Theorem ply1degltlss 33568

Description: The space 𝑆 of the univariate polynomials of degree less than 𝑁 forms a vector subspace. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1degltlss.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1degltlss.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
ply1degltlss.1	⊢ 𝑆 = (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁))
ply1degltlss.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
ply1degltlss.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
ply1degltlss	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑃))

Proof of Theorem ply1degltlss

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1degltlss.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		ply1degltlss.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1sca 22143	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
5		eqidd 2731	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
6		eqidd 2731	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃))
7		eqidd 2731	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃))
8		eqidd 2731	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃))
9		eqidd 2731	. 2 ⊢ (𝜑 → (LSubSp‘𝑃) = (LSubSp‘𝑃))
10		ply1degltlss.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁))
11		cnvimass 6055	. . . . 5 ⊢ (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁)) ⊆ dom 𝐷
12	10, 11	eqsstri 3995	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ dom 𝐷
13		ply1degltlss.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
14		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
15	13, 2, 14	deg1xrf 25992	. . . . 5 ⊢ 𝐷:(Base‘𝑃)⟶ℝ*
16	15	fdmi 6701	. . . 4 ⊢ dom 𝐷 = (Base‘𝑃)
17	12, 16	sseqtri 3997	. . 3 ⊢ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑃)
18	17	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑃))
19	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷:(Base‘𝑃)⟶ℝ*)
20	19	ffnd 6691	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 Fn (Base‘𝑃))
21	2	ply1ring 22138	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
22		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
23	14, 22	ring0cl 20182	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (0g‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
24	1, 21, 23	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
25	13, 2, 22	deg1z 25998	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐷‘(0g‘𝑃)) = -∞)
26	1, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(0g‘𝑃)) = -∞)
27		mnfxr 11237	. . . . . . . 8 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
28	27	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
29		ply1degltlss.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
30	29	nn0red 12510	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
31	30	rexrd 11230	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ*)
32	28	xrleidd 13118	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -∞ ≤ -∞)
33	30	mnfltd 13090	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -∞ < 𝑁)
34	28, 31, 28, 32, 33	elicod 13362	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ (-∞[,)𝑁))
35	26, 34	eqeltrd 2829	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(0g‘𝑃)) ∈ (-∞[,)𝑁))
36	20, 24, 35	elpreimad 7033	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) ∈ (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁)))
37	36, 10	eleqtrrdi 2840	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) ∈ 𝑆)
38	37	ne0d 4307	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)
39		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → 𝜑)
40		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
41	2	ply1lmod 22142	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
42	1, 41	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
43	42	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → 𝑃 ∈ LMod)
44	43	lmodgrpd 20782	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → 𝑃 ∈ Grp)
45		simpr1 1195	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
46	4	fveq2d 6864	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
47	46	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
48	45, 47	eleqtrd 2831	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
49		simpr2 1196	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → 𝑎 ∈ 𝑆)
50	17, 49	sselid 3946	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑃))
51		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
52		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
53		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
54	14, 51, 52, 53	lmodvscl 20790	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎) ∈ (Base‘𝑃))
55	43, 48, 50, 54	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎) ∈ (Base‘𝑃))
56		simpr3 1197	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → 𝑏 ∈ 𝑆)
57	17, 56	sselid 3946	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → 𝑏 ∈ (Base‘𝑃))
58	14, 40, 44, 55, 57	grpcld 18885	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎)(+g‘𝑃)𝑏) ∈ (Base‘𝑃))
59	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → 𝑅 ∈ Ring)
60		1red 11181	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
61	30, 60	resubcld 11612	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
62	61	rexrd 11230	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ*)
63	62	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ*)
64	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → 𝐷:(Base‘𝑃)⟶ℝ*)
65	64, 55	ffvelcdmd 7059	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝐷‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎)) ∈ ℝ*)
66	64, 50	ffvelcdmd 7059	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝐷‘𝑎) ∈ ℝ*)
67		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
68	2, 13, 59, 14, 67, 52, 45, 50	deg1vscale 26015	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝐷‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎)) ≤ (𝐷‘𝑎))
69	2, 13, 10, 29, 1, 14	ply1degltel 33566	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝑆 ↔ (𝑎 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐷‘𝑎) ≤ (𝑁 − 1))))
70	69	simplbda 499	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝐷‘𝑎) ≤ (𝑁 − 1))
71	49, 70	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝐷‘𝑎) ≤ (𝑁 − 1))
72	65, 66, 63, 68, 71	xrletrd 13128	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝐷‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎)) ≤ (𝑁 − 1))
73	2, 13, 10, 29, 1, 14	ply1degltel 33566	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝑆 ↔ (𝑏 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐷‘𝑏) ≤ (𝑁 − 1))))
74	73	simplbda 499	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝐷‘𝑏) ≤ (𝑁 − 1))
75	56, 74	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝐷‘𝑏) ≤ (𝑁 − 1))
76	2, 13, 59, 14, 40, 55, 57, 63, 72, 75	deg1addle2 26013	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝐷‘((𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎)(+g‘𝑃)𝑏)) ≤ (𝑁 − 1))
77	2, 13, 10, 29, 1, 14	ply1degltel 33566	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎)(+g‘𝑃)𝑏) ∈ 𝑆 ↔ (((𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎)(+g‘𝑃)𝑏) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐷‘((𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎)(+g‘𝑃)𝑏)) ≤ (𝑁 − 1))))
78	77	biimpar 477	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎)(+g‘𝑃)𝑏) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐷‘((𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎)(+g‘𝑃)𝑏)) ≤ (𝑁 − 1))) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎)(+g‘𝑃)𝑏) ∈ 𝑆)
79	39, 58, 76, 78	syl12anc 836	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎)(+g‘𝑃)𝑏) ∈ 𝑆)
80	4, 5, 6, 7, 8, 9, 18, 38, 79	islssd 20847	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3916   class class class wbr 5109  ^◡ccnv 5639  dom cdm 5640   “ cima 5643  ⟶wf 6509  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  1c1 11075  -∞cmnf 11212  ℝ^*cxr 11213   ≤ cle 11215   − cmin 11411  ℕ₀cn0 12448  [,)cico 13314  Basecbs 17185  +_gcplusg 17226  Scalarcsca 17229   ·_𝑠 cvsca 17230  0_gc0g 17408  Ringcrg 20148  LModclmod 20772  LSubSpclss 20843  Poly₁cpl1 22067  deg₁cdg1 25965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152  ax-addf 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-isom 6522  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-of 7655  df-ofr 7656  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-2o 8437  df-er 8673  df-map 8803  df-pm 8804  df-ixp 8873  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-fsupp 9319  df-sup 9399  df-oi 9469  df-card 9898  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-6 12254  df-7 12255  df-8 12256  df-9 12257  df-n0 12449  df-z 12536  df-dec 12656  df-uz 12800  df-ico 13318  df-fz 13475  df-fzo 13622  df-seq 13973  df-hash 14302  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-ress 17207  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-starv 17241  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-unif 17249  df-hom 17250  df-cco 17251  df-0g 17410  df-gsum 17411  df-prds 17416  df-pws 17418  df-mre 17553  df-mrc 17554  df-acs 17556  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18716  df-submnd 18717  df-grp 18874  df-minusg 18875  df-sbg 18876  df-mulg 19006  df-subg 19061  df-ghm 19151  df-cntz 19255  df-cmn 19718  df-abl 19719  df-mgp 20056  df-rng 20068  df-ur 20097  df-ring 20150  df-cring 20151  df-subrng 20461  df-subrg 20485  df-lmod 20774  df-lss 20844  df-cnfld 21271  df-psr 21824  df-mpl 21826  df-opsr 21828  df-psr1 22070  df-ply1 22072  df-mdeg 25966  df-deg1 25967

This theorem is referenced by:  ply1degltdimlem  33624  ply1degltdim  33625  algextdeglem8  33720