Theorem brcosscnv 39066

Description: 𝐴 and 𝐵 are cosets by converse 𝑅: a binary relation. (Contributed by Peter Mazsa, 23-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
brcosscnv	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ≀ ◡𝑅𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝑅𝑥 ∧ 𝐵𝑅𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊

Proof of Theorem brcosscnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brcoss 39025	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ≀ ◡𝑅𝐵 ↔ ∃𝑥(𝑥◡𝑅𝐴 ∧ 𝑥◡𝑅𝐵)))
2		brcnvg 5853	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑥◡𝑅𝐴 ↔ 𝐴𝑅𝑥))
3	2	el2v1 38733	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥◡𝑅𝐴 ↔ 𝐴𝑅𝑥))
4		brcnvg 5853	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥◡𝑅𝐵 ↔ 𝐵𝑅𝑥))
5	4	el2v1 38733	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (𝑥◡𝑅𝐵 ↔ 𝐵𝑅𝑥))
6	3, 5	bi2anan9 647	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝑥◡𝑅𝐴 ∧ 𝑥◡𝑅𝐵) ↔ (𝐴𝑅𝑥 ∧ 𝐵𝑅𝑥)))
7	6	exbidv 1943	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (∃𝑥(𝑥◡𝑅𝐴 ∧ 𝑥◡𝑅𝐵) ↔ ∃𝑥(𝐴𝑅𝑥 ∧ 𝐵𝑅𝑥)))
8	1, 7	bitrd 281	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ≀ ◡𝑅𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝑅𝑥 ∧ 𝐵𝑅𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399  ∃wex 1801   ∈ wcel 2144  Vcvv 3456   class class class wbr 5102  ^◡ccnv 5648   ≀ ccoss 38687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-pr 5392

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-sb 2093  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-rab 3417  df-v 3458  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5103  df-opab 5165  df-cnv 5657  df-coss 39005

This theorem is referenced by:  brcosscnv2  39067  br1cosscnvxrn  39068