Theorem ply1degltlss 33320

Description: The space 𝑆 of the univariate polynomials of degree less than 𝑁 forms a vector subspace. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1degltlss.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1degltlss.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
ply1degltlss.1	⊢ 𝑆 = (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁))
ply1degltlss.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
ply1degltlss.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
ply1degltlss	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑃))

Proof of Theorem ply1degltlss

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1degltlss.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		ply1degltlss.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1sca 22175	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
5		eqidd 2726	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
6		eqidd 2726	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃))
7		eqidd 2726	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃))
8		eqidd 2726	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃))
9		eqidd 2726	. 2 ⊢ (𝜑 → (LSubSp‘𝑃) = (LSubSp‘𝑃))
10		ply1degltlss.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁))
11		cnvimass 6081	. . . . 5 ⊢ (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁)) ⊆ dom 𝐷
12	10, 11	eqsstri 4008	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ dom 𝐷
13		ply1degltlss.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
14		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
15	13, 2, 14	deg1xrf 26030	. . . . 5 ⊢ 𝐷:(Base‘𝑃)⟶ℝ*
16	15	fdmi 6728	. . . 4 ⊢ dom 𝐷 = (Base‘𝑃)
17	12, 16	sseqtri 4010	. . 3 ⊢ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑃)
18	17	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑃))
19	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷:(Base‘𝑃)⟶ℝ*)
20	19	ffnd 6718	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 Fn (Base‘𝑃))
21	2	ply1ring 22170	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
22		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
23	14, 22	ring0cl 20202	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (0g‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
24	1, 21, 23	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
25	13, 2, 22	deg1z 26036	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐷‘(0g‘𝑃)) = -∞)
26	1, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(0g‘𝑃)) = -∞)
27		mnfxr 11296	. . . . . . . 8 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
28	27	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
29		ply1degltlss.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
30	29	nn0red 12558	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
31	30	rexrd 11289	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ*)
32	28	xrleidd 13158	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -∞ ≤ -∞)
33	30	mnfltd 13131	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -∞ < 𝑁)
34	28, 31, 28, 32, 33	elicod 13401	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ (-∞[,)𝑁))
35	26, 34	eqeltrd 2825	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(0g‘𝑃)) ∈ (-∞[,)𝑁))
36	20, 24, 35	elpreimad 7061	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) ∈ (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁)))
37	36, 10	eleqtrrdi 2836	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) ∈ 𝑆)
38	37	ne0d 4332	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)
39		simpl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → 𝜑)
40		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
41	2	ply1lmod 22174	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
42	1, 41	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
43	42	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → 𝑃 ∈ LMod)
44	43	lmodgrpd 20752	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → 𝑃 ∈ Grp)
45		simpr1 1191	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
46	4	fveq2d 6894	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
47	46	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
48	45, 47	eleqtrd 2827	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
49		simpr2 1192	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → 𝑎 ∈ 𝑆)
50	17, 49	sselid 3971	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑃))
51		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
52		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
53		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
54	14, 51, 52, 53	lmodvscl 20760	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎) ∈ (Base‘𝑃))
55	43, 48, 50, 54	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎) ∈ (Base‘𝑃))
56		simpr3 1193	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → 𝑏 ∈ 𝑆)
57	17, 56	sselid 3971	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → 𝑏 ∈ (Base‘𝑃))
58	14, 40, 44, 55, 57	grpcld 18903	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎)(+g‘𝑃)𝑏) ∈ (Base‘𝑃))
59	1	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → 𝑅 ∈ Ring)
60		1red 11240	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
61	30, 60	resubcld 11667	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
62	61	rexrd 11289	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ*)
63	62	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ*)
64	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → 𝐷:(Base‘𝑃)⟶ℝ*)
65	64, 55	ffvelcdmd 7088	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝐷‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎)) ∈ ℝ*)
66	64, 50	ffvelcdmd 7088	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝐷‘𝑎) ∈ ℝ*)
67		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
68	2, 13, 59, 14, 67, 52, 45, 50	deg1vscale 26053	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝐷‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎)) ≤ (𝐷‘𝑎))
69	2, 13, 10, 29, 1, 14	ply1degltel 33318	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝑆 ↔ (𝑎 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐷‘𝑎) ≤ (𝑁 − 1))))
70	69	simplbda 498	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝐷‘𝑎) ≤ (𝑁 − 1))
71	49, 70	syldan 589	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝐷‘𝑎) ≤ (𝑁 − 1))
72	65, 66, 63, 68, 71	xrletrd 13168	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝐷‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎)) ≤ (𝑁 − 1))
73	2, 13, 10, 29, 1, 14	ply1degltel 33318	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝑆 ↔ (𝑏 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐷‘𝑏) ≤ (𝑁 − 1))))
74	73	simplbda 498	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝐷‘𝑏) ≤ (𝑁 − 1))
75	56, 74	syldan 589	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝐷‘𝑏) ≤ (𝑁 − 1))
76	2, 13, 59, 14, 40, 55, 57, 63, 72, 75	deg1addle2 26051	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝐷‘((𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎)(+g‘𝑃)𝑏)) ≤ (𝑁 − 1))
77	2, 13, 10, 29, 1, 14	ply1degltel 33318	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎)(+g‘𝑃)𝑏) ∈ 𝑆 ↔ (((𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎)(+g‘𝑃)𝑏) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐷‘((𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎)(+g‘𝑃)𝑏)) ≤ (𝑁 − 1))))
78	77	biimpar 476	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎)(+g‘𝑃)𝑏) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐷‘((𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎)(+g‘𝑃)𝑏)) ≤ (𝑁 − 1))) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎)(+g‘𝑃)𝑏) ∈ 𝑆)
79	39, 58, 76, 78	syl12anc 835	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎)(+g‘𝑃)𝑏) ∈ 𝑆)
80	4, 5, 6, 7, 8, 9, 18, 38, 79	islssd 20818	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3941   class class class wbr 5144  ^◡ccnv 5672  dom cdm 5673   “ cima 5676  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7413  1c1 11134  -∞cmnf 11271  ℝ^*cxr 11272   ≤ cle 11274   − cmin 11469  ℕ₀cn0 12497  [,)cico 13353  Basecbs 17174  +_gcplusg 17227  Scalarcsca 17230   ·_𝑠 cvsca 17231  0_gc0g 17415  Ringcrg 20172  LModclmod 20742  LSubSpclss 20814  Poly₁cpl1 22099   deg₁ cdg1 26000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211  ax-addf 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9381  df-sup 9460  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-ico 13357  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-hash 14317  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-prds 17423  df-pws 17425  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-mhm 18734  df-submnd 18735  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-mulg 19023  df-subg 19077  df-ghm 19167  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-cring 20175  df-subrng 20482  df-subrg 20507  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-cnfld 21279  df-psr 21841  df-mpl 21843  df-opsr 21845  df-psr1 22102  df-ply1 22104  df-mdeg 26001  df-deg1 26002

This theorem is referenced by:  ply1degltdimlem  33373  ply1degltdim  33374  algextdeglem8  33445