Theorem grusn 10896

Description: A Grothendieck universe contains the singletons of its elements. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
grusn	⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → {𝐴} ∈ 𝑈)

Proof of Theorem grusn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsn2 4593	. 2 ⊢ {𝐴} = {𝐴, 𝐴}
2		grupr 10889	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → {𝐴, 𝐴} ∈ 𝑈)
3	2	3anidm23 1448	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → {𝐴, 𝐴} ∈ 𝑈)
4	1, 3	eqeltrid 2864	1 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → {𝐴} ∈ 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  {csn 4584  {cpr 4586  Univcgru 10882

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-tr 5212  df-iota 6497  df-fv 6551  df-ov 7427  df-gru 10883

This theorem is used by:  gruop  10897  grusucd  45337