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Theorem reclem2pr 10316
Description: Lemma for Proposition 9-3.7 of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 30-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
reclempr.1 𝐵 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)}
Assertion
Ref Expression
reclem2pr (𝐴P𝐵P)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem reclem2pr
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prpssnq 10258 . . . . 5 (𝐴P𝐴Q)
2 pssnel 4334 . . . . 5 (𝐴Q → ∃𝑥(𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐴))
3 recclnq 10234 . . . . . . . . . 10 (𝑥Q → (*Q𝑥) ∈ Q)
4 nsmallnq 10245 . . . . . . . . . 10 ((*Q𝑥) ∈ Q → ∃𝑧 𝑧 <Q (*Q𝑥))
53, 4syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑥Q → ∃𝑧 𝑧 <Q (*Q𝑥))
65adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐴) → ∃𝑧 𝑧 <Q (*Q𝑥))
7 recrecnq 10235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥Q → (*Q‘(*Q𝑥)) = 𝑥)
87eleq1d 2867 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥Q → ((*Q‘(*Q𝑥)) ∈ 𝐴𝑥𝐴))
98notbid 319 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥Q → (¬ (*Q‘(*Q𝑥)) ∈ 𝐴 ↔ ¬ 𝑥𝐴))
109anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥Q → ((𝑧 <Q (*Q𝑥) ∧ ¬ (*Q‘(*Q𝑥)) ∈ 𝐴) ↔ (𝑧 <Q (*Q𝑥) ∧ ¬ 𝑥𝐴)))
11 fvex 6551 . . . . . . . . . . . . . 14 (*Q𝑥) ∈ V
12 breq2 4966 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (*Q𝑥) → (𝑧 <Q 𝑦𝑧 <Q (*Q𝑥)))
13 fveq2 6538 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (*Q𝑥) → (*Q𝑦) = (*Q‘(*Q𝑥)))
1413eleq1d 2867 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (*Q𝑥) → ((*Q𝑦) ∈ 𝐴 ↔ (*Q‘(*Q𝑥)) ∈ 𝐴))
1514notbid 319 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (*Q𝑥) → (¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴 ↔ ¬ (*Q‘(*Q𝑥)) ∈ 𝐴))
1612, 15anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (*Q𝑥) → ((𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) ↔ (𝑧 <Q (*Q𝑥) ∧ ¬ (*Q‘(*Q𝑥)) ∈ 𝐴)))
1711, 16spcev 3549 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 <Q (*Q𝑥) ∧ ¬ (*Q‘(*Q𝑥)) ∈ 𝐴) → ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴))
1810, 17syl6bir 255 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥Q → ((𝑧 <Q (*Q𝑥) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)))
19 vex 3440 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧 ∈ V
20 breq1 4965 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 <Q 𝑦𝑧 <Q 𝑦))
2120anbi1d 629 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) ↔ (𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)))
2221exbidv 1899 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)))
23 reclempr.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)}
2419, 22, 23elab2 3608 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧𝐵 ↔ ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴))
2518, 24syl6ibr 253 . . . . . . . . . . 11 (𝑥Q → ((𝑧 <Q (*Q𝑥) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 𝑧𝐵))
2625expcomd 417 . . . . . . . . . 10 (𝑥Q → (¬ 𝑥𝐴 → (𝑧 <Q (*Q𝑥) → 𝑧𝐵)))
2726imp 407 . . . . . . . . 9 ((𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝑧 <Q (*Q𝑥) → 𝑧𝐵))
2827eximdv 1895 . . . . . . . 8 ((𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (∃𝑧 𝑧 <Q (*Q𝑥) → ∃𝑧 𝑧𝐵))
296, 28mpd 15 . . . . . . 7 ((𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐴) → ∃𝑧 𝑧𝐵)
30 n0 4230 . . . . . . 7 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧𝐵)
3129, 30sylibr 235 . . . . . 6 ((𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 𝐵 ≠ ∅)
3231exlimiv 1908 . . . . 5 (∃𝑥(𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 𝐵 ≠ ∅)
331, 2, 323syl 18 . . . 4 (𝐴P𝐵 ≠ ∅)
34 0pss 4310 . . . 4 (∅ ⊊ 𝐵𝐵 ≠ ∅)
3533, 34sylibr 235 . . 3 (𝐴P → ∅ ⊊ 𝐵)
36 prn0 10257 . . . . . 6 (𝐴P𝐴 ≠ ∅)
37 elprnq 10259 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴P𝑧𝐴) → 𝑧Q)
38 recrecnq 10235 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧Q → (*Q‘(*Q𝑧)) = 𝑧)
3938eleq1d 2867 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧Q → ((*Q‘(*Q𝑧)) ∈ 𝐴𝑧𝐴))
4039anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧Q → ((𝐴P ∧ (*Q‘(*Q𝑧)) ∈ 𝐴) ↔ (𝐴P𝑧𝐴)))
4137, 40syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴P𝑧𝐴) → ((𝐴P ∧ (*Q‘(*Q𝑧)) ∈ 𝐴) ↔ (𝐴P𝑧𝐴)))
42 fvex 6551 . . . . . . . . . . . . 13 (*Q𝑧) ∈ V
43 fveq2 6538 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (*Q𝑧) → (*Q𝑥) = (*Q‘(*Q𝑧)))
4443eleq1d 2867 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (*Q𝑧) → ((*Q𝑥) ∈ 𝐴 ↔ (*Q‘(*Q𝑧)) ∈ 𝐴))
4544anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (*Q𝑧) → ((𝐴P ∧ (*Q𝑥) ∈ 𝐴) ↔ (𝐴P ∧ (*Q‘(*Q𝑧)) ∈ 𝐴)))
4642, 45spcev 3549 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴P ∧ (*Q‘(*Q𝑧)) ∈ 𝐴) → ∃𝑥(𝐴P ∧ (*Q𝑥) ∈ 𝐴))
4741, 46syl6bir 255 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴P𝑧𝐴) → ((𝐴P𝑧𝐴) → ∃𝑥(𝐴P ∧ (*Q𝑥) ∈ 𝐴)))
4847pm2.43i 52 . . . . . . . . . 10 ((𝐴P𝑧𝐴) → ∃𝑥(𝐴P ∧ (*Q𝑥) ∈ 𝐴))
49 elprnq 10259 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴P ∧ (*Q𝑥) ∈ 𝐴) → (*Q𝑥) ∈ Q)
50 dmrecnq 10236 . . . . . . . . . . . . . 14 dom *Q = Q
51 0nnq 10192 . . . . . . . . . . . . . 14 ¬ ∅ ∈ Q
5250, 51ndmfvrcl 6569 . . . . . . . . . . . . 13 ((*Q𝑥) ∈ Q𝑥Q)
5349, 52syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴P ∧ (*Q𝑥) ∈ 𝐴) → 𝑥Q)
54 ltrnq 10247 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (*Q𝑦) <Q (*Q𝑥))
55 prcdnq 10261 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴P ∧ (*Q𝑥) ∈ 𝐴) → ((*Q𝑦) <Q (*Q𝑥) → (*Q𝑦) ∈ 𝐴))
5654, 55syl5bi 243 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴P ∧ (*Q𝑥) ∈ 𝐴) → (𝑥 <Q 𝑦 → (*Q𝑦) ∈ 𝐴))
5756alrimiv 1905 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴P ∧ (*Q𝑥) ∈ 𝐴) → ∀𝑦(𝑥 <Q 𝑦 → (*Q𝑦) ∈ 𝐴))
5823abeq2i 2917 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝐵 ↔ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴))
59 exanali 1840 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) ↔ ¬ ∀𝑦(𝑥 <Q 𝑦 → (*Q𝑦) ∈ 𝐴))
6058, 59bitri 276 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐵 ↔ ¬ ∀𝑦(𝑥 <Q 𝑦 → (*Q𝑦) ∈ 𝐴))
6160con2bii 359 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑦(𝑥 <Q 𝑦 → (*Q𝑦) ∈ 𝐴) ↔ ¬ 𝑥𝐵)
6257, 61sylib 219 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴P ∧ (*Q𝑥) ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥𝐵)
6353, 62jca 512 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴P ∧ (*Q𝑥) ∈ 𝐴) → (𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐵))
6463eximi 1816 . . . . . . . . . 10 (∃𝑥(𝐴P ∧ (*Q𝑥) ∈ 𝐴) → ∃𝑥(𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐵))
6548, 64syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴P𝑧𝐴) → ∃𝑥(𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐵))
6665ex 413 . . . . . . . 8 (𝐴P → (𝑧𝐴 → ∃𝑥(𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐵)))
6766exlimdv 1911 . . . . . . 7 (𝐴P → (∃𝑧 𝑧𝐴 → ∃𝑥(𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐵)))
68 n0 4230 . . . . . . 7 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧𝐴)
69 nss 3950 . . . . . . 7 Q𝐵 ↔ ∃𝑥(𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐵))
7067, 68, 693imtr4g 297 . . . . . 6 (𝐴P → (𝐴 ≠ ∅ → ¬ Q𝐵))
7136, 70mpd 15 . . . . 5 (𝐴P → ¬ Q𝐵)
72 ltrelnq 10194 . . . . . . . . . . 11 <Q ⊆ (Q × Q)
7372brel 5503 . . . . . . . . . 10 (𝑥 <Q 𝑦 → (𝑥Q𝑦Q))
7473simpld 495 . . . . . . . . 9 (𝑥 <Q 𝑦𝑥Q)
7574adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) → 𝑥Q)
7675exlimiv 1908 . . . . . . 7 (∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) → 𝑥Q)
7758, 76sylbi 218 . . . . . 6 (𝑥𝐵𝑥Q)
7877ssriv 3893 . . . . 5 𝐵Q
7971, 78jctil 520 . . . 4 (𝐴P → (𝐵Q ∧ ¬ Q𝐵))
80 dfpss3 3984 . . . 4 (𝐵Q ↔ (𝐵Q ∧ ¬ Q𝐵))
8179, 80sylibr 235 . . 3 (𝐴P𝐵Q)
8235, 81jca 512 . 2 (𝐴P → (∅ ⊊ 𝐵𝐵Q))
83 ltsonq 10237 . . . . . . . . . . 11 <Q Or Q
8483, 72sotri 5863 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝑦) → 𝑧 <Q 𝑦)
8584ex 413 . . . . . . . . 9 (𝑧 <Q 𝑥 → (𝑥 <Q 𝑦𝑧 <Q 𝑦))
8685anim1d 610 . . . . . . . 8 (𝑧 <Q 𝑥 → ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) → (𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)))
8786eximdv 1895 . . . . . . 7 (𝑧 <Q 𝑥 → (∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) → ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)))
8887, 58, 243imtr4g 297 . . . . . 6 (𝑧 <Q 𝑥 → (𝑥𝐵𝑧𝐵))
8988com12 32 . . . . 5 (𝑥𝐵 → (𝑧 <Q 𝑥𝑧𝐵))
9089alrimiv 1905 . . . 4 (𝑥𝐵 → ∀𝑧(𝑧 <Q 𝑥𝑧𝐵))
91 nfe1 2120 . . . . . . . . 9 𝑦𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)
9291nfab 2955 . . . . . . . 8 𝑦{𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)}
9323, 92nfcxfr 2947 . . . . . . 7 𝑦𝐵
94 nfv 1892 . . . . . . 7 𝑦 𝑥 <Q 𝑧
9593, 94nfrex 3271 . . . . . 6 𝑦𝑧𝐵 𝑥 <Q 𝑧
96 19.8a 2144 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) → ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴))
9796, 24sylibr 235 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) → 𝑧𝐵)
9897adantll 710 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 <Q 𝑧𝑧 <Q 𝑦) ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) → 𝑧𝐵)
99 simpll 763 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 <Q 𝑧𝑧 <Q 𝑦) ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) → 𝑥 <Q 𝑧)
10098, 99jca 512 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 <Q 𝑧𝑧 <Q 𝑦) ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) → (𝑧𝐵𝑥 <Q 𝑧))
101100expcom 414 . . . . . . . . 9 (¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴 → ((𝑥 <Q 𝑧𝑧 <Q 𝑦) → (𝑧𝐵𝑥 <Q 𝑧)))
102101eximdv 1895 . . . . . . . 8 (¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴 → (∃𝑧(𝑥 <Q 𝑧𝑧 <Q 𝑦) → ∃𝑧(𝑧𝐵𝑥 <Q 𝑧)))
103 ltbtwnnq 10246 . . . . . . . 8 (𝑥 <Q 𝑦 ↔ ∃𝑧(𝑥 <Q 𝑧𝑧 <Q 𝑦))
104 df-rex 3111 . . . . . . . 8 (∃𝑧𝐵 𝑥 <Q 𝑧 ↔ ∃𝑧(𝑧𝐵𝑥 <Q 𝑧))
105102, 103, 1043imtr4g 297 . . . . . . 7 (¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴 → (𝑥 <Q 𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑥 <Q 𝑧))
106105impcom 408 . . . . . 6 ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) → ∃𝑧𝐵 𝑥 <Q 𝑧)
10795, 106exlimi 2182 . . . . 5 (∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) → ∃𝑧𝐵 𝑥 <Q 𝑧)
10858, 107sylbi 218 . . . 4 (𝑥𝐵 → ∃𝑧𝐵 𝑥 <Q 𝑧)
10990, 108jca 512 . . 3 (𝑥𝐵 → (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑥𝑧𝐵) ∧ ∃𝑧𝐵 𝑥 <Q 𝑧))
110109rgen 3115 . 2 𝑥𝐵 (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑥𝑧𝐵) ∧ ∃𝑧𝐵 𝑥 <Q 𝑧)
111 elnp 10255 . 2 (𝐵P ↔ ((∅ ⊊ 𝐵𝐵Q) ∧ ∀𝑥𝐵 (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑥𝑧𝐵) ∧ ∃𝑧𝐵 𝑥 <Q 𝑧)))
11282, 110, 111sylanblrc 590 1 (𝐴P𝐵P)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wal 1520   = wceq 1522  wex 1761  wcel 2081  {cab 2775  wne 2984  wral 3105  wrex 3106  wss 3859  wpss 3860  c0 4211   class class class wbr 4962  cfv 6225  Qcnq 10120  *Qcrq 10125   <Q cltq 10126  Pcnp 10127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-inf2 8950
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-omul 7958  df-er 8139  df-ni 10140  df-pli 10141  df-mi 10142  df-lti 10143  df-plpq 10176  df-mpq 10177  df-ltpq 10178  df-enq 10179  df-nq 10180  df-erq 10181  df-plq 10182  df-mq 10183  df-1nq 10184  df-rq 10185  df-ltnq 10186  df-np 10249
This theorem is referenced by:  reclem3pr  10317  reclem4pr  10318  recexpr  10319
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