MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  genpn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem genpn0 11043
Description: The result of an operation on positive reals is not empty. (Contributed by NM, 28-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
genp.1 𝐹 = (𝑤P, 𝑣P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
genp.2 ((𝑦Q𝑧Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)
Assertion
Ref Expression
genpn0 ((𝐴P𝐵P) → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝑤,𝑣,𝐺,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑤,𝑣)   𝐵(𝑤,𝑣)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣)

Proof of Theorem genpn0
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prn0 11029 . . . 4 (𝐴P𝐴 ≠ ∅)
2 n0 4353 . . . 4 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓𝐴)
31, 2sylib 218 . . 3 (𝐴P → ∃𝑓 𝑓𝐴)
4 prn0 11029 . . . 4 (𝐵P𝐵 ≠ ∅)
5 n0 4353 . . . 4 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑔 𝑔𝐵)
64, 5sylib 218 . . 3 (𝐵P → ∃𝑔 𝑔𝐵)
73, 6anim12i 613 . 2 ((𝐴P𝐵P) → (∃𝑓 𝑓𝐴 ∧ ∃𝑔 𝑔𝐵))
8 genp.1 . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑤P, 𝑣P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
9 genp.2 . . . . . . . . 9 ((𝑦Q𝑧Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)
108, 9genpprecl 11041 . . . . . . . 8 ((𝐴P𝐵P) → ((𝑓𝐴𝑔𝐵) → (𝑓𝐺𝑔) ∈ (𝐴𝐹𝐵)))
11 ne0i 4341 . . . . . . . . 9 ((𝑓𝐺𝑔) ∈ (𝐴𝐹𝐵) → (𝐴𝐹𝐵) ≠ ∅)
12 0pss 4447 . . . . . . . . 9 (∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵) ↔ (𝐴𝐹𝐵) ≠ ∅)
1311, 12sylibr 234 . . . . . . . 8 ((𝑓𝐺𝑔) ∈ (𝐴𝐹𝐵) → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵))
1410, 13syl6 35 . . . . . . 7 ((𝐴P𝐵P) → ((𝑓𝐴𝑔𝐵) → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵)))
1514expcomd 416 . . . . . 6 ((𝐴P𝐵P) → (𝑔𝐵 → (𝑓𝐴 → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵))))
1615exlimdv 1933 . . . . 5 ((𝐴P𝐵P) → (∃𝑔 𝑔𝐵 → (𝑓𝐴 → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵))))
1716com23 86 . . . 4 ((𝐴P𝐵P) → (𝑓𝐴 → (∃𝑔 𝑔𝐵 → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵))))
1817exlimdv 1933 . . 3 ((𝐴P𝐵P) → (∃𝑓 𝑓𝐴 → (∃𝑔 𝑔𝐵 → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵))))
1918impd 410 . 2 ((𝐴P𝐵P) → ((∃𝑓 𝑓𝐴 ∧ ∃𝑔 𝑔𝐵) → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵)))
207, 19mpd 15 1 ((𝐴P𝐵P) → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  {cab 2714  wne 2940  wrex 3070  wpss 3952  c0 4333  (class class class)co 7431  cmpo 7433  Qcnq 10892  Pcnp 10899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-ni 10912  df-nq 10952  df-np 11021
This theorem is referenced by:  genpcl  11048
  Copyright terms: Public domain W3C validator