MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcnvqp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funcnvqp 6093
Description: The converse quadruple of ordered pairs is a function if the second members are pairwise different. Note that the second members need not be sets. (Contributed by AV, 23-Jan-2021.) (Proof shortened by JJ, 14-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
funcnvqp ((((𝐴𝑈𝐶𝑉) ∧ (𝐸𝑊𝐺𝑇)) ∧ ((𝐵𝐷𝐵𝐹𝐵𝐻) ∧ (𝐷𝐹𝐷𝐻) ∧ 𝐹𝐻)) → Fun ({⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∪ {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}))

Proof of Theorem funcnvqp
StepHypRef Expression
1 funcnvpr 6091 . . . . . . 7 ((𝐴𝑈𝐶𝑉𝐵𝐷) → Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩})
213expa 1111 . . . . . 6 (((𝐴𝑈𝐶𝑉) ∧ 𝐵𝐷) → Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩})
323ad2antr1 1203 . . . . 5 (((𝐴𝑈𝐶𝑉) ∧ (𝐵𝐷𝐵𝐹𝐵𝐻)) → Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩})
43ad2ant2r 741 . . . 4 ((((𝐴𝑈𝐶𝑉) ∧ (𝐸𝑊𝐺𝑇)) ∧ ((𝐵𝐷𝐵𝐹𝐵𝐻) ∧ 𝐹𝐻)) → Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩})
543adantr2 1175 . . 3 ((((𝐴𝑈𝐶𝑉) ∧ (𝐸𝑊𝐺𝑇)) ∧ ((𝐵𝐷𝐵𝐹𝐵𝐻) ∧ (𝐷𝐹𝐷𝐻) ∧ 𝐹𝐻)) → Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩})
6 funcnvpr 6091 . . . . . 6 ((𝐸𝑊𝐺𝑇𝐹𝐻) → Fun {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩})
763expa 1111 . . . . 5 (((𝐸𝑊𝐺𝑇) ∧ 𝐹𝐻) → Fun {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩})
87ad2ant2l 740 . . . 4 ((((𝐴𝑈𝐶𝑉) ∧ (𝐸𝑊𝐺𝑇)) ∧ ((𝐵𝐷𝐵𝐹𝐵𝐻) ∧ 𝐹𝐻)) → Fun {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩})
983adantr2 1175 . . 3 ((((𝐴𝑈𝐶𝑉) ∧ (𝐸𝑊𝐺𝑇)) ∧ ((𝐵𝐷𝐵𝐹𝐵𝐻) ∧ (𝐷𝐹𝐷𝐻) ∧ 𝐹𝐻)) → Fun {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩})
10 df-rn 5260 . . . . . 6 ran {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} = dom {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩}
11 rnpropg 5757 . . . . . 6 ((𝐴𝑈𝐶𝑉) → ran {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} = {𝐵, 𝐷})
1210, 11syl5eqr 2819 . . . . 5 ((𝐴𝑈𝐶𝑉) → dom {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} = {𝐵, 𝐷})
13 df-rn 5260 . . . . . 6 ran {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩} = dom {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}
14 rnpropg 5757 . . . . . 6 ((𝐸𝑊𝐺𝑇) → ran {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩} = {𝐹, 𝐻})
1513, 14syl5eqr 2819 . . . . 5 ((𝐸𝑊𝐺𝑇) → dom {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩} = {𝐹, 𝐻})
1612, 15ineqan12d 3967 . . . 4 (((𝐴𝑈𝐶𝑉) ∧ (𝐸𝑊𝐺𝑇)) → (dom {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∩ dom {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}) = ({𝐵, 𝐷} ∩ {𝐹, 𝐻}))
17 disjpr2 4385 . . . . . . 7 (((𝐵𝐹𝐷𝐹) ∧ (𝐵𝐻𝐷𝐻)) → ({𝐵, 𝐷} ∩ {𝐹, 𝐻}) = ∅)
1817an4s 639 . . . . . 6 (((𝐵𝐹𝐵𝐻) ∧ (𝐷𝐹𝐷𝐻)) → ({𝐵, 𝐷} ∩ {𝐹, 𝐻}) = ∅)
19183adantl1 1171 . . . . 5 (((𝐵𝐷𝐵𝐹𝐵𝐻) ∧ (𝐷𝐹𝐷𝐻)) → ({𝐵, 𝐷} ∩ {𝐹, 𝐻}) = ∅)
20193adant3 1126 . . . 4 (((𝐵𝐷𝐵𝐹𝐵𝐻) ∧ (𝐷𝐹𝐷𝐻) ∧ 𝐹𝐻) → ({𝐵, 𝐷} ∩ {𝐹, 𝐻}) = ∅)
2116, 20sylan9eq 2825 . . 3 ((((𝐴𝑈𝐶𝑉) ∧ (𝐸𝑊𝐺𝑇)) ∧ ((𝐵𝐷𝐵𝐹𝐵𝐻) ∧ (𝐷𝐹𝐷𝐻) ∧ 𝐹𝐻)) → (dom {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∩ dom {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}) = ∅)
22 funun 6075 . . 3 (((Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∧ Fun {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}) ∧ (dom {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∩ dom {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}) = ∅) → Fun ({⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∪ {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}))
235, 9, 21, 22syl21anc 1475 . 2 ((((𝐴𝑈𝐶𝑉) ∧ (𝐸𝑊𝐺𝑇)) ∧ ((𝐵𝐷𝐵𝐹𝐵𝐻) ∧ (𝐷𝐹𝐷𝐻) ∧ 𝐹𝐻)) → Fun ({⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∪ {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}))
24 cnvun 5679 . . 3 ({⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∪ {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}) = ({⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∪ {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩})
2524funeqi 6052 . 2 (Fun ({⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∪ {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}) ↔ Fun ({⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∪ {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}))
2623, 25sylibr 224 1 ((((𝐴𝑈𝐶𝑉) ∧ (𝐸𝑊𝐺𝑇)) ∧ ((𝐵𝐷𝐵𝐹𝐵𝐻) ∧ (𝐷𝐹𝐷𝐻) ∧ 𝐹𝐻)) → Fun ({⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∪ {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  cun 3721  cin 3722  c0 4063  {cpr 4318  cop 4322  ccnv 5248  dom cdm 5249  ran crn 5250  Fun wfun 6025
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pr 5034
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rab 3070  df-v 3353  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-br 4787  df-opab 4847  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-fun 6033
This theorem is referenced by:  funcnvs4  13869
  Copyright terms: Public domain W3C validator