Theorem funcnvqp 6581

Description: The converse quadruple of ordered pairs is a function if the second members are pairwise different. Note that the second members need not be sets. (Contributed by AV, 23-Jan-2021.) (Proof shortened by JJ, 14-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
funcnvqp	⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐻) ∧ (𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐻) ∧ 𝐹 ≠ 𝐻)) → Fun ◡({⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∪ {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}))

Proof of Theorem funcnvqp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcnvpr 6579	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) → Fun ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩})
2	1	3expa 1130	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) → Fun ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩})
3	2	3ad2antr1 1201	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐻)) → Fun ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩})
4	3	ad2ant2r 757	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐻) ∧ 𝐹 ≠ 𝐻)) → Fun ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩})
5	4	3adantr2 1183	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐻) ∧ (𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐻) ∧ 𝐹 ≠ 𝐻)) → Fun ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩})
6		funcnvpr 6579	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ 𝐻) → Fun ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩})
7	6	3expa 1130	. . . . 5 ⊢ (((𝐸 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ 𝐻) → Fun ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩})
8	7	ad2ant2l 756	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐻) ∧ 𝐹 ≠ 𝐻)) → Fun ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩})
9	8	3adantr2 1183	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐻) ∧ (𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐻) ∧ 𝐹 ≠ 𝐻)) → Fun ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩})
10		df-rn 5656	. . . . . 6 ⊢ ran {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} = dom ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩}
11		rnpropg 6205	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ran {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} = {𝐵, 𝐷})
12	10, 11	eqtr3id 2810	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → dom ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} = {𝐵, 𝐷})
13		df-rn 5656	. . . . . 6 ⊢ ran {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩} = dom ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}
14		rnpropg 6205	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ran {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩} = {𝐹, 𝐻})
15	13, 14	eqtr3id 2810	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → dom ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩} = {𝐹, 𝐻})
16	12, 15	ineqan12d 4174	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → (dom ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∩ dom ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}) = ({𝐵, 𝐷} ∩ {𝐹, 𝐻}))
17		disjpr2 4671	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹) ∧ (𝐵 ≠ 𝐻 ∧ 𝐷 ≠ 𝐻)) → ({𝐵, 𝐷} ∩ {𝐹, 𝐻}) = ∅)
18	17	an4s 670	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐻) ∧ (𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐻)) → ({𝐵, 𝐷} ∩ {𝐹, 𝐻}) = ∅)
19	18	3adantl1 1179	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐻) ∧ (𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐻)) → ({𝐵, 𝐷} ∩ {𝐹, 𝐻}) = ∅)
20	19	3adant3 1144	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐻) ∧ (𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐻) ∧ 𝐹 ≠ 𝐻) → ({𝐵, 𝐷} ∩ {𝐹, 𝐻}) = ∅)
21	16, 20	sylan9eq 2816	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐻) ∧ (𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐻) ∧ 𝐹 ≠ 𝐻)) → (dom ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∩ dom ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}) = ∅)
22		funun 6563	. . 3 ⊢ (((Fun ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∧ Fun ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}) ∧ (dom ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∩ dom ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}) = ∅) → Fun (◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∪ ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}))
23	5, 9, 21, 22	syl21anc 848	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐻) ∧ (𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐻) ∧ 𝐹 ≠ 𝐻)) → Fun (◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∪ ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}))
24		cnvun 6123	. . 3 ⊢ ◡({⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∪ {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}) = (◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∪ ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩})
25	24	funeqi 6538	. 2 ⊢ (Fun ◡({⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∪ {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}) ↔ Fun (◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∪ ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}))
26	23, 25	sylibr 236	1 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸 ∈ 𝑊 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐻) ∧ (𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐻) ∧ 𝐹 ≠ 𝐻)) → Fun ◡({⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∪ {⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   ∪ cun 3902   ∩ cin 3903  ∅c0 4285  {cpr 4583  ⟨cop 4587  ^◡ccnv 5644  dom cdm 5645  ran crn 5646  Fun wfun 6511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-sb 2090  df-mo 2565  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-br 5100  df-opab 5162  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-fun 6519

This theorem is referenced by:  funcnvs4  14925