Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2reu3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2reu3 44155
Description: Double restricted existential uniqueness, analogous to 2eu3 2656. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
2reu3 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (∃*𝑥𝐴 𝜑 ∨ ∃*𝑦𝐵 𝜑) → ((∃!𝑥𝐴 ∃!𝑦𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦𝐵 ∃!𝑥𝐴 𝜑) ↔ (∃!𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦𝐵𝑥𝐴 𝜑)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem 2reu3
StepHypRef Expression
1 orcom 869 . . . . . . 7 ((∃*𝑥𝐴 𝜑 ∨ ∃*𝑦𝐵 𝜑) ↔ (∃*𝑦𝐵 𝜑 ∨ ∃*𝑥𝐴 𝜑))
21ralbii 3080 . . . . . 6 (∀𝑦𝐵 (∃*𝑥𝐴 𝜑 ∨ ∃*𝑦𝐵 𝜑) ↔ ∀𝑦𝐵 (∃*𝑦𝐵 𝜑 ∨ ∃*𝑥𝐴 𝜑))
3 nfrmo1 3274 . . . . . . 7 𝑦∃*𝑦𝐵 𝜑
43r19.32 44142 . . . . . 6 (∀𝑦𝐵 (∃*𝑦𝐵 𝜑 ∨ ∃*𝑥𝐴 𝜑) ↔ (∃*𝑦𝐵 𝜑 ∨ ∀𝑦𝐵 ∃*𝑥𝐴 𝜑))
52, 4bitri 278 . . . . 5 (∀𝑦𝐵 (∃*𝑥𝐴 𝜑 ∨ ∃*𝑦𝐵 𝜑) ↔ (∃*𝑦𝐵 𝜑 ∨ ∀𝑦𝐵 ∃*𝑥𝐴 𝜑))
6 orcom 869 . . . . 5 ((∃*𝑦𝐵 𝜑 ∨ ∀𝑦𝐵 ∃*𝑥𝐴 𝜑) ↔ (∀𝑦𝐵 ∃*𝑥𝐴 𝜑 ∨ ∃*𝑦𝐵 𝜑))
75, 6bitri 278 . . . 4 (∀𝑦𝐵 (∃*𝑥𝐴 𝜑 ∨ ∃*𝑦𝐵 𝜑) ↔ (∀𝑦𝐵 ∃*𝑥𝐴 𝜑 ∨ ∃*𝑦𝐵 𝜑))
87ralbii 3080 . . 3 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (∃*𝑥𝐴 𝜑 ∨ ∃*𝑦𝐵 𝜑) ↔ ∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ∃*𝑥𝐴 𝜑 ∨ ∃*𝑦𝐵 𝜑))
9 nfcv 2899 . . . . 5 𝑥𝐵
10 nfrmo1 3274 . . . . 5 𝑥∃*𝑥𝐴 𝜑
119, 10nfralw 3138 . . . 4 𝑥𝑦𝐵 ∃*𝑥𝐴 𝜑
1211r19.32 44142 . . 3 (∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ∃*𝑥𝐴 𝜑 ∨ ∃*𝑦𝐵 𝜑) ↔ (∀𝑦𝐵 ∃*𝑥𝐴 𝜑 ∨ ∀𝑥𝐴 ∃*𝑦𝐵 𝜑))
138, 12bitri 278 . 2 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (∃*𝑥𝐴 𝜑 ∨ ∃*𝑦𝐵 𝜑) ↔ (∀𝑦𝐵 ∃*𝑥𝐴 𝜑 ∨ ∀𝑥𝐴 ∃*𝑦𝐵 𝜑))
14 2reu1 3788 . . . . . . 7 (∀𝑦𝐵 ∃*𝑥𝐴 𝜑 → (∃!𝑦𝐵 ∃!𝑥𝐴 𝜑 ↔ (∃!𝑦𝐵𝑥𝐴 𝜑 ∧ ∃!𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑)))
1514biimpd 232 . . . . . 6 (∀𝑦𝐵 ∃*𝑥𝐴 𝜑 → (∃!𝑦𝐵 ∃!𝑥𝐴 𝜑 → (∃!𝑦𝐵𝑥𝐴 𝜑 ∧ ∃!𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑)))
16 ancom 464 . . . . . 6 ((∃!𝑦𝐵𝑥𝐴 𝜑 ∧ ∃!𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑) ↔ (∃!𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦𝐵𝑥𝐴 𝜑))
1715, 16syl6ib 254 . . . . 5 (∀𝑦𝐵 ∃*𝑥𝐴 𝜑 → (∃!𝑦𝐵 ∃!𝑥𝐴 𝜑 → (∃!𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦𝐵𝑥𝐴 𝜑)))
1817adantld 494 . . . 4 (∀𝑦𝐵 ∃*𝑥𝐴 𝜑 → ((∃!𝑥𝐴 ∃!𝑦𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦𝐵 ∃!𝑥𝐴 𝜑) → (∃!𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦𝐵𝑥𝐴 𝜑)))
19 2reu1 3788 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 ∃*𝑦𝐵 𝜑 → (∃!𝑥𝐴 ∃!𝑦𝐵 𝜑 ↔ (∃!𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦𝐵𝑥𝐴 𝜑)))
2019biimpd 232 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 ∃*𝑦𝐵 𝜑 → (∃!𝑥𝐴 ∃!𝑦𝐵 𝜑 → (∃!𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦𝐵𝑥𝐴 𝜑)))
2120adantrd 495 . . . 4 (∀𝑥𝐴 ∃*𝑦𝐵 𝜑 → ((∃!𝑥𝐴 ∃!𝑦𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦𝐵 ∃!𝑥𝐴 𝜑) → (∃!𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦𝐵𝑥𝐴 𝜑)))
2218, 21jaoi 856 . . 3 ((∀𝑦𝐵 ∃*𝑥𝐴 𝜑 ∨ ∀𝑥𝐴 ∃*𝑦𝐵 𝜑) → ((∃!𝑥𝐴 ∃!𝑦𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦𝐵 ∃!𝑥𝐴 𝜑) → (∃!𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦𝐵𝑥𝐴 𝜑)))
23 2rexreu 3661 . . . 4 ((∃!𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦𝐵𝑥𝐴 𝜑) → ∃!𝑥𝐴 ∃!𝑦𝐵 𝜑)
24 2rexreu 3661 . . . . 5 ((∃!𝑦𝐵𝑥𝐴 𝜑 ∧ ∃!𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑) → ∃!𝑦𝐵 ∃!𝑥𝐴 𝜑)
2524ancoms 462 . . . 4 ((∃!𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦𝐵𝑥𝐴 𝜑) → ∃!𝑦𝐵 ∃!𝑥𝐴 𝜑)
2623, 25jca 515 . . 3 ((∃!𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦𝐵𝑥𝐴 𝜑) → (∃!𝑥𝐴 ∃!𝑦𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦𝐵 ∃!𝑥𝐴 𝜑))
2722, 26impbid1 228 . 2 ((∀𝑦𝐵 ∃*𝑥𝐴 𝜑 ∨ ∀𝑥𝐴 ∃*𝑦𝐵 𝜑) → ((∃!𝑥𝐴 ∃!𝑦𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦𝐵 ∃!𝑥𝐴 𝜑) ↔ (∃!𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦𝐵𝑥𝐴 𝜑)))
2813, 27sylbi 220 1 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (∃*𝑥𝐴 𝜑 ∨ ∃*𝑦𝐵 𝜑) → ((∃!𝑥𝐴 ∃!𝑦𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦𝐵 ∃!𝑥𝐴 𝜑) ↔ (∃!𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦𝐵𝑥𝐴 𝜑)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wo 846  wral 3053  wrex 3054  ∃!wreu 3055  ∃*wrmo 3056
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-tru 1545  df-ex 1787  df-nf 1791  df-mo 2540  df-eu 2570  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator