MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  genpn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem genpn0 10414
Description: The result of an operation on positive reals is not empty. (Contributed by NM, 28-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
genp.1 𝐹 = (𝑤P, 𝑣P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
genp.2 ((𝑦Q𝑧Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)
Assertion
Ref Expression
genpn0 ((𝐴P𝐵P) → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝑤,𝑣,𝐺,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑤,𝑣)   𝐵(𝑤,𝑣)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣)

Proof of Theorem genpn0
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prn0 10400 . . . 4 (𝐴P𝐴 ≠ ∅)
2 n0 4282 . . . 4 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓𝐴)
31, 2sylib 221 . . 3 (𝐴P → ∃𝑓 𝑓𝐴)
4 prn0 10400 . . . 4 (𝐵P𝐵 ≠ ∅)
5 n0 4282 . . . 4 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑔 𝑔𝐵)
64, 5sylib 221 . . 3 (𝐵P → ∃𝑔 𝑔𝐵)
73, 6anim12i 615 . 2 ((𝐴P𝐵P) → (∃𝑓 𝑓𝐴 ∧ ∃𝑔 𝑔𝐵))
8 genp.1 . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑤P, 𝑣P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
9 genp.2 . . . . . . . . 9 ((𝑦Q𝑧Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)
108, 9genpprecl 10412 . . . . . . . 8 ((𝐴P𝐵P) → ((𝑓𝐴𝑔𝐵) → (𝑓𝐺𝑔) ∈ (𝐴𝐹𝐵)))
11 ne0i 4272 . . . . . . . . 9 ((𝑓𝐺𝑔) ∈ (𝐴𝐹𝐵) → (𝐴𝐹𝐵) ≠ ∅)
12 0pss 4368 . . . . . . . . 9 (∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵) ↔ (𝐴𝐹𝐵) ≠ ∅)
1311, 12sylibr 237 . . . . . . . 8 ((𝑓𝐺𝑔) ∈ (𝐴𝐹𝐵) → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵))
1410, 13syl6 35 . . . . . . 7 ((𝐴P𝐵P) → ((𝑓𝐴𝑔𝐵) → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵)))
1514expcomd 420 . . . . . 6 ((𝐴P𝐵P) → (𝑔𝐵 → (𝑓𝐴 → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵))))
1615exlimdv 1934 . . . . 5 ((𝐴P𝐵P) → (∃𝑔 𝑔𝐵 → (𝑓𝐴 → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵))))
1716com23 86 . . . 4 ((𝐴P𝐵P) → (𝑓𝐴 → (∃𝑔 𝑔𝐵 → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵))))
1817exlimdv 1934 . . 3 ((𝐴P𝐵P) → (∃𝑓 𝑓𝐴 → (∃𝑔 𝑔𝐵 → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵))))
1918impd 414 . 2 ((𝐴P𝐵P) → ((∃𝑓 𝑓𝐴 ∧ ∃𝑔 𝑔𝐵) → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵)))
207, 19mpd 15 1 ((𝐴P𝐵P) → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wex 1781  wcel 2114  {cab 2800  wne 3011  wrex 3131  wpss 3909  c0 4265  (class class class)co 7140  cmpo 7142  Qcnq 10263  Pcnp 10270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-inf2 9092
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-ral 3135  df-rex 3136  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-br 5043  df-opab 5105  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fv 6342  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-ni 10283  df-nq 10323  df-np 10392
This theorem is referenced by:  genpcl  10419
  Copyright terms: Public domain W3C validator