Theorem brcosscnv 38871

Description: 𝐴 and 𝐵 are cosets by converse 𝑅: a binary relation. (Contributed by Peter Mazsa, 23-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
brcosscnv	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ≀ ◡𝑅𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝑅𝑥 ∧ 𝐵𝑅𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊

Proof of Theorem brcosscnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brcoss 38830	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ≀ ◡𝑅𝐵 ↔ ∃𝑥(𝑥◡𝑅𝐴 ∧ 𝑥◡𝑅𝐵)))
2		brcnvg 5823	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑥◡𝑅𝐴 ↔ 𝐴𝑅𝑥))
3	2	el2v1 38538	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥◡𝑅𝐴 ↔ 𝐴𝑅𝑥))
4		brcnvg 5823	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥◡𝑅𝐵 ↔ 𝐵𝑅𝑥))
5	4	el2v1 38538	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (𝑥◡𝑅𝐵 ↔ 𝐵𝑅𝑥))
6	3, 5	bi2anan9 639	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝑥◡𝑅𝐴 ∧ 𝑥◡𝑅𝐵) ↔ (𝐴𝑅𝑥 ∧ 𝐵𝑅𝑥)))
7	6	exbidv 1923	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (∃𝑥(𝑥◡𝑅𝐴 ∧ 𝑥◡𝑅𝐵) ↔ ∃𝑥(𝐴𝑅𝑥 ∧ 𝐵𝑅𝑥)))
8	1, 7	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ≀ ◡𝑅𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝑅𝑥 ∧ 𝐵𝑅𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  Vcvv 3427   class class class wbr 5074  ^◡ccnv 5619   ≀ ccoss 38492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-pr 5364

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-rab 3388  df-v 3429  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4264  df-if 4457  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-br 5075  df-opab 5137  df-cnv 5628  df-coss 38810

This theorem is referenced by:  brcosscnv2  38872  br1cosscnvxrn  38873