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Theorem reclem2pr 11088
Description: Lemma for Proposition 9-3.7 of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 30-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
reclempr.1 𝐵 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)}
Assertion
Ref Expression
reclem2pr (𝐴P𝐵P)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem reclem2pr
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prpssnq 11030 . . . . 5 (𝐴P𝐴Q)
2 pssnel 4471 . . . . 5 (𝐴Q → ∃𝑥(𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐴))
3 recclnq 11006 . . . . . . . . . 10 (𝑥Q → (*Q𝑥) ∈ Q)
4 nsmallnq 11017 . . . . . . . . . 10 ((*Q𝑥) ∈ Q → ∃𝑧 𝑧 <Q (*Q𝑥))
53, 4syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑥Q → ∃𝑧 𝑧 <Q (*Q𝑥))
65adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐴) → ∃𝑧 𝑧 <Q (*Q𝑥))
7 recrecnq 11007 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥Q → (*Q‘(*Q𝑥)) = 𝑥)
87eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥Q → ((*Q‘(*Q𝑥)) ∈ 𝐴𝑥𝐴))
98notbid 318 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥Q → (¬ (*Q‘(*Q𝑥)) ∈ 𝐴 ↔ ¬ 𝑥𝐴))
109anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥Q → ((𝑧 <Q (*Q𝑥) ∧ ¬ (*Q‘(*Q𝑥)) ∈ 𝐴) ↔ (𝑧 <Q (*Q𝑥) ∧ ¬ 𝑥𝐴)))
11 fvex 6919 . . . . . . . . . . . . . 14 (*Q𝑥) ∈ V
12 breq2 5147 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (*Q𝑥) → (𝑧 <Q 𝑦𝑧 <Q (*Q𝑥)))
13 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (*Q𝑥) → (*Q𝑦) = (*Q‘(*Q𝑥)))
1413eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (*Q𝑥) → ((*Q𝑦) ∈ 𝐴 ↔ (*Q‘(*Q𝑥)) ∈ 𝐴))
1514notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (*Q𝑥) → (¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴 ↔ ¬ (*Q‘(*Q𝑥)) ∈ 𝐴))
1612, 15anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (*Q𝑥) → ((𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) ↔ (𝑧 <Q (*Q𝑥) ∧ ¬ (*Q‘(*Q𝑥)) ∈ 𝐴)))
1711, 16spcev 3606 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 <Q (*Q𝑥) ∧ ¬ (*Q‘(*Q𝑥)) ∈ 𝐴) → ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴))
1810, 17biimtrrdi 254 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥Q → ((𝑧 <Q (*Q𝑥) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)))
19 vex 3484 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧 ∈ V
20 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 <Q 𝑦𝑧 <Q 𝑦))
2120anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) ↔ (𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)))
2221exbidv 1921 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)))
23 reclempr.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)}
2419, 22, 23elab2 3682 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧𝐵 ↔ ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴))
2518, 24imbitrrdi 252 . . . . . . . . . . 11 (𝑥Q → ((𝑧 <Q (*Q𝑥) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 𝑧𝐵))
2625expcomd 416 . . . . . . . . . 10 (𝑥Q → (¬ 𝑥𝐴 → (𝑧 <Q (*Q𝑥) → 𝑧𝐵)))
2726imp 406 . . . . . . . . 9 ((𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝑧 <Q (*Q𝑥) → 𝑧𝐵))
2827eximdv 1917 . . . . . . . 8 ((𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (∃𝑧 𝑧 <Q (*Q𝑥) → ∃𝑧 𝑧𝐵))
296, 28mpd 15 . . . . . . 7 ((𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐴) → ∃𝑧 𝑧𝐵)
30 n0 4353 . . . . . . 7 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧𝐵)
3129, 30sylibr 234 . . . . . 6 ((𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 𝐵 ≠ ∅)
3231exlimiv 1930 . . . . 5 (∃𝑥(𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 𝐵 ≠ ∅)
331, 2, 323syl 18 . . . 4 (𝐴P𝐵 ≠ ∅)
34 0pss 4447 . . . 4 (∅ ⊊ 𝐵𝐵 ≠ ∅)
3533, 34sylibr 234 . . 3 (𝐴P → ∅ ⊊ 𝐵)
36 prn0 11029 . . . . . 6 (𝐴P𝐴 ≠ ∅)
37 elprnq 11031 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴P𝑧𝐴) → 𝑧Q)
38 recrecnq 11007 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧Q → (*Q‘(*Q𝑧)) = 𝑧)
3938eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧Q → ((*Q‘(*Q𝑧)) ∈ 𝐴𝑧𝐴))
4039anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧Q → ((𝐴P ∧ (*Q‘(*Q𝑧)) ∈ 𝐴) ↔ (𝐴P𝑧𝐴)))
4137, 40syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴P𝑧𝐴) → ((𝐴P ∧ (*Q‘(*Q𝑧)) ∈ 𝐴) ↔ (𝐴P𝑧𝐴)))
42 fvex 6919 . . . . . . . . . . . . 13 (*Q𝑧) ∈ V
43 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (*Q𝑧) → (*Q𝑥) = (*Q‘(*Q𝑧)))
4443eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (*Q𝑧) → ((*Q𝑥) ∈ 𝐴 ↔ (*Q‘(*Q𝑧)) ∈ 𝐴))
4544anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (*Q𝑧) → ((𝐴P ∧ (*Q𝑥) ∈ 𝐴) ↔ (𝐴P ∧ (*Q‘(*Q𝑧)) ∈ 𝐴)))
4642, 45spcev 3606 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴P ∧ (*Q‘(*Q𝑧)) ∈ 𝐴) → ∃𝑥(𝐴P ∧ (*Q𝑥) ∈ 𝐴))
4741, 46biimtrrdi 254 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴P𝑧𝐴) → ((𝐴P𝑧𝐴) → ∃𝑥(𝐴P ∧ (*Q𝑥) ∈ 𝐴)))
4847pm2.43i 52 . . . . . . . . . 10 ((𝐴P𝑧𝐴) → ∃𝑥(𝐴P ∧ (*Q𝑥) ∈ 𝐴))
49 elprnq 11031 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴P ∧ (*Q𝑥) ∈ 𝐴) → (*Q𝑥) ∈ Q)
50 dmrecnq 11008 . . . . . . . . . . . . . 14 dom *Q = Q
51 0nnq 10964 . . . . . . . . . . . . . 14 ¬ ∅ ∈ Q
5250, 51ndmfvrcl 6942 . . . . . . . . . . . . 13 ((*Q𝑥) ∈ Q𝑥Q)
5349, 52syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴P ∧ (*Q𝑥) ∈ 𝐴) → 𝑥Q)
54 ltrnq 11019 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (*Q𝑦) <Q (*Q𝑥))
55 prcdnq 11033 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴P ∧ (*Q𝑥) ∈ 𝐴) → ((*Q𝑦) <Q (*Q𝑥) → (*Q𝑦) ∈ 𝐴))
5654, 55biimtrid 242 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴P ∧ (*Q𝑥) ∈ 𝐴) → (𝑥 <Q 𝑦 → (*Q𝑦) ∈ 𝐴))
5756alrimiv 1927 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴P ∧ (*Q𝑥) ∈ 𝐴) → ∀𝑦(𝑥 <Q 𝑦 → (*Q𝑦) ∈ 𝐴))
5823eqabri 2885 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝐵 ↔ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴))
59 exanali 1859 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) ↔ ¬ ∀𝑦(𝑥 <Q 𝑦 → (*Q𝑦) ∈ 𝐴))
6058, 59bitri 275 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐵 ↔ ¬ ∀𝑦(𝑥 <Q 𝑦 → (*Q𝑦) ∈ 𝐴))
6160con2bii 357 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑦(𝑥 <Q 𝑦 → (*Q𝑦) ∈ 𝐴) ↔ ¬ 𝑥𝐵)
6257, 61sylib 218 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴P ∧ (*Q𝑥) ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥𝐵)
6353, 62jca 511 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴P ∧ (*Q𝑥) ∈ 𝐴) → (𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐵))
6463eximi 1835 . . . . . . . . . 10 (∃𝑥(𝐴P ∧ (*Q𝑥) ∈ 𝐴) → ∃𝑥(𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐵))
6548, 64syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴P𝑧𝐴) → ∃𝑥(𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐵))
6665ex 412 . . . . . . . 8 (𝐴P → (𝑧𝐴 → ∃𝑥(𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐵)))
6766exlimdv 1933 . . . . . . 7 (𝐴P → (∃𝑧 𝑧𝐴 → ∃𝑥(𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐵)))
68 n0 4353 . . . . . . 7 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧𝐴)
69 nss 4048 . . . . . . 7 Q𝐵 ↔ ∃𝑥(𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐵))
7067, 68, 693imtr4g 296 . . . . . 6 (𝐴P → (𝐴 ≠ ∅ → ¬ Q𝐵))
7136, 70mpd 15 . . . . 5 (𝐴P → ¬ Q𝐵)
72 ltrelnq 10966 . . . . . . . . . . 11 <Q ⊆ (Q × Q)
7372brel 5750 . . . . . . . . . 10 (𝑥 <Q 𝑦 → (𝑥Q𝑦Q))
7473simpld 494 . . . . . . . . 9 (𝑥 <Q 𝑦𝑥Q)
7574adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) → 𝑥Q)
7675exlimiv 1930 . . . . . . 7 (∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) → 𝑥Q)
7758, 76sylbi 217 . . . . . 6 (𝑥𝐵𝑥Q)
7877ssriv 3987 . . . . 5 𝐵Q
7971, 78jctil 519 . . . 4 (𝐴P → (𝐵Q ∧ ¬ Q𝐵))
80 dfpss3 4089 . . . 4 (𝐵Q ↔ (𝐵Q ∧ ¬ Q𝐵))
8179, 80sylibr 234 . . 3 (𝐴P𝐵Q)
8235, 81jca 511 . 2 (𝐴P → (∅ ⊊ 𝐵𝐵Q))
83 ltsonq 11009 . . . . . . . . . . 11 <Q Or Q
8483, 72sotri 6147 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝑦) → 𝑧 <Q 𝑦)
8584ex 412 . . . . . . . . 9 (𝑧 <Q 𝑥 → (𝑥 <Q 𝑦𝑧 <Q 𝑦))
8685anim1d 611 . . . . . . . 8 (𝑧 <Q 𝑥 → ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) → (𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)))
8786eximdv 1917 . . . . . . 7 (𝑧 <Q 𝑥 → (∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) → ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)))
8887, 58, 243imtr4g 296 . . . . . 6 (𝑧 <Q 𝑥 → (𝑥𝐵𝑧𝐵))
8988com12 32 . . . . 5 (𝑥𝐵 → (𝑧 <Q 𝑥𝑧𝐵))
9089alrimiv 1927 . . . 4 (𝑥𝐵 → ∀𝑧(𝑧 <Q 𝑥𝑧𝐵))
91 nfe1 2150 . . . . . . . . 9 𝑦𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)
9291nfab 2911 . . . . . . . 8 𝑦{𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)}
9323, 92nfcxfr 2903 . . . . . . 7 𝑦𝐵
94 nfv 1914 . . . . . . 7 𝑦 𝑥 <Q 𝑧
9593, 94nfrexw 3313 . . . . . 6 𝑦𝑧𝐵 𝑥 <Q 𝑧
96 19.8a 2181 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) → ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴))
9796, 24sylibr 234 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) → 𝑧𝐵)
9897adantll 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 <Q 𝑧𝑧 <Q 𝑦) ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) → 𝑧𝐵)
99 simpll 767 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 <Q 𝑧𝑧 <Q 𝑦) ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) → 𝑥 <Q 𝑧)
10098, 99jca 511 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 <Q 𝑧𝑧 <Q 𝑦) ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) → (𝑧𝐵𝑥 <Q 𝑧))
101100expcom 413 . . . . . . . . 9 (¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴 → ((𝑥 <Q 𝑧𝑧 <Q 𝑦) → (𝑧𝐵𝑥 <Q 𝑧)))
102101eximdv 1917 . . . . . . . 8 (¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴 → (∃𝑧(𝑥 <Q 𝑧𝑧 <Q 𝑦) → ∃𝑧(𝑧𝐵𝑥 <Q 𝑧)))
103 ltbtwnnq 11018 . . . . . . . 8 (𝑥 <Q 𝑦 ↔ ∃𝑧(𝑥 <Q 𝑧𝑧 <Q 𝑦))
104 df-rex 3071 . . . . . . . 8 (∃𝑧𝐵 𝑥 <Q 𝑧 ↔ ∃𝑧(𝑧𝐵𝑥 <Q 𝑧))
105102, 103, 1043imtr4g 296 . . . . . . 7 (¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴 → (𝑥 <Q 𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑥 <Q 𝑧))
106105impcom 407 . . . . . 6 ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) → ∃𝑧𝐵 𝑥 <Q 𝑧)
10795, 106exlimi 2217 . . . . 5 (∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) → ∃𝑧𝐵 𝑥 <Q 𝑧)
10858, 107sylbi 217 . . . 4 (𝑥𝐵 → ∃𝑧𝐵 𝑥 <Q 𝑧)
10990, 108jca 511 . . 3 (𝑥𝐵 → (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑥𝑧𝐵) ∧ ∃𝑧𝐵 𝑥 <Q 𝑧))
110109rgen 3063 . 2 𝑥𝐵 (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑥𝑧𝐵) ∧ ∃𝑧𝐵 𝑥 <Q 𝑧)
111 elnp 11027 . 2 (𝐵P ↔ ((∅ ⊊ 𝐵𝐵Q) ∧ ∀𝑥𝐵 (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑥𝑧𝐵) ∧ ∃𝑧𝐵 𝑥 <Q 𝑧)))
11282, 110, 111sylanblrc 590 1 (𝐴P𝐵P)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wal 1538   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  {cab 2714  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  wss 3951  wpss 3952  c0 4333   class class class wbr 5143  cfv 6561  Qcnq 10892  *Qcrq 10897   <Q cltq 10898  Pcnp 10899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-ni 10912  df-pli 10913  df-mi 10914  df-lti 10915  df-plpq 10948  df-mpq 10949  df-ltpq 10950  df-enq 10951  df-nq 10952  df-erq 10953  df-plq 10954  df-mq 10955  df-1nq 10956  df-rq 10957  df-ltnq 10958  df-np 11021
This theorem is referenced by:  reclem3pr  11089  reclem4pr  11090  recexpr  11091
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