Theorem axunprim 36001

Description: ax-un 7707 without distinct variable conditions or defined symbols. (Contributed by Scott Fenton, 13-Oct-2010.)

Assertion

Ref	Expression
axunprim	⊢ ¬ ∀𝑥 ¬ ∀𝑦(¬ ∀𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥)

Proof of Theorem axunprim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axunnd 10544	. 2 ⊢ ∃𝑥∀𝑦(∃𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥)
2		df-an 399	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) ↔ ¬ (𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧))
3	2	exbii 1862	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) ↔ ∃𝑥 ¬ (𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧))
4		exnal 1841	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ¬ (𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) ↔ ¬ ∀𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧))
5	3, 4	bitri 277	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) ↔ ¬ ∀𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧))
6	5	imbi1i 351	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ (¬ ∀𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥))
7	6	albii 1833	. . . 4 ⊢ (∀𝑦(∃𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑦(¬ ∀𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥))
8	7	exbii 1862	. . 3 ⊢ (∃𝑥∀𝑦(∃𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ∃𝑥∀𝑦(¬ ∀𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥))
9		df-ex 1794	. . 3 ⊢ (∃𝑥∀𝑦(¬ ∀𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ¬ ∀𝑦(¬ ∀𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥))
10	8, 9	bitri 277	. 2 ⊢ (∃𝑥∀𝑦(∃𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ¬ ∀𝑦(¬ ∀𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥))
11	1, 10	mpbi 232	1 ⊢ ¬ ∀𝑥 ¬ ∀𝑦(¬ ∀𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398  ∀wal 1552  ∃wex 1793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-13 2397  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-reg 9530

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rab 3409  df-v 3450  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-br 5095  df-opab 5157  df-eprel 5540  df-fr 5593

This theorem is referenced by: (None)