Theorem 2reu3 47702

Description: Double restricted existential uniqueness, analogous to 2eu3 2683. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
2reu3	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) → ((∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ↔ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem 2reu3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orcom 883	. . . . . . 7 ⊢ ((∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) ↔ (∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∨ ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
2	1	ralbii 3111	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∨ ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
3		nfrmo1 3397	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑
4	3	r19.32 47690	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∨ ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ↔ (∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∨ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
5	2, 4	bitri 278	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) ↔ (∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∨ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
6		orcom 883	. . . . 5 ⊢ ((∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∨ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑))
7	5, 6	bitri 278	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑))
8	7	ralbii 3111	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑))
9		nfcv 2927	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
10		nfrmo1 3397	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑
11	9, 10	nfralw 3312	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑
12	11	r19.32 47690	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑))
13	8, 12	bitri 278	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑))
14		2reu1 3853	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → (∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ (∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑)))
15	14	biimpd 232	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → (∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → (∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑)))
16		ancom 465	. . . . . 6 ⊢ ((∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) ↔ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
17	15, 16	imbitrdi 254	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → (∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
18	17	adantld 495	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ((∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) → (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
19		2reu1 3853	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
20	19	biimpd 232	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
21	20	adantrd 496	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ((∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) → (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
22	18, 21	jaoi 870	. . 3 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) → ((∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) → (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
23		2rexreu 3728	. . . 4 ⊢ ((∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) → ∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑)
24		2rexreu 3728	. . . . 5 ⊢ ((∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) → ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)
25	24	ancoms 463	. . . 4 ⊢ ((∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) → ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)
26	23, 25	jca 520	. . 3 ⊢ ((∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) → (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
27	22, 26	impbid1 228	. 2 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) → ((∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ↔ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
28	13, 27	sylbi 220	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) → ((∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ↔ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  ∃!wreu 3368  ∃*wrmo 3369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-tru 1566  df-ex 1803  df-nf 1807  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371

This theorem is referenced by: (None)