Theorem genpn0 10926

Description: The result of an operation on positive reals is not empty. (Contributed by NM, 28-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
genp.1	⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ P, 𝑣 ∈ P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
genp.2	⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)

Assertion

Ref	Expression
genpn0	⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝑤,𝑣,𝐺,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑤,𝑣)   𝐵(𝑤,𝑣)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣)

Proof of Theorem genpn0

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prn0 10912	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ P → 𝐴 ≠ ∅)
2		n0 4307	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ 𝐴)
3	1, 2	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ P → ∃𝑓 𝑓 ∈ 𝐴)
4		prn0 10912	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ P → 𝐵 ≠ ∅)
5		n0 4307	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑔 𝑔 ∈ 𝐵)
6	4, 5	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ P → ∃𝑔 𝑔 ∈ 𝐵)
7	3, 6	anim12i 614	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (∃𝑓 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑔 𝑔 ∈ 𝐵))
8		genp.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ P, 𝑣 ∈ P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
9		genp.2	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)
10	8, 9	genpprecl 10924	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ((𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → (𝑓𝐺𝑔) ∈ (𝐴𝐹𝐵)))
11		ne0i 4295	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓𝐺𝑔) ∈ (𝐴𝐹𝐵) → (𝐴𝐹𝐵) ≠ ∅)
12		0pss 4401	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵) ↔ (𝐴𝐹𝐵) ≠ ∅)
13	11, 12	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓𝐺𝑔) ∈ (𝐴𝐹𝐵) → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵))
14	10, 13	syl6 35	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ((𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵)))
15	14	expcomd 416	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝑔 ∈ 𝐵 → (𝑓 ∈ 𝐴 → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵))))
16	15	exlimdv 1935	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (∃𝑔 𝑔 ∈ 𝐵 → (𝑓 ∈ 𝐴 → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵))))
17	16	com23 86	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝑓 ∈ 𝐴 → (∃𝑔 𝑔 ∈ 𝐵 → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵))))
18	17	exlimdv 1935	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (∃𝑓 𝑓 ∈ 𝐴 → (∃𝑔 𝑔 ∈ 𝐵 → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵))))
19	18	impd 410	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ((∃𝑓 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑔 𝑔 ∈ 𝐵) → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵)))
20	7, 19	mpd 15	1 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  {cab 2715   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062   ⊊ wpss 3904  ∅c0 4287  (class class class)co 7368   ∈ cmpo 7370  Qcnq 10775  Pcnp 10782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-ni 10795  df-nq 10835  df-np 10904

This theorem is referenced by:  genpcl  10931