Theorem php 8993

Description: Pigeonhole Principle. A natural number is not equinumerous to a proper subset of itself. Theorem (Pigeonhole Principle) of [Enderton] p. 134. The theorem is so-called because you can't put n + 1 pigeons into n holes (if each hole holds only one pigeon). The proof consists of phplem1 8990, phplem2 8991, nneneq 8992, and this final piece of the proof. (Contributed by NM, 29-May-1998.) Avoid ax-pow 5288. (Revised by BTernaryTau, 18-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
php	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)

Proof of Theorem php

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4330	. . . . . 6 ⊢ ∅ ⊆ 𝐵
2		sspsstr 4040	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → ∅ ⊊ 𝐴)
3	1, 2	mpan 687	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊊ 𝐴 → ∅ ⊊ 𝐴)
4		0pss 4378	. . . . . 6 ⊢ (∅ ⊊ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅)
5		df-ne 2944	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
6	4, 5	bitri 274	. . . . 5 ⊢ (∅ ⊊ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
7	3, 6	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊊ 𝐴 → ¬ 𝐴 = ∅)
8		nn0suc 7742	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥))
9	8	orcanai 1000	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥)
10	7, 9	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥)
11		pssnel 4404	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → ∃𝑦(𝑦 ∈ suc 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐵))
12		pssss 4030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → 𝐵 ⊆ suc 𝑥)
13		ssdif 4074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐵 ⊆ suc 𝑥 → (𝐵 ∖ {𝑦}) ⊆ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}))
14		disjsn 4647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐵 ∩ {𝑦}) = ∅ ↔ ¬ 𝑦 ∈ 𝐵)
15		disj3 4387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐵 ∩ {𝑦}) = ∅ ↔ 𝐵 = (𝐵 ∖ {𝑦}))
16	14, 15	bitr3i 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝐵 = (𝐵 ∖ {𝑦}))
17		sseq1 3946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐵 = (𝐵 ∖ {𝑦}) → (𝐵 ⊆ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ↔ (𝐵 ∖ {𝑦}) ⊆ (suc 𝑥 ∖ {𝑦})))
18	16, 17	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ 𝐵 → (𝐵 ⊆ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ↔ (𝐵 ∖ {𝑦}) ⊆ (suc 𝑥 ∖ {𝑦})))
19	13, 18	syl5ibr 245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ 𝐵 → (𝐵 ⊆ suc 𝑥 → 𝐵 ⊆ (suc 𝑥 ∖ {𝑦})))
20	12, 19	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ 𝐵 → (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → 𝐵 ⊆ (suc 𝑥 ∖ {𝑦})))
21		peano2 7737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ω → suc 𝑥 ∈ ω)
22		nnfi 8950	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (suc 𝑥 ∈ ω → suc 𝑥 ∈ Fin)
23		diffi 8962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (suc 𝑥 ∈ Fin → (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ∈ Fin)
24	21, 22, 23	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ∈ Fin)
25		ssdomfi 8982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ∈ Fin → (𝐵 ⊆ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) → 𝐵 ≼ (suc 𝑥 ∖ {𝑦})))
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝐵 ⊆ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) → 𝐵 ≼ (suc 𝑥 ∖ {𝑦})))
27	20, 26	sylan9 508	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((¬ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → 𝐵 ≼ (suc 𝑥 ∖ {𝑦})))
28	27	3impia 1116	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((¬ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ suc 𝑥) → 𝐵 ≼ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}))
29	28	3com23 1125	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((¬ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊊ suc 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝐵 ≼ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}))
30	29	3expa 1117	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((¬ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊊ suc 𝑥) ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝐵 ≼ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}))
31	30	adantrr 714	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((¬ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊊ suc 𝑥) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ suc 𝑥)) → 𝐵 ≼ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}))
32		nnfi 8950	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ Fin)
33	32	ad2antrl 725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ≼ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ suc 𝑥)) → 𝑥 ∈ Fin)
34		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ≼ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ suc 𝑥)) → 𝐵 ≼ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}))
35		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ≼ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ suc 𝑥)) → (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ suc 𝑥))
36		phplem1 8990	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ suc 𝑥) → 𝑥 ≈ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}))
37		ensymfib 8970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (𝑥 ≈ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ↔ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥))
38	32, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝑥 ≈ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ↔ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥))
39	38	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ suc 𝑥) → (𝑥 ≈ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ↔ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥))
40	36, 39	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ suc 𝑥) → (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥)
41		endom 8767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥 → (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ≼ 𝑥)
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ suc 𝑥) → (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ≼ 𝑥)
43		domtrfir 8980	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ∧ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ≼ 𝑥) → 𝐵 ≼ 𝑥)
44	42, 43	syl3an3 1164	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ suc 𝑥)) → 𝐵 ≼ 𝑥)
45	33, 34, 35, 44	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ≼ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ suc 𝑥)) → 𝐵 ≼ 𝑥)
46	31, 45	sylancom 588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((¬ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊊ suc 𝑥) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ suc 𝑥)) → 𝐵 ≼ 𝑥)
47	46	exp43 437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ 𝐵 → (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → (𝑥 ∈ ω → (𝑦 ∈ suc 𝑥 → 𝐵 ≼ 𝑥))))
48	47	com4r 94	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ suc 𝑥 → (¬ 𝑦 ∈ 𝐵 → (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → (𝑥 ∈ ω → 𝐵 ≼ 𝑥))))
49	48	imp 407	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ suc 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → (𝑥 ∈ ω → 𝐵 ≼ 𝑥)))
50	49	exlimiv 1933	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑦(𝑦 ∈ suc 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → (𝑥 ∈ ω → 𝐵 ≼ 𝑥)))
51	11, 50	mpcom 38	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → (𝑥 ∈ ω → 𝐵 ≼ 𝑥))
52		simp1 1135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ suc 𝑥 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝑥) → 𝑥 ∈ ω)
53		endom 8767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (suc 𝑥 ≈ 𝐵 → suc 𝑥 ≼ 𝐵)
54		domtrfir 8980	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ suc 𝑥 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝑥) → suc 𝑥 ≼ 𝑥)
55	53, 54	syl3an2 1163	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ suc 𝑥 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝑥) → suc 𝑥 ≼ 𝑥)
56	32, 55	syl3an1 1162	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ suc 𝑥 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝑥) → suc 𝑥 ≼ 𝑥)
57		sssucid 6343	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑥 ⊆ suc 𝑥
58		ssdomfi 8982	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (suc 𝑥 ∈ Fin → (𝑥 ⊆ suc 𝑥 → 𝑥 ≼ suc 𝑥))
59	22, 57, 58	mpisyl 21	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (suc 𝑥 ∈ ω → 𝑥 ≼ suc 𝑥)
60	21, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ≼ suc 𝑥)
61	60	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ suc 𝑥 ≼ 𝑥) → 𝑥 ≼ suc 𝑥)
62		sbthfi 8985	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ suc 𝑥 ≼ 𝑥 ∧ 𝑥 ≼ suc 𝑥) → suc 𝑥 ≈ 𝑥)
63	32, 62	syl3an1 1162	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ suc 𝑥 ≼ 𝑥 ∧ 𝑥 ≼ suc 𝑥) → suc 𝑥 ≈ 𝑥)
64	61, 63	mpd3an3 1461	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ suc 𝑥 ≼ 𝑥) → suc 𝑥 ≈ 𝑥)
65	52, 56, 64	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ suc 𝑥 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝑥) → suc 𝑥 ≈ 𝑥)
66	65	3com23 1125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ≼ 𝑥 ∧ suc 𝑥 ≈ 𝐵) → suc 𝑥 ≈ 𝑥)
67	66	3expia 1120	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ≼ 𝑥) → (suc 𝑥 ≈ 𝐵 → suc 𝑥 ≈ 𝑥))
68		peano2b 7729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ω ↔ suc 𝑥 ∈ ω)
69		nnord 7720	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (suc 𝑥 ∈ ω → Ord suc 𝑥)
70	68, 69	sylbi 216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ω → Ord suc 𝑥)
71		vex 3436	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑥 ∈ V
72	71	sucid 6345	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑥 ∈ suc 𝑥
73		nordeq 6285	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Ord suc 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑥) → suc 𝑥 ≠ 𝑥)
74	70, 72, 73	sylancl 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ω → suc 𝑥 ≠ 𝑥)
75		nneneq 8992	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((suc 𝑥 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → (suc 𝑥 ≈ 𝑥 ↔ suc 𝑥 = 𝑥))
76	68, 75	sylanb 581	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → (suc 𝑥 ≈ 𝑥 ↔ suc 𝑥 = 𝑥))
77	76	anidms 567	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (suc 𝑥 ≈ 𝑥 ↔ suc 𝑥 = 𝑥))
78	77	necon3bbid 2981	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (¬ suc 𝑥 ≈ 𝑥 ↔ suc 𝑥 ≠ 𝑥))
79	74, 78	mpbird 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ω → ¬ suc 𝑥 ≈ 𝑥)
80	67, 79	nsyli 157	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ≼ 𝑥) → (𝑥 ∈ ω → ¬ suc 𝑥 ≈ 𝐵))
81	80	expcom 414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ≼ 𝑥 → (𝑥 ∈ ω → (𝑥 ∈ ω → ¬ suc 𝑥 ≈ 𝐵)))
82	81	pm2.43d 53	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≼ 𝑥 → (𝑥 ∈ ω → ¬ suc 𝑥 ≈ 𝐵))
83	51, 82	syli 39	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → (𝑥 ∈ ω → ¬ suc 𝑥 ≈ 𝐵))
84	83	com12 32	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → ¬ suc 𝑥 ≈ 𝐵))
85		psseq2 4023	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = suc 𝑥 → (𝐵 ⊊ 𝐴 ↔ 𝐵 ⊊ suc 𝑥))
86		breq1 5077	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = suc 𝑥 → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ suc 𝑥 ≈ 𝐵))
87	86	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = suc 𝑥 → (¬ 𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ¬ suc 𝑥 ≈ 𝐵))
88	85, 87	imbi12d 345	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = suc 𝑥 → ((𝐵 ⊊ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵) ↔ (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → ¬ suc 𝑥 ≈ 𝐵)))
89	84, 88	syl5ibrcom 246	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝐴 = suc 𝑥 → (𝐵 ⊊ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)))
90	89	rexlimiv 3209	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥 → (𝐵 ⊊ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))
91	10, 90	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → (𝐵 ⊊ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))
92	91	syldbl2 838	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3065   ∖ cdif 3884   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887   ⊊ wpss 3888  ∅c0 4256  {csn 4561   class class class wbr 5074  Ord word 6265  suc csuc 6268  ωcom 7712   ≈ cen 8730   ≼ cdom 8731  Fincfn 8733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-om 7713  df-1o 8297  df-en 8734  df-dom 8735  df-fin 8737

This theorem is referenced by:  php2  8994  php2OLD  9006  php3OLD  9007  omssrncard  41147  rr-phpd  41821