Theorem q1pvsca 33576

Description: Scalar multiplication property of the polynomial division. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
r1padd1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
r1padd1.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
r1padd1.n	⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
q1pdir.d	⊢ / = (quot1p‘𝑅)
q1pdir.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
q1pdir.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
q1pdir.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑁)
q1pvsca.1	⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑃)
q1pvsca.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
q1pvsca.8	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
q1pvsca	⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝐴) / 𝐶) = (𝐵 × (𝐴 / 𝐶)))

Proof of Theorem q1pvsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		q1pdir.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		r1padd1.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
3		eqid 2730	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
4		q1pvsca.1	. . 3 ⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑃)
5		eqid 2730	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
6		r1padd1.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
7	6	ply1lmod 22143	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
8	1, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
9		q1pvsca.8	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
10		q1pvsca.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
11	6	ply1sca 22144	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
12	1, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
13	12	fveq2d 6865	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
14	10, 13	eqtrid 2777	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
15	9, 14	eleqtrd 2831	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
16		q1pdir.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
17	2, 3, 4, 5, 8, 15, 16	lmodvscld 20792	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × 𝐴) ∈ 𝑈)
18		q1pdir.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑁)
19		q1pdir.d	. . . . 5 ⊢ / = (quot1p‘𝑅)
20		r1padd1.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
21	19, 6, 2, 20	q1pcl 26069	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑁) → (𝐴 / 𝐶) ∈ 𝑈)
22	1, 16, 18, 21	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐶) ∈ 𝑈)
23	2, 3, 4, 5, 8, 15, 22	lmodvscld 20792	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × (𝐴 / 𝐶)) ∈ 𝑈)
24	8	lmodgrpd 20783	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
25		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
26	6	ply1ring 22139	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
27	1, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
28	6, 2, 20	uc1pcl 26056	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑁 → 𝐶 ∈ 𝑈)
29	18, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
30	2, 25, 27, 23, 29	ringcld 20176	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × (𝐴 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶) ∈ 𝑈)
31		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
32	2, 31	grpsubcl 18959	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ (𝐵 × 𝐴) ∈ 𝑈 ∧ ((𝐵 × (𝐴 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶) ∈ 𝑈) → ((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)((𝐵 × (𝐴 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶)) ∈ 𝑈)
33	24, 17, 30, 32	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)((𝐵 × (𝐴 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶)) ∈ 𝑈)
34		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
35	34, 6, 2	deg1xrcl 25994	. . . 4 ⊢ (((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)((𝐵 × (𝐴 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶)) ∈ 𝑈 → ((deg1‘𝑅)‘((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)((𝐵 × (𝐴 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶))) ∈ ℝ*)
36	33, 35	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)((𝐵 × (𝐴 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶))) ∈ ℝ*)
37		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (rem1p‘𝑅) = (rem1p‘𝑅)
38	37, 6, 2, 19, 25, 31	r1pval 26070	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶) = (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)))
39	16, 29, 38	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶) = (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)))
40	2, 25, 27, 22, 29	ringcld 20176	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶) ∈ 𝑈)
41	2, 31	grpsubcl 18959	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ ((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶) ∈ 𝑈) → (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)) ∈ 𝑈)
42	24, 16, 40, 41	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)) ∈ 𝑈)
43	39, 42	eqeltrd 2829	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶) ∈ 𝑈)
44	34, 6, 2	deg1xrcl 25994	. . . 4 ⊢ ((𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶) ∈ 𝑈 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶)) ∈ ℝ*)
45	43, 44	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶)) ∈ ℝ*)
46	34, 6, 2	deg1xrcl 25994	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑈 → ((deg1‘𝑅)‘𝐶) ∈ ℝ*)
47	29, 46	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘𝐶) ∈ ℝ*)
48	6, 34, 1, 2, 10, 4, 9, 42	deg1vscale 26016	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐵 × (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)))) ≤ ((deg1‘𝑅)‘(𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))))
49	6, 25, 2, 10, 4	ply1ass23l 22118	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐵 ∈ 𝐾 ∧ (𝐴 / 𝐶) ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈)) → ((𝐵 × (𝐴 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶) = (𝐵 × ((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)))
50	1, 9, 22, 29, 49	syl13anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × (𝐴 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶) = (𝐵 × ((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)))
51	50	oveq2d 7406	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)((𝐵 × (𝐴 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶)) = ((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)(𝐵 × ((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))))
52	2, 4, 3, 5, 31, 8, 15, 16, 40	lmodsubdi 20832	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))) = ((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)(𝐵 × ((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))))
53	51, 52	eqtr4d 2768	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)((𝐵 × (𝐴 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶)) = (𝐵 × (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))))
54	53	fveq2d 6865	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)((𝐵 × (𝐴 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶))) = ((deg1‘𝑅)‘(𝐵 × (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)))))
55	39	fveq2d 6865	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶)) = ((deg1‘𝑅)‘(𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))))
56	48, 54, 55	3brtr4d 5142	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)((𝐵 × (𝐴 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶))) ≤ ((deg1‘𝑅)‘(𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶)))
57	37, 6, 2, 20, 34	r1pdeglt 26072	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑁) → ((deg1‘𝑅)‘(𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶)) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶))
58	1, 16, 18, 57	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶)) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶))
59	36, 45, 47, 56, 58	xrlelttrd 13127	. 2 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)((𝐵 × (𝐴 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶))) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶))
60	19, 6, 2, 34, 31, 25, 20	q1peqb 26068	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐵 × 𝐴) ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑁) → (((𝐵 × (𝐴 / 𝐶)) ∈ 𝑈 ∧ ((deg1‘𝑅)‘((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)((𝐵 × (𝐴 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶))) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶)) ↔ ((𝐵 × 𝐴) / 𝐶) = (𝐵 × (𝐴 / 𝐶))))
61	60	biimpa 476	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐵 × 𝐴) ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑁) ∧ ((𝐵 × (𝐴 / 𝐶)) ∈ 𝑈 ∧ ((deg1‘𝑅)‘((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)((𝐵 × (𝐴 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶))) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶))) → ((𝐵 × 𝐴) / 𝐶) = (𝐵 × (𝐴 / 𝐶)))
62	1, 17, 18, 23, 59, 61	syl32anc 1380	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝐴) / 𝐶) = (𝐵 × (𝐴 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℝ^*cxr 11214   < clt 11215   ≤ cle 11216  Basecbs 17186  ._rcmulr 17228  Scalarcsca 17230   ·_𝑠 cvsca 17231  Grpcgrp 18872  -_gcsg 18874  Ringcrg 20149  LModclmod 20773  Poly₁cpl1 22068  deg₁cdg1 25966  Unic_1pcuc1p 26039  quot_1pcq1p 26040  rem_1pcr1p 26041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-ofr 7657  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-hash 14303  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-prds 17417  df-pws 17419  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-mhm 18717  df-submnd 18718  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-mulg 19007  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-cring 20152  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-subrng 20462  df-subrg 20486  df-rlreg 20610  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-cnfld 21272  df-psr 21825  df-mvr 21826  df-mpl 21827  df-opsr 21829  df-psr1 22071  df-vr1 22072  df-ply1 22073  df-coe1 22074  df-mdeg 25967  df-deg1 25968  df-uc1p 26044  df-q1p 26045  df-r1p 26046

This theorem is referenced by:  r1pvsca  33577