Theorem funcnvqp 6634

Description: The converse quadruple of ordered pairs is a function if the second members are pairwise different. Note that the second members need not be sets. (Contributed by AV, 23-Jan-2021.) (Proof shortened by JJ, 14-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
funcnvqp	⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐻) ∧ (𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐻) ∧ 𝐹 ≠ 𝐻)) → Fun ◡({⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∪ {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}))

Proof of Theorem funcnvqp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcnvpr 6632	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) → Fun ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩})
2	1	3expa 1136	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) → Fun ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩})
3	2	3ad2antr1 1207	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐻)) → Fun ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩})
4	3	ad2ant2r 760	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐻) ∧ 𝐹 ≠ 𝐻)) → Fun ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩})
5	4	3adantr2 1189	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐻) ∧ (𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐻) ∧ 𝐹 ≠ 𝐻)) → Fun ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩})
6		funcnvpr 6632	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ 𝐻) → Fun ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩})
7	6	3expa 1136	. . . . 5 ⊢ (((𝐸 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ 𝐻) → Fun ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩})
8	7	ad2ant2l 759	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐻) ∧ 𝐹 ≠ 𝐻)) → Fun ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩})
9	8	3adantr2 1189	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐻) ∧ (𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐻) ∧ 𝐹 ≠ 𝐻)) → Fun ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩})
10		df-rn 5669	. . . . . 6 ⊢ ran {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} = dom ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩}
11		rnpropg 6242	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ran {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} = {𝐵, 𝐷})
12	10, 11	eqtr3id 2812	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → dom ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} = {𝐵, 𝐷})
13		df-rn 5669	. . . . . 6 ⊢ ran {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩} = dom ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}
14		rnpropg 6242	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ran {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩} = {𝐹, 𝐻})
15	13, 14	eqtr3id 2812	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → dom ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩} = {𝐹, 𝐻})
16	12, 15	ineqan12d 4122	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → (dom ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∩ dom ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}) = ({𝐵, 𝐷} ∩ {𝐹, 𝐻}))
17		disjpr2 4675	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹) ∧ (𝐵 ≠ 𝐻 ∧ 𝐷 ≠ 𝐻)) → ({𝐵, 𝐷} ∩ {𝐹, 𝐻}) = ∅)
18	17	an4s 673	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐻) ∧ (𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐻)) → ({𝐵, 𝐷} ∩ {𝐹, 𝐻}) = ∅)
19	18	3adantl1 1185	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐻) ∧ (𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐻)) → ({𝐵, 𝐷} ∩ {𝐹, 𝐻}) = ∅)
20	19	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐻) ∧ (𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐻) ∧ 𝐹 ≠ 𝐻) → ({𝐵, 𝐷} ∩ {𝐹, 𝐻}) = ∅)
21	16, 20	sylan9eq 2818	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐻) ∧ (𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐻) ∧ 𝐹 ≠ 𝐻)) → (dom ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∩ dom ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}) = ∅)
22		funun 6614	. . 3 ⊢ (((Fun ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∧ Fun ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}) ∧ (dom ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∩ dom ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}) = ∅) → Fun (◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∪ ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}))
23	5, 9, 21, 22	syl21anc 851	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐻) ∧ (𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐻) ∧ 𝐹 ≠ 𝐻)) → Fun (◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∪ ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}))
24		cnvun 6151	. . 3 ⊢ ◡({⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∪ {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}) = (◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∪ ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩})
25	24	funeqi 6588	. 2 ⊢ (Fun ◡({⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∪ {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}) ↔ Fun (◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∪ ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}))
26	23, 25	sylibr 237	1 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐻) ∧ (𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐻) ∧ 𝐹 ≠ 𝐻)) → Fun ◡({⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∪ {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ∩ cin 4092   ∪ cun 4152  ∅c0 4281  {cpr 4590  ⟨cop 4840  ^◡ccnv 5657  dom cdm 5658  ran crn 5659  Fun wfun 6560

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-mo 2567  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-br 5109  df-opab 5174  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-fun 6568

This theorem is used by:  funcnvs4  15109