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Theorem phpOLD 9285
Description: Obsolete version of php 9273 as of 18-Nov-2024. (Contributed by NM, 29-May-1998.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
phpOLD ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ¬ 𝐴𝐵)

Proof of Theorem phpOLD
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ss 4423 . . . . . . . 8 ∅ ⊆ 𝐵
2 sspsstr 4131 . . . . . . . 8 ((∅ ⊆ 𝐵𝐵𝐴) → ∅ ⊊ 𝐴)
31, 2mpan 689 . . . . . . 7 (𝐵𝐴 → ∅ ⊊ 𝐴)
4 0pss 4470 . . . . . . . 8 (∅ ⊊ 𝐴𝐴 ≠ ∅)
5 df-ne 2947 . . . . . . . 8 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
64, 5bitri 275 . . . . . . 7 (∅ ⊊ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
73, 6sylib 218 . . . . . 6 (𝐵𝐴 → ¬ 𝐴 = ∅)
8 nn0suc 7934 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥))
98orcanai 1003 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ω ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥)
107, 9sylan2 592 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥)
11 pssnel 4494 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → ∃𝑦(𝑦 ∈ suc 𝑥 ∧ ¬ 𝑦𝐵))
12 pssss 4121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ⊊ suc 𝑥𝐵 ⊆ suc 𝑥)
13 ssdif 4167 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵 ⊆ suc 𝑥 → (𝐵 ∖ {𝑦}) ⊆ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}))
14 disjsn 4736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵 ∩ {𝑦}) = ∅ ↔ ¬ 𝑦𝐵)
15 disj3 4477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵 ∩ {𝑦}) = ∅ ↔ 𝐵 = (𝐵 ∖ {𝑦}))
1614, 15bitr3i 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑦𝐵𝐵 = (𝐵 ∖ {𝑦}))
17 sseq1 4034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵 = (𝐵 ∖ {𝑦}) → (𝐵 ⊆ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ↔ (𝐵 ∖ {𝑦}) ⊆ (suc 𝑥 ∖ {𝑦})))
1816, 17sylbi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑦𝐵 → (𝐵 ⊆ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ↔ (𝐵 ∖ {𝑦}) ⊆ (suc 𝑥 ∖ {𝑦})))
1913, 18imbitrrid 246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦𝐵 → (𝐵 ⊆ suc 𝑥𝐵 ⊆ (suc 𝑥 ∖ {𝑦})))
20 vex 3492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥 ∈ V
2120sucex 7842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 suc 𝑥 ∈ V
2221difexi 5348 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ∈ V
23 ssdomg 9060 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ∈ V → (𝐵 ⊆ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) → 𝐵 ≼ (suc 𝑥 ∖ {𝑦})))
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ⊆ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) → 𝐵 ≼ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}))
2512, 19, 24syl56 36 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦𝐵 → (𝐵 ⊊ suc 𝑥𝐵 ≼ (suc 𝑥 ∖ {𝑦})))
2625imp 406 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((¬ 𝑦𝐵𝐵 ⊊ suc 𝑥) → 𝐵 ≼ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}))
27 vex 3492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦 ∈ V
2820, 27phplem3OLD 9282 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ suc 𝑥) → 𝑥 ≈ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}))
2928ensymd 9065 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ suc 𝑥) → (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥)
30 domentr 9073 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ≼ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ∧ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥) → 𝐵𝑥)
3126, 29, 30syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . 14 (((¬ 𝑦𝐵𝐵 ⊊ suc 𝑥) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ suc 𝑥)) → 𝐵𝑥)
3231exp43 436 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦𝐵 → (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → (𝑥 ∈ ω → (𝑦 ∈ suc 𝑥𝐵𝑥))))
3332com4r 94 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ suc 𝑥 → (¬ 𝑦𝐵 → (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → (𝑥 ∈ ω → 𝐵𝑥))))
3433imp 406 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ suc 𝑥 ∧ ¬ 𝑦𝐵) → (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → (𝑥 ∈ ω → 𝐵𝑥)))
3534exlimiv 1929 . . . . . . . . . 10 (∃𝑦(𝑦 ∈ suc 𝑥 ∧ ¬ 𝑦𝐵) → (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → (𝑥 ∈ ω → 𝐵𝑥)))
3611, 35mpcom 38 . . . . . . . . 9 (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → (𝑥 ∈ ω → 𝐵𝑥))
37 endomtr 9072 . . . . . . . . . . . 12 ((suc 𝑥𝐵𝐵𝑥) → suc 𝑥𝑥)
38 sssucid 6475 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 ⊆ suc 𝑥
39 ssdomg 9060 . . . . . . . . . . . . 13 (suc 𝑥 ∈ V → (𝑥 ⊆ suc 𝑥𝑥 ≼ suc 𝑥))
4021, 38, 39mp2 9 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 ≼ suc 𝑥
41 sbth 9159 . . . . . . . . . . . 12 ((suc 𝑥𝑥𝑥 ≼ suc 𝑥) → suc 𝑥𝑥)
4237, 40, 41sylancl 585 . . . . . . . . . . 11 ((suc 𝑥𝐵𝐵𝑥) → suc 𝑥𝑥)
4342expcom 413 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝑥 → (suc 𝑥𝐵 → suc 𝑥𝑥))
44 peano2b 7920 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ω ↔ suc 𝑥 ∈ ω)
45 nnord 7911 . . . . . . . . . . . . 13 (suc 𝑥 ∈ ω → Ord suc 𝑥)
4644, 45sylbi 217 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ω → Ord suc 𝑥)
4720sucid 6477 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 ∈ suc 𝑥
48 nordeq 6414 . . . . . . . . . . . 12 ((Ord suc 𝑥𝑥 ∈ suc 𝑥) → suc 𝑥𝑥)
4946, 47, 48sylancl 585 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ω → suc 𝑥𝑥)
50 nneneqOLD 9284 . . . . . . . . . . . . . 14 ((suc 𝑥 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → (suc 𝑥𝑥 ↔ suc 𝑥 = 𝑥))
5144, 50sylanb 580 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → (suc 𝑥𝑥 ↔ suc 𝑥 = 𝑥))
5251anidms 566 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ω → (suc 𝑥𝑥 ↔ suc 𝑥 = 𝑥))
5352necon3bbid 2984 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ω → (¬ suc 𝑥𝑥 ↔ suc 𝑥𝑥))
5449, 53mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ω → ¬ suc 𝑥𝑥)
5543, 54nsyli 157 . . . . . . . . 9 (𝐵𝑥 → (𝑥 ∈ ω → ¬ suc 𝑥𝐵))
5636, 55syli 39 . . . . . . . 8 (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → (𝑥 ∈ ω → ¬ suc 𝑥𝐵))
5756com12 32 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ω → (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → ¬ suc 𝑥𝐵))
58 psseq2 4114 . . . . . . . 8 (𝐴 = suc 𝑥 → (𝐵𝐴𝐵 ⊊ suc 𝑥))
59 breq1 5169 . . . . . . . . 9 (𝐴 = suc 𝑥 → (𝐴𝐵 ↔ suc 𝑥𝐵))
6059notbid 318 . . . . . . . 8 (𝐴 = suc 𝑥 → (¬ 𝐴𝐵 ↔ ¬ suc 𝑥𝐵))
6158, 60imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝐴 = suc 𝑥 → ((𝐵𝐴 → ¬ 𝐴𝐵) ↔ (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → ¬ suc 𝑥𝐵)))
6257, 61syl5ibrcom 247 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ω → (𝐴 = suc 𝑥 → (𝐵𝐴 → ¬ 𝐴𝐵)))
6362rexlimiv 3154 . . . . 5 (∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥 → (𝐵𝐴 → ¬ 𝐴𝐵))
6410, 63syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → (𝐵𝐴 → ¬ 𝐴𝐵))
6564ex 412 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (𝐵𝐴 → (𝐵𝐴 → ¬ 𝐴𝐵)))
6665pm2.43d 53 . 2 (𝐴 ∈ ω → (𝐵𝐴 → ¬ 𝐴𝐵))
6766imp 406 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ¬ 𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wex 1777  wcel 2108  wne 2946  wrex 3076  Vcvv 3488  cdif 3973  cin 3975  wss 3976  wpss 3977  c0 4352  {csn 4648   class class class wbr 5166  Ord word 6394  suc csuc 6397  ωcom 7903  cen 9000  cdom 9001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-om 7904  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005
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