MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcnvqp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funcnvqp 6612
Description: The converse quadruple of ordered pairs is a function if the second members are pairwise different. Note that the second members need not be sets. (Contributed by AV, 23-Jan-2021.) (Proof shortened by JJ, 14-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
funcnvqp ((((𝐴𝑈𝐶𝑉) ∧ (𝐸𝑊𝐺𝑇)) ∧ ((𝐵𝐷𝐵𝐹𝐵𝐻) ∧ (𝐷𝐹𝐷𝐻) ∧ 𝐹𝐻)) → Fun ({⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∪ {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}))

Proof of Theorem funcnvqp
StepHypRef Expression
1 funcnvpr 6610 . . . . . . 7 ((𝐴𝑈𝐶𝑉𝐵𝐷) → Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩})
213expa 1117 . . . . . 6 (((𝐴𝑈𝐶𝑉) ∧ 𝐵𝐷) → Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩})
323ad2antr1 1187 . . . . 5 (((𝐴𝑈𝐶𝑉) ∧ (𝐵𝐷𝐵𝐹𝐵𝐻)) → Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩})
43ad2ant2r 744 . . . 4 ((((𝐴𝑈𝐶𝑉) ∧ (𝐸𝑊𝐺𝑇)) ∧ ((𝐵𝐷𝐵𝐹𝐵𝐻) ∧ 𝐹𝐻)) → Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩})
543adantr2 1169 . . 3 ((((𝐴𝑈𝐶𝑉) ∧ (𝐸𝑊𝐺𝑇)) ∧ ((𝐵𝐷𝐵𝐹𝐵𝐻) ∧ (𝐷𝐹𝐷𝐻) ∧ 𝐹𝐻)) → Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩})
6 funcnvpr 6610 . . . . . 6 ((𝐸𝑊𝐺𝑇𝐹𝐻) → Fun {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩})
763expa 1117 . . . . 5 (((𝐸𝑊𝐺𝑇) ∧ 𝐹𝐻) → Fun {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩})
87ad2ant2l 743 . . . 4 ((((𝐴𝑈𝐶𝑉) ∧ (𝐸𝑊𝐺𝑇)) ∧ ((𝐵𝐷𝐵𝐹𝐵𝐻) ∧ 𝐹𝐻)) → Fun {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩})
983adantr2 1169 . . 3 ((((𝐴𝑈𝐶𝑉) ∧ (𝐸𝑊𝐺𝑇)) ∧ ((𝐵𝐷𝐵𝐹𝐵𝐻) ∧ (𝐷𝐹𝐷𝐻) ∧ 𝐹𝐻)) → Fun {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩})
10 df-rn 5687 . . . . . 6 ran {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} = dom {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩}
11 rnpropg 6221 . . . . . 6 ((𝐴𝑈𝐶𝑉) → ran {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} = {𝐵, 𝐷})
1210, 11eqtr3id 2785 . . . . 5 ((𝐴𝑈𝐶𝑉) → dom {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} = {𝐵, 𝐷})
13 df-rn 5687 . . . . . 6 ran {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩} = dom {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}
14 rnpropg 6221 . . . . . 6 ((𝐸𝑊𝐺𝑇) → ran {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩} = {𝐹, 𝐻})
1513, 14eqtr3id 2785 . . . . 5 ((𝐸𝑊𝐺𝑇) → dom {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩} = {𝐹, 𝐻})
1612, 15ineqan12d 4214 . . . 4 (((𝐴𝑈𝐶𝑉) ∧ (𝐸𝑊𝐺𝑇)) → (dom {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∩ dom {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}) = ({𝐵, 𝐷} ∩ {𝐹, 𝐻}))
17 disjpr2 4717 . . . . . . 7 (((𝐵𝐹𝐷𝐹) ∧ (𝐵𝐻𝐷𝐻)) → ({𝐵, 𝐷} ∩ {𝐹, 𝐻}) = ∅)
1817an4s 657 . . . . . 6 (((𝐵𝐹𝐵𝐻) ∧ (𝐷𝐹𝐷𝐻)) → ({𝐵, 𝐷} ∩ {𝐹, 𝐻}) = ∅)
19183adantl1 1165 . . . . 5 (((𝐵𝐷𝐵𝐹𝐵𝐻) ∧ (𝐷𝐹𝐷𝐻)) → ({𝐵, 𝐷} ∩ {𝐹, 𝐻}) = ∅)
20193adant3 1131 . . . 4 (((𝐵𝐷𝐵𝐹𝐵𝐻) ∧ (𝐷𝐹𝐷𝐻) ∧ 𝐹𝐻) → ({𝐵, 𝐷} ∩ {𝐹, 𝐻}) = ∅)
2116, 20sylan9eq 2791 . . 3 ((((𝐴𝑈𝐶𝑉) ∧ (𝐸𝑊𝐺𝑇)) ∧ ((𝐵𝐷𝐵𝐹𝐵𝐻) ∧ (𝐷𝐹𝐷𝐻) ∧ 𝐹𝐻)) → (dom {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∩ dom {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}) = ∅)
22 funun 6594 . . 3 (((Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∧ Fun {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}) ∧ (dom {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∩ dom {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}) = ∅) → Fun ({⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∪ {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}))
235, 9, 21, 22syl21anc 835 . 2 ((((𝐴𝑈𝐶𝑉) ∧ (𝐸𝑊𝐺𝑇)) ∧ ((𝐵𝐷𝐵𝐹𝐵𝐻) ∧ (𝐷𝐹𝐷𝐻) ∧ 𝐹𝐻)) → Fun ({⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∪ {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}))
24 cnvun 6142 . . 3 ({⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∪ {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}) = ({⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∪ {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩})
2524funeqi 6569 . 2 (Fun ({⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∪ {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}) ↔ Fun ({⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∪ {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}))
2623, 25sylibr 233 1 ((((𝐴𝑈𝐶𝑉) ∧ (𝐸𝑊𝐺𝑇)) ∧ ((𝐵𝐷𝐵𝐹𝐵𝐻) ∧ (𝐷𝐹𝐷𝐻) ∧ 𝐹𝐻)) → Fun ({⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∪ {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939  cun 3946  cin 3947  c0 4322  {cpr 4630  cop 4634  ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677  Fun wfun 6537
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-fun 6545
This theorem is referenced by:  funcnvs4  14871
  Copyright terms: Public domain W3C validator