Theorem evl1deg3 33812

Description: Evaluation of a univariate polynomial of degree 3. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1deg1.1	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
evl1deg1.2	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
evl1deg1.3	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
evl1deg1.4	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
evl1deg1.5	⊢ · = (.r‘𝑅)
evl1deg1.6	⊢ + = (+g‘𝑅)
evl1deg2.p	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
evl1deg3.f	⊢ 𝐹 = (coe1‘𝑀)
evl1deg3.e	⊢ 𝐸 = (deg1‘𝑅)
evl1deg3.a	⊢ 𝐴 = (𝐹‘3)
evl1deg3.b	⊢ 𝐵 = (𝐹‘2)
evl1deg3.c	⊢ 𝐶 = (𝐹‘1)
evl1deg3.d	⊢ 𝐷 = (𝐹‘0)
evl1deg3.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1deg3.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑈)
evl1deg3.1	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑀) = 3)
evl1deg3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
evl1deg3	⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑀)‘𝑋) = (((𝐴 · (3 ↑ 𝑋)) + (𝐵 · (2 ↑ 𝑋))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)))

Proof of Theorem evl1deg3

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7419	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑘 ↑ 𝑥) = (𝑘 ↑ 𝑋))
2	1	oveq2d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑥)) = ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))
3	2	mpteq2dv 5209	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑥))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))))
4	3	oveq2d 7427	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑥)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))
5		evl1deg1.2	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
6		evl1deg1.1	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
7		evl1deg1.3	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
8		evl1deg1.4	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
9		evl1deg3.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
10		evl1deg3.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑈)
11		evl1deg1.5	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
12		evl1deg2.p	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
13		evl1deg3.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (coe1‘𝑀)
14	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	evl1fpws 33798	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑀) = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑥))))))
15		evl1deg3.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
16		ovexd 7446	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) ∈ V)
17	4, 14, 15, 16	fvmptd4 7015	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑀)‘𝑋) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))
18		eqid 2769	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
19		evl1deg1.6	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
20	9	crngringd 20327	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
21	20	ringcmnd 20366	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
22		nn0ex 12509	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
23	22	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
24	20	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
25	13, 8, 6, 7	coe1fvalcl 22340	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐾)
26	10, 25	sylan 591	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐾)
27		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
28	27, 7	mgpbas 20220	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
29	27	ringmgp 20320	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
30	20, 29	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
31	30	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
32		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
33	15	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐾)
34	28, 12, 31, 32, 33	mulgnn0cld 19160	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐾)
35	7, 11, 24, 26, 34	ringcld 20341	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐾)
36		fvexd 6897	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ V)
37		fveq2 6882	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
38		oveq1 7418	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ↑ 𝑋) = (𝑗 ↑ 𝑋))
39	37, 38	oveq12d 7429	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑗) · (𝑗 ↑ 𝑋)))
40		breq1 5116	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝐸‘𝑀) → (𝑖 < 𝑗 ↔ (𝐸‘𝑀) < 𝑗))
41	40	imbi1d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (𝐸‘𝑀) → ((𝑖 < 𝑗 → ((𝐹‘𝑗) · (𝑗 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑅)) ↔ ((𝐸‘𝑀) < 𝑗 → ((𝐹‘𝑗) · (𝑗 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑅))))
42	41	ralbidv 3194	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = (𝐸‘𝑀) → (∀𝑗 ∈ ℕ0 (𝑖 < 𝑗 → ((𝐹‘𝑗) · (𝑗 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑅)) ↔ ∀𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐸‘𝑀) < 𝑗 → ((𝐹‘𝑗) · (𝑗 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑅))))
43		evl1deg3.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑀) = 3)
44		3nn0 12521	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
45	44	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℕ0)
46	43, 45	eqeltrd 2869	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑀) ∈ ℕ0)
47	10	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸‘𝑀) < 𝑗) → 𝑀 ∈ 𝑈)
48		simplr 780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸‘𝑀) < 𝑗) → 𝑗 ∈ ℕ0)
49		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸‘𝑀) < 𝑗) → (𝐸‘𝑀) < 𝑗)
50		evl1deg3.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐸 = (deg1‘𝑅)
51	50, 6, 8, 18, 13	deg1lt 26222	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (𝐸‘𝑀) < 𝑗) → (𝐹‘𝑗) = (0g‘𝑅))
52	47, 48, 49, 51	syl3anc 1396	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸‘𝑀) < 𝑗) → (𝐹‘𝑗) = (0g‘𝑅))
53	52	oveq1d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸‘𝑀) < 𝑗) → ((𝐹‘𝑗) · (𝑗 ↑ 𝑋)) = ((0g‘𝑅) · (𝑗 ↑ 𝑋)))
54	20	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸‘𝑀) < 𝑗) → 𝑅 ∈ Ring)
55	54, 29	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸‘𝑀) < 𝑗) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
56	15	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸‘𝑀) < 𝑗) → 𝑋 ∈ 𝐾)
57	28, 12, 55, 48, 56	mulgnn0cld 19160	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸‘𝑀) < 𝑗) → (𝑗 ↑ 𝑋) ∈ 𝐾)
58	7, 11, 18, 54, 57	ringlzd 20377	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸‘𝑀) < 𝑗) → ((0g‘𝑅) · (𝑗 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑅))
59	53, 58	eqtrd 2804	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸‘𝑀) < 𝑗) → ((𝐹‘𝑗) · (𝑗 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑅))
60	59	ex 417	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐸‘𝑀) < 𝑗 → ((𝐹‘𝑗) · (𝑗 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑅)))
61	60	ralrimiva 3163	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐸‘𝑀) < 𝑗 → ((𝐹‘𝑗) · (𝑗 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑅)))
62	42, 46, 61	rspcedvdw 3593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 ∀𝑗 ∈ ℕ0 (𝑖 < 𝑗 → ((𝐹‘𝑗) · (𝑗 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑅)))
63	36, 35, 39, 62	mptnn0fsuppd 14033	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))) finSupp (0g‘𝑅))
64		fzouzdisj 13723	. . . 4 ⊢ ((0..^4) ∩ (ℤ≥‘4)) = ∅
65	64	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0..^4) ∩ (ℤ≥‘4)) = ∅)
66		nn0uz 12899	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
67		4nn0 12522	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
68	67, 66	eleqtri 2867	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘0)
69		fzouzsplit 13722	. . . . . 6 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘0) → (ℤ≥‘0) = ((0..^4) ∪ (ℤ≥‘4)))
70	68, 69	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘0) = ((0..^4) ∪ (ℤ≥‘4))
71	66, 70	eqtri 2792	. . . 4 ⊢ ℕ0 = ((0..^4) ∪ (ℤ≥‘4))
72	71	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℕ0 = ((0..^4) ∪ (ℤ≥‘4)))
73	7, 18, 19, 21, 23, 35, 63, 65, 72	gsumsplit2 19998	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^4) ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))))))
74		fzofi 14009	. . . . . 6 ⊢ (0..^4) ∈ Fin
75	74	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^4) ∈ Fin)
76		fzo0ssnn0 13774	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^4) ⊆ ℕ0
77	76	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0..^4) ⊆ ℕ0)
78	77	sselda 3945	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^4)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
79	78, 35	syldan 602	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^4)) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐾)
80		0ne2 12449	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≠ 2
81		1ne2 12450	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 2
82		0re 11209	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
83		3pos 12348	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 3
84	82, 83	ltneii 11322	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≠ 3
85		1re 11207	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
86		1lt3 12415	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 3
87	85, 86	ltneii 11322	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 3
88		disjpr2 4684	. . . . . . 7 ⊢ (((0 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 2) ∧ (0 ≠ 3 ∧ 1 ≠ 3)) → ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅)
89	80, 81, 84, 87, 88	mp4an 705	. . . . . 6 ⊢ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅
90	89	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅)
91		fzo0to42pr 13781	. . . . . 6 ⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
92	91	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3}))
93	7, 19, 21, 75, 79, 90, 92	gsummptfidmsplit 19999	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^4) ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0, 1} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {2, 3} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))))))
94	10	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)) → 𝑀 ∈ 𝑈)
95		uzss 12884	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘0) → (ℤ≥‘4) ⊆ (ℤ≥‘0))
96	68, 95	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℤ≥‘4) ⊆ (ℤ≥‘0)
97	96, 66	sseqtrri 3994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ≥‘4) ⊆ ℕ0
98	97	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘4) ⊆ ℕ0)
99	98	sselda 3945	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
100	43	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)) → (𝐸‘𝑀) = 3)
101		3p1e4 12384	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 + 1) = 4
102	101	fveq2i 6885	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℤ≥‘(3 + 1)) = (ℤ≥‘4)
103	102	eleq2i 2861	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(3 + 1)) ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘4))
104		3z 12626	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℤ
105		eluzp1l 12888	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(3 + 1))) → 3 < 𝑘)
106	104, 105	mpan 702	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(3 + 1)) → 3 < 𝑘)
107	103, 106	sylbir 238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) → 3 < 𝑘)
108	107	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)) → 3 < 𝑘)
109	100, 108	eqbrtrd 5137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)) → (𝐸‘𝑀) < 𝑘)
110	50, 6, 8, 18, 13	deg1lt 26222	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐸‘𝑀) < 𝑘) → (𝐹‘𝑘) = (0g‘𝑅))
111	94, 99, 109, 110	syl3anc 1396	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)) → (𝐹‘𝑘) = (0g‘𝑅))
112	111	oveq1d 7426	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = ((0g‘𝑅) · (𝑘 ↑ 𝑋)))
113	20	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)) → 𝑅 ∈ Ring)
114	113, 29	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
115	15	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)) → 𝑋 ∈ 𝐾)
116	28, 12, 114, 99, 115	mulgnn0cld 19160	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐾)
117	7, 11, 18, 113, 116	ringlzd 20377	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)) → ((0g‘𝑅) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑅))
118	112, 117	eqtrd 2804	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑅))
119	118	mpteq2dva 5208	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))) = (𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) ↦ (0g‘𝑅)))
120	119	oveq2d 7427	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) ↦ (0g‘𝑅))))
121	93, 120	oveq12d 7429	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^4) ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))))) = (((𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0, 1} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {2, 3} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) ↦ (0g‘𝑅)))))
122		0nn0 12518	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℕ0
123	122	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
124		1nn0 12519	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
125	124	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
126		0ne1 12311	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≠ 1
127	126	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 1)
128	13, 8, 6, 7	coe1fvalcl 22340	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐹‘0) ∈ 𝐾)
129	10, 122, 128	sylancl 597	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) ∈ 𝐾)
130	28, 12, 30, 123, 15	mulgnn0cld 19160	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝑋) ∈ 𝐾)
131	7, 11, 20, 129, 130	ringcld 20341	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘0) · (0 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐾)
132	13, 8, 6, 7	coe1fvalcl 22340	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝐹‘1) ∈ 𝐾)
133	10, 124, 132	sylancl 597	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ 𝐾)
134	28, 12, 30, 125, 15	mulgnn0cld 19160	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 ↑ 𝑋) ∈ 𝐾)
135	7, 11, 20, 133, 134	ringcld 20341	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘1) · (1 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐾)
136		fveq2 6882	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘0))
137		oveq1 7418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 ↑ 𝑋) = (0 ↑ 𝑋))
138	136, 137	oveq12d 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘0) · (0 ↑ 𝑋)))
139		fveq2 6882	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘1))
140		oveq1 7418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 ↑ 𝑋) = (1 ↑ 𝑋))
141	139, 140	oveq12d 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘1) · (1 ↑ 𝑋)))
142	7, 19, 138, 141	gsumpr 20024	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CMnd ∧ (0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≠ 1) ∧ (((𝐹‘0) · (0 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐾 ∧ ((𝐹‘1) · (1 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐾)) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0, 1} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (((𝐹‘0) · (0 ↑ 𝑋)) + ((𝐹‘1) · (1 ↑ 𝑋))))
143	21, 123, 125, 127, 131, 135, 142	syl132anc 1413	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0, 1} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (((𝐹‘0) · (0 ↑ 𝑋)) + ((𝐹‘1) · (1 ↑ 𝑋))))
144		eqid 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
145		evl1deg3.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = (𝐹‘0)
146	145, 129	eqeltrid 2873	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐾)
147	7, 11, 144, 20, 146	ringridmd 20355	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (1r‘𝑅)) = 𝐷)
148	147	oveq1d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (1r‘𝑅)) + (𝐶 · 𝑋)) = (𝐷 + (𝐶 · 𝑋)))
149	145	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝐹‘0))
150	27, 144	ringidval 20264	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
151	28, 150, 12	mulg0 19139	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐾 → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑅))
152	15, 151	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑅))
153	152	eqcomd 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (0 ↑ 𝑋))
154	149, 153	oveq12d 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (1r‘𝑅)) = ((𝐹‘0) · (0 ↑ 𝑋)))
155		evl1deg3.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 = (𝐹‘1)
156	155	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐹‘1))
157	28, 12	mulg1 19146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐾 → (1 ↑ 𝑋) = 𝑋)
158	15, 157	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 ↑ 𝑋) = 𝑋)
159	158	eqcomd 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (1 ↑ 𝑋))
160	156, 159	oveq12d 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝑋) = ((𝐹‘1) · (1 ↑ 𝑋)))
161	154, 160	oveq12d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (1r‘𝑅)) + (𝐶 · 𝑋)) = (((𝐹‘0) · (0 ↑ 𝑋)) + ((𝐹‘1) · (1 ↑ 𝑋))))
162	160, 135	eqeltrd 2869	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝑋) ∈ 𝐾)
163	7, 19	ringcom 20362	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐷 ∈ 𝐾 ∧ (𝐶 · 𝑋) ∈ 𝐾) → (𝐷 + (𝐶 · 𝑋)) = ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷))
164	20, 146, 162, 163	syl3anc 1396	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + (𝐶 · 𝑋)) = ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷))
165	148, 161, 164	3eqtr3d 2812	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘0) · (0 ↑ 𝑋)) + ((𝐹‘1) · (1 ↑ 𝑋))) = ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷))
166	143, 165	eqtrd 2804	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0, 1} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) = ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷))
167		2nn0 12520	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
168	167	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
169		2re 12314	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
170		2lt3 12413	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 < 3
171	169, 170	ltneii 11322	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 3
172	171	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 3)
173		evl1deg3.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (𝐹‘2)
174	13, 8, 6, 7	coe1fvalcl 22340	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝐹‘2) ∈ 𝐾)
175	10, 167, 174	sylancl 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘2) ∈ 𝐾)
176	173, 175	eqeltrid 2873	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
177	28, 12, 30, 168, 15	mulgnn0cld 19160	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 ↑ 𝑋) ∈ 𝐾)
178	7, 11, 20, 176, 177	ringcld 20341	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (2 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐾)
179		evl1deg3.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (𝐹‘3)
180	13, 8, 6, 7	coe1fvalcl 22340	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐹‘3) ∈ 𝐾)
181	10, 44, 180	sylancl 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘3) ∈ 𝐾)
182	179, 181	eqeltrid 2873	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
183	28, 12, 30, 45, 15	mulgnn0cld 19160	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (3 ↑ 𝑋) ∈ 𝐾)
184	7, 11, 20, 182, 183	ringcld 20341	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (3 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐾)
185		fveq2 6882	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘2))
186	185, 173	eqtr4di 2822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
187		oveq1 7418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝑘 ↑ 𝑋) = (2 ↑ 𝑋))
188	186, 187	oveq12d 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 2 → ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = (𝐵 · (2 ↑ 𝑋)))
189		fveq2 6882	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 3 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘3))
190	189, 179	eqtr4di 2822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 3 → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
191		oveq1 7418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 3 → (𝑘 ↑ 𝑋) = (3 ↑ 𝑋))
192	190, 191	oveq12d 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 3 → ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = (𝐴 · (3 ↑ 𝑋)))
193	7, 19, 188, 192	gsumpr 20024	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CMnd ∧ (2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≠ 3) ∧ ((𝐵 · (2 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐾 ∧ (𝐴 · (3 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐾)) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {2, 3} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) = ((𝐵 · (2 ↑ 𝑋)) + (𝐴 · (3 ↑ 𝑋))))
194	21, 168, 45, 172, 178, 184, 193	syl132anc 1413	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {2, 3} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) = ((𝐵 · (2 ↑ 𝑋)) + (𝐴 · (3 ↑ 𝑋))))
195	7, 19	cmncom 19867	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CMnd ∧ (𝐵 · (2 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐾 ∧ (𝐴 · (3 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐾) → ((𝐵 · (2 ↑ 𝑋)) + (𝐴 · (3 ↑ 𝑋))) = ((𝐴 · (3 ↑ 𝑋)) + (𝐵 · (2 ↑ 𝑋))))
196	21, 178, 184, 195	syl3anc 1396	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (2 ↑ 𝑋)) + (𝐴 · (3 ↑ 𝑋))) = ((𝐴 · (3 ↑ 𝑋)) + (𝐵 · (2 ↑ 𝑋))))
197	194, 196	eqtrd 2804	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {2, 3} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) = ((𝐴 · (3 ↑ 𝑋)) + (𝐵 · (2 ↑ 𝑋))))
198	166, 197	oveq12d 7429	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0, 1} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {2, 3} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))))) = (((𝐶 · 𝑋) + 𝐷) + ((𝐴 · (3 ↑ 𝑋)) + (𝐵 · (2 ↑ 𝑋)))))
199	9	crnggrpd 20328	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
200	7, 19, 199, 162, 146	grpcld 19013	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷) ∈ 𝐾)
201	7, 19, 199, 184, 178	grpcld 19013	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · (3 ↑ 𝑋)) + (𝐵 · (2 ↑ 𝑋))) ∈ 𝐾)
202	7, 19	cmncom 19867	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CMnd ∧ ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷) ∈ 𝐾 ∧ ((𝐴 · (3 ↑ 𝑋)) + (𝐵 · (2 ↑ 𝑋))) ∈ 𝐾) → (((𝐶 · 𝑋) + 𝐷) + ((𝐴 · (3 ↑ 𝑋)) + (𝐵 · (2 ↑ 𝑋)))) = (((𝐴 · (3 ↑ 𝑋)) + (𝐵 · (2 ↑ 𝑋))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)))
203	21, 200, 201, 202	syl3anc 1396	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝑋) + 𝐷) + ((𝐴 · (3 ↑ 𝑋)) + (𝐵 · (2 ↑ 𝑋)))) = (((𝐴 · (3 ↑ 𝑋)) + (𝐵 · (2 ↑ 𝑋))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)))
204	198, 203	eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0, 1} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {2, 3} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))))) = (((𝐴 · (3 ↑ 𝑋)) + (𝐵 · (2 ↑ 𝑋))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)))
205	199	grpmndd 19012	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
206		fvexd 6897	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘4) ∈ V)
207	18	gsumz 18894	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (ℤ≥‘4) ∈ V) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) ↦ (0g‘𝑅))) = (0g‘𝑅))
208	205, 206, 207	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) ↦ (0g‘𝑅))) = (0g‘𝑅))
209	204, 208	oveq12d 7429	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0, 1} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {2, 3} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) ↦ (0g‘𝑅)))) = ((((𝐴 · (3 ↑ 𝑋)) + (𝐵 · (2 ↑ 𝑋))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)) + (0g‘𝑅)))
210	7, 19, 199, 201, 200	grpcld 19013	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · (3 ↑ 𝑋)) + (𝐵 · (2 ↑ 𝑋))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)) ∈ 𝐾)
211	7, 19, 18, 199, 210	grpridd 19036	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · (3 ↑ 𝑋)) + (𝐵 · (2 ↑ 𝑋))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)) + (0g‘𝑅)) = (((𝐴 · (3 ↑ 𝑋)) + (𝐵 · (2 ↑ 𝑋))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)))
212	121, 209, 211	3eqtrd 2808	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^4) ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))))) = (((𝐴 · (3 ↑ 𝑋)) + (𝐵 · (2 ↑ 𝑋))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)))
213	17, 73, 212	3eqtrd 2808	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑀)‘𝑋) = (((𝐴 · (3 ↑ 𝑋)) + (𝐵 · (2 ↑ 𝑋))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  Vcvv 3463   ∪ cun 3911   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294  {cpr 4596   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Fincfn 8942  0cc0 11099  1c1 11100   + caddc 11102   < clt 11242  2c2 12294  3c3 12295  4c4 12296  ℕ₀cn0 12503  ℤcz 12590  ℤ_≥cuz 12861  ..^cfzo 13681  Basecbs 17268  +_gcplusg 17309  ._rcmulr 17310  0_gc0g 17491   Σ_g cgsu 17492  Mndcmnd 18791  ._gcmg 19132  CMndccmn 19849  mulGrpcmgp 20215  1_rcur 20262  Ringcrg 20314  CRingccrg 20315  Poly₁cpl1 22305  coe₁cco1 22306  eval₁ce1 22442  deg₁cdg1 26179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177  ax-addf 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-ofr 7676  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-sup 9401  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-seq 14037  df-hash 14366  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-unif 17332  df-hom 17333  df-cco 17334  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-prds 17499  df-pws 17501  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-mhm 18840  df-submnd 18841  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-mulg 19133  df-subg 19188  df-ghm 19283  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-srg 20268  df-ring 20316  df-cring 20317  df-rhm 20553  df-subrng 20630  df-subrg 20654  df-lmod 20960  df-lss 21030  df-lsp 21070  df-cnfld 21491  df-assa 21971  df-asp 21972  df-ascl 21973  df-psr 22027  df-mvr 22028  df-mpl 22029  df-opsr 22031  df-evls 22193  df-evl 22194  df-psr1 22308  df-vr1 22309  df-ply1 22310  df-coe1 22311  df-evls1 22443  df-evl1 22444  df-mdeg 26180  df-deg1 26181

This theorem is referenced by:  2sqr3minply  34114