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Theorem reclem2pr 11043
Description: Lemma for Proposition 9-3.7 of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 30-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
reclempr.1 𝐵 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)}
Assertion
Ref Expression
reclem2pr (𝐴P𝐵P)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem reclem2pr
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prpssnq 10985 . . . . 5 (𝐴P𝐴Q)
2 pssnel 4471 . . . . 5 (𝐴Q → ∃𝑥(𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐴))
3 recclnq 10961 . . . . . . . . . 10 (𝑥Q → (*Q𝑥) ∈ Q)
4 nsmallnq 10972 . . . . . . . . . 10 ((*Q𝑥) ∈ Q → ∃𝑧 𝑧 <Q (*Q𝑥))
53, 4syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑥Q → ∃𝑧 𝑧 <Q (*Q𝑥))
65adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐴) → ∃𝑧 𝑧 <Q (*Q𝑥))
7 recrecnq 10962 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥Q → (*Q‘(*Q𝑥)) = 𝑥)
87eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥Q → ((*Q‘(*Q𝑥)) ∈ 𝐴𝑥𝐴))
98notbid 318 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥Q → (¬ (*Q‘(*Q𝑥)) ∈ 𝐴 ↔ ¬ 𝑥𝐴))
109anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥Q → ((𝑧 <Q (*Q𝑥) ∧ ¬ (*Q‘(*Q𝑥)) ∈ 𝐴) ↔ (𝑧 <Q (*Q𝑥) ∧ ¬ 𝑥𝐴)))
11 fvex 6905 . . . . . . . . . . . . . 14 (*Q𝑥) ∈ V
12 breq2 5153 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (*Q𝑥) → (𝑧 <Q 𝑦𝑧 <Q (*Q𝑥)))
13 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (*Q𝑥) → (*Q𝑦) = (*Q‘(*Q𝑥)))
1413eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (*Q𝑥) → ((*Q𝑦) ∈ 𝐴 ↔ (*Q‘(*Q𝑥)) ∈ 𝐴))
1514notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (*Q𝑥) → (¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴 ↔ ¬ (*Q‘(*Q𝑥)) ∈ 𝐴))
1612, 15anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (*Q𝑥) → ((𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) ↔ (𝑧 <Q (*Q𝑥) ∧ ¬ (*Q‘(*Q𝑥)) ∈ 𝐴)))
1711, 16spcev 3597 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 <Q (*Q𝑥) ∧ ¬ (*Q‘(*Q𝑥)) ∈ 𝐴) → ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴))
1810, 17syl6bir 254 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥Q → ((𝑧 <Q (*Q𝑥) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)))
19 vex 3479 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧 ∈ V
20 breq1 5152 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 <Q 𝑦𝑧 <Q 𝑦))
2120anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) ↔ (𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)))
2221exbidv 1925 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)))
23 reclempr.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)}
2419, 22, 23elab2 3673 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧𝐵 ↔ ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴))
2518, 24imbitrrdi 251 . . . . . . . . . . 11 (𝑥Q → ((𝑧 <Q (*Q𝑥) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 𝑧𝐵))
2625expcomd 418 . . . . . . . . . 10 (𝑥Q → (¬ 𝑥𝐴 → (𝑧 <Q (*Q𝑥) → 𝑧𝐵)))
2726imp 408 . . . . . . . . 9 ((𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝑧 <Q (*Q𝑥) → 𝑧𝐵))
2827eximdv 1921 . . . . . . . 8 ((𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (∃𝑧 𝑧 <Q (*Q𝑥) → ∃𝑧 𝑧𝐵))
296, 28mpd 15 . . . . . . 7 ((𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐴) → ∃𝑧 𝑧𝐵)
30 n0 4347 . . . . . . 7 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧𝐵)
3129, 30sylibr 233 . . . . . 6 ((𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 𝐵 ≠ ∅)
3231exlimiv 1934 . . . . 5 (∃𝑥(𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 𝐵 ≠ ∅)
331, 2, 323syl 18 . . . 4 (𝐴P𝐵 ≠ ∅)
34 0pss 4445 . . . 4 (∅ ⊊ 𝐵𝐵 ≠ ∅)
3533, 34sylibr 233 . . 3 (𝐴P → ∅ ⊊ 𝐵)
36 prn0 10984 . . . . . 6 (𝐴P𝐴 ≠ ∅)
37 elprnq 10986 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴P𝑧𝐴) → 𝑧Q)
38 recrecnq 10962 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧Q → (*Q‘(*Q𝑧)) = 𝑧)
3938eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧Q → ((*Q‘(*Q𝑧)) ∈ 𝐴𝑧𝐴))
4039anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧Q → ((𝐴P ∧ (*Q‘(*Q𝑧)) ∈ 𝐴) ↔ (𝐴P𝑧𝐴)))
4137, 40syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴P𝑧𝐴) → ((𝐴P ∧ (*Q‘(*Q𝑧)) ∈ 𝐴) ↔ (𝐴P𝑧𝐴)))
42 fvex 6905 . . . . . . . . . . . . 13 (*Q𝑧) ∈ V
43 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (*Q𝑧) → (*Q𝑥) = (*Q‘(*Q𝑧)))
4443eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (*Q𝑧) → ((*Q𝑥) ∈ 𝐴 ↔ (*Q‘(*Q𝑧)) ∈ 𝐴))
4544anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (*Q𝑧) → ((𝐴P ∧ (*Q𝑥) ∈ 𝐴) ↔ (𝐴P ∧ (*Q‘(*Q𝑧)) ∈ 𝐴)))
4642, 45spcev 3597 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴P ∧ (*Q‘(*Q𝑧)) ∈ 𝐴) → ∃𝑥(𝐴P ∧ (*Q𝑥) ∈ 𝐴))
4741, 46syl6bir 254 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴P𝑧𝐴) → ((𝐴P𝑧𝐴) → ∃𝑥(𝐴P ∧ (*Q𝑥) ∈ 𝐴)))
4847pm2.43i 52 . . . . . . . . . 10 ((𝐴P𝑧𝐴) → ∃𝑥(𝐴P ∧ (*Q𝑥) ∈ 𝐴))
49 elprnq 10986 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴P ∧ (*Q𝑥) ∈ 𝐴) → (*Q𝑥) ∈ Q)
50 dmrecnq 10963 . . . . . . . . . . . . . 14 dom *Q = Q
51 0nnq 10919 . . . . . . . . . . . . . 14 ¬ ∅ ∈ Q
5250, 51ndmfvrcl 6928 . . . . . . . . . . . . 13 ((*Q𝑥) ∈ Q𝑥Q)
5349, 52syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴P ∧ (*Q𝑥) ∈ 𝐴) → 𝑥Q)
54 ltrnq 10974 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (*Q𝑦) <Q (*Q𝑥))
55 prcdnq 10988 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴P ∧ (*Q𝑥) ∈ 𝐴) → ((*Q𝑦) <Q (*Q𝑥) → (*Q𝑦) ∈ 𝐴))
5654, 55biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴P ∧ (*Q𝑥) ∈ 𝐴) → (𝑥 <Q 𝑦 → (*Q𝑦) ∈ 𝐴))
5756alrimiv 1931 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴P ∧ (*Q𝑥) ∈ 𝐴) → ∀𝑦(𝑥 <Q 𝑦 → (*Q𝑦) ∈ 𝐴))
5823eqabri 2878 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝐵 ↔ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴))
59 exanali 1863 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) ↔ ¬ ∀𝑦(𝑥 <Q 𝑦 → (*Q𝑦) ∈ 𝐴))
6058, 59bitri 275 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐵 ↔ ¬ ∀𝑦(𝑥 <Q 𝑦 → (*Q𝑦) ∈ 𝐴))
6160con2bii 358 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑦(𝑥 <Q 𝑦 → (*Q𝑦) ∈ 𝐴) ↔ ¬ 𝑥𝐵)
6257, 61sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴P ∧ (*Q𝑥) ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥𝐵)
6353, 62jca 513 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴P ∧ (*Q𝑥) ∈ 𝐴) → (𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐵))
6463eximi 1838 . . . . . . . . . 10 (∃𝑥(𝐴P ∧ (*Q𝑥) ∈ 𝐴) → ∃𝑥(𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐵))
6548, 64syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴P𝑧𝐴) → ∃𝑥(𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐵))
6665ex 414 . . . . . . . 8 (𝐴P → (𝑧𝐴 → ∃𝑥(𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐵)))
6766exlimdv 1937 . . . . . . 7 (𝐴P → (∃𝑧 𝑧𝐴 → ∃𝑥(𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐵)))
68 n0 4347 . . . . . . 7 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧𝐴)
69 nss 4047 . . . . . . 7 Q𝐵 ↔ ∃𝑥(𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐵))
7067, 68, 693imtr4g 296 . . . . . 6 (𝐴P → (𝐴 ≠ ∅ → ¬ Q𝐵))
7136, 70mpd 15 . . . . 5 (𝐴P → ¬ Q𝐵)
72 ltrelnq 10921 . . . . . . . . . . 11 <Q ⊆ (Q × Q)
7372brel 5742 . . . . . . . . . 10 (𝑥 <Q 𝑦 → (𝑥Q𝑦Q))
7473simpld 496 . . . . . . . . 9 (𝑥 <Q 𝑦𝑥Q)
7574adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) → 𝑥Q)
7675exlimiv 1934 . . . . . . 7 (∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) → 𝑥Q)
7758, 76sylbi 216 . . . . . 6 (𝑥𝐵𝑥Q)
7877ssriv 3987 . . . . 5 𝐵Q
7971, 78jctil 521 . . . 4 (𝐴P → (𝐵Q ∧ ¬ Q𝐵))
80 dfpss3 4087 . . . 4 (𝐵Q ↔ (𝐵Q ∧ ¬ Q𝐵))
8179, 80sylibr 233 . . 3 (𝐴P𝐵Q)
8235, 81jca 513 . 2 (𝐴P → (∅ ⊊ 𝐵𝐵Q))
83 ltsonq 10964 . . . . . . . . . . 11 <Q Or Q
8483, 72sotri 6129 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝑦) → 𝑧 <Q 𝑦)
8584ex 414 . . . . . . . . 9 (𝑧 <Q 𝑥 → (𝑥 <Q 𝑦𝑧 <Q 𝑦))
8685anim1d 612 . . . . . . . 8 (𝑧 <Q 𝑥 → ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) → (𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)))
8786eximdv 1921 . . . . . . 7 (𝑧 <Q 𝑥 → (∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) → ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)))
8887, 58, 243imtr4g 296 . . . . . 6 (𝑧 <Q 𝑥 → (𝑥𝐵𝑧𝐵))
8988com12 32 . . . . 5 (𝑥𝐵 → (𝑧 <Q 𝑥𝑧𝐵))
9089alrimiv 1931 . . . 4 (𝑥𝐵 → ∀𝑧(𝑧 <Q 𝑥𝑧𝐵))
91 nfe1 2148 . . . . . . . . 9 𝑦𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)
9291nfab 2910 . . . . . . . 8 𝑦{𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)}
9323, 92nfcxfr 2902 . . . . . . 7 𝑦𝐵
94 nfv 1918 . . . . . . 7 𝑦 𝑥 <Q 𝑧
9593, 94nfrexw 3311 . . . . . 6 𝑦𝑧𝐵 𝑥 <Q 𝑧
96 19.8a 2175 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) → ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴))
9796, 24sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) → 𝑧𝐵)
9897adantll 713 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 <Q 𝑧𝑧 <Q 𝑦) ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) → 𝑧𝐵)
99 simpll 766 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 <Q 𝑧𝑧 <Q 𝑦) ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) → 𝑥 <Q 𝑧)
10098, 99jca 513 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 <Q 𝑧𝑧 <Q 𝑦) ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) → (𝑧𝐵𝑥 <Q 𝑧))
101100expcom 415 . . . . . . . . 9 (¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴 → ((𝑥 <Q 𝑧𝑧 <Q 𝑦) → (𝑧𝐵𝑥 <Q 𝑧)))
102101eximdv 1921 . . . . . . . 8 (¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴 → (∃𝑧(𝑥 <Q 𝑧𝑧 <Q 𝑦) → ∃𝑧(𝑧𝐵𝑥 <Q 𝑧)))
103 ltbtwnnq 10973 . . . . . . . 8 (𝑥 <Q 𝑦 ↔ ∃𝑧(𝑥 <Q 𝑧𝑧 <Q 𝑦))
104 df-rex 3072 . . . . . . . 8 (∃𝑧𝐵 𝑥 <Q 𝑧 ↔ ∃𝑧(𝑧𝐵𝑥 <Q 𝑧))
105102, 103, 1043imtr4g 296 . . . . . . 7 (¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴 → (𝑥 <Q 𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑥 <Q 𝑧))
106105impcom 409 . . . . . 6 ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) → ∃𝑧𝐵 𝑥 <Q 𝑧)
10795, 106exlimi 2211 . . . . 5 (∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) → ∃𝑧𝐵 𝑥 <Q 𝑧)
10858, 107sylbi 216 . . . 4 (𝑥𝐵 → ∃𝑧𝐵 𝑥 <Q 𝑧)
10990, 108jca 513 . . 3 (𝑥𝐵 → (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑥𝑧𝐵) ∧ ∃𝑧𝐵 𝑥 <Q 𝑧))
110109rgen 3064 . 2 𝑥𝐵 (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑥𝑧𝐵) ∧ ∃𝑧𝐵 𝑥 <Q 𝑧)
111 elnp 10982 . 2 (𝐵P ↔ ((∅ ⊊ 𝐵𝐵Q) ∧ ∀𝑥𝐵 (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑥𝑧𝐵) ∧ ∃𝑧𝐵 𝑥 <Q 𝑧)))
11282, 110, 111sylanblrc 591 1 (𝐴P𝐵P)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wal 1540   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  {cab 2710  wne 2941  wral 3062  wrex 3071  wss 3949  wpss 3950  c0 4323   class class class wbr 5149  cfv 6544  Qcnq 10847  *Qcrq 10852   <Q cltq 10853  Pcnp 10854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-ni 10867  df-pli 10868  df-mi 10869  df-lti 10870  df-plpq 10903  df-mpq 10904  df-ltpq 10905  df-enq 10906  df-nq 10907  df-erq 10908  df-plq 10909  df-mq 10910  df-1nq 10911  df-rq 10912  df-ltnq 10913  df-np 10976
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