Theorem ply1degltlss 33547

Description: The space 𝑆 of the univariate polynomials of degree less than 𝑁 forms a vector subspace. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1degltlss.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1degltlss.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
ply1degltlss.1	⊢ 𝑆 = (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁))
ply1degltlss.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
ply1degltlss.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
ply1degltlss	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑃))

Proof of Theorem ply1degltlss

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1degltlss.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		ply1degltlss.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1sca 22158	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
5		eqidd 2731	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
6		eqidd 2731	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃))
7		eqidd 2731	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃))
8		eqidd 2731	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃))
9		eqidd 2731	. 2 ⊢ (𝜑 → (LSubSp‘𝑃) = (LSubSp‘𝑃))
10		ply1degltlss.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁))
11		cnvimass 6028	. . . . 5 ⊢ (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁)) ⊆ dom 𝐷
12	10, 11	eqsstri 3979	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ dom 𝐷
13		ply1degltlss.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
14		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
15	13, 2, 14	deg1xrf 26006	. . . . 5 ⊢ 𝐷:(Base‘𝑃)⟶ℝ*
16	15	fdmi 6658	. . . 4 ⊢ dom 𝐷 = (Base‘𝑃)
17	12, 16	sseqtri 3981	. . 3 ⊢ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑃)
18	17	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑃))
19	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷:(Base‘𝑃)⟶ℝ*)
20	19	ffnd 6648	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 Fn (Base‘𝑃))
21	2	ply1ring 22153	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
22		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
23	14, 22	ring0cl 20178	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (0g‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
24	1, 21, 23	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
25	13, 2, 22	deg1z 26012	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐷‘(0g‘𝑃)) = -∞)
26	1, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(0g‘𝑃)) = -∞)
27		mnfxr 11161	. . . . . . . 8 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
28	27	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
29		ply1degltlss.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
30	29	nn0red 12435	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
31	30	rexrd 11154	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ*)
32	28	xrleidd 13043	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -∞ ≤ -∞)
33	30	mnfltd 13015	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -∞ < 𝑁)
34	28, 31, 28, 32, 33	elicod 13287	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ (-∞[,)𝑁))
35	26, 34	eqeltrd 2829	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(0g‘𝑃)) ∈ (-∞[,)𝑁))
36	20, 24, 35	elpreimad 6987	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) ∈ (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁)))
37	36, 10	eleqtrrdi 2840	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) ∈ 𝑆)
38	37	ne0d 4290	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)
39		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → 𝜑)
40		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
41	2	ply1lmod 22157	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
42	1, 41	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
43	42	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → 𝑃 ∈ LMod)
44	43	lmodgrpd 20796	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → 𝑃 ∈ Grp)
45		simpr1 1195	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
46	4	fveq2d 6821	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
47	46	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
48	45, 47	eleqtrd 2831	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
49		simpr2 1196	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → 𝑎 ∈ 𝑆)
50	17, 49	sselid 3930	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑃))
51		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
52		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
53		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
54	14, 51, 52, 53	lmodvscl 20804	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎) ∈ (Base‘𝑃))
55	43, 48, 50, 54	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎) ∈ (Base‘𝑃))
56		simpr3 1197	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → 𝑏 ∈ 𝑆)
57	17, 56	sselid 3930	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → 𝑏 ∈ (Base‘𝑃))
58	14, 40, 44, 55, 57	grpcld 18852	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎)(+g‘𝑃)𝑏) ∈ (Base‘𝑃))
59	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → 𝑅 ∈ Ring)
60		1red 11105	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
61	30, 60	resubcld 11537	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
62	61	rexrd 11154	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ*)
63	62	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ*)
64	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → 𝐷:(Base‘𝑃)⟶ℝ*)
65	64, 55	ffvelcdmd 7013	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝐷‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎)) ∈ ℝ*)
66	64, 50	ffvelcdmd 7013	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝐷‘𝑎) ∈ ℝ*)
67		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
68	2, 13, 59, 14, 67, 52, 45, 50	deg1vscale 26029	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝐷‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎)) ≤ (𝐷‘𝑎))
69	2, 13, 10, 29, 1, 14	ply1degltel 33545	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝑆 ↔ (𝑎 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐷‘𝑎) ≤ (𝑁 − 1))))
70	69	simplbda 499	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝐷‘𝑎) ≤ (𝑁 − 1))
71	49, 70	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝐷‘𝑎) ≤ (𝑁 − 1))
72	65, 66, 63, 68, 71	xrletrd 13053	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝐷‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎)) ≤ (𝑁 − 1))
73	2, 13, 10, 29, 1, 14	ply1degltel 33545	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝑆 ↔ (𝑏 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐷‘𝑏) ≤ (𝑁 − 1))))
74	73	simplbda 499	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝐷‘𝑏) ≤ (𝑁 − 1))
75	56, 74	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝐷‘𝑏) ≤ (𝑁 − 1))
76	2, 13, 59, 14, 40, 55, 57, 63, 72, 75	deg1addle2 26027	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝐷‘((𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎)(+g‘𝑃)𝑏)) ≤ (𝑁 − 1))
77	2, 13, 10, 29, 1, 14	ply1degltel 33545	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎)(+g‘𝑃)𝑏) ∈ 𝑆 ↔ (((𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎)(+g‘𝑃)𝑏) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐷‘((𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎)(+g‘𝑃)𝑏)) ≤ (𝑁 − 1))))
78	77	biimpar 477	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎)(+g‘𝑃)𝑏) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐷‘((𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎)(+g‘𝑃)𝑏)) ≤ (𝑁 − 1))) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎)(+g‘𝑃)𝑏) ∈ 𝑆)
79	39, 58, 76, 78	syl12anc 836	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎)(+g‘𝑃)𝑏) ∈ 𝑆)
80	4, 5, 6, 7, 8, 9, 18, 38, 79	islssd 20861	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5089  ^◡ccnv 5613  dom cdm 5614   “ cima 5617  ⟶wf 6473  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  1c1 10999  -∞cmnf 11136  ℝ^*cxr 11137   ≤ cle 11139   − cmin 11336  ℕ₀cn0 12373  [,)cico 13239  Basecbs 17112  +_gcplusg 17153  Scalarcsca 17156   ·_𝑠 cvsca 17157  0_gc0g 17335  Ringcrg 20144  LModclmod 20786  LSubSpclss 20857  Poly₁cpl1 22082  deg₁cdg1 25979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075  ax-pre-sup 11076  ax-addf 11077

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-tp 4579  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-isom 6486  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-ofr 7606  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-supp 8086  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-er 8617  df-map 8747  df-pm 8748  df-ixp 8817  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fsupp 9241  df-sup 9321  df-oi 9391  df-card 9824  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-4 12182  df-5 12183  df-6 12184  df-7 12185  df-8 12186  df-9 12187  df-n0 12374  df-z 12461  df-dec 12581  df-uz 12725  df-ico 13243  df-fz 13400  df-fzo 13547  df-seq 13901  df-hash 14230  df-struct 17050  df-sets 17067  df-slot 17085  df-ndx 17097  df-base 17113  df-ress 17134  df-plusg 17166  df-mulr 17167  df-starv 17168  df-sca 17169  df-vsca 17170  df-ip 17171  df-tset 17172  df-ple 17173  df-ds 17175  df-unif 17176  df-hom 17177  df-cco 17178  df-0g 17337  df-gsum 17338  df-prds 17343  df-pws 17345  df-mre 17480  df-mrc 17481  df-acs 17483  df-mgm 18540  df-sgrp 18619  df-mnd 18635  df-mhm 18683  df-submnd 18684  df-grp 18841  df-minusg 18842  df-sbg 18843  df-mulg 18973  df-subg 19028  df-ghm 19118  df-cntz 19222  df-cmn 19687  df-abl 19688  df-mgp 20052  df-rng 20064  df-ur 20093  df-ring 20146  df-cring 20147  df-subrng 20454  df-subrg 20478  df-lmod 20788  df-lss 20858  df-cnfld 21285  df-psr 21839  df-mpl 21841  df-opsr 21843  df-psr1 22085  df-ply1 22087  df-mdeg 25980  df-deg1 25981

This theorem is referenced by:  ply1degltdimlem  33625  ply1degltdim  33626  algextdeglem8  33727