Theorem axunprim 36066

Description: ax-un 7722 without distinct variable conditions or defined symbols. (Contributed by Scott Fenton, 13-Oct-2010.)

Assertion

Ref	Expression
axunprim	⊢ ¬ ∀𝑥 ¬ ∀𝑦(¬ ∀𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥)

Proof of Theorem axunprim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axunnd 10569	. 2 ⊢ ∃𝑥∀𝑦(∃𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥)
2		df-an 401	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) ↔ ¬ (𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧))
3	2	exbii 1871	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) ↔ ∃𝑥 ¬ (𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧))
4		exnal 1850	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ¬ (𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) ↔ ¬ ∀𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧))
5	3, 4	bitri 278	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) ↔ ¬ ∀𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧))
6	5	imbi1i 352	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ (¬ ∀𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥))
7	6	albii 1842	. . . 4 ⊢ (∀𝑦(∃𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑦(¬ ∀𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥))
8	7	exbii 1871	. . 3 ⊢ (∃𝑥∀𝑦(∃𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ∃𝑥∀𝑦(¬ ∀𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥))
9		df-ex 1803	. . 3 ⊢ (∃𝑥∀𝑦(¬ ∀𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ¬ ∀𝑦(¬ ∀𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥))
10	8, 9	bitri 278	. 2 ⊢ (∃𝑥∀𝑦(∃𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ¬ ∀𝑦(¬ ∀𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥))
11	1, 10	mpbi 233	1 ⊢ ¬ ∀𝑥 ¬ ∀𝑦(¬ ∀𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400  ∀wal 1561  ∃wex 1802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-13 2406  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-reg 9542

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-br 5106  df-opab 5168  df-eprel 5552  df-fr 5605

This theorem is referenced by: (None)