Theorem 4sqlem3 16651

Description: Lemma for 4sq 16665. Sufficient condition to be in 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
4sq.1	⊢ 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}

Assertion

Ref	Expression
4sqlem3	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑤,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑛   𝐴,𝑛   𝐶,𝑛   𝐷,𝑛   𝑆,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem 4sqlem3

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . 3 ⊢ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
2		oveq1 7282	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑐↑2) = (𝐶↑2))
3	2	oveq1d 7290	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = ((𝐶↑2) + (𝑑↑2)))
4	3	oveq2d 7291	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝑑↑2))))
5	4	eqeq2d 2749	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) ↔ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝑑↑2)))))
6		oveq1 7282	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (𝑑↑2) = (𝐷↑2))
7	6	oveq2d 7291	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → ((𝐶↑2) + (𝑑↑2)) = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
8	7	oveq2d 7291	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝑑↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
9	8	eqeq2d 2749	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝑑↑2))) ↔ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))))
10	5, 9	rspc2ev 3572	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))) → ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
11	1, 10	mp3an3 1449	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
12		oveq1 7282	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎↑2) = (𝐴↑2))
13	12	oveq1d 7290	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝑏↑2)))
14	13	oveq1d 7290	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
15	14	eqeq2d 2749	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) ↔ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))))
16	15	2rexbidv 3229	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) ↔ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))))
17		oveq1 7282	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏↑2) = (𝐵↑2))
18	17	oveq2d 7291	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝐴↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
19	18	oveq1d 7290	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (((𝐴↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
20	19	eqeq2d 2749	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) ↔ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))))
21	20	2rexbidv 3229	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) ↔ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))))
22	16, 21	rspc2ev 3572	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
23	22	3expa 1117	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
24		4sq.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
25	24	4sqlem2 16650	. . 3 ⊢ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
26	23, 25	sylibr 233	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) ∈ 𝑆)
27	11, 26	sylan2 593	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {cab 2715  ∃wrex 3065  (class class class)co 7275   + caddc 10874  2c2 12028  ℤcz 12319  ↑cexp 13782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-nul 5230

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-iota 6391  df-fv 6441  df-ov 7278

This theorem is referenced by:  4sqlem4a  16652