Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ply1degltlss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1degltlss 33320
Description: The space 𝑆 of the univariate polynomials of degree less than 𝑁 forms a vector subspace. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1degltlss.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
ply1degltlss.d 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
ply1degltlss.1 𝑆 = (◑𝐷 β€œ (-∞[,)𝑁))
ply1degltlss.3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
ply1degltlss.2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
Assertion
Ref Expression
ply1degltlss (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘ƒ))

Proof of Theorem ply1degltlss
Dummy variables π‘Ž 𝑏 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ply1degltlss.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2 ply1degltlss.p . . . 4 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
32ply1sca 22175 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
41, 3syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
5 eqidd 2726 . 2 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…))
6 eqidd 2726 . 2 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ))
7 eqidd 2726 . 2 (πœ‘ β†’ (+gβ€˜π‘ƒ) = (+gβ€˜π‘ƒ))
8 eqidd 2726 . 2 (πœ‘ β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ) = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ))
9 eqidd 2726 . 2 (πœ‘ β†’ (LSubSpβ€˜π‘ƒ) = (LSubSpβ€˜π‘ƒ))
10 ply1degltlss.1 . . . . 5 𝑆 = (◑𝐷 β€œ (-∞[,)𝑁))
11 cnvimass 6081 . . . . 5 (◑𝐷 β€œ (-∞[,)𝑁)) βŠ† dom 𝐷
1210, 11eqsstri 4008 . . . 4 𝑆 βŠ† dom 𝐷
13 ply1degltlss.d . . . . . 6 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
14 eqid 2725 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
1513, 2, 14deg1xrf 26030 . . . . 5 𝐷:(Baseβ€˜π‘ƒ)βŸΆβ„*
1615fdmi 6728 . . . 4 dom 𝐷 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
1712, 16sseqtri 4010 . . 3 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ)
1817a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ))
1915a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷:(Baseβ€˜π‘ƒ)βŸΆβ„*)
2019ffnd 6718 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 Fn (Baseβ€˜π‘ƒ))
212ply1ring 22170 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
22 eqid 2725 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘ƒ)
2314, 22ring0cl 20202 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Ring β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
241, 21, 233syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
2513, 2, 22deg1z 26036 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ (π·β€˜(0gβ€˜π‘ƒ)) = -∞)
261, 25syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(0gβ€˜π‘ƒ)) = -∞)
27 mnfxr 11296 . . . . . . . 8 -∞ ∈ ℝ*
2827a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ -∞ ∈ ℝ*)
29 ply1degltlss.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
3029nn0red 12558 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
3130rexrd 11289 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ*)
3228xrleidd 13158 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ -∞ ≀ -∞)
3330mnfltd 13131 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ -∞ < 𝑁)
3428, 31, 28, 32, 33elicod 13401 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ -∞ ∈ (-∞[,)𝑁))
3526, 34eqeltrd 2825 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(0gβ€˜π‘ƒ)) ∈ (-∞[,)𝑁))
3620, 24, 35elpreimad 7061 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ (◑𝐷 β€œ (-∞[,)𝑁)))
3736, 10eleqtrrdi 2836 . . 3 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑆)
3837ne0d 4332 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 β‰  βˆ…)
39 simpl 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ πœ‘)
40 eqid 2725 . . . 4 (+gβ€˜π‘ƒ) = (+gβ€˜π‘ƒ)
412ply1lmod 22174 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ LMod)
421, 41syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ LMod)
4342adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ 𝑃 ∈ LMod)
4443lmodgrpd 20752 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ 𝑃 ∈ Grp)
45 simpr1 1191 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
464fveq2d 6894 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
4746adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
4845, 47eleqtrd 2827 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
49 simpr2 1192 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ π‘Ž ∈ 𝑆)
5017, 49sselid 3971 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
51 eqid 2725 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘ƒ) = (Scalarβ€˜π‘ƒ)
52 eqid 2725 . . . . . 6 ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ) = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
53 eqid 2725 . . . . . 6 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))
5414, 51, 52, 53lmodvscl 20760 . . . . 5 ((𝑃 ∈ LMod ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘Ž) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
5543, 48, 50, 54syl3anc 1368 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘Ž) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
56 simpr3 1193 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ 𝑏 ∈ 𝑆)
5717, 56sselid 3971 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
5814, 40, 44, 55, 57grpcld 18903 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘Ž)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
591adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
60 1red 11240 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
6130, 60resubcld 11667 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
6261rexrd 11289 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ ℝ*)
6362adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ ℝ*)
6415a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ 𝐷:(Baseβ€˜π‘ƒ)βŸΆβ„*)
6564, 55ffvelcdmd 7088 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ (π·β€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘Ž)) ∈ ℝ*)
6664, 50ffvelcdmd 7088 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ (π·β€˜π‘Ž) ∈ ℝ*)
67 eqid 2725 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
682, 13, 59, 14, 67, 52, 45, 50deg1vscale 26053 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ (π·β€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘Ž)) ≀ (π·β€˜π‘Ž))
692, 13, 10, 29, 1, 14ply1degltel 33318 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ 𝑆 ↔ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ (π·β€˜π‘Ž) ≀ (𝑁 βˆ’ 1))))
7069simplbda 498 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (π·β€˜π‘Ž) ≀ (𝑁 βˆ’ 1))
7149, 70syldan 589 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ (π·β€˜π‘Ž) ≀ (𝑁 βˆ’ 1))
7265, 66, 63, 68, 71xrletrd 13168 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ (π·β€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘Ž)) ≀ (𝑁 βˆ’ 1))
732, 13, 10, 29, 1, 14ply1degltel 33318 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ 𝑆 ↔ (𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ (π·β€˜π‘) ≀ (𝑁 βˆ’ 1))))
7473simplbda 498 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) β†’ (π·β€˜π‘) ≀ (𝑁 βˆ’ 1))
7556, 74syldan 589 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ (π·β€˜π‘) ≀ (𝑁 βˆ’ 1))
762, 13, 59, 14, 40, 55, 57, 63, 72, 75deg1addle2 26051 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ (π·β€˜((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘Ž)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑏)) ≀ (𝑁 βˆ’ 1))
772, 13, 10, 29, 1, 14ply1degltel 33318 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘Ž)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑏) ∈ 𝑆 ↔ (((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘Ž)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ (π·β€˜((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘Ž)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑏)) ≀ (𝑁 βˆ’ 1))))
7877biimpar 476 . . 3 ((πœ‘ ∧ (((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘Ž)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ (π·β€˜((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘Ž)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑏)) ≀ (𝑁 βˆ’ 1))) β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘Ž)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑏) ∈ 𝑆)
7939, 58, 76, 78syl12anc 835 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘Ž)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑏) ∈ 𝑆)
804, 5, 6, 7, 8, 9, 18, 38, 79islssd 20818 1 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘ƒ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3941   class class class wbr 5144  β—‘ccnv 5672  dom cdm 5673   β€œ cima 5676  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  1c1 11134  -∞cmnf 11271  β„*cxr 11272   ≀ cle 11274   βˆ’ cmin 11469  β„•0cn0 12497  [,)cico 13353  Basecbs 17174  +gcplusg 17227  Scalarcsca 17230   ·𝑠 cvsca 17231  0gc0g 17415  Ringcrg 20172  LModclmod 20742  LSubSpclss 20814  Poly1cpl1 22099   deg1 cdg1 26000
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211  ax-addf 11212
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9381  df-sup 9460  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-ico 13357  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-hash 14317  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-prds 17423  df-pws 17425  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-mhm 18734  df-submnd 18735  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-mulg 19023  df-subg 19077  df-ghm 19167  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-cring 20175  df-subrng 20482  df-subrg 20507  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-cnfld 21279  df-psr 21841  df-mpl 21843  df-opsr 21845  df-psr1 22102  df-ply1 22104  df-mdeg 26001  df-deg1 26002
This theorem is referenced by:  ply1degltdimlem  33373  ply1degltdim  33374  algextdeglem8  33445
  Copyright terms: Public domain W3C validator