Theorem brcnvg 5441

Description: The converse of a binary relation swaps arguments. Theorem 11 of [Suppes] p. 61. (Contributed by NM, 10-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
brcnvg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴◡𝑅𝐵 ↔ 𝐵𝑅𝐴))

Proof of Theorem brcnvg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelcnvg 5440	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ◡𝑅 ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ 𝑅))
2		df-br 4787	. 2 ⊢ (𝐴◡𝑅𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ◡𝑅)
3		df-br 4787	. 2 ⊢ (𝐵𝑅𝐴 ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ 𝑅)
4	1, 2, 3	3bitr4g 303	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴◡𝑅𝐵 ↔ 𝐵𝑅𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4322   class class class wbr 4786  ^◡ccnv 5248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pr 5034

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-rab 3070  df-v 3353  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-br 4787  df-opab 4847  df-cnv 5257

This theorem is referenced by:  brcnv  5443  brelrng  5493  eliniseg  5635  relbrcnvg  5645  brcodir  5656  elpredg  5837  predep  5849  dffv2  6413  ersym  7908  brdifun  7925  eqinf  8546  inflb  8551  infglb  8552  infglbb  8553  infltoreq  8564  infempty  8568  brcnvtrclfv  13952  oduleg  17340  posglbd  17358  znleval  20118  brbtwn  26000  fcoinvbr  29757  cnvordtrestixx  30299  xrge0iifiso  30321  orvcgteel  30869  inffzOLD  31953  fv1stcnv  32016  fv2ndcnv  32017  wsuclem  32107  wsuclb  32110  slenlt  32214  colineardim1  32505  gtinfOLD  32651  eldmcnv  34455  ineccnvmo  34464  alrmomorn  34465  brxrn  34478  dfcoss3  34514  brcoss3  34530  brcosscnv  34564  cosscnvssid3  34568  cosscnvssid4  34569  brnonrel  38421  ntrneifv2  38904  gte-lte  42996  gt-lt  42997