Theorem grusucd 45069

Description: Grothendieck universes are closed under ordinal successor. (Contributed by Rohan Ridenour, 9-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
grusucd.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Univ)
grusucd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grusucd	⊢ (𝜑 → suc 𝐴 ∈ 𝐺)

Proof of Theorem grusucd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-suc 6363	. 2 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
2		grusucd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Univ)
3		grusucd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐺)
4		grusn 10814	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝐺) → {𝐴} ∈ 𝐺)
5	2, 3, 4	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ∈ 𝐺)
6		gruun 10816	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝐺 ∧ {𝐴} ∈ 𝐺) → (𝐴 ∪ {𝐴}) ∈ 𝐺)
7	2, 3, 5, 6	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝐴}) ∈ 𝐺)
8	1, 7	eqeltrid 2864	1 ⊢ (𝜑 → suc 𝐴 ∈ 𝐺)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3897  {csn 4584  suc csuc 6359  Univcgru 10800

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-map 8829  df-gru 10801

This theorem is used by:  gruscottcld  45074