Users' Mathboxes Mathbox for Rohan Ridenour < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  grusucd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grusucd 43546
Description: Grothendieck universes are closed under ordinal successor. (Contributed by Rohan Ridenour, 9-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
grusucd.1 (𝜑𝐺 ∈ Univ)
grusucd.2 (𝜑𝐴𝐺)
Assertion
Ref Expression
grusucd (𝜑 → suc 𝐴𝐺)

Proof of Theorem grusucd
StepHypRef Expression
1 df-suc 6363 . 2 suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
2 grusucd.1 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Univ)
3 grusucd.2 . . 3 (𝜑𝐴𝐺)
4 grusn 10798 . . . 4 ((𝐺 ∈ Univ ∧ 𝐴𝐺) → {𝐴} ∈ 𝐺)
52, 3, 4syl2anc 583 . . 3 (𝜑 → {𝐴} ∈ 𝐺)
6 gruun 10800 . . 3 ((𝐺 ∈ Univ ∧ 𝐴𝐺 ∧ {𝐴} ∈ 𝐺) → (𝐴 ∪ {𝐴}) ∈ 𝐺)
72, 3, 5, 6syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝐴}) ∈ 𝐺)
81, 7eqeltrid 2831 1 (𝜑 → suc 𝐴𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2098  cun 3941  {csn 4623  suc csuc 6359  Univcgru 10784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-map 8821  df-gru 10785
This theorem is referenced by:  gruscottcld  43565
  Copyright terms: Public domain W3C validator