Theorem funcnvqp 6420

Description: The converse quadruple of ordered pairs is a function if the second members are pairwise different. Note that the second members need not be sets. (Contributed by AV, 23-Jan-2021.) (Proof shortened by JJ, 14-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
funcnvqp	⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐻) ∧ (𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐻) ∧ 𝐹 ≠ 𝐻)) → Fun ◡({⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∪ {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}))

Proof of Theorem funcnvqp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcnvpr 6418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) → Fun ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩})
2	1	3expa 1114	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) → Fun ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩})
3	2	3ad2antr1 1184	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐻)) → Fun ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩})
4	3	ad2ant2r 745	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐻) ∧ 𝐹 ≠ 𝐻)) → Fun ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩})
5	4	3adantr2 1166	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐻) ∧ (𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐻) ∧ 𝐹 ≠ 𝐻)) → Fun ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩})
6		funcnvpr 6418	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ 𝐻) → Fun ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩})
7	6	3expa 1114	. . . . 5 ⊢ (((𝐸 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ 𝐻) → Fun ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩})
8	7	ad2ant2l 744	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐻) ∧ 𝐹 ≠ 𝐻)) → Fun ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩})
9	8	3adantr2 1166	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐻) ∧ (𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐻) ∧ 𝐹 ≠ 𝐻)) → Fun ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩})
10		df-rn 5568	. . . . . 6 ⊢ ran {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} = dom ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩}
11		rnpropg 6081	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ran {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} = {𝐵, 𝐷})
12	10, 11	syl5eqr 2872	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → dom ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} = {𝐵, 𝐷})
13		df-rn 5568	. . . . . 6 ⊢ ran {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩} = dom ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}
14		rnpropg 6081	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ran {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩} = {𝐹, 𝐻})
15	13, 14	syl5eqr 2872	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → dom ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩} = {𝐹, 𝐻})
16	12, 15	ineqan12d 4193	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → (dom ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∩ dom ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}) = ({𝐵, 𝐷} ∩ {𝐹, 𝐻}))
17		disjpr2 4651	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹) ∧ (𝐵 ≠ 𝐻 ∧ 𝐷 ≠ 𝐻)) → ({𝐵, 𝐷} ∩ {𝐹, 𝐻}) = ∅)
18	17	an4s 658	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐻) ∧ (𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐻)) → ({𝐵, 𝐷} ∩ {𝐹, 𝐻}) = ∅)
19	18	3adantl1 1162	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐻) ∧ (𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐻)) → ({𝐵, 𝐷} ∩ {𝐹, 𝐻}) = ∅)
20	19	3adant3 1128	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐻) ∧ (𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐻) ∧ 𝐹 ≠ 𝐻) → ({𝐵, 𝐷} ∩ {𝐹, 𝐻}) = ∅)
21	16, 20	sylan9eq 2878	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐻) ∧ (𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐻) ∧ 𝐹 ≠ 𝐻)) → (dom ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∩ dom ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}) = ∅)
22		funun 6402	. . 3 ⊢ (((Fun ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∧ Fun ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}) ∧ (dom ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∩ dom ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}) = ∅) → Fun (◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∪ ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}))
23	5, 9, 21, 22	syl21anc 835	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐻) ∧ (𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐻) ∧ 𝐹 ≠ 𝐻)) → Fun (◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∪ ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}))
24		cnvun 6003	. . 3 ⊢ ◡({⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∪ {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}) = (◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∪ ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩})
25	24	funeqi 6378	. 2 ⊢ (Fun ◡({⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∪ {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}) ↔ Fun (◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∪ ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}))
26	23, 25	sylibr 236	1 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐻) ∧ (𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐻) ∧ 𝐹 ≠ 𝐻)) → Fun ◡({⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∪ {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018   ∪ cun 3936   ∩ cin 3937  ∅c0 4293  {cpr 4571  ⟨cop 4575  ^◡ccnv 5556  dom cdm 5557  ran crn 5558  Fun wfun 6351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pr 5332

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rab 3149  df-v 3498  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-br 5069  df-opab 5131  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-fun 6359

This theorem is referenced by:  funcnvs4  14279