Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  brcosscnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem brcosscnv 34716
Description: 𝐴 and 𝐵 are cosets by converse 𝑅: a binary relation. (Contributed by Peter Mazsa, 23-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
brcosscnv ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝑅𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝑅𝑥𝐵𝑅𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊

Proof of Theorem brcosscnv
StepHypRef Expression
1 brcoss 34680 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝑅𝐵 ↔ ∃𝑥(𝑥𝑅𝐴𝑥𝑅𝐵)))
2 brcnvg 5505 . . . . 5 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝑥𝑅𝐴𝐴𝑅𝑥))
32el2v1 34492 . . . 4 (𝐴𝑉 → (𝑥𝑅𝐴𝐴𝑅𝑥))
4 brcnvg 5505 . . . . 5 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝐵𝑊) → (𝑥𝑅𝐵𝐵𝑅𝑥))
54el2v1 34492 . . . 4 (𝐵𝑊 → (𝑥𝑅𝐵𝐵𝑅𝑥))
63, 5bi2anan9 630 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ((𝑥𝑅𝐴𝑥𝑅𝐵) ↔ (𝐴𝑅𝑥𝐵𝑅𝑥)))
76exbidv 2017 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (∃𝑥(𝑥𝑅𝐴𝑥𝑅𝐵) ↔ ∃𝑥(𝐴𝑅𝑥𝐵𝑅𝑥)))
81, 7bitrd 271 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝑅𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝑅𝑥𝐵𝑅𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  wex 1875  wcel 2157  Vcvv 3385   class class class wbr 4843  ccnv 5311  ccoss 34469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pr 5097
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-rab 3098  df-v 3387  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-br 4844  df-opab 4906  df-cnv 5320  df-coss 34663
This theorem is referenced by:  brcosscnv2  34717  br1cosscnvxrn  34718
  Copyright terms: Public domain W3C validator