Theorem ply1degltlss 33681

Description: The space 𝑆 of the univariate polynomials of degree less than 𝑁 forms a vector subspace. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1degltlss.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1degltlss.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
ply1degltlss.1	⊢ 𝑆 = (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁))
ply1degltlss.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
ply1degltlss.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
ply1degltlss	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑃))

Proof of Theorem ply1degltlss

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1degltlss.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		ply1degltlss.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1sca 22198	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
5		eqidd 2738	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
6		eqidd 2738	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃))
7		eqidd 2738	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃))
8		eqidd 2738	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃))
9		eqidd 2738	. 2 ⊢ (𝜑 → (LSubSp‘𝑃) = (LSubSp‘𝑃))
10		ply1degltlss.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁))
11		cnvimass 6042	. . . . 5 ⊢ (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁)) ⊆ dom 𝐷
12	10, 11	eqsstri 3981	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ dom 𝐷
13		ply1degltlss.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
14		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
15	13, 2, 14	deg1xrf 26047	. . . . 5 ⊢ 𝐷:(Base‘𝑃)⟶ℝ*
16	15	fdmi 6674	. . . 4 ⊢ dom 𝐷 = (Base‘𝑃)
17	12, 16	sseqtri 3983	. . 3 ⊢ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑃)
18	17	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑃))
19	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷:(Base‘𝑃)⟶ℝ*)
20	19	ffnd 6664	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 Fn (Base‘𝑃))
21	2	ply1ring 22193	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
22		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
23	14, 22	ring0cl 20207	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (0g‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
24	1, 21, 23	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
25	13, 2, 22	deg1z 26053	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐷‘(0g‘𝑃)) = -∞)
26	1, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(0g‘𝑃)) = -∞)
27		mnfxr 11194	. . . . . . . 8 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
28	27	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
29		ply1degltlss.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
30	29	nn0red 12468	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
31	30	rexrd 11187	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ*)
32	28	xrleidd 13071	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -∞ ≤ -∞)
33	30	mnfltd 13043	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -∞ < 𝑁)
34	28, 31, 28, 32, 33	elicod 13316	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ (-∞[,)𝑁))
35	26, 34	eqeltrd 2837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(0g‘𝑃)) ∈ (-∞[,)𝑁))
36	20, 24, 35	elpreimad 7006	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) ∈ (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁)))
37	36, 10	eleqtrrdi 2848	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) ∈ 𝑆)
38	37	ne0d 4295	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)
39		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → 𝜑)
40		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
41	2	ply1lmod 22197	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
42	1, 41	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
43	42	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → 𝑃 ∈ LMod)
44	43	lmodgrpd 20826	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → 𝑃 ∈ Grp)
45		simpr1 1196	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
46	4	fveq2d 6839	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
47	46	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
48	45, 47	eleqtrd 2839	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
49		simpr2 1197	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → 𝑎 ∈ 𝑆)
50	17, 49	sselid 3932	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑃))
51		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
52		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
53		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
54	14, 51, 52, 53	lmodvscl 20834	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎) ∈ (Base‘𝑃))
55	43, 48, 50, 54	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎) ∈ (Base‘𝑃))
56		simpr3 1198	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → 𝑏 ∈ 𝑆)
57	17, 56	sselid 3932	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → 𝑏 ∈ (Base‘𝑃))
58	14, 40, 44, 55, 57	grpcld 18882	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎)(+g‘𝑃)𝑏) ∈ (Base‘𝑃))
59	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → 𝑅 ∈ Ring)
60		1red 11138	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
61	30, 60	resubcld 11570	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
62	61	rexrd 11187	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ*)
63	62	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ*)
64	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → 𝐷:(Base‘𝑃)⟶ℝ*)
65	64, 55	ffvelcdmd 7032	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝐷‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎)) ∈ ℝ*)
66	64, 50	ffvelcdmd 7032	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝐷‘𝑎) ∈ ℝ*)
67		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
68	2, 13, 59, 14, 67, 52, 45, 50	deg1vscale 26070	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝐷‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎)) ≤ (𝐷‘𝑎))
69	2, 13, 10, 29, 1, 14	ply1degltel 33679	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝑆 ↔ (𝑎 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐷‘𝑎) ≤ (𝑁 − 1))))
70	69	simplbda 499	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝐷‘𝑎) ≤ (𝑁 − 1))
71	49, 70	syldan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝐷‘𝑎) ≤ (𝑁 − 1))
72	65, 66, 63, 68, 71	xrletrd 13081	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝐷‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎)) ≤ (𝑁 − 1))
73	2, 13, 10, 29, 1, 14	ply1degltel 33679	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝑆 ↔ (𝑏 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐷‘𝑏) ≤ (𝑁 − 1))))
74	73	simplbda 499	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝐷‘𝑏) ≤ (𝑁 − 1))
75	56, 74	syldan 592	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝐷‘𝑏) ≤ (𝑁 − 1))
76	2, 13, 59, 14, 40, 55, 57, 63, 72, 75	deg1addle2 26068	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝐷‘((𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎)(+g‘𝑃)𝑏)) ≤ (𝑁 − 1))
77	2, 13, 10, 29, 1, 14	ply1degltel 33679	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎)(+g‘𝑃)𝑏) ∈ 𝑆 ↔ (((𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎)(+g‘𝑃)𝑏) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐷‘((𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎)(+g‘𝑃)𝑏)) ≤ (𝑁 − 1))))
78	77	biimpar 477	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎)(+g‘𝑃)𝑏) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐷‘((𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎)(+g‘𝑃)𝑏)) ≤ (𝑁 − 1))) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎)(+g‘𝑃)𝑏) ∈ 𝑆)
79	39, 58, 76, 78	syl12anc 837	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑎)(+g‘𝑃)𝑏) ∈ 𝑆)
80	4, 5, 6, 7, 8, 9, 18, 38, 79	islssd 20891	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5099  ^◡ccnv 5624  dom cdm 5625   “ cima 5628  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  1c1 11032  -∞cmnf 11169  ℝ^*cxr 11170   ≤ cle 11172   − cmin 11369  ℕ₀cn0 12406  [,)cico 13268  Basecbs 17141  +_gcplusg 17182  Scalarcsca 17185   ·_𝑠 cvsca 17186  0_gc0g 17364  Ringcrg 20173  LModclmod 20816  LSubSpclss 20887  Poly₁cpl1 22122  deg₁cdg1 26020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108  ax-pre-sup 11109  ax-addf 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-ofr 7626  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8106  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-er 8638  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8841  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-fsupp 9270  df-sup 9350  df-oi 9420  df-card 9856  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-4 12215  df-5 12216  df-6 12217  df-7 12218  df-8 12219  df-9 12220  df-n0 12407  df-z 12494  df-dec 12613  df-uz 12757  df-ico 13272  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-seq 13930  df-hash 14259  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17142  df-ress 17163  df-plusg 17195  df-mulr 17196  df-starv 17197  df-sca 17198  df-vsca 17199  df-ip 17200  df-tset 17201  df-ple 17202  df-ds 17204  df-unif 17205  df-hom 17206  df-cco 17207  df-0g 17366  df-gsum 17367  df-prds 17372  df-pws 17374  df-mre 17510  df-mrc 17511  df-acs 17513  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18871  df-minusg 18872  df-sbg 18873  df-mulg 19003  df-subg 19058  df-ghm 19147  df-cntz 19251  df-cmn 19716  df-abl 19717  df-mgp 20081  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-cring 20176  df-subrng 20484  df-subrg 20508  df-lmod 20818  df-lss 20888  df-cnfld 21315  df-psr 21870  df-mpl 21872  df-opsr 21874  df-psr1 22125  df-ply1 22127  df-mdeg 26021  df-deg1 26022

This theorem is referenced by:  ply1degltdimlem  33792  ply1degltdim  33793  algextdeglem8  33894