Theorem brcosscnv2 39067

Description: 𝐴 and 𝐵 are cosets by converse 𝑅: a binary relation. (Contributed by Peter Mazsa, 12-Mar-2019.)

Assertion

Ref	Expression
brcosscnv2	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ≀ ◡𝑅𝐵 ↔ ([𝐴]𝑅 ∩ [𝐵]𝑅) ≠ ∅))

Proof of Theorem brcosscnv2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brcosscnv 39066	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ≀ ◡𝑅𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝑅𝑥 ∧ 𝐵𝑅𝑥)))
2		ecinn0 38857	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (([𝐴]𝑅 ∩ [𝐵]𝑅) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥(𝐴𝑅𝑥 ∧ 𝐵𝑅𝑥)))
3	1, 2	bitr4d 284	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ≀ ◡𝑅𝐵 ↔ ([𝐴]𝑅 ∩ [𝐵]𝑅) ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399  ∃wex 1801   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2959   ∩ cin 3905  ∅c0 4287   class class class wbr 5102  ^◡ccnv 5648  [cec 8678   ≀ ccoss 38687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-pr 5392

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-sb 2093  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3417  df-v 3458  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5103  df-opab 5165  df-xp 5655  df-cnv 5657  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-ec 8682  df-coss 39005

This theorem is referenced by:  br1cosscnvxrn  39068