Theorem phpOLD 9043

Description: Obsolete version of php 9031 as of 18-Nov-2024. (Contributed by NM, 29-May-1998.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
phpOLD	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)

Proof of Theorem phpOLD

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4336	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ⊆ 𝐵
2		sspsstr 4046	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → ∅ ⊊ 𝐴)
3	1, 2	mpan 688	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ⊊ 𝐴 → ∅ ⊊ 𝐴)
4		0pss 4384	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ⊊ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅)
5		df-ne 2942	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
6	4, 5	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ⊊ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
7	3, 6	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊊ 𝐴 → ¬ 𝐴 = ∅)
8		nn0suc 7774	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥))
9	8	orcanai 1001	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥)
10	7, 9	sylan2 594	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥)
11		pssnel 4410	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → ∃𝑦(𝑦 ∈ suc 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐵))
12		pssss 4036	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → 𝐵 ⊆ suc 𝑥)
13		ssdif 4080	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐵 ⊆ suc 𝑥 → (𝐵 ∖ {𝑦}) ⊆ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}))
14		disjsn 4651	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐵 ∩ {𝑦}) = ∅ ↔ ¬ 𝑦 ∈ 𝐵)
15		disj3 4393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐵 ∩ {𝑦}) = ∅ ↔ 𝐵 = (𝐵 ∖ {𝑦}))
16	14, 15	bitr3i 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝐵 = (𝐵 ∖ {𝑦}))
17		sseq1 3951	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐵 = (𝐵 ∖ {𝑦}) → (𝐵 ⊆ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ↔ (𝐵 ∖ {𝑦}) ⊆ (suc 𝑥 ∖ {𝑦})))
18	16, 17	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ 𝐵 → (𝐵 ⊆ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ↔ (𝐵 ∖ {𝑦}) ⊆ (suc 𝑥 ∖ {𝑦})))
19	13, 18	syl5ibr 246	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ 𝐵 → (𝐵 ⊆ suc 𝑥 → 𝐵 ⊆ (suc 𝑥 ∖ {𝑦})))
20		vex 3441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝑥 ∈ V
21	20	sucex 7688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ suc 𝑥 ∈ V
22	21	difexi 5261	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ∈ V
23		ssdomg 8821	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ∈ V → (𝐵 ⊆ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) → 𝐵 ≼ (suc 𝑥 ∖ {𝑦})))
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ⊆ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) → 𝐵 ≼ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}))
25	12, 19, 24	syl56 36	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ 𝐵 → (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → 𝐵 ≼ (suc 𝑥 ∖ {𝑦})))
26	25	imp 408	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((¬ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊊ suc 𝑥) → 𝐵 ≼ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}))
27		vex 3441	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑦 ∈ V
28	20, 27	phplem3OLD 9040	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ suc 𝑥) → 𝑥 ≈ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}))
29	28	ensymd 8826	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ suc 𝑥) → (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥)
30		domentr 8834	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ≼ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ∧ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥) → 𝐵 ≼ 𝑥)
31	26, 29, 30	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((¬ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊊ suc 𝑥) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ suc 𝑥)) → 𝐵 ≼ 𝑥)
32	31	exp43 438	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ 𝐵 → (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → (𝑥 ∈ ω → (𝑦 ∈ suc 𝑥 → 𝐵 ≼ 𝑥))))
33	32	com4r 94	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ suc 𝑥 → (¬ 𝑦 ∈ 𝐵 → (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → (𝑥 ∈ ω → 𝐵 ≼ 𝑥))))
34	33	imp 408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ suc 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → (𝑥 ∈ ω → 𝐵 ≼ 𝑥)))
35	34	exlimiv 1931	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑦(𝑦 ∈ suc 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → (𝑥 ∈ ω → 𝐵 ≼ 𝑥)))
36	11, 35	mpcom 38	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → (𝑥 ∈ ω → 𝐵 ≼ 𝑥))
37		endomtr 8833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((suc 𝑥 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝑥) → suc 𝑥 ≼ 𝑥)
38		sssucid 6360	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑥 ⊆ suc 𝑥
39		ssdomg 8821	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (suc 𝑥 ∈ V → (𝑥 ⊆ suc 𝑥 → 𝑥 ≼ suc 𝑥))
40	21, 38, 39	mp2 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑥 ≼ suc 𝑥
41		sbth 8918	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((suc 𝑥 ≼ 𝑥 ∧ 𝑥 ≼ suc 𝑥) → suc 𝑥 ≈ 𝑥)
42	37, 40, 41	sylancl 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((suc 𝑥 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝑥) → suc 𝑥 ≈ 𝑥)
43	42	expcom 415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ≼ 𝑥 → (suc 𝑥 ≈ 𝐵 → suc 𝑥 ≈ 𝑥))
44		peano2b 7761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ω ↔ suc 𝑥 ∈ ω)
45		nnord 7752	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (suc 𝑥 ∈ ω → Ord suc 𝑥)
46	44, 45	sylbi 216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ω → Ord suc 𝑥)
47	20	sucid 6362	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑥 ∈ suc 𝑥
48		nordeq 6300	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Ord suc 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑥) → suc 𝑥 ≠ 𝑥)
49	46, 47, 48	sylancl 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ω → suc 𝑥 ≠ 𝑥)
50		nneneqOLD 9042	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((suc 𝑥 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → (suc 𝑥 ≈ 𝑥 ↔ suc 𝑥 = 𝑥))
51	44, 50	sylanb 582	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → (suc 𝑥 ≈ 𝑥 ↔ suc 𝑥 = 𝑥))
52	51	anidms 568	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (suc 𝑥 ≈ 𝑥 ↔ suc 𝑥 = 𝑥))
53	52	necon3bbid 2979	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (¬ suc 𝑥 ≈ 𝑥 ↔ suc 𝑥 ≠ 𝑥))
54	49, 53	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ω → ¬ suc 𝑥 ≈ 𝑥)
55	43, 54	nsyli 157	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ≼ 𝑥 → (𝑥 ∈ ω → ¬ suc 𝑥 ≈ 𝐵))
56	36, 55	syli 39	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → (𝑥 ∈ ω → ¬ suc 𝑥 ≈ 𝐵))
57	56	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → ¬ suc 𝑥 ≈ 𝐵))
58		psseq2 4029	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = suc 𝑥 → (𝐵 ⊊ 𝐴 ↔ 𝐵 ⊊ suc 𝑥))
59		breq1 5084	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = suc 𝑥 → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ suc 𝑥 ≈ 𝐵))
60	59	notbid 318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = suc 𝑥 → (¬ 𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ¬ suc 𝑥 ≈ 𝐵))
61	58, 60	imbi12d 345	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = suc 𝑥 → ((𝐵 ⊊ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵) ↔ (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → ¬ suc 𝑥 ≈ 𝐵)))
62	57, 61	syl5ibrcom 247	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝐴 = suc 𝑥 → (𝐵 ⊊ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)))
63	62	rexlimiv 3142	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥 → (𝐵 ⊊ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))
64	10, 63	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → (𝐵 ⊊ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))
65	64	ex 414	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐵 ⊊ 𝐴 → (𝐵 ⊊ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)))
66	65	pm2.43d 53	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐵 ⊊ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))
67	66	imp 408	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1539  ∃wex 1779   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2941  ∃wrex 3071  Vcvv 3437   ∖ cdif 3889   ∩ cin 3891   ⊆ wss 3892   ⊊ wpss 3893  ∅c0 4262  {csn 4565   class class class wbr 5081  Ord word 6280  suc csuc 6283  ωcom 7744   ≈ cen 8761   ≼ cdom 8762

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3287  df-v 3439  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-br 5082  df-opab 5144  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-om 7745  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766

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