Theorem axpowprim 34974

Description: ax-pow 5364 without distinct variable conditions or defined symbols. (Contributed by Scott Fenton, 13-Oct-2010.)

Assertion

Ref	Expression
axpowprim	⊢ (∀𝑥 ¬ ∀𝑦(∀𝑥(¬ ∀𝑧 ¬ 𝑥 ∈ 𝑦 → ∀𝑦 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 = 𝑦)

Proof of Theorem axpowprim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axpownd 10599	. . 3 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝑦 → ∃𝑥∀𝑦(∀𝑥(∃𝑧 𝑥 ∈ 𝑦 → ∀𝑦 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥))
2		df-ex 1781	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑧 𝑥 ∈ 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑧 ¬ 𝑥 ∈ 𝑦)
3	2	imbi1i 348	. . . . . . . 8 ⊢ ((∃𝑧 𝑥 ∈ 𝑦 → ∀𝑦 𝑥 ∈ 𝑧) ↔ (¬ ∀𝑧 ¬ 𝑥 ∈ 𝑦 → ∀𝑦 𝑥 ∈ 𝑧))
4	3	albii 1820	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥(∃𝑧 𝑥 ∈ 𝑦 → ∀𝑦 𝑥 ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑥(¬ ∀𝑧 ¬ 𝑥 ∈ 𝑦 → ∀𝑦 𝑥 ∈ 𝑧))
5	4	imbi1i 348	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥(∃𝑧 𝑥 ∈ 𝑦 → ∀𝑦 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ (∀𝑥(¬ ∀𝑧 ¬ 𝑥 ∈ 𝑦 → ∀𝑦 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥))
6	5	albii 1820	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦(∀𝑥(∃𝑧 𝑥 ∈ 𝑦 → ∀𝑦 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑦(∀𝑥(¬ ∀𝑧 ¬ 𝑥 ∈ 𝑦 → ∀𝑦 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥))
7	6	exbii 1849	. . . 4 ⊢ (∃𝑥∀𝑦(∀𝑥(∃𝑧 𝑥 ∈ 𝑦 → ∀𝑦 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ∃𝑥∀𝑦(∀𝑥(¬ ∀𝑧 ¬ 𝑥 ∈ 𝑦 → ∀𝑦 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥))
8		df-ex 1781	. . . 4 ⊢ (∃𝑥∀𝑦(∀𝑥(¬ ∀𝑧 ¬ 𝑥 ∈ 𝑦 → ∀𝑦 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ¬ ∀𝑦(∀𝑥(¬ ∀𝑧 ¬ 𝑥 ∈ 𝑦 → ∀𝑦 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥))
9	7, 8	bitri 274	. . 3 ⊢ (∃𝑥∀𝑦(∀𝑥(∃𝑧 𝑥 ∈ 𝑦 → ∀𝑦 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ¬ ∀𝑦(∀𝑥(¬ ∀𝑧 ¬ 𝑥 ∈ 𝑦 → ∀𝑦 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥))
10	1, 9	sylib 217	. 2 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝑦 → ¬ ∀𝑥 ¬ ∀𝑦(∀𝑥(¬ ∀𝑧 ¬ 𝑥 ∈ 𝑦 → ∀𝑦 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥))
11	10	con4i 114	1 ⊢ (∀𝑥 ¬ ∀𝑦(∀𝑥(¬ ∀𝑧 ¬ 𝑥 ∈ 𝑦 → ∀𝑦 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 = 𝑦)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4  ∀wal 1538  ∃wex 1780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-13 2370  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-reg 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ral 3061  df-rex 3070  df-v 3475  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632

This theorem is referenced by: (None)