Theorem brcnvssr 38010

Description: The converse of a subset relation swaps arguments. (Contributed by Peter Mazsa, 1-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
brcnvssr	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴◡ S 𝐵 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐴))

Proof of Theorem brcnvssr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relssr 38004	. . 3 ⊢ Rel S
2	1	relbrcnv 6116	. 2 ⊢ (𝐴◡ S 𝐵 ↔ 𝐵 S 𝐴)
3		brssr 38005	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐵 S 𝐴 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐴))
4	2, 3	bitrid 282	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴◡ S 𝐵 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3949   class class class wbr 5152  ^◡ccnv 5681   S cssr 37684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-br 5153  df-opab 5215  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-ssr 38002

This theorem is referenced by:  brcnvssrid  38011  br1cossxrncnvssrres  38012  dfcnvrefrels2  38032  dfcnvrefrels3  38033