Theorem brcnvg 5863

Description: The converse of a binary relation swaps arguments. Theorem 11 of [Suppes] p. 61. (Contributed by NM, 10-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
brcnvg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴◡𝑅𝐵 ↔ 𝐵𝑅𝐴))

Proof of Theorem brcnvg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5110	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑦𝑅𝑥 ↔ 𝑦𝑅𝐴))
2		breq1 5109	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦𝑅𝐴 ↔ 𝐵𝑅𝐴))
3		df-cnv 5663	. 2 ⊢ ◡𝑅 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑦𝑅𝑥}
4	1, 2, 3	brabg 5518	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴◡𝑅𝐵 ↔ 𝐵𝑅𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  ^◡ccnv 5654

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-br 5107  df-opab 5171  df-cnv 5663

This theorem is used by:  opelcnvg  5864  brcnv  5866  brelrng  5929  elinisegg  6102  relbrcnvg  6112  brcodir  6124  predep  6348  dffv2  7000  ersym  8755  brdifun  8773  eqinf  9501  inflb  9506  infglb  9507  infglbb  9508  infltoreq  9520  infempty  9525  brcnvtrclfv  15182  oduleg  18490  posglbdg  18613  znleval  21887  lenlts  28136  tgelrnpln  29281  brbtwn  29504  fcoinvbr  33268  cnvordtrestixx  34612  xrge0iifiso  34634  orvcgteel  35167  fv1stcnv  36718  fv2ndcnv  36719  wsuclem  36764  wsuclb  36767  colineardim1  37003  eldmcnv  39468  ineccnvmo  39480  alrmomorn  39481  brcnvin  39501  brxrn  39506  dfcoss3  39627  cosscnv  39629  brcoss3  39646  brcosscnv  39685  cosscnvssid3  39689  cosscnvssid4  39690  brnonrel  44779  ntrneifv2  45270  glbprlem  50282  gte-lte  51095  gt-lt  51096