Theorem php 9245

Description: Pigeonhole Principle. A natural number is not equinumerous to a proper subset of itself. Theorem (Pigeonhole Principle) of [Enderton] p. 134. The theorem is so-called because you can't put n + 1 pigeons into n holes (if each hole holds only one pigeon). The proof consists of phplem1 9242, phplem2 9243, nneneq 9244, and this final piece of the proof. (Contributed by NM, 29-May-1998.) Avoid ax-pow 5371. (Revised by BTernaryTau, 18-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
php	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)

Proof of Theorem php

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4406	. . . . . 6 ⊢ ∅ ⊆ 𝐵
2		sspsstr 4118	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → ∅ ⊊ 𝐴)
3	1, 2	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊊ 𝐴 → ∅ ⊊ 𝐴)
4		0pss 4453	. . . . . 6 ⊢ (∅ ⊊ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅)
5		df-ne 2939	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
6	4, 5	bitri 275	. . . . 5 ⊢ (∅ ⊊ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
7	3, 6	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊊ 𝐴 → ¬ 𝐴 = ∅)
8		nn0suc 7917	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥))
9	8	orcanai 1004	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥)
10	7, 9	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥)
11		pssnel 4477	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → ∃𝑦(𝑦 ∈ suc 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐵))
12		pssss 4108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → 𝐵 ⊆ suc 𝑥)
13		ssdif 4154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐵 ⊆ suc 𝑥 → (𝐵 ∖ {𝑦}) ⊆ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}))
14		disjsn 4716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐵 ∩ {𝑦}) = ∅ ↔ ¬ 𝑦 ∈ 𝐵)
15		disj3 4460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐵 ∩ {𝑦}) = ∅ ↔ 𝐵 = (𝐵 ∖ {𝑦}))
16	14, 15	bitr3i 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝐵 = (𝐵 ∖ {𝑦}))
17		sseq1 4021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐵 = (𝐵 ∖ {𝑦}) → (𝐵 ⊆ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ↔ (𝐵 ∖ {𝑦}) ⊆ (suc 𝑥 ∖ {𝑦})))
18	16, 17	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ 𝐵 → (𝐵 ⊆ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ↔ (𝐵 ∖ {𝑦}) ⊆ (suc 𝑥 ∖ {𝑦})))
19	13, 18	imbitrrid 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ 𝐵 → (𝐵 ⊆ suc 𝑥 → 𝐵 ⊆ (suc 𝑥 ∖ {𝑦})))
20	12, 19	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ 𝐵 → (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → 𝐵 ⊆ (suc 𝑥 ∖ {𝑦})))
21		peano2 7913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ω → suc 𝑥 ∈ ω)
22		nnfi 9206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (suc 𝑥 ∈ ω → suc 𝑥 ∈ Fin)
23		diffi 9214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (suc 𝑥 ∈ Fin → (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ∈ Fin)
24		ssdomfi 9234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ∈ Fin → (𝐵 ⊆ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) → 𝐵 ≼ (suc 𝑥 ∖ {𝑦})))
25	21, 22, 23, 24	4syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝐵 ⊆ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) → 𝐵 ≼ (suc 𝑥 ∖ {𝑦})))
26	20, 25	sylan9 507	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((¬ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → 𝐵 ≼ (suc 𝑥 ∖ {𝑦})))
27	26	3impia 1116	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((¬ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ suc 𝑥) → 𝐵 ≼ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}))
28	27	3com23 1125	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((¬ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊊ suc 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝐵 ≼ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}))
29	28	3expa 1117	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((¬ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊊ suc 𝑥) ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝐵 ≼ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}))
30	29	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((¬ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊊ suc 𝑥) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ suc 𝑥)) → 𝐵 ≼ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}))
31		nnfi 9206	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ Fin)
32	31	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ≼ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ suc 𝑥)) → 𝑥 ∈ Fin)
33		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ≼ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ suc 𝑥)) → 𝐵 ≼ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}))
34		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ≼ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ suc 𝑥)) → (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ suc 𝑥))
35		phplem1 9242	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ suc 𝑥) → 𝑥 ≈ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}))
36		ensymfib 9222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (𝑥 ≈ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ↔ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥))
37	31, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝑥 ≈ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ↔ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥))
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ suc 𝑥) → (𝑥 ≈ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ↔ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥))
39	35, 38	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ suc 𝑥) → (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥)
40		endom 9018	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥 → (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ≼ 𝑥)
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ suc 𝑥) → (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ≼ 𝑥)
42		domtrfir 9232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ∧ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ≼ 𝑥) → 𝐵 ≼ 𝑥)
43	41, 42	syl3an3 1164	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ suc 𝑥)) → 𝐵 ≼ 𝑥)
44	32, 33, 34, 43	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ≼ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ suc 𝑥)) → 𝐵 ≼ 𝑥)
45	30, 44	sylancom 588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((¬ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊊ suc 𝑥) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ suc 𝑥)) → 𝐵 ≼ 𝑥)
46	45	exp43 436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ 𝐵 → (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → (𝑥 ∈ ω → (𝑦 ∈ suc 𝑥 → 𝐵 ≼ 𝑥))))
47	46	com4r 94	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ suc 𝑥 → (¬ 𝑦 ∈ 𝐵 → (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → (𝑥 ∈ ω → 𝐵 ≼ 𝑥))))
48	47	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ suc 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → (𝑥 ∈ ω → 𝐵 ≼ 𝑥)))
49	48	exlimiv 1928	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑦(𝑦 ∈ suc 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → (𝑥 ∈ ω → 𝐵 ≼ 𝑥)))
50	11, 49	mpcom 38	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → (𝑥 ∈ ω → 𝐵 ≼ 𝑥))
51		simp1 1135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ suc 𝑥 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝑥) → 𝑥 ∈ ω)
52		endom 9018	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (suc 𝑥 ≈ 𝐵 → suc 𝑥 ≼ 𝐵)
53		domtrfir 9232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ suc 𝑥 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝑥) → suc 𝑥 ≼ 𝑥)
54	52, 53	syl3an2 1163	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ suc 𝑥 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝑥) → suc 𝑥 ≼ 𝑥)
55	31, 54	syl3an1 1162	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ suc 𝑥 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝑥) → suc 𝑥 ≼ 𝑥)
56		sssucid 6466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑥 ⊆ suc 𝑥
57		ssdomfi 9234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (suc 𝑥 ∈ Fin → (𝑥 ⊆ suc 𝑥 → 𝑥 ≼ suc 𝑥))
58	22, 56, 57	mpisyl 21	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (suc 𝑥 ∈ ω → 𝑥 ≼ suc 𝑥)
59	21, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ≼ suc 𝑥)
60	59	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ suc 𝑥 ≼ 𝑥) → 𝑥 ≼ suc 𝑥)
61		sbthfi 9237	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ suc 𝑥 ≼ 𝑥 ∧ 𝑥 ≼ suc 𝑥) → suc 𝑥 ≈ 𝑥)
62	31, 61	syl3an1 1162	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ suc 𝑥 ≼ 𝑥 ∧ 𝑥 ≼ suc 𝑥) → suc 𝑥 ≈ 𝑥)
63	60, 62	mpd3an3 1461	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ suc 𝑥 ≼ 𝑥) → suc 𝑥 ≈ 𝑥)
64	51, 55, 63	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ suc 𝑥 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝑥) → suc 𝑥 ≈ 𝑥)
65	64	3com23 1125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ≼ 𝑥 ∧ suc 𝑥 ≈ 𝐵) → suc 𝑥 ≈ 𝑥)
66	65	3expia 1120	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ≼ 𝑥) → (suc 𝑥 ≈ 𝐵 → suc 𝑥 ≈ 𝑥))
67		peano2b 7904	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ω ↔ suc 𝑥 ∈ ω)
68		nnord 7895	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (suc 𝑥 ∈ ω → Ord suc 𝑥)
69	67, 68	sylbi 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ω → Ord suc 𝑥)
70		vex 3482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑥 ∈ V
71	70	sucid 6468	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑥 ∈ suc 𝑥
72		nordeq 6405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Ord suc 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑥) → suc 𝑥 ≠ 𝑥)
73	69, 71, 72	sylancl 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ω → suc 𝑥 ≠ 𝑥)
74		nneneq 9244	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((suc 𝑥 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → (suc 𝑥 ≈ 𝑥 ↔ suc 𝑥 = 𝑥))
75	67, 74	sylanb 581	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → (suc 𝑥 ≈ 𝑥 ↔ suc 𝑥 = 𝑥))
76	75	anidms 566	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (suc 𝑥 ≈ 𝑥 ↔ suc 𝑥 = 𝑥))
77	76	necon3bbid 2976	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (¬ suc 𝑥 ≈ 𝑥 ↔ suc 𝑥 ≠ 𝑥))
78	73, 77	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ω → ¬ suc 𝑥 ≈ 𝑥)
79	66, 78	nsyli 157	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ≼ 𝑥) → (𝑥 ∈ ω → ¬ suc 𝑥 ≈ 𝐵))
80	79	expcom 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ≼ 𝑥 → (𝑥 ∈ ω → (𝑥 ∈ ω → ¬ suc 𝑥 ≈ 𝐵)))
81	80	pm2.43d 53	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≼ 𝑥 → (𝑥 ∈ ω → ¬ suc 𝑥 ≈ 𝐵))
82	50, 81	syli 39	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → (𝑥 ∈ ω → ¬ suc 𝑥 ≈ 𝐵))
83	82	com12 32	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → ¬ suc 𝑥 ≈ 𝐵))
84		psseq2 4101	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = suc 𝑥 → (𝐵 ⊊ 𝐴 ↔ 𝐵 ⊊ suc 𝑥))
85		breq1 5151	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = suc 𝑥 → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ suc 𝑥 ≈ 𝐵))
86	85	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = suc 𝑥 → (¬ 𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ¬ suc 𝑥 ≈ 𝐵))
87	84, 86	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = suc 𝑥 → ((𝐵 ⊊ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵) ↔ (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → ¬ suc 𝑥 ≈ 𝐵)))
88	83, 87	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝐴 = suc 𝑥 → (𝐵 ⊊ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)))
89	88	rexlimiv 3146	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥 → (𝐵 ⊊ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))
90	10, 89	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → (𝐵 ⊊ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))
91	90	syldbl2 841	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537  ∃wex 1776   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∃wrex 3068   ∖ cdif 3960   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963   ⊊ wpss 3964  ∅c0 4339  {csn 4631   class class class wbr 5148  Ord word 6385  suc csuc 6388  ωcom 7887   ≈ cen 8981   ≼ cdom 8982  Fincfn 8984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-om 7888  df-1o 8505  df-en 8985  df-dom 8986  df-fin 8988

This theorem is referenced by:  php2  9246  php2OLD  9258  php3OLD  9259  omssrncard  43530  rr-phpd  44199