Theorem brcnvg 5863

Description: The converse of a binary relation swaps arguments. Theorem 11 of [Suppes] p. 61. (Contributed by NM, 10-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
brcnvg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴◡𝑅𝐵 ↔ 𝐵𝑅𝐴))

Proof of Theorem brcnvg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5111	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑦𝑅𝑥 ↔ 𝑦𝑅𝐴))
2		breq1 5110	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦𝑅𝐴 ↔ 𝐵𝑅𝐴))
3		df-cnv 5667	. 2 ⊢ ◡𝑅 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑦𝑅𝑥}
4	1, 2, 3	brabg 5522	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴◡𝑅𝐵 ↔ 𝐵𝑅𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  ^◡ccnv 5658

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-br 5108  df-opab 5172  df-cnv 5667

This theorem is used by:  opelcnvg  5864  brcnv  5866  brelrng  5929  elinisegg  6093  relbrcnvg  6105  brcodir  6117  predep  6332  dffv2  6977  ersym  8712  brdifun  8730  eqinf  9458  inflb  9463  infglb  9464  infglbb  9465  infltoreq  9477  infempty  9482  brcnvtrclfv  15076  oduleg  18380  posglbdg  18503  znleval  21766  lenlts  27984  tgelrnpln  29129  brbtwn  29340  fcoinvbr  33063  cnvordtrestixx  34408  xrge0iifiso  34430  orvcgteel  34964  fv1stcnv  36341  fv2ndcnv  36342  wsuclem  36387  wsuclb  36390  colineardim1  36626  eldmcnv  39078  ineccnvmo  39090  alrmomorn  39091  brcnvin  39111  brxrn  39116  dfcoss3  39237  cosscnv  39239  brcoss3  39256  brcosscnv  39295  cosscnvssid3  39299  cosscnvssid4  39300  brnonrel  44414  ntrneifv2  44905  glbprlem  49876  gte-lte  50635  gt-lt  50636