Theorem reclem2pr 11028

Description: Lemma for Proposition 9-3.7 of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 30-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
reclempr.1	⊢ 𝐵 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)}

Assertion

Ref	Expression
reclem2pr	⊢ (𝐴 ∈ P → 𝐵 ∈ P)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem reclem2pr

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prpssnq 10970	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ P → 𝐴 ⊊ Q)
2		pssnel 4431	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊊ Q → ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴))
3		recclnq 10946	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ Q → (*Q‘𝑥) ∈ Q)
4		nsmallnq 10957	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((*Q‘𝑥) ∈ Q → ∃𝑧 𝑧 <Q (*Q‘𝑥))
5	3, 4	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ Q → ∃𝑧 𝑧 <Q (*Q‘𝑥))
6	5	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑧 𝑧 <Q (*Q‘𝑥))
7		recrecnq 10947	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ Q → (*Q‘(*Q‘𝑥)) = 𝑥)
8	7	eleq1d 2848	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ Q → ((*Q‘(*Q‘𝑥)) ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
9	8	notbid 321	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ Q → (¬ (*Q‘(*Q‘𝑥)) ∈ 𝐴 ↔ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴))
10	9	anbi2d 641	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ Q → ((𝑧 <Q (*Q‘𝑥) ∧ ¬ (*Q‘(*Q‘𝑥)) ∈ 𝐴) ↔ (𝑧 <Q (*Q‘𝑥) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)))
11		fvex 6894	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (*Q‘𝑥) ∈ V
12		breq2 5113	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = (*Q‘𝑥) → (𝑧 <Q 𝑦 ↔ 𝑧 <Q (*Q‘𝑥)))
13		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = (*Q‘𝑥) → (*Q‘𝑦) = (*Q‘(*Q‘𝑥)))
14	13	eleq1d 2848	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = (*Q‘𝑥) → ((*Q‘𝑦) ∈ 𝐴 ↔ (*Q‘(*Q‘𝑥)) ∈ 𝐴))
15	14	notbid 321	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = (*Q‘𝑥) → (¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴 ↔ ¬ (*Q‘(*Q‘𝑥)) ∈ 𝐴))
16	12, 15	anbi12d 643	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = (*Q‘𝑥) → ((𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) ↔ (𝑧 <Q (*Q‘𝑥) ∧ ¬ (*Q‘(*Q‘𝑥)) ∈ 𝐴)))
17	11, 16	spcev 3565	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 <Q (*Q‘𝑥) ∧ ¬ (*Q‘(*Q‘𝑥)) ∈ 𝐴) → ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴))
18	10, 17	biimtrrdi 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ Q → ((𝑧 <Q (*Q‘𝑥) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)))
19		vex 3459	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑧 ∈ V
20		breq1 5112	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ 𝑧 <Q 𝑦))
21	20	anbi1d 642	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) ↔ (𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)))
22	21	exbidv 1951	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)))
23		reclempr.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)}
24	19, 22, 23	elab2 3641	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴))
25	18, 24	imbitrrdi 255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ Q → ((𝑧 <Q (*Q‘𝑥) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐵))
26	25	expcomd 421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ Q → (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑧 <Q (*Q‘𝑥) → 𝑧 ∈ 𝐵)))
27	26	imp 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑧 <Q (*Q‘𝑥) → 𝑧 ∈ 𝐵))
28	27	eximdv 1947	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑧 𝑧 <Q (*Q‘𝑥) → ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐵))
29	6, 28	mpd 16	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐵)
30		n0 4307	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐵)
31	29, 30	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ ∅)
32	31	exlimiv 1960	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ ∅)
33	1, 2, 32	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ P → 𝐵 ≠ ∅)
34		0pss 4367	. . . 4 ⊢ (∅ ⊊ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅)
35	33, 34	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ P → ∅ ⊊ 𝐵)
36		prn0 10969	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ P → 𝐴 ≠ ∅)
37		elprnq 10971	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ Q)
38		recrecnq 10947	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ Q → (*Q‘(*Q‘𝑧)) = 𝑧)
39	38	eleq1d 2848	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ Q → ((*Q‘(*Q‘𝑧)) ∈ 𝐴 ↔ 𝑧 ∈ 𝐴))
40	39	anbi2d 641	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ Q → ((𝐴 ∈ P ∧ (*Q‘(*Q‘𝑧)) ∈ 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)))
41	37, 40	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∈ P ∧ (*Q‘(*Q‘𝑧)) ∈ 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)))
42		fvex 6894	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (*Q‘𝑧) ∈ V
43		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (*Q‘𝑧) → (*Q‘𝑥) = (*Q‘(*Q‘𝑧)))
44	43	eleq1d 2848	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (*Q‘𝑧) → ((*Q‘𝑥) ∈ 𝐴 ↔ (*Q‘(*Q‘𝑧)) ∈ 𝐴))
45	44	anbi2d 641	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (*Q‘𝑧) → ((𝐴 ∈ P ∧ (*Q‘𝑥) ∈ 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ P ∧ (*Q‘(*Q‘𝑧)) ∈ 𝐴)))
46	42, 45	spcev 3565	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ (*Q‘(*Q‘𝑧)) ∈ 𝐴) → ∃𝑥(𝐴 ∈ P ∧ (*Q‘𝑥) ∈ 𝐴))
47	41, 46	biimtrrdi 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ∃𝑥(𝐴 ∈ P ∧ (*Q‘𝑥) ∈ 𝐴)))
48	47	pm2.43i 53	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ∃𝑥(𝐴 ∈ P ∧ (*Q‘𝑥) ∈ 𝐴))
49		elprnq 10971	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ (*Q‘𝑥) ∈ 𝐴) → (*Q‘𝑥) ∈ Q)
50		dmrecnq 10948	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ dom *Q = Q
51		0nnq 10904	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ ∅ ∈ Q
52	50, 51	ndmfvrcl 6914	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((*Q‘𝑥) ∈ Q → 𝑥 ∈ Q)
53	49, 52	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ (*Q‘𝑥) ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ Q)
54		ltrnq 10959	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (*Q‘𝑦) <Q (*Q‘𝑥))
55		prcdnq 10973	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ (*Q‘𝑥) ∈ 𝐴) → ((*Q‘𝑦) <Q (*Q‘𝑥) → (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴))
56	54, 55	biimtrid 245	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ (*Q‘𝑥) ∈ 𝐴) → (𝑥 <Q 𝑦 → (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴))
57	56	alrimiv 1957	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ (*Q‘𝑥) ∈ 𝐴) → ∀𝑦(𝑥 <Q 𝑦 → (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴))
58	23	eqabri 2905	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴))
59		exanali 1889	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) ↔ ¬ ∀𝑦(𝑥 <Q 𝑦 → (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴))
60	58, 59	bitri 278	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ ¬ ∀𝑦(𝑥 <Q 𝑦 → (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴))
61	60	con2bii 360	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑦(𝑥 <Q 𝑦 → (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) ↔ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)
62	57, 61	sylib 221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ (*Q‘𝑥) ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)
63	53, 62	jca 520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ (*Q‘𝑥) ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ Q ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
64	63	eximi 1865	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑥(𝐴 ∈ P ∧ (*Q‘𝑥) ∈ 𝐴) → ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
65	48, 64	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
66	65	ex 417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝑧 ∈ 𝐴 → ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)))
67	66	exlimdv 1963	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ P → (∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴 → ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)))
68		n0 4307	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴)
69		nss 4001	. . . . . . 7 ⊢ (¬ Q ⊆ 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
70	67, 68, 69	3imtr4g 299	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐴 ≠ ∅ → ¬ Q ⊆ 𝐵))
71	36, 70	mpd 16	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ P → ¬ Q ⊆ 𝐵)
72		ltrelnq 10906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
73	72	brel 5726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 <Q 𝑦 → (𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q))
74	73	simpld 499	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 <Q 𝑦 → 𝑥 ∈ Q)
75	74	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ Q)
76	75	exlimiv 1960	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ Q)
77	58, 76	sylbi 220	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ Q)
78	77	ssriv 3941	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ⊆ Q
79	71, 78	jctil 528	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐵 ⊆ Q ∧ ¬ Q ⊆ 𝐵))
80		dfpss3 4043	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊊ Q ↔ (𝐵 ⊆ Q ∧ ¬ Q ⊆ 𝐵))
81	79, 80	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ P → 𝐵 ⊊ Q)
82	35, 81	jca 520	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ P → (∅ ⊊ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊊ Q))
83		ltsonq 10949	. . . . . . . . . . 11 ⊢ <Q Or Q
84	83, 72	sotri 6127	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝑦) → 𝑧 <Q 𝑦)
85	84	ex 417	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 <Q 𝑥 → (𝑥 <Q 𝑦 → 𝑧 <Q 𝑦))
86	85	anim1d 622	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 <Q 𝑥 → ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) → (𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)))
87	86	eximdv 1947	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 <Q 𝑥 → (∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) → ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)))
88	87, 58, 24	3imtr4g 299	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 <Q 𝑥 → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑧 ∈ 𝐵))
89	88	com12 33	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑧 <Q 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝐵))
90	89	alrimiv 1957	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → ∀𝑧(𝑧 <Q 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝐵))
91		nfe1 2185	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)
92	91	nfab 2931	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦{𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴)}
93	23, 92	nfcxfr 2923	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
94		nfv 1944	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 <Q 𝑧
95	93, 94	nfrexw 3313	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 <Q 𝑧
96		19.8a 2217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) → ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴))
97	96, 24	sylibr 237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐵)
98	97	adantll 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 <Q 𝑧 ∧ 𝑧 <Q 𝑦) ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐵)
99		simpll 778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 <Q 𝑧 ∧ 𝑧 <Q 𝑦) ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) → 𝑥 <Q 𝑧)
100	98, 99	jca 520	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 <Q 𝑧 ∧ 𝑧 <Q 𝑦) ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧))
101	100	expcom 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴 → ((𝑥 <Q 𝑧 ∧ 𝑧 <Q 𝑦) → (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))
102	101	eximdv 1947	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴 → (∃𝑧(𝑥 <Q 𝑧 ∧ 𝑧 <Q 𝑦) → ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))
103		ltbtwnnq 10958	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 <Q 𝑦 ↔ ∃𝑧(𝑥 <Q 𝑧 ∧ 𝑧 <Q 𝑦))
104		df-rex 3090	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 <Q 𝑧 ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧))
105	102, 103, 104	3imtr4g 299	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴 → (𝑥 <Q 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 <Q 𝑧))
106	105	impcom 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 <Q 𝑧)
107	95, 106	exlimi 2253	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q‘𝑦) ∈ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 <Q 𝑧)
108	58, 107	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 <Q 𝑧)
109	90, 108	jca 520	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 <Q 𝑧))
110	109	rgen 3081	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 <Q 𝑧)
111		elnp 10967	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ P ↔ ((∅ ⊊ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊊ Q) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 <Q 𝑧)))
112	82, 110, 111	sylanblrc 601	1 ⊢ (𝐴 ∈ P → 𝐵 ∈ P)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400  ∀wal 1568   = wceq 1570  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143  {cab 2741   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3905   ⊊ wpss 3906  ∅c0 4286   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  Qcnq 10832  *_Qcrq 10837   <_Q cltq 10838  Pcnp 10839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-oadd 8453  df-omul 8454  df-er 8690  df-ni 10852  df-pli 10853  df-mi 10854  df-lti 10855  df-plpq 10888  df-mpq 10889  df-ltpq 10890  df-enq 10891  df-nq 10892  df-erq 10893  df-plq 10894  df-mq 10895  df-1nq 10896  df-rq 10897  df-ltnq 10898  df-np 10961

This theorem is referenced by:  reclem3pr  11029  reclem4pr  11030  recexpr  11031