Theorem grusucd 44580

Description: Grothendieck universes are closed under ordinal successor. (Contributed by Rohan Ridenour, 9-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
grusucd.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Univ)
grusucd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grusucd	⊢ (𝜑 → suc 𝐴 ∈ 𝐺)

Proof of Theorem grusucd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-suc 6331	. 2 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
2		grusucd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Univ)
3		grusucd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐺)
4		grusn 10727	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝐺) → {𝐴} ∈ 𝐺)
5	2, 3, 4	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ∈ 𝐺)
6		gruun 10729	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝐺 ∧ {𝐴} ∈ 𝐺) → (𝐴 ∪ {𝐴}) ∈ 𝐺)
7	2, 3, 5, 6	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝐴}) ∈ 𝐺)
8	1, 7	eqeltrid 2841	1 ⊢ (𝜑 → suc 𝐴 ∈ 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3901  {csn 4582  suc csuc 6327  Univcgru 10713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-map 8777  df-gru 10714

This theorem is referenced by:  gruscottcld  44599