Theorem php 9198

Description: Pigeonhole Principle. A natural number is not equinumerous to a proper subset of itself. Theorem (Pigeonhole Principle) of [Enderton] p. 134. The theorem is so-called because you can't put n + 1 pigeons into n holes (if each hole holds only one pigeon). The proof consists of phplem1 9195, phplem2 9196, nneneq 9197, and this final piece of the proof. (Contributed by NM, 29-May-1998.) Avoid ax-pow 5338. (Revised by BTernaryTau, 18-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
php	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)

Proof of Theorem php

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4357	. . . . . 6 ⊢ ∅ ⊆ 𝐵
2		sspsstr 4064	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → ∅ ⊊ 𝐴)
3	1, 2	mpan 703	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊊ 𝐴 → ∅ ⊊ 𝐴)
4		0pss 4367	. . . . . 6 ⊢ (∅ ⊊ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅)
5		df-ne 2961	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
6	4, 5	bitri 278	. . . . 5 ⊢ (∅ ⊊ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
7	3, 6	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊊ 𝐴 → ¬ 𝐴 = ∅)
8		nn0suc 7897	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥))
9	8	orcanai 1018	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥)
10	7, 9	sylan2 605	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥)
11		pssnel 4431	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → ∃𝑦(𝑦 ∈ suc 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐵))
12		pssss 4053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → 𝐵 ⊆ suc 𝑥)
13		ssdif 4098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐵 ⊆ suc 𝑥 → (𝐵 ∖ {𝑦}) ⊆ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}))
14		disjsn 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐵 ∩ {𝑦}) = ∅ ↔ ¬ 𝑦 ∈ 𝐵)
15		disj3 4414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐵 ∩ {𝑦}) = ∅ ↔ 𝐵 = (𝐵 ∖ {𝑦}))
16	14, 15	bitr3i 280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝐵 = (𝐵 ∖ {𝑦}))
17		sseq1 3963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐵 = (𝐵 ∖ {𝑦}) → (𝐵 ⊆ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ↔ (𝐵 ∖ {𝑦}) ⊆ (suc 𝑥 ∖ {𝑦})))
18	16, 17	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ 𝐵 → (𝐵 ⊆ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ↔ (𝐵 ∖ {𝑦}) ⊆ (suc 𝑥 ∖ {𝑦})))
19	13, 18	imbitrrid 249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ 𝐵 → (𝐵 ⊆ suc 𝑥 → 𝐵 ⊆ (suc 𝑥 ∖ {𝑦})))
20	12, 19	syl5 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ 𝐵 → (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → 𝐵 ⊆ (suc 𝑥 ∖ {𝑦})))
21		peano2 7892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ω → suc 𝑥 ∈ ω)
22		nnfi 9159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (suc 𝑥 ∈ ω → suc 𝑥 ∈ Fin)
23		diffi 9166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (suc 𝑥 ∈ Fin → (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ∈ Fin)
24		ssdomfi 9187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ∈ Fin → (𝐵 ⊆ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) → 𝐵 ≼ (suc 𝑥 ∖ {𝑦})))
25	21, 22, 23, 24	4syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝐵 ⊆ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) → 𝐵 ≼ (suc 𝑥 ∖ {𝑦})))
26	20, 25	sylan9 517	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((¬ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → 𝐵 ≼ (suc 𝑥 ∖ {𝑦})))
27	26	3impia 1135	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((¬ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ suc 𝑥) → 𝐵 ≼ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}))
28	27	3com23 1144	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((¬ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊊ suc 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝐵 ≼ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}))
29	28	3expa 1136	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((¬ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊊ suc 𝑥) ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝐵 ≼ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}))
30	29	adantrr 730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((¬ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊊ suc 𝑥) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ suc 𝑥)) → 𝐵 ≼ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}))
31		nnfi 9159	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ Fin)
32	31	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ≼ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ suc 𝑥)) → 𝑥 ∈ Fin)
33		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ≼ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ suc 𝑥)) → 𝐵 ≼ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}))
34		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ≼ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ suc 𝑥)) → (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ suc 𝑥))
35		phplem1 9195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ suc 𝑥) → 𝑥 ≈ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}))
36		ensymfib 9175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (𝑥 ≈ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ↔ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥))
37	31, 36	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝑥 ≈ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ↔ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥))
38	37	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ suc 𝑥) → (𝑥 ≈ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ↔ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥))
39	35, 38	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ suc 𝑥) → (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥)
40		endom 8982	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥 → (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ≼ 𝑥)
41	39, 40	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ suc 𝑥) → (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ≼ 𝑥)
42		domtrfir 9185	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ∧ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ≼ 𝑥) → 𝐵 ≼ 𝑥)
43	41, 42	syl3an3 1183	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ suc 𝑥)) → 𝐵 ≼ 𝑥)
44	32, 33, 34, 43	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ≼ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ suc 𝑥)) → 𝐵 ≼ 𝑥)
45	30, 44	sylancom 600	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((¬ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊊ suc 𝑥) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ suc 𝑥)) → 𝐵 ≼ 𝑥)
46	45	exp43 442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ 𝐵 → (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → (𝑥 ∈ ω → (𝑦 ∈ suc 𝑥 → 𝐵 ≼ 𝑥))))
47	46	com4r 95	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ suc 𝑥 → (¬ 𝑦 ∈ 𝐵 → (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → (𝑥 ∈ ω → 𝐵 ≼ 𝑥))))
48	47	imp 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ suc 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → (𝑥 ∈ ω → 𝐵 ≼ 𝑥)))
49	48	exlimiv 1963	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑦(𝑦 ∈ suc 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → (𝑥 ∈ ω → 𝐵 ≼ 𝑥)))
50	11, 49	mpcom 39	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → (𝑥 ∈ ω → 𝐵 ≼ 𝑥))
51		simp1 1154	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ suc 𝑥 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝑥) → 𝑥 ∈ ω)
52		endom 8982	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (suc 𝑥 ≈ 𝐵 → suc 𝑥 ≼ 𝐵)
53		domtrfir 9185	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ suc 𝑥 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝑥) → suc 𝑥 ≼ 𝑥)
54	52, 53	syl3an2 1182	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ suc 𝑥 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝑥) → suc 𝑥 ≼ 𝑥)
55	31, 54	syl3an1 1181	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ suc 𝑥 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝑥) → suc 𝑥 ≼ 𝑥)
56		sssucid 6447	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑥 ⊆ suc 𝑥
57		ssdomfi 9187	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (suc 𝑥 ∈ Fin → (𝑥 ⊆ suc 𝑥 → 𝑥 ≼ suc 𝑥))
58	22, 56, 57	mpisyl 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (suc 𝑥 ∈ ω → 𝑥 ≼ suc 𝑥)
59	21, 58	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ≼ suc 𝑥)
60	59	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ suc 𝑥 ≼ 𝑥) → 𝑥 ≼ suc 𝑥)
61		sbthfi 9190	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ suc 𝑥 ≼ 𝑥 ∧ 𝑥 ≼ suc 𝑥) → suc 𝑥 ≈ 𝑥)
62	31, 61	syl3an1 1181	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ suc 𝑥 ≼ 𝑥 ∧ 𝑥 ≼ suc 𝑥) → suc 𝑥 ≈ 𝑥)
63	60, 62	mpd3an3 1491	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ suc 𝑥 ≼ 𝑥) → suc 𝑥 ≈ 𝑥)
64	51, 55, 63	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ suc 𝑥 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝑥) → suc 𝑥 ≈ 𝑥)
65	64	3com23 1144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ≼ 𝑥 ∧ suc 𝑥 ≈ 𝐵) → suc 𝑥 ≈ 𝑥)
66	65	3expia 1139	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ≼ 𝑥) → (suc 𝑥 ≈ 𝐵 → suc 𝑥 ≈ 𝑥))
67		peano2b 7885	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ω ↔ suc 𝑥 ∈ ω)
68		nnord 7876	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (suc 𝑥 ∈ ω → Ord suc 𝑥)
69	67, 68	sylbi 220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ω → Ord suc 𝑥)
70		vex 3461	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑥 ∈ V
71	70	sucid 6449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑥 ∈ suc 𝑥
72		nordeq 6383	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Ord suc 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑥) → suc 𝑥 ≠ 𝑥)
73	69, 71, 72	sylancl 598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ω → suc 𝑥 ≠ 𝑥)
74		nneneq 9197	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((suc 𝑥 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → (suc 𝑥 ≈ 𝑥 ↔ suc 𝑥 = 𝑥))
75	67, 74	sylanb 593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → (suc 𝑥 ≈ 𝑥 ↔ suc 𝑥 = 𝑥))
76	75	anidms 577	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (suc 𝑥 ≈ 𝑥 ↔ suc 𝑥 = 𝑥))
77	76	necon3bbid 2997	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (¬ suc 𝑥 ≈ 𝑥 ↔ suc 𝑥 ≠ 𝑥))
78	73, 77	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ω → ¬ suc 𝑥 ≈ 𝑥)
79	66, 78	nsyli 158	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ≼ 𝑥) → (𝑥 ∈ ω → ¬ suc 𝑥 ≈ 𝐵))
80	79	expcom 419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ≼ 𝑥 → (𝑥 ∈ ω → (𝑥 ∈ ω → ¬ suc 𝑥 ≈ 𝐵)))
81	80	pm2.43d 54	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≼ 𝑥 → (𝑥 ∈ ω → ¬ suc 𝑥 ≈ 𝐵))
82	50, 81	syli 40	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → (𝑥 ∈ ω → ¬ suc 𝑥 ≈ 𝐵))
83	82	com12 33	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → ¬ suc 𝑥 ≈ 𝐵))
84		psseq2 4046	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = suc 𝑥 → (𝐵 ⊊ 𝐴 ↔ 𝐵 ⊊ suc 𝑥))
85		breq1 5114	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = suc 𝑥 → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ suc 𝑥 ≈ 𝐵))
86	85	notbid 321	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = suc 𝑥 → (¬ 𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ¬ suc 𝑥 ≈ 𝐵))
87	84, 86	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = suc 𝑥 → ((𝐵 ⊊ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵) ↔ (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → ¬ suc 𝑥 ≈ 𝐵)))
88	83, 87	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝐴 = suc 𝑥 → (𝐵 ⊊ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)))
89	88	rexlimiv 3161	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥 → (𝐵 ⊊ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))
90	10, 89	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → (𝐵 ⊊ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))
91	90	syldbl2 855	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∃wrex 3091   ∖ cdif 3903   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906   ⊊ wpss 3907  ∅c0 4286  {csn 4591   class class class wbr 5111  Ord word 6363  suc csuc 6366  ωcom 7868   ≈ cen 8946   ≼ cdom 8947  Fincfn 8949

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-om 7869  df-1o 8459  df-en 8950  df-dom 8951  df-fin 8953

This theorem is used by:  php2  9199  omssrncard  44326  rr-phpd  44993