Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem4a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4sqlem4a 16342
 Description: Lemma for 4sqlem4 16343. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
4sq.1 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
Assertion
Ref Expression
4sqlem4a ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → (((abs‘𝐴)↑2) + ((abs‘𝐵)↑2)) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑤,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑛   𝐴,𝑛   𝑆,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem 4sqlem4a
StepHypRef Expression
1 gzcn 16323 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ[i] → 𝐴 ∈ ℂ)
21absvalsq2d 14851 . . 3 (𝐴 ∈ ℤ[i] → ((abs‘𝐴)↑2) = (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)))
3 gzcn 16323 . . . 4 (𝐵 ∈ ℤ[i] → 𝐵 ∈ ℂ)
43absvalsq2d 14851 . . 3 (𝐵 ∈ ℤ[i] → ((abs‘𝐵)↑2) = (((ℜ‘𝐵)↑2) + ((ℑ‘𝐵)↑2)))
52, 4oveqan12d 7169 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → (((abs‘𝐴)↑2) + ((abs‘𝐵)↑2)) = ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) + (((ℜ‘𝐵)↑2) + ((ℑ‘𝐵)↑2))))
6 elgz 16322 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℤ[i] ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℤ))
76simp2bi 1143 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ[i] → (ℜ‘𝐴) ∈ ℤ)
86simp3bi 1144 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ[i] → (ℑ‘𝐴) ∈ ℤ)
97, 8jca 515 . . 3 (𝐴 ∈ ℤ[i] → ((ℜ‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℤ))
10 elgz 16322 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℤ[i] ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐵) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℤ))
1110simp2bi 1143 . . . 4 (𝐵 ∈ ℤ[i] → (ℜ‘𝐵) ∈ ℤ)
1210simp3bi 1144 . . . 4 (𝐵 ∈ ℤ[i] → (ℑ‘𝐵) ∈ ℤ)
1311, 12jca 515 . . 3 (𝐵 ∈ ℤ[i] → ((ℜ‘𝐵) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℤ))
14 4sq.1 . . . 4 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
15144sqlem3 16341 . . 3 ((((ℜ‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℤ) ∧ ((ℜ‘𝐵) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℤ)) → ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) + (((ℜ‘𝐵)↑2) + ((ℑ‘𝐵)↑2))) ∈ 𝑆)
169, 13, 15syl2an 598 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) + (((ℜ‘𝐵)↑2) + ((ℑ‘𝐵)↑2))) ∈ 𝑆)
175, 16eqeltrd 2852 1 ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → (((abs‘𝐴)↑2) + ((abs‘𝐵)↑2)) ∈ 𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {cab 2735  ∃wrex 3071  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  ℂcc 10573   + caddc 10578  2c2 11729  ℤcz 12020  ↑cexp 13479  ℜcre 14504  ℑcim 14505  abscabs 14641  ℤ[i]cgz 16320 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-sup 8939  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-rp 12431  df-seq 13419  df-exp 13480  df-cj 14506  df-re 14507  df-im 14508  df-sqrt 14642  df-abs 14643  df-gz 16321 This theorem is referenced by:  4sqlem4  16343  mul4sqlem  16344  4sqlem13  16348  4sqlem19  16354
 Copyright terms: Public domain W3C validator