Theorem 4sqlem4a 16580

Description: Lemma for 4sqlem4 16581. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
4sq.1	⊢ 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}

Assertion

Ref	Expression
4sqlem4a	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → (((abs‘𝐴)↑2) + ((abs‘𝐵)↑2)) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑤,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑛   𝐴,𝑛   𝑆,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem 4sqlem4a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gzcn 16561	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	absvalsq2d 15083	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → ((abs‘𝐴)↑2) = (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)))
3		gzcn 16561	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ[i] → 𝐵 ∈ ℂ)
4	3	absvalsq2d 15083	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ[i] → ((abs‘𝐵)↑2) = (((ℜ‘𝐵)↑2) + ((ℑ‘𝐵)↑2)))
5	2, 4	oveqan12d 7274	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → (((abs‘𝐴)↑2) + ((abs‘𝐵)↑2)) = ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) + (((ℜ‘𝐵)↑2) + ((ℑ‘𝐵)↑2))))
6		elgz 16560	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℤ))
7	6	simp2bi 1144	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → (ℜ‘𝐴) ∈ ℤ)
8	6	simp3bi 1145	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → (ℑ‘𝐴) ∈ ℤ)
9	7, 8	jca 511	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ[i] → ((ℜ‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℤ))
10		elgz 16560	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ[i] ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐵) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℤ))
11	10	simp2bi 1144	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ[i] → (ℜ‘𝐵) ∈ ℤ)
12	10	simp3bi 1145	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ[i] → (ℑ‘𝐵) ∈ ℤ)
13	11, 12	jca 511	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ[i] → ((ℜ‘𝐵) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℤ))
14		4sq.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
15	14	4sqlem3 16579	. . 3 ⊢ ((((ℜ‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℤ) ∧ ((ℜ‘𝐵) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℤ)) → ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) + (((ℜ‘𝐵)↑2) + ((ℑ‘𝐵)↑2))) ∈ 𝑆)
16	9, 13, 15	syl2an 595	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) + (((ℜ‘𝐵)↑2) + ((ℑ‘𝐵)↑2))) ∈ 𝑆)
17	5, 16	eqeltrd 2839	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ 𝐵 ∈ ℤ[i]) → (((abs‘𝐴)↑2) + ((abs‘𝐵)↑2)) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {cab 2715  ∃wrex 3064  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800   + caddc 10805  2c2 11958  ℤcz 12249  ↑cexp 13710  ℜcre 14736  ℑcim 14737  abscabs 14873  ℤ[i]cgz 16558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-gz 16559

This theorem is referenced by:  4sqlem4  16581  mul4sqlem  16582  4sqlem13  16586  4sqlem19  16592