Theorem genpn0 10917

Description: The result of an operation on positive reals is not empty. (Contributed by NM, 28-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
genp.1	⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ P, 𝑣 ∈ P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
genp.2	⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)

Assertion

Ref	Expression
genpn0	⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝑤,𝑣,𝐺,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑤,𝑣)   𝐵(𝑤,𝑣)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣)

Proof of Theorem genpn0

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prn0 10903	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ P → 𝐴 ≠ ∅)
2		n0 4281	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ 𝐴)
3	1, 2	sylib 219	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ P → ∃𝑓 𝑓 ∈ 𝐴)
4		prn0 10903	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ P → 𝐵 ≠ ∅)
5		n0 4281	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑔 𝑔 ∈ 𝐵)
6	4, 5	sylib 219	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ P → ∃𝑔 𝑔 ∈ 𝐵)
7	3, 6	anim12i 619	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (∃𝑓 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑔 𝑔 ∈ 𝐵))
8		genp.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ P, 𝑣 ∈ P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
9		genp.2	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)
10	8, 9	genpprecl 10915	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ((𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → (𝑓𝐺𝑔) ∈ (𝐴𝐹𝐵)))
11		ne0i 4269	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓𝐺𝑔) ∈ (𝐴𝐹𝐵) → (𝐴𝐹𝐵) ≠ ∅)
12		0pss 4375	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵) ↔ (𝐴𝐹𝐵) ≠ ∅)
13	11, 12	sylibr 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓𝐺𝑔) ∈ (𝐴𝐹𝐵) → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵))
14	10, 13	syl6 35	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ((𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵)))
15	14	expcomd 417	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝑔 ∈ 𝐵 → (𝑓 ∈ 𝐴 → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵))))
16	15	exlimdv 1940	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (∃𝑔 𝑔 ∈ 𝐵 → (𝑓 ∈ 𝐴 → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵))))
17	16	com23 86	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝑓 ∈ 𝐴 → (∃𝑔 𝑔 ∈ 𝐵 → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵))))
18	17	exlimdv 1940	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (∃𝑓 𝑓 ∈ 𝐴 → (∃𝑔 𝑔 ∈ 𝐵 → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵))))
19	18	impd 411	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ((∃𝑓 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑔 𝑔 ∈ 𝐵) → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵)))
20	7, 19	mpd 15	1 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547  ∃wex 1786   ∈ wcel 2119  {cab 2717   ≠ wne 2934  ∃wrex 3063   ⊊ wpss 3884  ∅c0 4261  (class class class)co 7356   ∈ cmpo 7358  Qcnq 10766  Pcnp 10773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-ni 10786  df-nq 10826  df-np 10895

This theorem is referenced by:  genpcl  10922