Users' Mathboxes Mathbox for Rohan Ridenour < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  grusucd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grusucd 42602
Description: Grothendieck universes are closed under ordinal successor. (Contributed by Rohan Ridenour, 9-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
grusucd.1 (𝜑𝐺 ∈ Univ)
grusucd.2 (𝜑𝐴𝐺)
Assertion
Ref Expression
grusucd (𝜑 → suc 𝐴𝐺)

Proof of Theorem grusucd
StepHypRef Expression
1 df-suc 6327 . 2 suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
2 grusucd.1 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Univ)
3 grusucd.2 . . 3 (𝜑𝐴𝐺)
4 grusn 10748 . . . 4 ((𝐺 ∈ Univ ∧ 𝐴𝐺) → {𝐴} ∈ 𝐺)
52, 3, 4syl2anc 585 . . 3 (𝜑 → {𝐴} ∈ 𝐺)
6 gruun 10750 . . 3 ((𝐺 ∈ Univ ∧ 𝐴𝐺 ∧ {𝐴} ∈ 𝐺) → (𝐴 ∪ {𝐴}) ∈ 𝐺)
72, 3, 5, 6syl3anc 1372 . 2 (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝐴}) ∈ 𝐺)
81, 7eqeltrid 2838 1 (𝜑 → suc 𝐴𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  cun 3912  {csn 4590  suc csuc 6323  Univcgru 10734
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-map 8773  df-gru 10735
This theorem is referenced by:  gruscottcld  42621
  Copyright terms: Public domain W3C validator