13		fveq2 6538	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = (*Q‘𝑥) → (*Q‘𝑦) = (*Q‘(*Q‘𝑥)))
14	13	eleq1d 2867	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = (*Q‘𝑥) → ((*Q‘𝑦) ∈ 𝐴 ↔ (*Q‘(*Q‘𝑥)) ∈ 𝐴))
15	14	notbid 319	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = (*Q‘𝑥) → (¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴 ↔ ¬ (*Q‘(*Q‘𝑥)) ∈ 𝐴))
16	12, 15	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = (*Q‘𝑥) → ((𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) ↔ (𝑧 <Q (*Q‘𝑥) ∧ ¬ (*Q‘(*Q‘𝑥)) ∈ 𝐴)))
17	11, 16	spcev 3549	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 <Q (*Q‘𝑥) ∧ ¬ (*Q‘(*Q‘𝑥)) ∈ 𝐴) → ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴))
18	10, 17	syl6bir 255	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ Q → ((𝑧 <Q (*Q‘𝑥) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)))
19		vex 3440	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑧 ∈ V
20		breq1 4965	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ 𝑧 <Q 𝑦))
21	20	anbi1d 629	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) ↔ (𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)))
22	21	exbidv 1899	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)))
23		reclempr.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)}
24	19, 22, 23	elab2 3608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴))
25	18, 24	syl6ibr 253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ Q → ((𝑧 <Q (*Q‘𝑥) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐵))
26	25	expcomd 417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ Q → (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑧 <Q (*Q‘𝑥) → 𝑧 ∈ 𝐵)))
27	26	imp 407	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑧 <Q (*Q‘𝑥) → 𝑧 ∈ 𝐵))
28	27	eximdv 1895	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑧 𝑧 <Q (*Q‘𝑥) → ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐵))
29	6, 28	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐵)
30		n0 4230	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐵)
31	29, 30	sylibr 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ ∅)
32	31	exlimiv 1908	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ ∅)
33	1, 2, 32	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ P → 𝐵 ≠ ∅)
34		0pss 4310	. . . 4 ⊢ (∅ ⊊ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅)
35	33, 34	sylibr 235	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ P → ∅ ⊊ 𝐵)
36		prn0 10257	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ P → 𝐴 ≠ ∅)
37		elprnq 10259	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ Q)
38		recrecnq 10235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ Q → (*Q‘(*Q‘𝑧)) = 𝑧)
39	38	eleq1d 2867	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ Q → ((*Q‘(*Q‘𝑧)) ∈ 𝐴 ↔ 𝑧 ∈ 𝐴))
40	39	anbi2d 628	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ Q → ((𝐴 ∈ P ∧ (*Q‘(*Q‘𝑧)) ∈ 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)))
41	37, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∈ P ∧ (*Q‘(*Q‘𝑧)) ∈ 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)))
42		fvex 6551	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (*Q‘𝑧) ∈ V
43		fveq2 6538	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (*Q‘𝑧) → (*Q‘𝑥) = (*Q‘(*Q‘𝑧)))
44	43	eleq1d 2867	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (*Q‘𝑧) → ((*Q‘𝑥) ∈ 𝐴 ↔ (*Q‘(*Q‘𝑧)) ∈ 𝐴))
45	44	anbi2d 628	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (*Q‘𝑧) → ((𝐴 ∈ P ∧ (*Q‘𝑥) ∈ 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ P ∧ (*Q‘(*Q‘𝑧)) ∈ 𝐴)))
46	42, 45	spcev 3549	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ (*Q‘(*Q‘𝑧)) ∈ 𝐴) → ∃𝑥(𝐴 ∈ P ∧ (*Q‘𝑥) ∈ 𝐴))
47	41, 46	syl6bir 255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ∃𝑥(𝐴 ∈ P ∧ (*Q‘𝑥) ∈ 𝐴)))
48	47	pm2.43i 52	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ∃𝑥(𝐴 ∈ P ∧ (*Q‘𝑥) ∈ 𝐴))
49		elprnq 10259	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ (*Q‘𝑥) ∈ 𝐴) → (*Q‘𝑥) ∈ Q)
50		dmrecnq 10236	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ dom *Q = Q
51		0nnq 10192	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ ∅ ∈ Q
52	50, 51	ndmfvrcl 6569	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((*Q‘𝑥) ∈ Q → 𝑥 ∈ Q)
53	49, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ (*Q‘𝑥) ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ Q)
54		ltrnq 10247	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (*Q‘𝑦) <Q (*Q‘𝑥))
55		prcdnq 10261	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ (*Q‘𝑥) ∈ 𝐴) → ((*Q‘𝑦) <Q (*Q‘𝑥) → (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴))
56	54, 55	syl5bi 243	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ (*Q‘𝑥) ∈ 𝐴) → (𝑥 <Q 𝑦 → (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴))
57	56	alrimiv 1905	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ (*Q‘𝑥) ∈ 𝐴) → ∀𝑦(𝑥 <Q 𝑦 → (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴))
58	23	abeq2i 2917	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴))
59		exanali 1840	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) ↔ ¬ ∀𝑦(𝑥 <Q 𝑦 → (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴))
60	58, 59	bitri 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ ¬ ∀𝑦(𝑥 <Q 𝑦 → (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴))
61	60	con2bii 359	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑦(𝑥 <Q 𝑦 → (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) ↔ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)
62	57, 61	sylib 219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ (*Q‘𝑥) ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)
63	53, 62	jca 512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ (*Q‘𝑥) ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ Q ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
64	63	eximi 1816	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑥(𝐴 ∈ P ∧ (*Q‘𝑥) ∈ 𝐴) → ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
65	48, 64	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
66	65	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝑧 ∈ 𝐴 → ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)))
67	66	exlimdv 1911	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ P → (∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴 → ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)))
68		n0 4230	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴)
69		nss 3950	. . . . . . 7 ⊢ (¬ Q ⊆ 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
70	67, 68, 69	3imtr4g 297	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐴 ≠ ∅ → ¬ Q ⊆ 𝐵))
71	36, 70	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ P → ¬ Q ⊆ 𝐵)
72		ltrelnq 10194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
73	72	brel 5503	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 <Q 𝑦 → (𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q))
74	73	simpld 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 <Q 𝑦 → 𝑥 ∈ Q)
75	74	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ Q)
76	75	exlimiv 1908	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ Q)
77	58, 76	sylbi 218	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ Q)
78	77	ssriv 3893	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ⊆ Q
79	71, 78	jctil 520	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐵 ⊆ Q ∧ ¬ Q ⊆ 𝐵))
80		dfpss3 3984	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊊ Q ↔ (𝐵 ⊆ Q ∧ ¬ Q ⊆ 𝐵))
81	79, 80	sylibr 235	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ P → 𝐵 ⊊ Q)
82	35, 81	jca 512	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ P → (∅ ⊊ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊊ Q))
83		ltsonq 10237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ <Q Or Q
84	83, 72	sotri 5863	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝑦) → 𝑧 <Q 𝑦)
85	84	ex 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 <Q 𝑥 → (𝑥 <Q 𝑦 → 𝑧 <Q 𝑦))
86	85	anim1d 610	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 <Q 𝑥 → ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) → (𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)))
87	86	eximdv 1895	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 <Q 𝑥 → (∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) → ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)))
88	87, 58, 24	3imtr4g 297	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 <Q 𝑥 → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑧 ∈ 𝐵))
89	88	com12 32	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑧 <Q 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝐵))
90	89	alrimiv 1905	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → ∀𝑧(𝑧 <Q 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝐵))
91		nfe1 2120	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)
92	91	nfab 2955	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦{𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)}
93	23, 92	nfcxfr 2947	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
94		nfv 1892	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 <Q 𝑧
95	93, 94	nfrex 3271	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 <Q 𝑧
96		19.8a 2144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) → ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴))
97	96, 24	sylibr 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐵)
98	97	adantll 710	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 <Q 𝑧 ∧ 𝑧 <Q 𝑦) ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐵)
99		simpll 763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 <Q 𝑧 ∧ 𝑧 <Q 𝑦) ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) → 𝑥 <Q 𝑧)
100	98, 99	jca 512	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 <Q 𝑧 ∧ 𝑧 <Q 𝑦) ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧))
101	100	expcom 414	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴 → ((𝑥 <Q 𝑧 ∧ 𝑧 <Q 𝑦) → (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))
102	101	eximdv 1895	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴 → (∃𝑧(𝑥 <Q 𝑧 ∧ 𝑧 <Q 𝑦) → ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))
103		ltbtwnnq 10246	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 <Q 𝑦 ↔ ∃𝑧(𝑥 <Q 𝑧 ∧ 𝑧 <Q 𝑦))
104		df-rex 3111	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 <Q 𝑧 ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧))
105	102, 103, 104	3imtr4g 297	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴 → (𝑥 <Q 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 <Q 𝑧))
106	105	impcom 408	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 <Q 𝑧)
107	95, 106	exlimi 2182	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 <Q 𝑧)
108	58, 107	sylbi 218	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 <Q 𝑧)
109	90, 108	jca 512	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 <Q 𝑧))
110	109	rgen 3115	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 <Q 𝑧)
111		elnp 10255	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ P ↔ ((∅ ⊊ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊊ Q) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 <Q 𝑧)))
112	82, 110, 111	sylanblrc 590	1 ⊢ (𝐴 ∈ P → 𝐵 ∈ P)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396  ∀wal 1520   = wceq 1522  ∃wex 1761   ∈ wcel 2081  {cab 2775   ≠ wne 2984  ∀wral 3105  ∃wrex 3106   ⊆ wss 3859   ⊊ wpss 3860  ∅c0 4211   class class class wbr 4962  ‘cfv 6225  Qcnq 10120  *_Qcrq 10125   <_Q cltq 10126  Pcnp 10127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-inf2 8950

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-omul 7958  df-er 8139  df-ni 10140  df-pli 10141  df-mi 10142  df-lti 10143  df-plpq 10176  df-mpq 10177  df-ltpq 10178  df-enq 10179  df-nq 10180  df-erq 10181  df-plq 10182  df-mq 10183  df-1nq 10184  df-rq 10185  df-ltnq 10186  df-np 10249

This theorem is referenced by:  reclem3pr  10317  reclem4pr  10318  recexpr  10319