Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  axunprim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axunprim 32956
Description: ax-un 7452 without distinct variable conditions or defined symbols. (Contributed by Scott Fenton, 13-Oct-2010.)
Assertion
Ref Expression
axunprim ¬ ∀𝑥 ¬ ∀𝑦(¬ ∀𝑥(𝑦𝑥 → ¬ 𝑥𝑧) → 𝑦𝑥)

Proof of Theorem axunprim
StepHypRef Expression
1 axunnd 10012 . 2 𝑥𝑦(∃𝑥(𝑦𝑥𝑥𝑧) → 𝑦𝑥)
2 df-an 400 . . . . . . . 8 ((𝑦𝑥𝑥𝑧) ↔ ¬ (𝑦𝑥 → ¬ 𝑥𝑧))
32exbii 1849 . . . . . . 7 (∃𝑥(𝑦𝑥𝑥𝑧) ↔ ∃𝑥 ¬ (𝑦𝑥 → ¬ 𝑥𝑧))
4 exnal 1828 . . . . . . 7 (∃𝑥 ¬ (𝑦𝑥 → ¬ 𝑥𝑧) ↔ ¬ ∀𝑥(𝑦𝑥 → ¬ 𝑥𝑧))
53, 4bitri 278 . . . . . 6 (∃𝑥(𝑦𝑥𝑥𝑧) ↔ ¬ ∀𝑥(𝑦𝑥 → ¬ 𝑥𝑧))
65imbi1i 353 . . . . 5 ((∃𝑥(𝑦𝑥𝑥𝑧) → 𝑦𝑥) ↔ (¬ ∀𝑥(𝑦𝑥 → ¬ 𝑥𝑧) → 𝑦𝑥))
76albii 1821 . . . 4 (∀𝑦(∃𝑥(𝑦𝑥𝑥𝑧) → 𝑦𝑥) ↔ ∀𝑦(¬ ∀𝑥(𝑦𝑥 → ¬ 𝑥𝑧) → 𝑦𝑥))
87exbii 1849 . . 3 (∃𝑥𝑦(∃𝑥(𝑦𝑥𝑥𝑧) → 𝑦𝑥) ↔ ∃𝑥𝑦(¬ ∀𝑥(𝑦𝑥 → ¬ 𝑥𝑧) → 𝑦𝑥))
9 df-ex 1782 . . 3 (∃𝑥𝑦(¬ ∀𝑥(𝑦𝑥 → ¬ 𝑥𝑧) → 𝑦𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ¬ ∀𝑦(¬ ∀𝑥(𝑦𝑥 → ¬ 𝑥𝑧) → 𝑦𝑥))
108, 9bitri 278 . 2 (∃𝑥𝑦(∃𝑥(𝑦𝑥𝑥𝑧) → 𝑦𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ¬ ∀𝑦(¬ ∀𝑥(𝑦𝑥 → ¬ 𝑥𝑧) → 𝑦𝑥))
111, 10mpbi 233 1 ¬ ∀𝑥 ¬ ∀𝑦(¬ ∀𝑥(𝑦𝑥 → ¬ 𝑥𝑧) → 𝑦𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  wal 1536  wex 1781
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-13 2392  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-reg 9049
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-br 5054  df-opab 5116  df-eprel 5453  df-fr 5502
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator