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Theorem reclem2pr 10662
Description: Lemma for Proposition 9-3.7 of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 30-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
reclempr.1 𝐵 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)}
Assertion
Ref Expression
reclem2pr (𝐴P𝐵P)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem reclem2pr
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prpssnq 10604 . . . . 5 (𝐴P𝐴Q)
2 pssnel 4385 . . . . 5 (𝐴Q → ∃𝑥(𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐴))
3 recclnq 10580 . . . . . . . . . 10 (𝑥Q → (*Q𝑥) ∈ Q)
4 nsmallnq 10591 . . . . . . . . . 10 ((*Q𝑥) ∈ Q → ∃𝑧 𝑧 <Q (*Q𝑥))
53, 4syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑥Q → ∃𝑧 𝑧 <Q (*Q𝑥))
65adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐴) → ∃𝑧 𝑧 <Q (*Q𝑥))
7 recrecnq 10581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥Q → (*Q‘(*Q𝑥)) = 𝑥)
87eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥Q → ((*Q‘(*Q𝑥)) ∈ 𝐴𝑥𝐴))
98notbid 321 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥Q → (¬ (*Q‘(*Q𝑥)) ∈ 𝐴 ↔ ¬ 𝑥𝐴))
109anbi2d 632 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥Q → ((𝑧 <Q (*Q𝑥) ∧ ¬ (*Q‘(*Q𝑥)) ∈ 𝐴) ↔ (𝑧 <Q (*Q𝑥) ∧ ¬ 𝑥𝐴)))
11 fvex 6730 . . . . . . . . . . . . . 14 (*Q𝑥) ∈ V
12 breq2 5057 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (*Q𝑥) → (𝑧 <Q 𝑦𝑧 <Q (*Q𝑥)))
13 fveq2 6717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (*Q𝑥) → (*Q𝑦) = (*Q‘(*Q𝑥)))
1413eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (*Q𝑥) → ((*Q𝑦) ∈ 𝐴 ↔ (*Q‘(*Q𝑥)) ∈ 𝐴))
1514notbid 321 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (*Q𝑥) → (¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴 ↔ ¬ (*Q‘(*Q𝑥)) ∈ 𝐴))
1612, 15anbi12d 634 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (*Q𝑥) → ((𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) ↔ (𝑧 <Q (*Q𝑥) ∧ ¬ (*Q‘(*Q𝑥)) ∈ 𝐴)))
1711, 16spcev 3521 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 <Q (*Q𝑥) ∧ ¬ (*Q‘(*Q𝑥)) ∈ 𝐴) → ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴))
1810, 17syl6bir 257 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥Q → ((𝑧 <Q (*Q𝑥) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)))
19 vex 3412 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧 ∈ V
20 breq1 5056 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 <Q 𝑦𝑧 <Q 𝑦))
2120anbi1d 633 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) ↔ (𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)))
2221exbidv 1929 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)))
23 reclempr.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)}
2419, 22, 23elab2 3591 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧𝐵 ↔ ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴))
2518, 24syl6ibr 255 . . . . . . . . . . 11 (𝑥Q → ((𝑧 <Q (*Q𝑥) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 𝑧𝐵))
2625expcomd 420 . . . . . . . . . 10 (𝑥Q → (¬ 𝑥𝐴 → (𝑧 <Q (*Q𝑥) → 𝑧𝐵)))
2726imp 410 . . . . . . . . 9 ((𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝑧 <Q (*Q𝑥) → 𝑧𝐵))
2827eximdv 1925 . . . . . . . 8 ((𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (∃𝑧 𝑧 <Q (*Q𝑥) → ∃𝑧 𝑧𝐵))
296, 28mpd 15 . . . . . . 7 ((𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐴) → ∃𝑧 𝑧𝐵)
30 n0 4261 . . . . . . 7 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧𝐵)
3129, 30sylibr 237 . . . . . 6 ((𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 𝐵 ≠ ∅)
3231exlimiv 1938 . . . . 5 (∃𝑥(𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 𝐵 ≠ ∅)
331, 2, 323syl 18 . . . 4 (𝐴P𝐵 ≠ ∅)
34 0pss 4359 . . . 4 (∅ ⊊ 𝐵𝐵 ≠ ∅)
3533, 34sylibr 237 . . 3 (𝐴P → ∅ ⊊ 𝐵)
36 prn0 10603 . . . . . 6 (𝐴P𝐴 ≠ ∅)
37 elprnq 10605 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴P𝑧𝐴) → 𝑧Q)
38 recrecnq 10581 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧Q → (*Q‘(*Q𝑧)) = 𝑧)
3938eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧Q → ((*Q‘(*Q𝑧)) ∈ 𝐴𝑧𝐴))
4039anbi2d 632 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧Q → ((𝐴P ∧ (*Q‘(*Q𝑧)) ∈ 𝐴) ↔ (𝐴P𝑧𝐴)))
4137, 40syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴P𝑧𝐴) → ((𝐴P ∧ (*Q‘(*Q𝑧)) ∈ 𝐴) ↔ (𝐴P𝑧𝐴)))
42 fvex 6730 . . . . . . . . . . . . 13 (*Q𝑧) ∈ V
43 fveq2 6717 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (*Q𝑧) → (*Q𝑥) = (*Q‘(*Q𝑧)))
4443eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (*Q𝑧) → ((*Q𝑥) ∈ 𝐴 ↔ (*Q‘(*Q𝑧)) ∈ 𝐴))
4544anbi2d 632 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (*Q𝑧) → ((𝐴P ∧ (*Q𝑥) ∈ 𝐴) ↔ (𝐴P ∧ (*Q‘(*Q𝑧)) ∈ 𝐴)))
4642, 45spcev 3521 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴P ∧ (*Q‘(*Q𝑧)) ∈ 𝐴) → ∃𝑥(𝐴P ∧ (*Q𝑥) ∈ 𝐴))
4741, 46syl6bir 257 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴P𝑧𝐴) → ((𝐴P𝑧𝐴) → ∃𝑥(𝐴P ∧ (*Q𝑥) ∈ 𝐴)))
4847pm2.43i 52 . . . . . . . . . 10 ((𝐴P𝑧𝐴) → ∃𝑥(𝐴P ∧ (*Q𝑥) ∈ 𝐴))
49 elprnq 10605 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴P ∧ (*Q𝑥) ∈ 𝐴) → (*Q𝑥) ∈ Q)
50 dmrecnq 10582 . . . . . . . . . . . . . 14 dom *Q = Q
51 0nnq 10538 . . . . . . . . . . . . . 14 ¬ ∅ ∈ Q
5250, 51ndmfvrcl 6748 . . . . . . . . . . . . 13 ((*Q𝑥) ∈ Q𝑥Q)
5349, 52syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴P ∧ (*Q𝑥) ∈ 𝐴) → 𝑥Q)
54 ltrnq 10593 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (*Q𝑦) <Q (*Q𝑥))
55 prcdnq 10607 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴P ∧ (*Q𝑥) ∈ 𝐴) → ((*Q𝑦) <Q (*Q𝑥) → (*Q𝑦) ∈ 𝐴))
5654, 55syl5bi 245 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴P ∧ (*Q𝑥) ∈ 𝐴) → (𝑥 <Q 𝑦 → (*Q𝑦) ∈ 𝐴))
5756alrimiv 1935 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴P ∧ (*Q𝑥) ∈ 𝐴) → ∀𝑦(𝑥 <Q 𝑦 → (*Q𝑦) ∈ 𝐴))
5823abeq2i 2872 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝐵 ↔ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴))
59 exanali 1867 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) ↔ ¬ ∀𝑦(𝑥 <Q 𝑦 → (*Q𝑦) ∈ 𝐴))
6058, 59bitri 278 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐵 ↔ ¬ ∀𝑦(𝑥 <Q 𝑦 → (*Q𝑦) ∈ 𝐴))
6160con2bii 361 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑦(𝑥 <Q 𝑦 → (*Q𝑦) ∈ 𝐴) ↔ ¬ 𝑥𝐵)
6257, 61sylib 221 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴P ∧ (*Q𝑥) ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥𝐵)
6353, 62jca 515 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴P ∧ (*Q𝑥) ∈ 𝐴) → (𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐵))
6463eximi 1842 . . . . . . . . . 10 (∃𝑥(𝐴P ∧ (*Q𝑥) ∈ 𝐴) → ∃𝑥(𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐵))
6548, 64syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴P𝑧𝐴) → ∃𝑥(𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐵))
6665ex 416 . . . . . . . 8 (𝐴P → (𝑧𝐴 → ∃𝑥(𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐵)))
6766exlimdv 1941 . . . . . . 7 (𝐴P → (∃𝑧 𝑧𝐴 → ∃𝑥(𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐵)))
68 n0 4261 . . . . . . 7 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧𝐴)
69 nss 3963 . . . . . . 7 Q𝐵 ↔ ∃𝑥(𝑥Q ∧ ¬ 𝑥𝐵))
7067, 68, 693imtr4g 299 . . . . . 6 (𝐴P → (𝐴 ≠ ∅ → ¬ Q𝐵))
7136, 70mpd 15 . . . . 5 (𝐴P → ¬ Q𝐵)
72 ltrelnq 10540 . . . . . . . . . . 11 <Q ⊆ (Q × Q)
7372brel 5614 . . . . . . . . . 10 (𝑥 <Q 𝑦 → (𝑥Q𝑦Q))
7473simpld 498 . . . . . . . . 9 (𝑥 <Q 𝑦𝑥Q)
7574adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) → 𝑥Q)
7675exlimiv 1938 . . . . . . 7 (∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) → 𝑥Q)
7758, 76sylbi 220 . . . . . 6 (𝑥𝐵𝑥Q)
7877ssriv 3905 . . . . 5 𝐵Q
7971, 78jctil 523 . . . 4 (𝐴P → (𝐵Q ∧ ¬ Q𝐵))
80 dfpss3 4001 . . . 4 (𝐵Q ↔ (𝐵Q ∧ ¬ Q𝐵))
8179, 80sylibr 237 . . 3 (𝐴P𝐵Q)
8235, 81jca 515 . 2 (𝐴P → (∅ ⊊ 𝐵𝐵Q))
83 ltsonq 10583 . . . . . . . . . . 11 <Q Or Q
8483, 72sotri 5992 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝑦) → 𝑧 <Q 𝑦)
8584ex 416 . . . . . . . . 9 (𝑧 <Q 𝑥 → (𝑥 <Q 𝑦𝑧 <Q 𝑦))
8685anim1d 614 . . . . . . . 8 (𝑧 <Q 𝑥 → ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) → (𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)))
8786eximdv 1925 . . . . . . 7 (𝑧 <Q 𝑥 → (∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) → ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)))
8887, 58, 243imtr4g 299 . . . . . 6 (𝑧 <Q 𝑥 → (𝑥𝐵𝑧𝐵))
8988com12 32 . . . . 5 (𝑥𝐵 → (𝑧 <Q 𝑥𝑧𝐵))
9089alrimiv 1935 . . . 4 (𝑥𝐵 → ∀𝑧(𝑧 <Q 𝑥𝑧𝐵))
91 nfe1 2151 . . . . . . . . 9 𝑦𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)
9291nfab 2910 . . . . . . . 8 𝑦{𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴)}
9323, 92nfcxfr 2902 . . . . . . 7 𝑦𝐵
94 nfv 1922 . . . . . . 7 𝑦 𝑥 <Q 𝑧
9593, 94nfrex 3228 . . . . . 6 𝑦𝑧𝐵 𝑥 <Q 𝑧
96 19.8a 2178 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) → ∃𝑦(𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴))
9796, 24sylibr 237 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) → 𝑧𝐵)
9897adantll 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 <Q 𝑧𝑧 <Q 𝑦) ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) → 𝑧𝐵)
99 simpll 767 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 <Q 𝑧𝑧 <Q 𝑦) ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) → 𝑥 <Q 𝑧)
10098, 99jca 515 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 <Q 𝑧𝑧 <Q 𝑦) ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) → (𝑧𝐵𝑥 <Q 𝑧))
101100expcom 417 . . . . . . . . 9 (¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴 → ((𝑥 <Q 𝑧𝑧 <Q 𝑦) → (𝑧𝐵𝑥 <Q 𝑧)))
102101eximdv 1925 . . . . . . . 8 (¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴 → (∃𝑧(𝑥 <Q 𝑧𝑧 <Q 𝑦) → ∃𝑧(𝑧𝐵𝑥 <Q 𝑧)))
103 ltbtwnnq 10592 . . . . . . . 8 (𝑥 <Q 𝑦 ↔ ∃𝑧(𝑥 <Q 𝑧𝑧 <Q 𝑦))
104 df-rex 3067 . . . . . . . 8 (∃𝑧𝐵 𝑥 <Q 𝑧 ↔ ∃𝑧(𝑧𝐵𝑥 <Q 𝑧))
105102, 103, 1043imtr4g 299 . . . . . . 7 (¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴 → (𝑥 <Q 𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑥 <Q 𝑧))
106105impcom 411 . . . . . 6 ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) → ∃𝑧𝐵 𝑥 <Q 𝑧)
10795, 106exlimi 2215 . . . . 5 (∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ ¬ (*Q𝑦) ∈ 𝐴) → ∃𝑧𝐵 𝑥 <Q 𝑧)
10858, 107sylbi 220 . . . 4 (𝑥𝐵 → ∃𝑧𝐵 𝑥 <Q 𝑧)
10990, 108jca 515 . . 3 (𝑥𝐵 → (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑥𝑧𝐵) ∧ ∃𝑧𝐵 𝑥 <Q 𝑧))
110109rgen 3071 . 2 𝑥𝐵 (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑥𝑧𝐵) ∧ ∃𝑧𝐵 𝑥 <Q 𝑧)
111 elnp 10601 . 2 (𝐵P ↔ ((∅ ⊊ 𝐵𝐵Q) ∧ ∀𝑥𝐵 (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑥𝑧𝐵) ∧ ∃𝑧𝐵 𝑥 <Q 𝑧)))
11282, 110, 111sylanblrc 593 1 (𝐴P𝐵P)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wal 1541   = wceq 1543  wex 1787  wcel 2110  {cab 2714  wne 2940  wral 3061  wrex 3062  wss 3866  wpss 3867  c0 4237   class class class wbr 5053  cfv 6380  Qcnq 10466  *Qcrq 10471   <Q cltq 10472  Pcnp 10473
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-oadd 8206  df-omul 8207  df-er 8391  df-ni 10486  df-pli 10487  df-mi 10488  df-lti 10489  df-plpq 10522  df-mpq 10523  df-ltpq 10524  df-enq 10525  df-nq 10526  df-erq 10527  df-plq 10528  df-mq 10529  df-1nq 10530  df-rq 10531  df-ltnq 10532  df-np 10595
This theorem is referenced by:  reclem3pr  10663  reclem4pr  10664  recexpr  10665
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