Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ply1degltlss Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ply1degltlss 33186
Description: The space 𝑆 of the univariate polynomials of degree less than 𝑁 forms a vector subspace. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1degltlss.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
ply1degltlss.d 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
ply1degltlss.1 𝑆 = (◑𝐷 β€œ (-∞[,)𝑁))
ply1degltlss.3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
ply1degltlss.2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
Assertion
Ref Expression
ply1degltlss (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘ƒ))
Proof of Theorem ply1degltlss
Dummy variables π‘Ž 𝑏 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ply1degltlss.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2 ply1degltlss.p . . . 4 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
32ply1sca 22145 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
41, 3syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
5 eqidd 2728 . 2 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…))
6 eqidd 2728 . 2 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ))
7 eqidd 2728 . 2 (πœ‘ β†’ (+gβ€˜π‘ƒ) = (+gβ€˜π‘ƒ))
8 eqidd 2728 . 2 (πœ‘ β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ) = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ))
9 eqidd 2728 . 2 (πœ‘ β†’ (LSubSpβ€˜π‘ƒ) = (LSubSpβ€˜π‘ƒ))
10 ply1degltlss.1 . . . . 5 𝑆 = (◑𝐷 β€œ (-∞[,)𝑁))
11 cnvimass 6079 . . . . 5 (◑𝐷 β€œ (-∞[,)𝑁)) βŠ† dom 𝐷
1210, 11eqsstri 4012 . . . 4 𝑆 βŠ† dom 𝐷
13 ply1degltlss.d . . . . . 6 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
14 eqid 2727 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
1513, 2, 14deg1xrf 25991 . . . . 5 𝐷:(Baseβ€˜π‘ƒ)βŸΆβ„*
1615fdmi 6728 . . . 4 dom 𝐷 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
1712, 16sseqtri 4014 . . 3 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ)
1817a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ))
1915a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷:(Baseβ€˜π‘ƒ)βŸΆβ„*)
2019ffnd 6717 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 Fn (Baseβ€˜π‘ƒ))
212ply1ring 22140 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
22 eqid 2727 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘ƒ)
2314, 22ring0cl 20185 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Ring β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
241, 21, 233syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
2513, 2, 22deg1z 25997 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ (π·β€˜(0gβ€˜π‘ƒ)) = -∞)
261, 25syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(0gβ€˜π‘ƒ)) = -∞)
27 mnfxr 11287 . . . . . . . 8 -∞ ∈ ℝ*
2827a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ -∞ ∈ ℝ*)
29 ply1degltlss.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
3029nn0red 12549 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
3130rexrd 11280 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ*)
3228xrleidd 13149 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ -∞ ≀ -∞)
3330mnfltd 13122 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ -∞ < 𝑁)
3428, 31, 28, 32, 33elicod 13392 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ -∞ ∈ (-∞[,)𝑁))
3526, 34eqeltrd 2828 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(0gβ€˜π‘ƒ)) ∈ (-∞[,)𝑁))
3620, 24, 35elpreimad 7062 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ (◑𝐷 β€œ (-∞[,)𝑁)))
3736, 10eleqtrrdi 2839 . . 3 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑆)
3837ne0d 4331 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 β‰  βˆ…)
39 simpl 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ πœ‘)
40 eqid 2727 . . . 4 (+gβ€˜π‘ƒ) = (+gβ€˜π‘ƒ)
412ply1lmod 22144 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ LMod)
421, 41syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ LMod)
4342adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ 𝑃 ∈ LMod)
4443lmodgrpd 20735 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ 𝑃 ∈ Grp)
45 simpr1 1192 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
464fveq2d 6895 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
4746adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
4845, 47eleqtrd 2830 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
49 simpr2 1193 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ π‘Ž ∈ 𝑆)
5017, 49sselid 3976 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
51 eqid 2727 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘ƒ) = (Scalarβ€˜π‘ƒ)
52 eqid 2727 . . . . . 6 ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ) = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
53 eqid 2727 . . . . . 6 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))
5414, 51, 52, 53lmodvscl 20743 . . . . 5 ((𝑃 ∈ LMod ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘Ž) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
5543, 48, 50, 54syl3anc 1369 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘Ž) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
56 simpr3 1194 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ 𝑏 ∈ 𝑆)
5717, 56sselid 3976 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
5814, 40, 44, 55, 57grpcld 18889 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘Ž)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
591adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
60 1red 11231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
6130, 60resubcld 11658 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
6261rexrd 11280 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ ℝ*)
6362adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ ℝ*)
6415a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ 𝐷:(Baseβ€˜π‘ƒ)βŸΆβ„*)
6564, 55ffvelcdmd 7089 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ (π·β€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘Ž)) ∈ ℝ*)
6664, 50ffvelcdmd 7089 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ (π·β€˜π‘Ž) ∈ ℝ*)
67 eqid 2727 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
682, 13, 59, 14, 67, 52, 45, 50deg1vscale 26014 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ (π·β€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘Ž)) ≀ (π·β€˜π‘Ž))
692, 13, 10, 29, 1, 14ply1degltel 33184 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ 𝑆 ↔ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ (π·β€˜π‘Ž) ≀ (𝑁 βˆ’ 1))))
7069simplbda 499 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (π·β€˜π‘Ž) ≀ (𝑁 βˆ’ 1))
7149, 70syldan 590 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ (π·β€˜π‘Ž) ≀ (𝑁 βˆ’ 1))
7265, 66, 63, 68, 71xrletrd 13159 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ (π·β€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘Ž)) ≀ (𝑁 βˆ’ 1))
732, 13, 10, 29, 1, 14ply1degltel 33184 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ 𝑆 ↔ (𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ (π·β€˜π‘) ≀ (𝑁 βˆ’ 1))))
7473simplbda 499 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) β†’ (π·β€˜π‘) ≀ (𝑁 βˆ’ 1))
7556, 74syldan 590 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ (π·β€˜π‘) ≀ (𝑁 βˆ’ 1))
762, 13, 59, 14, 40, 55, 57, 63, 72, 75deg1addle2 26012 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ (π·β€˜((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘Ž)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑏)) ≀ (𝑁 βˆ’ 1))
772, 13, 10, 29, 1, 14ply1degltel 33184 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘Ž)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑏) ∈ 𝑆 ↔ (((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘Ž)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ (π·β€˜((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘Ž)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑏)) ≀ (𝑁 βˆ’ 1))))
7877biimpar 477 . . 3 ((πœ‘ ∧ (((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘Ž)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ (π·β€˜((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘Ž)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑏)) ≀ (𝑁 βˆ’ 1))) β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘Ž)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑏) ∈ 𝑆)
7939, 58, 76, 78syl12anc 836 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘Ž)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑏) ∈ 𝑆)
804, 5, 6, 7, 8, 9, 18, 38, 79islssd 20801 1 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘ƒ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   βŠ† wss 3944   class class class wbr 5142  β—‘ccnv 5671  dom cdm 5672   β€œ cima 5675  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  1c1 11125  -∞cmnf 11262  β„*cxr 11263   ≀ cle 11265   βˆ’ cmin 11460  β„•0cn0 12488  [,)cico 13344  Basecbs 17165  +gcplusg 17218  Scalarcsca 17221   ·𝑠 cvsca 17222  0gc0g 17406  Ringcrg 20157  LModclmod 20725  LSubSpclss 20797  Poly1cpl1 22070   deg1 cdg1 25961
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-ofr 7678  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-sup 9451  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-ico 13348  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-seq 13985  df-hash 14308  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17408  df-gsum 17409  df-prds 17414  df-pws 17416  df-mre 17551  df-mrc 17552  df-acs 17554  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-mhm 18725  df-submnd 18726  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19008  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-cntz 19252  df-cmn 19721  df-abl 19722  df-mgp 20059  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-cring 20160  df-subrng 20465  df-subrg 20490  df-lmod 20727  df-lss 20798  df-cnfld 21260  df-psr 21822  df-mpl 21824  df-opsr 21826  df-psr1 22073  df-ply1 22075  df-mdeg 25962  df-deg1 25963
This theorem is referenced by:  ply1degltdimlem  33239  ply1degltdim  33240  algextdeglem8  33315
  Copyright terms: Public domain W3C validator