Theorem 2reu3 44602

Description: Double restricted existential uniqueness, analogous to 2eu3 2655. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
2reu3	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) → ((∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ↔ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem 2reu3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orcom 867	. . . . . . 7 ⊢ ((∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) ↔ (∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∨ ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
2	1	ralbii 3092	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∨ ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
3		nfrmo1 3301	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑
4	3	r19.32 44590	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∨ ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ↔ (∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∨ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
5	2, 4	bitri 274	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) ↔ (∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∨ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
6		orcom 867	. . . . 5 ⊢ ((∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∨ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑))
7	5, 6	bitri 274	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑))
8	7	ralbii 3092	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑))
9		nfcv 2907	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
10		nfrmo1 3301	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑
11	9, 10	nfralw 3151	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑
12	11	r19.32 44590	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑))
13	8, 12	bitri 274	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑))
14		2reu1 3830	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → (∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ (∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑)))
15	14	biimpd 228	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → (∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → (∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑)))
16		ancom 461	. . . . . 6 ⊢ ((∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) ↔ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
17	15, 16	syl6ib 250	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → (∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
18	17	adantld 491	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ((∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) → (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
19		2reu1 3830	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
20	19	biimpd 228	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
21	20	adantrd 492	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ((∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) → (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
22	18, 21	jaoi 854	. . 3 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) → ((∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) → (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
23		2rexreu 3697	. . . 4 ⊢ ((∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) → ∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑)
24		2rexreu 3697	. . . . 5 ⊢ ((∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) → ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)
25	24	ancoms 459	. . . 4 ⊢ ((∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) → ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)
26	23, 25	jca 512	. . 3 ⊢ ((∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) → (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
27	22, 26	impbid1 224	. 2 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) → ((∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ↔ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
28	13, 27	sylbi 216	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) → ((∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ↔ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  ∃!wreu 3066  ∃*wrmo 3067

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-tru 1542  df-ex 1783  df-nf 1787  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072

This theorem is referenced by: (None)