Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ply1degltlss Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ply1degltlss 32655
Description: The space 𝑆 of the univariate polynomials of degree less than 𝑁 forms a vector subspace. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1degltlss.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
ply1degltlss.d 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
ply1degltlss.1 𝑆 = (◑𝐷 β€œ (-∞[,)𝑁))
ply1degltlss.3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
ply1degltlss.2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
Assertion
Ref Expression
ply1degltlss (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘ƒ))
Proof of Theorem ply1degltlss
Dummy variables π‘Ž 𝑏 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ply1degltlss.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2 ply1degltlss.p . . . 4 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
32ply1sca 21766 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
41, 3syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
5 eqidd 2733 . 2 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…))
6 eqidd 2733 . 2 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ))
7 eqidd 2733 . 2 (πœ‘ β†’ (+gβ€˜π‘ƒ) = (+gβ€˜π‘ƒ))
8 eqidd 2733 . 2 (πœ‘ β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ) = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ))
9 eqidd 2733 . 2 (πœ‘ β†’ (LSubSpβ€˜π‘ƒ) = (LSubSpβ€˜π‘ƒ))
10 ply1degltlss.1 . . . . 5 𝑆 = (◑𝐷 β€œ (-∞[,)𝑁))
11 cnvimass 6077 . . . . 5 (◑𝐷 β€œ (-∞[,)𝑁)) βŠ† dom 𝐷
1210, 11eqsstri 4015 . . . 4 𝑆 βŠ† dom 𝐷
13 ply1degltlss.d . . . . . 6 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
14 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
1513, 2, 14deg1xrf 25590 . . . . 5 𝐷:(Baseβ€˜π‘ƒ)βŸΆβ„*
1615fdmi 6726 . . . 4 dom 𝐷 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
1712, 16sseqtri 4017 . . 3 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ)
1817a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ))
1915a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷:(Baseβ€˜π‘ƒ)βŸΆβ„*)
2019ffnd 6715 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 Fn (Baseβ€˜π‘ƒ))
212ply1ring 21761 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
22 eqid 2732 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘ƒ)
2314, 22ring0cl 20077 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Ring β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
241, 21, 233syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
2513, 2, 22deg1z 25596 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ (π·β€˜(0gβ€˜π‘ƒ)) = -∞)
261, 25syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(0gβ€˜π‘ƒ)) = -∞)
27 mnfxr 11267 . . . . . . . 8 -∞ ∈ ℝ*
2827a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ -∞ ∈ ℝ*)
29 ply1degltlss.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
3029nn0red 12529 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
3130rexrd 11260 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ*)
3228xrleidd 13127 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ -∞ ≀ -∞)
3330mnfltd 13100 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ -∞ < 𝑁)
3428, 31, 28, 32, 33elicod 13370 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ -∞ ∈ (-∞[,)𝑁))
3526, 34eqeltrd 2833 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(0gβ€˜π‘ƒ)) ∈ (-∞[,)𝑁))
3620, 24, 35elpreimad 7057 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ (◑𝐷 β€œ (-∞[,)𝑁)))
3736, 10eleqtrrdi 2844 . . 3 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑆)
3837ne0d 4334 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 β‰  βˆ…)
39 simpl 483 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ πœ‘)
40 eqid 2732 . . . 4 (+gβ€˜π‘ƒ) = (+gβ€˜π‘ƒ)
412ply1lmod 21765 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ LMod)
421, 41syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ LMod)
4342adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ 𝑃 ∈ LMod)
4443lmodgrpd 20473 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ 𝑃 ∈ Grp)
45 simpr1 1194 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
464fveq2d 6892 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
4746adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
4845, 47eleqtrd 2835 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
49 simpr2 1195 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ π‘Ž ∈ 𝑆)
5017, 49sselid 3979 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
51 eqid 2732 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘ƒ) = (Scalarβ€˜π‘ƒ)
52 eqid 2732 . . . . . 6 ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ) = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
53 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))
5414, 51, 52, 53lmodvscl 20481 . . . . 5 ((𝑃 ∈ LMod ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘Ž) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
5543, 48, 50, 54syl3anc 1371 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘Ž) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
56 simpr3 1196 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ 𝑏 ∈ 𝑆)
5717, 56sselid 3979 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
5814, 40, 44, 55, 57grpcld 18829 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘Ž)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
591adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
60 1red 11211 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
6130, 60resubcld 11638 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
6261rexrd 11260 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ ℝ*)
6362adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ ℝ*)
6415a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ 𝐷:(Baseβ€˜π‘ƒ)βŸΆβ„*)
6564, 55ffvelcdmd 7084 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ (π·β€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘Ž)) ∈ ℝ*)
6664, 50ffvelcdmd 7084 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ (π·β€˜π‘Ž) ∈ ℝ*)
67 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
682, 13, 59, 14, 67, 52, 45, 50deg1vscale 25613 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ (π·β€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘Ž)) ≀ (π·β€˜π‘Ž))
692, 13, 10, 29, 1, 14ply1degltel 32654 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ 𝑆 ↔ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ (π·β€˜π‘Ž) ≀ (𝑁 βˆ’ 1))))
7069simplbda 500 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (π·β€˜π‘Ž) ≀ (𝑁 βˆ’ 1))
7149, 70syldan 591 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ (π·β€˜π‘Ž) ≀ (𝑁 βˆ’ 1))
7265, 66, 63, 68, 71xrletrd 13137 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ (π·β€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘Ž)) ≀ (𝑁 βˆ’ 1))
732, 13, 10, 29, 1, 14ply1degltel 32654 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ 𝑆 ↔ (𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ (π·β€˜π‘) ≀ (𝑁 βˆ’ 1))))
7473simplbda 500 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) β†’ (π·β€˜π‘) ≀ (𝑁 βˆ’ 1))
7556, 74syldan 591 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ (π·β€˜π‘) ≀ (𝑁 βˆ’ 1))
762, 13, 59, 14, 40, 55, 57, 63, 72, 75deg1addle2 25611 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ (π·β€˜((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘Ž)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑏)) ≀ (𝑁 βˆ’ 1))
772, 13, 10, 29, 1, 14ply1degltel 32654 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘Ž)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑏) ∈ 𝑆 ↔ (((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘Ž)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ (π·β€˜((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘Ž)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑏)) ≀ (𝑁 βˆ’ 1))))
7877biimpar 478 . . 3 ((πœ‘ ∧ (((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘Ž)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ (π·β€˜((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘Ž)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑏)) ≀ (𝑁 βˆ’ 1))) β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘Ž)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑏) ∈ 𝑆)
7939, 58, 76, 78syl12anc 835 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘Ž)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑏) ∈ 𝑆)
804, 5, 6, 7, 8, 9, 18, 38, 79islssd 20538 1 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘ƒ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675   β€œ cima 5678  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  1c1 11107  -∞cmnf 11242  β„*cxr 11243   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440  β„•0cn0 12468  [,)cico 13322  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  0gc0g 17381  Ringcrg 20049  LModclmod 20463  LSubSpclss 20534  Poly1cpl1 21692   deg1 cdg1 25560
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-ico 13326  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-cnfld 20937  df-psr 21453  df-mpl 21455  df-opsr 21457  df-psr1 21695  df-ply1 21697  df-mdeg 25561  df-deg1 25562
This theorem is referenced by:  ply1degltdimlem  32695  ply1degltdim  32696
  Copyright terms: Public domain W3C validator