Theorem axunprim 33644

Description: ax-un 7588 without distinct variable conditions or defined symbols. (Contributed by Scott Fenton, 13-Oct-2010.)

Assertion

Ref	Expression
axunprim	⊢ ¬ ∀𝑥 ¬ ∀𝑦(¬ ∀𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥)

Proof of Theorem axunprim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axunnd 10352	. 2 ⊢ ∃𝑥∀𝑦(∃𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥)
2		df-an 397	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) ↔ ¬ (𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧))
3	2	exbii 1850	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) ↔ ∃𝑥 ¬ (𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧))
4		exnal 1829	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ¬ (𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) ↔ ¬ ∀𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧))
5	3, 4	bitri 274	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) ↔ ¬ ∀𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧))
6	5	imbi1i 350	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ (¬ ∀𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥))
7	6	albii 1822	. . . 4 ⊢ (∀𝑦(∃𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑦(¬ ∀𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥))
8	7	exbii 1850	. . 3 ⊢ (∃𝑥∀𝑦(∃𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ∃𝑥∀𝑦(¬ ∀𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥))
9		df-ex 1783	. . 3 ⊢ (∃𝑥∀𝑦(¬ ∀𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ¬ ∀𝑦(¬ ∀𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥))
10	8, 9	bitri 274	. 2 ⊢ (∃𝑥∀𝑦(∃𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ¬ ∀𝑦(¬ ∀𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥))
11	1, 10	mpbi 229	1 ⊢ ¬ ∀𝑥 ¬ ∀𝑦(¬ ∀𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396  ∀wal 1537  ∃wex 1782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-13 2372  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-reg 9351

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-br 5075  df-opab 5137  df-eprel 5495  df-fr 5544

This theorem is referenced by: (None)