Users' Mathboxes Mathbox for Rohan Ridenour < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  grusucd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grusucd 43809
Description: Grothendieck universes are closed under ordinal successor. (Contributed by Rohan Ridenour, 9-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
grusucd.1 (𝜑𝐺 ∈ Univ)
grusucd.2 (𝜑𝐴𝐺)
Assertion
Ref Expression
grusucd (𝜑 → suc 𝐴𝐺)

Proof of Theorem grusucd
StepHypRef Expression
1 df-suc 6377 . 2 suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
2 grusucd.1 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Univ)
3 grusucd.2 . . 3 (𝜑𝐴𝐺)
4 grusn 10829 . . . 4 ((𝐺 ∈ Univ ∧ 𝐴𝐺) → {𝐴} ∈ 𝐺)
52, 3, 4syl2anc 582 . . 3 (𝜑 → {𝐴} ∈ 𝐺)
6 gruun 10831 . . 3 ((𝐺 ∈ Univ ∧ 𝐴𝐺 ∧ {𝐴} ∈ 𝐺) → (𝐴 ∪ {𝐴}) ∈ 𝐺)
72, 3, 5, 6syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝐴}) ∈ 𝐺)
81, 7eqeltrid 2829 1 (𝜑 → suc 𝐴𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2098  cun 3942  {csn 4630  suc csuc 6373  Univcgru 10815
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-fv 6557  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-map 8847  df-gru 10816
This theorem is referenced by:  gruscottcld  43828
  Copyright terms: Public domain W3C validator