Theorem 4sqlem4a 16893

Description: Lemma for 4sqlem4 16894. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
4sq.1	⊢ 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}

Assertion

Ref	Expression
4sqlem4a	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → (((abs‘𝐴)↑2) + ((abs‘𝐵)↑2)) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑤,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑛   𝐴,𝑛   𝑆,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem 4sqlem4a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gzcn 16874	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	absvalsq2d 15396	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → ((abs‘𝐴)↑2) = (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)))
3		gzcn 16874	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ[i] → 𝐵 ∈ ℂ)
4	3	absvalsq2d 15396	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ[i] → ((abs‘𝐵)↑2) = (((ℜ‘𝐵)↑2) + ((ℑ‘𝐵)↑2)))
5	2, 4	oveqan12d 7424	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → (((abs‘𝐴)↑2) + ((abs‘𝐵)↑2)) = ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) + (((ℜ‘𝐵)↑2) + ((ℑ‘𝐵)↑2))))
6		elgz 16873	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℤ))
7	6	simp2bi 1143	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → (ℜ‘𝐴) ∈ ℤ)
8	6	simp3bi 1144	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → (ℑ‘𝐴) ∈ ℤ)
9	7, 8	jca 511	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → ((ℜ‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℤ))
10		elgz 16873	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ[i] ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐵) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℤ))
11	10	simp2bi 1143	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ[i] → (ℜ‘𝐵) ∈ ℤ)
12	10	simp3bi 1144	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ[i] → (ℑ‘𝐵) ∈ ℤ)
13	11, 12	jca 511	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ[i] → ((ℜ‘𝐵) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℤ))
14		4sq.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
15	14	4sqlem3 16892	. . 3 ⊢ ((((ℜ‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℤ) ∧ ((ℜ‘𝐵) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℤ)) → ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) + (((ℜ‘𝐵)↑2) + ((ℑ‘𝐵)↑2))) ∈ 𝑆)
16	9, 13, 15	syl2an 595	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) + (((ℜ‘𝐵)↑2) + ((ℑ‘𝐵)↑2))) ∈ 𝑆)
17	5, 16	eqeltrd 2827	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → (((abs‘𝐴)↑2) + ((abs‘𝐵)↑2)) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2703  ∃wrex 3064  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  ℂcc 11110   + caddc 11115  2c2 12271  ℤcz 12562  ↑cexp 14032  ℜcre 15050  ℑcim 15051  abscabs 15187  ℤ[i]cgz 16871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-gz 16872

This theorem is referenced by:  4sqlem4  16894  mul4sqlem  16895  4sqlem13  16899  4sqlem19  16905