Theorem grusucd 44199

Description: Grothendieck universes are closed under ordinal successor. (Contributed by Rohan Ridenour, 9-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
grusucd.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Univ)
grusucd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grusucd	⊢ (𝜑 → suc 𝐴 ∈ 𝐺)

Proof of Theorem grusucd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-suc 6401	. 2 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
2		grusucd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Univ)
3		grusucd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐺)
4		grusn 10873	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝐺) → {𝐴} ∈ 𝐺)
5	2, 3, 4	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ∈ 𝐺)
6		gruun 10875	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝐺 ∧ {𝐴} ∈ 𝐺) → (𝐴 ∪ {𝐴}) ∈ 𝐺)
7	2, 3, 5, 6	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝐴}) ∈ 𝐺)
8	1, 7	eqeltrid 2848	1 ⊢ (𝜑 → suc 𝐴 ∈ 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ∪ cun 3974  {csn 4648  suc csuc 6397  Univcgru 10859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-map 8886  df-gru 10860

This theorem is referenced by:  gruscottcld  44218