Theorem ply1degltlss 33746

Description: The space 𝑆 of the univariate polynomials of degree less than 𝑁 forms a vector subspace. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1degltlss.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1degltlss.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
ply1degltlss.1	⊢ 𝑆 = (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁))
ply1degltlss.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
ply1degltlss.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
ply1degltlss	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑃))

Proof of Theorem ply1degltlss

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1degltlss.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		ply1degltlss.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1sca 22287	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
5		eqidd 2757	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
6		eqidd 2757	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃))
7		eqidd 2757	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃))
8		eqidd 2757	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃))
9		eqidd 2757	. 2 ⊢ (𝜑 → (LSubSp‘𝑃) = (LSubSp‘𝑃))
10		ply1degltlss.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁))
11		cnvimass 6061	. . . . 5 ⊢ (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁)) ⊆ dom 𝐷
12	10, 11	eqsstri 3977	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ dom 𝐷
13		ply1degltlss.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
14		eqid 2756	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
15	13, 2, 14	deg1xrf 26114	. . . . 5 ⊢ 𝐷:(Base‘𝑃)⟶ℝ*
16	15	fdmi 6692	. . . 4 ⊢ dom 𝐷 = (Base‘𝑃)
17	12, 16	sseqtri 3979	. . 3 ⊢ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑃)
18	17	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑃))
19	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷:(Base‘𝑃)⟶ℝ*)
20	19	ffnd 6681	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 Fn (Base‘𝑃))
21	2	ply1ring 22282	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
22		eqid 2756	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
23	14, 22	ring0cl 20289	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (0g‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
24	1, 21, 23	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
25	13, 2, 22	deg1z 26120	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐷‘(0g‘𝑃)) = -∞)
26	1, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(0g‘𝑃)) = -∞)
27		mnfxr 11229	. . . . . . . 8 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
28	27	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
29		ply1degltlss.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
30	29	nn0red 12533	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
31	30	rexrd 11222	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ*)
32	28	xrleidd 13144	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -∞ ≤ -∞)
33	30	mnfltd 13116	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -∞ < 𝑁)
34	28, 31, 28, 32, 33	elicod 13389	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ (-∞[,)𝑁))
35	26, 34	eqeltrd 2856	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(0g‘𝑃)) ∈ (-∞[,)𝑁))
36	20, 24, 35	elpreimad 7029	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) ∈ (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁)))
37	36, 10	eleqtrrdi 2867	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) ∈ 𝑆)
38	37	ne0d 4289	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)
39		simpl 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → 𝜑)
40		eqid 2756	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
41	2	ply1lmod 22286	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
42	1, 41	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
43	42	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → 𝑃 ∈ LMod)
44	43	lmodgrpd 20910	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → 𝑃 ∈ Grp)
45		simpr1 1204	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
46	4	fveq2d 6860	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
47	46	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
48	45, 47	eleqtrd 2858	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
49		simpr2 1205	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → 𝑎 ∈ 𝑆)
50	17, 49	sselid 3929	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑃))
51		eqid 2756	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
52		eqid 2756	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
53		eqid 2756	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
54	14, 51, 52, 53	lmodvscl 20918	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎) ∈ (Base‘𝑃))
55	43, 48, 50, 54	syl3anc 1386	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎) ∈ (Base‘𝑃))
56		simpr3 1206	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → 𝑏 ∈ 𝑆)
57	17, 56	sselid 3929	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → 𝑏 ∈ (Base‘𝑃))
58	14, 40, 44, 55, 57	grpcld 18965	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎)(+g‘𝑃)𝑏) ∈ (Base‘𝑃))
59	1	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → 𝑅 ∈ Ring)
60		1red 11172	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
61	30, 60	resubcld 11605	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
62	61	rexrd 11222	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ*)
63	62	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ*)
64	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → 𝐷:(Base‘𝑃)⟶ℝ*)
65	64, 55	ffvelcdmd 7055	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝐷‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎)) ∈ ℝ*)
66	64, 50	ffvelcdmd 7055	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝐷‘𝑎) ∈ ℝ*)
67		eqid 2756	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
68	2, 13, 59, 14, 67, 52, 45, 50	deg1vscale 26137	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝐷‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎)) ≤ (𝐷‘𝑎))
69	2, 13, 10, 29, 1, 14	ply1degltel 33744	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝑆 ↔ (𝑎 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐷‘𝑎) ≤ (𝑁 − 1))))
70	69	simplbda 502	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝐷‘𝑎) ≤ (𝑁 − 1))
71	49, 70	syldan 599	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝐷‘𝑎) ≤ (𝑁 − 1))
72	65, 66, 63, 68, 71	xrletrd 13154	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝐷‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎)) ≤ (𝑁 − 1))
73	2, 13, 10, 29, 1, 14	ply1degltel 33744	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝑆 ↔ (𝑏 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐷‘𝑏) ≤ (𝑁 − 1))))
74	73	simplbda 502	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝐷‘𝑏) ≤ (𝑁 − 1))
75	56, 74	syldan 599	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝐷‘𝑏) ≤ (𝑁 − 1))
76	2, 13, 59, 14, 40, 55, 57, 63, 72, 75	deg1addle2 26135	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝐷‘((𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎)(+g‘𝑃)𝑏)) ≤ (𝑁 − 1))
77	2, 13, 10, 29, 1, 14	ply1degltel 33744	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎)(+g‘𝑃)𝑏) ∈ 𝑆 ↔ (((𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎)(+g‘𝑃)𝑏) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐷‘((𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎)(+g‘𝑃)𝑏)) ≤ (𝑁 − 1))))
78	77	biimpar 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎)(+g‘𝑃)𝑏) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐷‘((𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎)(+g‘𝑃)𝑏)) ≤ (𝑁 − 1))) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎)(+g‘𝑃)𝑏) ∈ 𝑆)
79	39, 58, 76, 78	syl12anc 845	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎)(+g‘𝑃)𝑏) ∈ 𝑆)
80	4, 5, 6, 7, 8, 9, 18, 38, 79	islssd 20975	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1095   = wceq 1554   ∈ wcel 2136   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5094  ^◡ccnv 5639  dom cdm 5640   “ cima 5643  ⟶wf 6506  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385  1c1 11064  -∞cmnf 11204  ℝ^*cxr 11205   ≤ cle 11207   − cmin 11404  ℕ₀cn0 12471  [,)cico 13341  Basecbs 17221  +_gcplusg 17262  Scalarcsca 17265   ·_𝑠 cvsca 17266  0_gc0g 17444  Ringcrg 20255  LModclmod 20900  LSubSpclss 20971  Poly₁cpl1 22212  deg₁cdg1 26087

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140  ax-pre-sup 11141  ax-addf 11142

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-isom 6519  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-of 7649  df-ofr 7650  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-supp 8129  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-1o 8425  df-2o 8426  df-er 8666  df-map 8798  df-pm 8799  df-ixp 8869  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-fin 8920  df-fsupp 9298  df-sup 9378  df-oi 9448  df-card 9887  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-nn 12201  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-7 12275  df-8 12276  df-9 12277  df-n0 12472  df-z 12559  df-dec 12679  df-uz 12830  df-ico 13345  df-fz 13503  df-fzo 13650  df-seq 14005  df-hash 14334  df-struct 17159  df-sets 17176  df-slot 17194  df-ndx 17206  df-base 17222  df-ress 17243  df-plusg 17275  df-mulr 17276  df-starv 17277  df-sca 17278  df-vsca 17279  df-ip 17280  df-tset 17281  df-ple 17282  df-ds 17284  df-unif 17285  df-hom 17286  df-cco 17287  df-0g 17446  df-gsum 17447  df-prds 17452  df-pws 17454  df-mre 17590  df-mrc 17591  df-acs 17593  df-mgm 18650  df-sgrp 18729  df-mnd 18745  df-mhm 18793  df-submnd 18794  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19230  df-cntz 19333  df-cmn 19798  df-abl 19799  df-mgp 20163  df-rng 20175  df-ur 20204  df-ring 20257  df-cring 20258  df-subrng 20568  df-subrg 20592  df-lmod 20902  df-lss 20972  df-cnfld 21398  df-psr 21934  df-mpl 21936  df-opsr 21938  df-psr1 22215  df-ply1 22217  df-mdeg 26088  df-deg1 26089

This theorem is referenced by:  ply1degltdimlem  33873  ply1degltdim  33874  algextdeglem8  33975