Theorem evl1deg3 33988

Description: Evaluation of a univariate polynomial of degree 3. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1deg1.1	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
evl1deg1.2	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
evl1deg1.3	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
evl1deg1.4	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
evl1deg1.5	⊢ · = (.r‘𝑅)
evl1deg1.6	⊢ + = (+g‘𝑅)
evl1deg2.p	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
evl1deg3.f	⊢ 𝐹 = (coe1‘𝑀)
evl1deg3.e	⊢ 𝐸 = (deg1‘𝑅)
evl1deg3.a	⊢ 𝐴 = (𝐹‘3)
evl1deg3.b	⊢ 𝐵 = (𝐹‘2)
evl1deg3.c	⊢ 𝐶 = (𝐹‘1)
evl1deg3.d	⊢ 𝐷 = (𝐹‘0)
evl1deg3.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1deg3.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑈)
evl1deg3.1	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑀) = 3)
evl1deg3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
evl1deg3	⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑀)‘𝑋) = (((𝐴 · (3 ↑ 𝑋)) + (𝐵 · (2 ↑ 𝑋))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)))

Proof of Theorem evl1deg3

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7421	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑘 ↑ 𝑥) = (𝑘 ↑ 𝑋))
2	1	oveq2d 7429	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑥)) = ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))
3	2	mpteq2dv 5199	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑥))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))))
4	3	oveq2d 7429	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑥)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))
5		evl1deg1.2	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
6		evl1deg1.1	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
7		evl1deg1.3	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
8		evl1deg1.4	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
9		evl1deg3.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
10		evl1deg3.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑈)
11		evl1deg1.5	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
12		evl1deg2.p	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
13		evl1deg3.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (coe1‘𝑀)
14	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	evl1fpws 33974	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑀) = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑥))))))
15		evl1deg3.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
16		ovexd 7448	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) ∈ V)
17	4, 14, 15, 16	fvmptd4 7011	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑀)‘𝑋) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))
18		eqid 2760	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
19		evl1deg1.6	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
20	9	crngringd 20385	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
21	20	ringcmnd 20425	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
22		nn0ex 12534	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
23	22	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
24	20	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
25	13, 8, 6, 7	coe1fvalcl 22437	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐾)
26	10, 25	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐾)
27		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
28	27, 7	mgpbas 20278	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
29	27	ringmgp 20378	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
30	20, 29	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
31	30	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
32		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
33	15	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐾)
34	28, 12, 31, 32, 33	mulgnn0cld 19218	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐾)
35	7, 11, 24, 26, 34	ringcld 20396	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐾)
36		fvexd 6893	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ V)
37		fveq2 6878	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
38		oveq1 7420	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ↑ 𝑋) = (𝑗 ↑ 𝑋))
39	37, 38	oveq12d 7431	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘𝑗) · (𝑗 ↑ 𝑋)))
40		breq1 5106	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝐸‘𝑀) → (𝑖 < 𝑗 ↔ (𝐸‘𝑀) < 𝑗))
41	40	imbi1d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (𝐸‘𝑀) → ((𝑖 < 𝑗 → ((𝐹‘𝑗) · (𝑗 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑅)) ↔ ((𝐸‘𝑀) < 𝑗 → ((𝐹‘𝑗) · (𝑗 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑅))))
42	41	ralbidv 3185	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = (𝐸‘𝑀) → (∀𝑗 ∈ ℕ0 (𝑖 < 𝑗 → ((𝐹‘𝑗) · (𝑗 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑅)) ↔ ∀𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐸‘𝑀) < 𝑗 → ((𝐹‘𝑗) · (𝑗 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑅))))
43		evl1deg3.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑀) = 3)
44		3nn0 12546	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
45	44	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℕ0)
46	43, 45	eqeltrd 2860	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑀) ∈ ℕ0)
47	10	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸‘𝑀) < 𝑗) → 𝑀 ∈ 𝑈)
48		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸‘𝑀) < 𝑗) → 𝑗 ∈ ℕ0)
49		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸‘𝑀) < 𝑗) → (𝐸‘𝑀) < 𝑗)
50		evl1deg3.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐸 = (deg1‘𝑅)
51	50, 6, 8, 18, 13	deg1lt 26322	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (𝐸‘𝑀) < 𝑗) → (𝐹‘𝑗) = (0g‘𝑅))
52	47, 48, 49, 51	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸‘𝑀) < 𝑗) → (𝐹‘𝑗) = (0g‘𝑅))
53	52	oveq1d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸‘𝑀) < 𝑗) → ((𝐹‘𝑗) · (𝑗 ↑ 𝑋)) = ((0g‘𝑅) · (𝑗 ↑ 𝑋)))
54	20	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸‘𝑀) < 𝑗) → 𝑅 ∈ Ring)
55	54, 29	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸‘𝑀) < 𝑗) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
56	15	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸‘𝑀) < 𝑗) → 𝑋 ∈ 𝐾)
57	28, 12, 55, 48, 56	mulgnn0cld 19218	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸‘𝑀) < 𝑗) → (𝑗 ↑ 𝑋) ∈ 𝐾)
58	7, 11, 18, 54, 57	ringlzd 20437	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸‘𝑀) < 𝑗) → ((0g‘𝑅) · (𝑗 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑅))
59	53, 58	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸‘𝑀) < 𝑗) → ((𝐹‘𝑗) · (𝑗 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑅))
60	59	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐸‘𝑀) < 𝑗 → ((𝐹‘𝑗) · (𝑗 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑅)))
61	60	ralrimiva 3154	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐸‘𝑀) < 𝑗 → ((𝐹‘𝑗) · (𝑗 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑅)))
62	42, 46, 61	rspcedvdw 3579	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 ∀𝑗 ∈ ℕ0 (𝑖 < 𝑗 → ((𝐹‘𝑗) · (𝑗 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑅)))
63	36, 35, 39, 62	mptnn0fsuppd 14062	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))) finSupp (0g‘𝑅))
64		fzouzdisj 13751	. . . 4 ⊢ ((0..^4) ∩ (ℤ≥‘4)) = ∅
65	64	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0..^4) ∩ (ℤ≥‘4)) = ∅)
66		nn0uz 12925	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
67		4nn0 12547	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
68	67, 66	eleqtri 2858	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘0)
69		fzouzsplit 13750	. . . . . 6 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘0) → (ℤ≥‘0) = ((0..^4) ∪ (ℤ≥‘4)))
70	68, 69	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘0) = ((0..^4) ∪ (ℤ≥‘4))
71	66, 70	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ ℕ0 = ((0..^4) ∪ (ℤ≥‘4))
72	71	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℕ0 = ((0..^4) ∪ (ℤ≥‘4)))
73	7, 18, 19, 21, 23, 35, 63, 65, 72	gsumsplit2 20056	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^4) ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))))))
74		fzofi 14038	. . . . . 6 ⊢ (0..^4) ∈ Fin
75	74	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^4) ∈ Fin)
76		fzo0ssnn0 13802	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^4) ⊆ ℕ0
77	76	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0..^4) ⊆ ℕ0)
78	77	sselda 3931	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^4)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
79	78, 35	syldan 603	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^4)) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐾)
80		0ne2 12474	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≠ 2
81		1ne2 12475	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 2
82		0re 11234	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
83		3pos 12373	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 3
84	82, 83	ltneii 11347	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≠ 3
85		1re 11232	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
86		1lt3 12440	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 3
87	85, 86	ltneii 11347	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 3
88		disjpr2 4674	. . . . . . 7 ⊢ (((0 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 2) ∧ (0 ≠ 3 ∧ 1 ≠ 3)) → ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅)
89	80, 81, 84, 87, 88	mp4an 706	. . . . . 6 ⊢ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅
90	89	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅)
91		fzo0to42pr 13809	. . . . . 6 ⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
92	91	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3}))
93	7, 19, 21, 75, 79, 90, 92	gsummptfidmsplit 20057	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^4) ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0, 1} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {2, 3} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))))))
94	10	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)) → 𝑀 ∈ 𝑈)
95		uzss 12910	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘0) → (ℤ≥‘4) ⊆ (ℤ≥‘0))
96	68, 95	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℤ≥‘4) ⊆ (ℤ≥‘0)
97	96, 66	sseqtrri 3980	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ≥‘4) ⊆ ℕ0
98	97	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘4) ⊆ ℕ0)
99	98	sselda 3931	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
100	43	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)) → (𝐸‘𝑀) = 3)
101		3p1e4 12409	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 + 1) = 4
102	101	fveq2i 6881	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℤ≥‘(3 + 1)) = (ℤ≥‘4)
103	102	eleq2i 2852	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(3 + 1)) ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘4))
104		3z 12651	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℤ
105		eluzp1l 12914	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(3 + 1))) → 3 < 𝑘)
106	104, 105	mpan 703	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(3 + 1)) → 3 < 𝑘)
107	103, 106	sylbir 238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) → 3 < 𝑘)
108	107	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)) → 3 < 𝑘)
109	100, 108	eqbrtrd 5127	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)) → (𝐸‘𝑀) < 𝑘)
110	50, 6, 8, 18, 13	deg1lt 26322	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐸‘𝑀) < 𝑘) → (𝐹‘𝑘) = (0g‘𝑅))
111	94, 99, 109, 110	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)) → (𝐹‘𝑘) = (0g‘𝑅))
112	111	oveq1d 7428	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = ((0g‘𝑅) · (𝑘 ↑ 𝑋)))
113	20	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)) → 𝑅 ∈ Ring)
114	113, 29	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
115	15	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)) → 𝑋 ∈ 𝐾)
116	28, 12, 114, 99, 115	mulgnn0cld 19218	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐾)
117	7, 11, 18, 113, 116	ringlzd 20437	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)) → ((0g‘𝑅) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑅))
118	112, 117	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑅))
119	118	mpteq2dva 5198	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))) = (𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) ↦ (0g‘𝑅)))
120	119	oveq2d 7429	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) ↦ (0g‘𝑅))))
121	93, 120	oveq12d 7431	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^4) ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))))) = (((𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0, 1} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {2, 3} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) ↦ (0g‘𝑅)))))
122		0nn0 12543	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℕ0
123	122	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
124		1nn0 12544	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
125	124	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
126		0ne1 12336	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≠ 1
127	126	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 1)
128	13, 8, 6, 7	coe1fvalcl 22437	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐹‘0) ∈ 𝐾)
129	10, 122, 128	sylancl 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) ∈ 𝐾)
130	28, 12, 30, 123, 15	mulgnn0cld 19218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝑋) ∈ 𝐾)
131	7, 11, 20, 129, 130	ringcld 20396	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘0) · (0 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐾)
132	13, 8, 6, 7	coe1fvalcl 22437	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝐹‘1) ∈ 𝐾)
133	10, 124, 132	sylancl 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ 𝐾)
134	28, 12, 30, 125, 15	mulgnn0cld 19218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 ↑ 𝑋) ∈ 𝐾)
135	7, 11, 20, 133, 134	ringcld 20396	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘1) · (1 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐾)
136		fveq2 6878	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘0))
137		oveq1 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 ↑ 𝑋) = (0 ↑ 𝑋))
138	136, 137	oveq12d 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘0) · (0 ↑ 𝑋)))
139		fveq2 6878	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘1))
140		oveq1 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 ↑ 𝑋) = (1 ↑ 𝑋))
141	139, 140	oveq12d 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = ((𝐹‘1) · (1 ↑ 𝑋)))
142	7, 19, 138, 141	gsumpr 20082	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CMnd ∧ (0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≠ 1) ∧ (((𝐹‘0) · (0 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐾 ∧ ((𝐹‘1) · (1 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐾)) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0, 1} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (((𝐹‘0) · (0 ↑ 𝑋)) + ((𝐹‘1) · (1 ↑ 𝑋))))
143	21, 123, 125, 127, 131, 135, 142	syl132anc 1415	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0, 1} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (((𝐹‘0) · (0 ↑ 𝑋)) + ((𝐹‘1) · (1 ↑ 𝑋))))
144		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
145		evl1deg3.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = (𝐹‘0)
146	145, 129	eqeltrid 2864	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐾)
147	7, 11, 144, 20, 146	ringridmd 20414	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (1r‘𝑅)) = 𝐷)
148	147	oveq1d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (1r‘𝑅)) + (𝐶 · 𝑋)) = (𝐷 + (𝐶 · 𝑋)))
149	145	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝐹‘0))
150	27, 144	ringidval 20322	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
151	28, 150, 12	mulg0 19197	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐾 → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑅))
152	15, 151	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑅))
153	152	eqcomd 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (0 ↑ 𝑋))
154	149, 153	oveq12d 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (1r‘𝑅)) = ((𝐹‘0) · (0 ↑ 𝑋)))
155		evl1deg3.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 = (𝐹‘1)
156	155	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐹‘1))
157	28, 12	mulg1 19204	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐾 → (1 ↑ 𝑋) = 𝑋)
158	15, 157	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 ↑ 𝑋) = 𝑋)
159	158	eqcomd 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (1 ↑ 𝑋))
160	156, 159	oveq12d 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝑋) = ((𝐹‘1) · (1 ↑ 𝑋)))
161	154, 160	oveq12d 7431	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (1r‘𝑅)) + (𝐶 · 𝑋)) = (((𝐹‘0) · (0 ↑ 𝑋)) + ((𝐹‘1) · (1 ↑ 𝑋))))
162	160, 135	eqeltrd 2860	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝑋) ∈ 𝐾)
163	7, 19	ringcom 20421	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐷 ∈ 𝐾 ∧ (𝐶 · 𝑋) ∈ 𝐾) → (𝐷 + (𝐶 · 𝑋)) = ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷))
164	20, 146, 162, 163	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + (𝐶 · 𝑋)) = ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷))
165	148, 161, 164	3eqtr3d 2803	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘0) · (0 ↑ 𝑋)) + ((𝐹‘1) · (1 ↑ 𝑋))) = ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷))
166	143, 165	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0, 1} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) = ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷))
167		2nn0 12545	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
168	167	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
169		2re 12339	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
170		2lt3 12438	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 < 3
171	169, 170	ltneii 11347	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 3
172	171	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 3)
173		evl1deg3.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (𝐹‘2)
174	13, 8, 6, 7	coe1fvalcl 22437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝐹‘2) ∈ 𝐾)
175	10, 167, 174	sylancl 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘2) ∈ 𝐾)
176	173, 175	eqeltrid 2864	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
177	28, 12, 30, 168, 15	mulgnn0cld 19218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 ↑ 𝑋) ∈ 𝐾)
178	7, 11, 20, 176, 177	ringcld 20396	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (2 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐾)
179		evl1deg3.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (𝐹‘3)
180	13, 8, 6, 7	coe1fvalcl 22437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑈 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐹‘3) ∈ 𝐾)
181	10, 44, 180	sylancl 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘3) ∈ 𝐾)
182	179, 181	eqeltrid 2864	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
183	28, 12, 30, 45, 15	mulgnn0cld 19218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (3 ↑ 𝑋) ∈ 𝐾)
184	7, 11, 20, 182, 183	ringcld 20396	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (3 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐾)
185		fveq2 6878	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘2))
186	185, 173	eqtr4di 2813	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
187		oveq1 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝑘 ↑ 𝑋) = (2 ↑ 𝑋))
188	186, 187	oveq12d 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 2 → ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = (𝐵 · (2 ↑ 𝑋)))
189		fveq2 6878	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 3 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘3))
190	189, 179	eqtr4di 2813	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 3 → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
191		oveq1 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 3 → (𝑘 ↑ 𝑋) = (3 ↑ 𝑋))
192	190, 191	oveq12d 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 3 → ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = (𝐴 · (3 ↑ 𝑋)))
193	7, 19, 188, 192	gsumpr 20082	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CMnd ∧ (2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≠ 3) ∧ ((𝐵 · (2 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐾 ∧ (𝐴 · (3 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐾)) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {2, 3} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) = ((𝐵 · (2 ↑ 𝑋)) + (𝐴 · (3 ↑ 𝑋))))
194	21, 168, 45, 172, 178, 184, 193	syl132anc 1415	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {2, 3} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) = ((𝐵 · (2 ↑ 𝑋)) + (𝐴 · (3 ↑ 𝑋))))
195	7, 19	cmncom 19925	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CMnd ∧ (𝐵 · (2 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐾 ∧ (𝐴 · (3 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐾) → ((𝐵 · (2 ↑ 𝑋)) + (𝐴 · (3 ↑ 𝑋))) = ((𝐴 · (3 ↑ 𝑋)) + (𝐵 · (2 ↑ 𝑋))))
196	21, 178, 184, 195	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (2 ↑ 𝑋)) + (𝐴 · (3 ↑ 𝑋))) = ((𝐴 · (3 ↑ 𝑋)) + (𝐵 · (2 ↑ 𝑋))))
197	194, 196	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {2, 3} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) = ((𝐴 · (3 ↑ 𝑋)) + (𝐵 · (2 ↑ 𝑋))))
198	166, 197	oveq12d 7431	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0, 1} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {2, 3} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))))) = (((𝐶 · 𝑋) + 𝐷) + ((𝐴 · (3 ↑ 𝑋)) + (𝐵 · (2 ↑ 𝑋)))))
199	9	crnggrpd 20386	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
200	7, 19, 199, 162, 146	grpcld 19071	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷) ∈ 𝐾)
201	7, 19, 199, 184, 178	grpcld 19071	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · (3 ↑ 𝑋)) + (𝐵 · (2 ↑ 𝑋))) ∈ 𝐾)
202	7, 19	cmncom 19925	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CMnd ∧ ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷) ∈ 𝐾 ∧ ((𝐴 · (3 ↑ 𝑋)) + (𝐵 · (2 ↑ 𝑋))) ∈ 𝐾) → (((𝐶 · 𝑋) + 𝐷) + ((𝐴 · (3 ↑ 𝑋)) + (𝐵 · (2 ↑ 𝑋)))) = (((𝐴 · (3 ↑ 𝑋)) + (𝐵 · (2 ↑ 𝑋))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)))
203	21, 200, 201, 202	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝑋) + 𝐷) + ((𝐴 · (3 ↑ 𝑋)) + (𝐵 · (2 ↑ 𝑋)))) = (((𝐴 · (3 ↑ 𝑋)) + (𝐵 · (2 ↑ 𝑋))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)))
204	198, 203	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0, 1} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {2, 3} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))))) = (((𝐴 · (3 ↑ 𝑋)) + (𝐵 · (2 ↑ 𝑋))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)))
205	199	grpmndd 19070	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
206		fvexd 6893	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘4) ∈ V)
207	18	gsumz 18945	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (ℤ≥‘4) ∈ V) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) ↦ (0g‘𝑅))) = (0g‘𝑅))
208	205, 206, 207	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) ↦ (0g‘𝑅))) = (0g‘𝑅))
209	204, 208	oveq12d 7431	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑅 Σg (𝑘 ∈ {0, 1} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {2, 3} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) ↦ (0g‘𝑅)))) = ((((𝐴 · (3 ↑ 𝑋)) + (𝐵 · (2 ↑ 𝑋))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)) + (0g‘𝑅)))
210	7, 19, 199, 201, 200	grpcld 19071	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · (3 ↑ 𝑋)) + (𝐵 · (2 ↑ 𝑋))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)) ∈ 𝐾)
211	7, 19, 18, 199, 210	grpridd 19094	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · (3 ↑ 𝑋)) + (𝐵 · (2 ↑ 𝑋))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)) + (0g‘𝑅)) = (((𝐴 · (3 ↑ 𝑋)) + (𝐵 · (2 ↑ 𝑋))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)))
212	121, 209, 211	3eqtrd 2799	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^4) ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))))) = (((𝐴 · (3 ↑ 𝑋)) + (𝐵 · (2 ↑ 𝑋))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)))
213	17, 73, 212	3eqtrd 2799	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑀)‘𝑋) = (((𝐴 · (3 ↑ 𝑋)) + (𝐵 · (2 ↑ 𝑋))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  {cpr 4586   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Fincfn 8952  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   < clt 11267  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615  ℤ_≥cuz 12887  ..^cfzo 13709  Basecbs 17301  +_gcplusg 17342  ._rcmulr 17343  0_gc0g 17524   Σ_g cgsu 17525  Mndcmnd 18836  ._gcmg 19190  CMndccmn 19907  mulGrpcmgp 20273  1_rcur 20320  Ringcrg 20372  CRingccrg 20373  Poly₁cpl1 22402  coe₁cco1 22403  eval₁ce1 22539  deg₁cdg1 26279

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7678  df-ofr 7679  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-seq 14066  df-hash 14395  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-starv 17357  df-sca 17358  df-vsca 17359  df-ip 17360  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ds 17364  df-unif 17365  df-hom 17366  df-cco 17367  df-0g 17526  df-gsum 17527  df-prds 17532  df-pws 17534  df-mre 17670  df-mrc 17671  df-acs 17673  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-mhm 18891  df-submnd 18892  df-grp 19060  df-minusg 19061  df-sbg 19062  df-mulg 19191  df-subg 19246  df-ghm 19341  df-cntz 19444  df-cmn 19909  df-abl 19910  df-mgp 20274  df-rng 20288  df-ur 20321  df-srg 20326  df-ring 20374  df-cring 20375  df-rhm 20613  df-subrng 20708  df-subrg 20732  df-lmod 21046  df-lss 21116  df-lsp 21156  df-cnfld 21586  df-assa 22068  df-asp 22069  df-ascl 22070  df-psr 22124  df-mvr 22125  df-mpl 22126  df-opsr 22128  df-evls 22290  df-evl 22291  df-psr1 22405  df-vr1 22406  df-ply1 22407  df-coe1 22408  df-evls1 22540  df-evl1 22541  df-mdeg 26280  df-deg1 26281

This theorem is used by:  2sqr3minply  34290