Theorem brcosscnv 39239

Description: 𝐴 and 𝐵 are cosets by converse 𝑅: a binary relation. (Contributed by Peter Mazsa, 23-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
brcosscnv	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ≀ ◡𝑅𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝑅𝑥 ∧ 𝐵𝑅𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊

Proof of Theorem brcosscnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brcoss 39198	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ≀ ◡𝑅𝐵 ↔ ∃𝑥(𝑥◡𝑅𝐴 ∧ 𝑥◡𝑅𝐵)))
2		brcnvg 5864	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑥◡𝑅𝐴 ↔ 𝐴𝑅𝑥))
3	2	el2v1 38906	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥◡𝑅𝐴 ↔ 𝐴𝑅𝑥))
4		brcnvg 5864	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥◡𝑅𝐵 ↔ 𝐵𝑅𝑥))
5	4	el2v1 38906	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (𝑥◡𝑅𝐵 ↔ 𝐵𝑅𝑥))
6	3, 5	bi2anan9 649	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝑥◡𝑅𝐴 ∧ 𝑥◡𝑅𝐵) ↔ (𝐴𝑅𝑥 ∧ 𝐵𝑅𝑥)))
7	6	exbidv 1950	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (∃𝑥(𝑥◡𝑅𝐴 ∧ 𝑥◡𝑅𝐵) ↔ ∃𝑥(𝐴𝑅𝑥 ∧ 𝐵𝑅𝑥)))
8	1, 7	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ≀ ◡𝑅𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝑅𝑥 ∧ 𝐵𝑅𝑥)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400  ∃wex 1808   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454   class class class wbr 5108  ^◡ccnv 5659   ≀ ccoss 38860

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-pr 5403

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-sb 2096  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-br 5109  df-opab 5173  df-cnv 5668  df-coss 39178

This theorem is used by:  brcosscnv2  39240  br1cosscnvxrn  39241