Theorem axunprim 36646

Description: ax-un 7775 without distinct variable conditions or defined symbols. (Contributed by Scott Fenton, 13-Oct-2010.)

Assertion

Ref	Expression
axunprim	⊢ ¬ ∀𝑥 ¬ ∀𝑦(¬ ∀𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥)

Proof of Theorem axunprim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axunnd 10708	. 2 ⊢ ∃𝑥∀𝑦(∃𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥)
2		df-an 402	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) ↔ ¬ (𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧))
3	2	exbii 1881	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) ↔ ∃𝑥 ¬ (𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧))
4		exnal 1860	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ¬ (𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) ↔ ¬ ∀𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧))
5	3, 4	bitri 278	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) ↔ ¬ ∀𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧))
6	5	imbi1i 352	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ (¬ ∀𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥))
7	6	albii 1852	. . . 4 ⊢ (∀𝑦(∃𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑦(¬ ∀𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥))
8	7	exbii 1881	. . 3 ⊢ (∃𝑥∀𝑦(∃𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ∃𝑥∀𝑦(¬ ∀𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥))
9		df-ex 1813	. . 3 ⊢ (∃𝑥∀𝑦(¬ ∀𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ¬ ∀𝑦(¬ ∀𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥))
10	8, 9	bitri 278	. 2 ⊢ (∃𝑥∀𝑦(∃𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ¬ ∀𝑦(¬ ∀𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥))
11	1, 10	mpbi 233	1 ⊢ ¬ ∀𝑥 ¬ ∀𝑦(¬ ∀𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401  ∀wal 1568  ∃wex 1812

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-13 2404  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-reg 9613

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-br 5107  df-opab 5171  df-eprel 5555  df-fr 5608

This theorem is used by: (None)