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Theorem 2reu3 44602
Description: Double restricted existential uniqueness, analogous to 2eu3 2655. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
2reu3 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (∃*𝑥𝐴 𝜑 ∨ ∃*𝑦𝐵 𝜑) → ((∃!𝑥𝐴 ∃!𝑦𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦𝐵 ∃!𝑥𝐴 𝜑) ↔ (∃!𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦𝐵𝑥𝐴 𝜑)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem 2reu3
StepHypRef Expression
1 orcom 867 . . . . . . 7 ((∃*𝑥𝐴 𝜑 ∨ ∃*𝑦𝐵 𝜑) ↔ (∃*𝑦𝐵 𝜑 ∨ ∃*𝑥𝐴 𝜑))
21ralbii 3092 . . . . . 6 (∀𝑦𝐵 (∃*𝑥𝐴 𝜑 ∨ ∃*𝑦𝐵 𝜑) ↔ ∀𝑦𝐵 (∃*𝑦𝐵 𝜑 ∨ ∃*𝑥𝐴 𝜑))
3 nfrmo1 3301 . . . . . . 7 𝑦∃*𝑦𝐵 𝜑
43r19.32 44590 . . . . . 6 (∀𝑦𝐵 (∃*𝑦𝐵 𝜑 ∨ ∃*𝑥𝐴 𝜑) ↔ (∃*𝑦𝐵 𝜑 ∨ ∀𝑦𝐵 ∃*𝑥𝐴 𝜑))
52, 4bitri 274 . . . . 5 (∀𝑦𝐵 (∃*𝑥𝐴 𝜑 ∨ ∃*𝑦𝐵 𝜑) ↔ (∃*𝑦𝐵 𝜑 ∨ ∀𝑦𝐵 ∃*𝑥𝐴 𝜑))
6 orcom 867 . . . . 5 ((∃*𝑦𝐵 𝜑 ∨ ∀𝑦𝐵 ∃*𝑥𝐴 𝜑) ↔ (∀𝑦𝐵 ∃*𝑥𝐴 𝜑 ∨ ∃*𝑦𝐵 𝜑))
75, 6bitri 274 . . . 4 (∀𝑦𝐵 (∃*𝑥𝐴 𝜑 ∨ ∃*𝑦𝐵 𝜑) ↔ (∀𝑦𝐵 ∃*𝑥𝐴 𝜑 ∨ ∃*𝑦𝐵 𝜑))
87ralbii 3092 . . 3 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (∃*𝑥𝐴 𝜑 ∨ ∃*𝑦𝐵 𝜑) ↔ ∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ∃*𝑥𝐴 𝜑 ∨ ∃*𝑦𝐵 𝜑))
9 nfcv 2907 . . . . 5 𝑥𝐵
10 nfrmo1 3301 . . . . 5 𝑥∃*𝑥𝐴 𝜑
119, 10nfralw 3151 . . . 4 𝑥𝑦𝐵 ∃*𝑥𝐴 𝜑
1211r19.32 44590 . . 3 (∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ∃*𝑥𝐴 𝜑 ∨ ∃*𝑦𝐵 𝜑) ↔ (∀𝑦𝐵 ∃*𝑥𝐴 𝜑 ∨ ∀𝑥𝐴 ∃*𝑦𝐵 𝜑))
138, 12bitri 274 . 2 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (∃*𝑥𝐴 𝜑 ∨ ∃*𝑦𝐵 𝜑) ↔ (∀𝑦𝐵 ∃*𝑥𝐴 𝜑 ∨ ∀𝑥𝐴 ∃*𝑦𝐵 𝜑))
14 2reu1 3830 . . . . . . 7 (∀𝑦𝐵 ∃*𝑥𝐴 𝜑 → (∃!𝑦𝐵 ∃!𝑥𝐴 𝜑 ↔ (∃!𝑦𝐵𝑥𝐴 𝜑 ∧ ∃!𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑)))
1514biimpd 228 . . . . . 6 (∀𝑦𝐵 ∃*𝑥𝐴 𝜑 → (∃!𝑦𝐵 ∃!𝑥𝐴 𝜑 → (∃!𝑦𝐵𝑥𝐴 𝜑 ∧ ∃!𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑)))
16 ancom 461 . . . . . 6 ((∃!𝑦𝐵𝑥𝐴 𝜑 ∧ ∃!𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑) ↔ (∃!𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦𝐵𝑥𝐴 𝜑))
1715, 16syl6ib 250 . . . . 5 (∀𝑦𝐵 ∃*𝑥𝐴 𝜑 → (∃!𝑦𝐵 ∃!𝑥𝐴 𝜑 → (∃!𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦𝐵𝑥𝐴 𝜑)))
1817adantld 491 . . . 4 (∀𝑦𝐵 ∃*𝑥𝐴 𝜑 → ((∃!𝑥𝐴 ∃!𝑦𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦𝐵 ∃!𝑥𝐴 𝜑) → (∃!𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦𝐵𝑥𝐴 𝜑)))
19 2reu1 3830 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 ∃*𝑦𝐵 𝜑 → (∃!𝑥𝐴 ∃!𝑦𝐵 𝜑 ↔ (∃!𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦𝐵𝑥𝐴 𝜑)))
2019biimpd 228 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 ∃*𝑦𝐵 𝜑 → (∃!𝑥𝐴 ∃!𝑦𝐵 𝜑 → (∃!𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦𝐵𝑥𝐴 𝜑)))
2120adantrd 492 . . . 4 (∀𝑥𝐴 ∃*𝑦𝐵 𝜑 → ((∃!𝑥𝐴 ∃!𝑦𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦𝐵 ∃!𝑥𝐴 𝜑) → (∃!𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦𝐵𝑥𝐴 𝜑)))
2218, 21jaoi 854 . . 3 ((∀𝑦𝐵 ∃*𝑥𝐴 𝜑 ∨ ∀𝑥𝐴 ∃*𝑦𝐵 𝜑) → ((∃!𝑥𝐴 ∃!𝑦𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦𝐵 ∃!𝑥𝐴 𝜑) → (∃!𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦𝐵𝑥𝐴 𝜑)))
23 2rexreu 3697 . . . 4 ((∃!𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦𝐵𝑥𝐴 𝜑) → ∃!𝑥𝐴 ∃!𝑦𝐵 𝜑)
24 2rexreu 3697 . . . . 5 ((∃!𝑦𝐵𝑥𝐴 𝜑 ∧ ∃!𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑) → ∃!𝑦𝐵 ∃!𝑥𝐴 𝜑)
2524ancoms 459 . . . 4 ((∃!𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦𝐵𝑥𝐴 𝜑) → ∃!𝑦𝐵 ∃!𝑥𝐴 𝜑)
2623, 25jca 512 . . 3 ((∃!𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦𝐵𝑥𝐴 𝜑) → (∃!𝑥𝐴 ∃!𝑦𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦𝐵 ∃!𝑥𝐴 𝜑))
2722, 26impbid1 224 . 2 ((∀𝑦𝐵 ∃*𝑥𝐴 𝜑 ∨ ∀𝑥𝐴 ∃*𝑦𝐵 𝜑) → ((∃!𝑥𝐴 ∃!𝑦𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦𝐵 ∃!𝑥𝐴 𝜑) ↔ (∃!𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦𝐵𝑥𝐴 𝜑)))
2813, 27sylbi 216 1 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (∃*𝑥𝐴 𝜑 ∨ ∃*𝑦𝐵 𝜑) → ((∃!𝑥𝐴 ∃!𝑦𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦𝐵 ∃!𝑥𝐴 𝜑) ↔ (∃!𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦𝐵𝑥𝐴 𝜑)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 844  wral 3064  wrex 3065  ∃!wreu 3066  ∃*wrmo 3067
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-tru 1542  df-ex 1783  df-nf 1787  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072
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