| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | ltrelpr 11039 | . . . . . . . . 9
⊢
<P ⊆ (P ×
P) | 
| 2 | 1 | brel 5749 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑦<P
𝑥 → (𝑦 ∈ P ∧
𝑥 ∈
P)) | 
| 3 | 2 | simpld 494 | . . . . . . 7
⊢ (𝑦<P
𝑥 → 𝑦 ∈ P) | 
| 4 | 3 | ralimi 3082 | . . . . . 6
⊢
(∀𝑦 ∈
𝐴 𝑦<P 𝑥 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ P) | 
| 5 |  | dfss3 3971 | . . . . . 6
⊢ (𝐴 ⊆ P ↔
∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ P) | 
| 6 | 4, 5 | sylibr 234 | . . . . 5
⊢
(∀𝑦 ∈
𝐴 𝑦<P 𝑥 → 𝐴 ⊆ P) | 
| 7 | 6 | rexlimivw 3150 | . . . 4
⊢
(∃𝑥 ∈
P ∀𝑦
∈ 𝐴 𝑦<P 𝑥 → 𝐴 ⊆ P) | 
| 8 | 7 | adantl 481 | . . 3
⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ P
∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑥) → 𝐴 ⊆ P) | 
| 9 |  | n0 4352 | . . . . 5
⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔
∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴) | 
| 10 |  | ssel 3976 | . . . . . . 7
⊢ (𝐴 ⊆ P →
(𝑧 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ P)) | 
| 11 |  | prn0 11030 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑧 ∈ P →
𝑧 ≠
∅) | 
| 12 |  | 0pss 4446 | . . . . . . . . . 10
⊢ (∅
⊊ 𝑧 ↔ 𝑧 ≠ ∅) | 
| 13 | 11, 12 | sylibr 234 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑧 ∈ P →
∅ ⊊ 𝑧) | 
| 14 |  | elssuni 4936 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → 𝑧 ⊆ ∪ 𝐴) | 
| 15 |  | psssstr 4108 | . . . . . . . . 9
⊢ ((∅
⊊ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ ∪ 𝐴)
→ ∅ ⊊ ∪ 𝐴) | 
| 16 | 13, 14, 15 | syl2an 596 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝑧 ∈ P ∧
𝑧 ∈ 𝐴) → ∅ ⊊ ∪ 𝐴) | 
| 17 | 16 | expcom 413 | . . . . . . 7
⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ P → ∅
⊊ ∪ 𝐴)) | 
| 18 | 10, 17 | sylcom 30 | . . . . . 6
⊢ (𝐴 ⊆ P →
(𝑧 ∈ 𝐴 → ∅ ⊊ ∪ 𝐴)) | 
| 19 | 18 | exlimdv 1932 | . . . . 5
⊢ (𝐴 ⊆ P →
(∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴 → ∅ ⊊ ∪ 𝐴)) | 
| 20 | 9, 19 | biimtrid 242 | . . . 4
⊢ (𝐴 ⊆ P →
(𝐴 ≠ ∅ →
∅ ⊊ ∪ 𝐴)) | 
| 21 |  | prpssnq 11031 | . . . . . . 7
⊢ (𝑥 ∈ P →
𝑥 ⊊
Q) | 
| 22 | 21 | adantl 481 | . . . . . 6
⊢ ((𝐴 ⊆ P ∧
𝑥 ∈ P)
→ 𝑥 ⊊
Q) | 
| 23 |  | ltprord 11071 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑦 ∈ P ∧
𝑥 ∈ P)
→ (𝑦<P 𝑥 ↔ 𝑦 ⊊ 𝑥)) | 
| 24 |  | pssss 4097 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑦 ⊊ 𝑥 → 𝑦 ⊆ 𝑥) | 
| 25 | 23, 24 | biimtrdi 253 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝑦 ∈ P ∧
𝑥 ∈ P)
→ (𝑦<P 𝑥 → 𝑦 ⊆ 𝑥)) | 
| 26 | 2, 25 | mpcom 38 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑦<P
𝑥 → 𝑦 ⊆ 𝑥) | 
| 27 | 26 | ralimi 3082 | . . . . . . 7
⊢
(∀𝑦 ∈
𝐴 𝑦<P 𝑥 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ⊆ 𝑥) | 
| 28 |  | unissb 4938 | . . . . . . 7
⊢ (∪ 𝐴
⊆ 𝑥 ↔
∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ⊆ 𝑥) | 
| 29 | 27, 28 | sylibr 234 | . . . . . 6
⊢
(∀𝑦 ∈
𝐴 𝑦<P 𝑥 → ∪ 𝐴
⊆ 𝑥) | 
| 30 |  | sspsstr 4107 | . . . . . . 7
⊢ ((∪ 𝐴
⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊊ Q)
→ ∪ 𝐴 ⊊ Q) | 
| 31 | 30 | expcom 413 | . . . . . 6
⊢ (𝑥 ⊊ Q →
(∪ 𝐴 ⊆ 𝑥 → ∪ 𝐴 ⊊
Q)) | 
| 32 | 22, 29, 31 | syl2im 40 | . . . . 5
⊢ ((𝐴 ⊆ P ∧
𝑥 ∈ P)
→ (∀𝑦 ∈
𝐴 𝑦<P 𝑥 → ∪ 𝐴
⊊ Q)) | 
| 33 | 32 | rexlimdva 3154 | . . . 4
⊢ (𝐴 ⊆ P →
(∃𝑥 ∈
P ∀𝑦
∈ 𝐴 𝑦<P 𝑥 → ∪ 𝐴
⊊ Q)) | 
| 34 | 20, 33 | anim12d 609 | . . 3
⊢ (𝐴 ⊆ P →
((𝐴 ≠ ∅ ∧
∃𝑥 ∈
P ∀𝑦
∈ 𝐴 𝑦<P 𝑥) → (∅ ⊊ ∪ 𝐴
∧ ∪ 𝐴 ⊊
Q))) | 
| 35 | 8, 34 | mpcom 38 | . 2
⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ P
∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑥) → (∅ ⊊ ∪ 𝐴
∧ ∪ 𝐴 ⊊ Q)) | 
| 36 |  | prcdnq 11034 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑧 ∈ P ∧
𝑥 ∈ 𝑧) → (𝑦 <Q 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧)) | 
| 37 | 36 | ex 412 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑧 ∈ P →
(𝑥 ∈ 𝑧 → (𝑦 <Q 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧))) | 
| 38 | 37 | com3r 87 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑦 <Q
𝑥 → (𝑧 ∈ P →
(𝑥 ∈ 𝑧 → 𝑦 ∈ 𝑧))) | 
| 39 | 10, 38 | sylan9 507 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 ⊆ P ∧
𝑦
<Q 𝑥) → (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝑧 → 𝑦 ∈ 𝑧))) | 
| 40 | 39 | reximdvai 3164 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ⊆ P ∧
𝑦
<Q 𝑥) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑧 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝑧)) | 
| 41 |  | eluni2 4910 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝐴
↔ ∃𝑧 ∈
𝐴 𝑥 ∈ 𝑧) | 
| 42 |  | eluni2 4910 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑦 ∈ ∪ 𝐴
↔ ∃𝑧 ∈
𝐴 𝑦 ∈ 𝑧) | 
| 43 | 40, 41, 42 | 3imtr4g 296 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ⊆ P ∧
𝑦
<Q 𝑥) → (𝑥 ∈ ∪ 𝐴 → 𝑦 ∈ ∪ 𝐴)) | 
| 44 | 43 | ex 412 | . . . . . . 7
⊢ (𝐴 ⊆ P →
(𝑦
<Q 𝑥 → (𝑥 ∈ ∪ 𝐴 → 𝑦 ∈ ∪ 𝐴))) | 
| 45 | 44 | com23 86 | . . . . . 6
⊢ (𝐴 ⊆ P →
(𝑥 ∈ ∪ 𝐴
→ (𝑦
<Q 𝑥 → 𝑦 ∈ ∪ 𝐴))) | 
| 46 | 45 | alrimdv 1928 | . . . . 5
⊢ (𝐴 ⊆ P →
(𝑥 ∈ ∪ 𝐴
→ ∀𝑦(𝑦 <Q
𝑥 → 𝑦 ∈ ∪ 𝐴))) | 
| 47 |  | eluni 4909 | . . . . . 6
⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝐴
↔ ∃𝑧(𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) | 
| 48 |  | prnmax 11036 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑧 ∈ P ∧
𝑥 ∈ 𝑧) → ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝑥 <Q 𝑦) | 
| 49 | 48 | ex 412 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑧 ∈ P →
(𝑥 ∈ 𝑧 → ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝑥 <Q 𝑦)) | 
| 50 | 10, 49 | syl6 35 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 ⊆ P →
(𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝑧 → ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝑥 <Q 𝑦))) | 
| 51 | 50 | com23 86 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝐴 ⊆ P →
(𝑥 ∈ 𝑧 → (𝑧 ∈ 𝐴 → ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝑥 <Q 𝑦))) | 
| 52 | 51 | imp 406 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ⊆ P ∧
𝑥 ∈ 𝑧) → (𝑧 ∈ 𝐴 → ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝑥 <Q 𝑦)) | 
| 53 |  | ssrexv 4052 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑧 ⊆ ∪ 𝐴
→ (∃𝑦 ∈
𝑧 𝑥 <Q 𝑦 → ∃𝑦 ∈ ∪ 𝐴𝑥 <Q 𝑦)) | 
| 54 | 14, 53 | syl 17 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → (∃𝑦 ∈ 𝑧 𝑥 <Q 𝑦 → ∃𝑦 ∈ ∪ 𝐴𝑥 <Q 𝑦)) | 
| 55 | 52, 54 | sylcom 30 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ⊆ P ∧
𝑥 ∈ 𝑧) → (𝑧 ∈ 𝐴 → ∃𝑦 ∈ ∪ 𝐴𝑥 <Q 𝑦)) | 
| 56 | 55 | expimpd 453 | . . . . . . 7
⊢ (𝐴 ⊆ P →
((𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ∪ 𝐴𝑥 <Q 𝑦)) | 
| 57 | 56 | exlimdv 1932 | . . . . . 6
⊢ (𝐴 ⊆ P →
(∃𝑧(𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ∪ 𝐴𝑥 <Q 𝑦)) | 
| 58 | 47, 57 | biimtrid 242 | . . . . 5
⊢ (𝐴 ⊆ P →
(𝑥 ∈ ∪ 𝐴
→ ∃𝑦 ∈
∪ 𝐴𝑥 <Q 𝑦)) | 
| 59 | 46, 58 | jcad 512 | . . . 4
⊢ (𝐴 ⊆ P →
(𝑥 ∈ ∪ 𝐴
→ (∀𝑦(𝑦 <Q
𝑥 → 𝑦 ∈ ∪ 𝐴) ∧ ∃𝑦 ∈ ∪ 𝐴𝑥 <Q 𝑦))) | 
| 60 | 59 | ralrimiv 3144 | . . 3
⊢ (𝐴 ⊆ P →
∀𝑥 ∈ ∪ 𝐴(∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥 → 𝑦 ∈ ∪ 𝐴) ∧ ∃𝑦 ∈ ∪ 𝐴𝑥 <Q 𝑦)) | 
| 61 | 8, 60 | syl 17 | . 2
⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ P
∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐴(∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥 → 𝑦 ∈ ∪ 𝐴) ∧ ∃𝑦 ∈ ∪ 𝐴𝑥 <Q 𝑦)) | 
| 62 |  | elnp 11028 | . 2
⊢ (∪ 𝐴
∈ P ↔ ((∅ ⊊ ∪
𝐴 ∧ ∪ 𝐴
⊊ Q) ∧ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐴(∀𝑦(𝑦 <Q 𝑥 → 𝑦 ∈ ∪ 𝐴) ∧ ∃𝑦 ∈ ∪ 𝐴𝑥 <Q 𝑦))) | 
| 63 | 35, 61, 62 | sylanbrc 583 | 1
⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ P
∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦<P 𝑥) → ∪ 𝐴
∈ P) |