Users' Mathboxes Mathbox for Rohan Ridenour < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  grusucd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grusucd 44254
Description: Grothendieck universes are closed under ordinal successor. (Contributed by Rohan Ridenour, 9-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
grusucd.1 (𝜑𝐺 ∈ Univ)
grusucd.2 (𝜑𝐴𝐺)
Assertion
Ref Expression
grusucd (𝜑 → suc 𝐴𝐺)

Proof of Theorem grusucd
StepHypRef Expression
1 df-suc 6389 . 2 suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
2 grusucd.1 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Univ)
3 grusucd.2 . . 3 (𝜑𝐴𝐺)
4 grusn 10845 . . . 4 ((𝐺 ∈ Univ ∧ 𝐴𝐺) → {𝐴} ∈ 𝐺)
52, 3, 4syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → {𝐴} ∈ 𝐺)
6 gruun 10847 . . 3 ((𝐺 ∈ Univ ∧ 𝐴𝐺 ∧ {𝐴} ∈ 𝐺) → (𝐴 ∪ {𝐴}) ∈ 𝐺)
72, 3, 5, 6syl3anc 1372 . 2 (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝐴}) ∈ 𝐺)
81, 7eqeltrid 2844 1 (𝜑 → suc 𝐴𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  cun 3948  {csn 4625  suc csuc 6385  Univcgru 10831
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-map 8869  df-gru 10832
This theorem is referenced by:  gruscottcld  44273
  Copyright terms: Public domain W3C validator