Theorem grusucd 45368

Description: Grothendieck universes are closed under ordinal successor. (Contributed by Rohan Ridenour, 9-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
grusucd.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Univ)
grusucd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grusucd	⊢ (𝜑 → suc 𝐴 ∈ 𝐺)

Proof of Theorem grusucd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-suc 6374	. 2 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
2		grusucd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Univ)
3		grusucd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐺)
4		grusn 10899	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝐺) → {𝐴} ∈ 𝐺)
5	2, 3, 4	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ∈ 𝐺)
6		gruun 10901	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝐺 ∧ {𝐴} ∈ 𝐺) → (𝐴 ∪ {𝐴}) ∈ 𝐺)
7	2, 3, 5, 6	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝐴}) ∈ 𝐺)
8	1, 7	eqeltrid 2867	1 ⊢ (𝜑 → suc 𝐴 ∈ 𝐺)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146   ∪ cun 4151  {csn 4587  suc csuc 6370  Univcgru 10885

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-fv 6554  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-map 8860  df-gru 10886

This theorem is used by:  gruscottcld  45373