Theorem 4sqlem4a 16927

Description: Lemma for 4sqlem4 16928. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
4sq.1	⊢ 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}

Assertion

Ref	Expression
4sqlem4a	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → (((abs‘𝐴)↑2) + ((abs‘𝐵)↑2)) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑤,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑛   𝐴,𝑛   𝑆,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem 4sqlem4a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gzcn 16908	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	absvalsq2d 15430	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → ((abs‘𝐴)↑2) = (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)))
3		gzcn 16908	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ[i] → 𝐵 ∈ ℂ)
4	3	absvalsq2d 15430	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ[i] → ((abs‘𝐵)↑2) = (((ℜ‘𝐵)↑2) + ((ℑ‘𝐵)↑2)))
5	2, 4	oveqan12d 7445	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → (((abs‘𝐴)↑2) + ((abs‘𝐵)↑2)) = ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) + (((ℜ‘𝐵)↑2) + ((ℑ‘𝐵)↑2))))
6		elgz 16907	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℤ))
7	6	simp2bi 1143	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → (ℜ‘𝐴) ∈ ℤ)
8	6	simp3bi 1144	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → (ℑ‘𝐴) ∈ ℤ)
9	7, 8	jca 510	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → ((ℜ‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℤ))
10		elgz 16907	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ[i] ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐵) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℤ))
11	10	simp2bi 1143	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ[i] → (ℜ‘𝐵) ∈ ℤ)
12	10	simp3bi 1144	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ[i] → (ℑ‘𝐵) ∈ ℤ)
13	11, 12	jca 510	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ[i] → ((ℜ‘𝐵) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℤ))
14		4sq.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
15	14	4sqlem3 16926	. . 3 ⊢ ((((ℜ‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℤ) ∧ ((ℜ‘𝐵) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℤ)) → ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) + (((ℜ‘𝐵)↑2) + ((ℑ‘𝐵)↑2))) ∈ 𝑆)
16	9, 13, 15	syl2an 594	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) + (((ℜ‘𝐵)↑2) + ((ℑ‘𝐵)↑2))) ∈ 𝑆)
17	5, 16	eqeltrd 2829	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → (((abs‘𝐴)↑2) + ((abs‘𝐵)↑2)) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2705  ∃wrex 3067  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  ℂcc 11144   + caddc 11149  2c2 12305  ℤcz 12596  ↑cexp 14066  ℜcre 15084  ℑcim 15085  abscabs 15221  ℤ[i]cgz 16905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-gz 16906

This theorem is referenced by:  4sqlem4  16928  mul4sqlem  16929  4sqlem13  16933  4sqlem19  16939