Theorem q1pvsca 33569

Description: Scalar multiplication property of the polynomial division. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
r1padd1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
r1padd1.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
r1padd1.n	⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
q1pdir.d	⊢ / = (quot1p‘𝑅)
q1pdir.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
q1pdir.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
q1pdir.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑁)
q1pvsca.1	⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑃)
q1pvsca.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
q1pvsca.8	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
q1pvsca	⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝐴) / 𝐶) = (𝐵 × (𝐴 / 𝐶)))

Proof of Theorem q1pvsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		q1pdir.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		r1padd1.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
3		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
4		q1pvsca.1	. . 3 ⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑃)
5		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
6		r1padd1.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
7	6	ply1lmod 22136	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
8	1, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
9		q1pvsca.8	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
10		q1pvsca.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
11	6	ply1sca 22137	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
12	1, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
13	12	fveq2d 6862	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
14	10, 13	eqtrid 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
15	9, 14	eleqtrd 2830	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
16		q1pdir.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
17	2, 3, 4, 5, 8, 15, 16	lmodvscld 20785	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × 𝐴) ∈ 𝑈)
18		q1pdir.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑁)
19		q1pdir.d	. . . . 5 ⊢ / = (quot1p‘𝑅)
20		r1padd1.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
21	19, 6, 2, 20	q1pcl 26062	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑁) → (𝐴 / 𝐶) ∈ 𝑈)
22	1, 16, 18, 21	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐶) ∈ 𝑈)
23	2, 3, 4, 5, 8, 15, 22	lmodvscld 20785	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × (𝐴 / 𝐶)) ∈ 𝑈)
24	8	lmodgrpd 20776	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
25		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
26	6	ply1ring 22132	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
27	1, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
28	6, 2, 20	uc1pcl 26049	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑁 → 𝐶 ∈ 𝑈)
29	18, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
30	2, 25, 27, 23, 29	ringcld 20169	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × (𝐴 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶) ∈ 𝑈)
31		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
32	2, 31	grpsubcl 18952	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ (𝐵 × 𝐴) ∈ 𝑈 ∧ ((𝐵 × (𝐴 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶) ∈ 𝑈) → ((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)((𝐵 × (𝐴 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶)) ∈ 𝑈)
33	24, 17, 30, 32	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)((𝐵 × (𝐴 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶)) ∈ 𝑈)
34		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
35	34, 6, 2	deg1xrcl 25987	. . . 4 ⊢ (((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)((𝐵 × (𝐴 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶)) ∈ 𝑈 → ((deg1‘𝑅)‘((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)((𝐵 × (𝐴 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶))) ∈ ℝ*)
36	33, 35	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)((𝐵 × (𝐴 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶))) ∈ ℝ*)
37		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (rem1p‘𝑅) = (rem1p‘𝑅)
38	37, 6, 2, 19, 25, 31	r1pval 26063	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶) = (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)))
39	16, 29, 38	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶) = (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)))
40	2, 25, 27, 22, 29	ringcld 20169	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶) ∈ 𝑈)
41	2, 31	grpsubcl 18952	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ ((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶) ∈ 𝑈) → (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)) ∈ 𝑈)
42	24, 16, 40, 41	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)) ∈ 𝑈)
43	39, 42	eqeltrd 2828	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶) ∈ 𝑈)
44	34, 6, 2	deg1xrcl 25987	. . . 4 ⊢ ((𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶) ∈ 𝑈 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶)) ∈ ℝ*)
45	43, 44	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶)) ∈ ℝ*)
46	34, 6, 2	deg1xrcl 25987	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑈 → ((deg1‘𝑅)‘𝐶) ∈ ℝ*)
47	29, 46	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘𝐶) ∈ ℝ*)
48	6, 34, 1, 2, 10, 4, 9, 42	deg1vscale 26009	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐵 × (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)))) ≤ ((deg1‘𝑅)‘(𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))))
49	6, 25, 2, 10, 4	ply1ass23l 22111	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐵 ∈ 𝐾 ∧ (𝐴 / 𝐶) ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈)) → ((𝐵 × (𝐴 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶) = (𝐵 × ((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)))
50	1, 9, 22, 29, 49	syl13anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × (𝐴 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶) = (𝐵 × ((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)))
51	50	oveq2d 7403	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)((𝐵 × (𝐴 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶)) = ((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)(𝐵 × ((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))))
52	2, 4, 3, 5, 31, 8, 15, 16, 40	lmodsubdi 20825	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))) = ((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)(𝐵 × ((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))))
53	51, 52	eqtr4d 2767	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)((𝐵 × (𝐴 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶)) = (𝐵 × (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))))
54	53	fveq2d 6862	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)((𝐵 × (𝐴 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶))) = ((deg1‘𝑅)‘(𝐵 × (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)))))
55	39	fveq2d 6862	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶)) = ((deg1‘𝑅)‘(𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))))
56	48, 54, 55	3brtr4d 5139	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)((𝐵 × (𝐴 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶))) ≤ ((deg1‘𝑅)‘(𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶)))
57	37, 6, 2, 20, 34	r1pdeglt 26065	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑁) → ((deg1‘𝑅)‘(𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶)) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶))
58	1, 16, 18, 57	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶)) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶))
59	36, 45, 47, 56, 58	xrlelttrd 13120	. 2 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)((𝐵 × (𝐴 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶))) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶))
60	19, 6, 2, 34, 31, 25, 20	q1peqb 26061	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐵 × 𝐴) ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑁) → (((𝐵 × (𝐴 / 𝐶)) ∈ 𝑈 ∧ ((deg1‘𝑅)‘((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)((𝐵 × (𝐴 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶))) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶)) ↔ ((𝐵 × 𝐴) / 𝐶) = (𝐵 × (𝐴 / 𝐶))))
61	60	biimpa 476	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐵 × 𝐴) ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑁) ∧ ((𝐵 × (𝐴 / 𝐶)) ∈ 𝑈 ∧ ((deg1‘𝑅)‘((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)((𝐵 × (𝐴 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶))) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶))) → ((𝐵 × 𝐴) / 𝐶) = (𝐵 × (𝐴 / 𝐶)))
62	1, 17, 18, 23, 59, 61	syl32anc 1380	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝐴) / 𝐶) = (𝐵 × (𝐴 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℝ^*cxr 11207   < clt 11208   ≤ cle 11209  Basecbs 17179  ._rcmulr 17221  Scalarcsca 17223   ·_𝑠 cvsca 17224  Grpcgrp 18865  -_gcsg 18867  Ringcrg 20142  LModclmod 20766  Poly₁cpl1 22061  deg₁cdg1 25959  Unic_1pcuc1p 26032  quot_1pcq1p 26033  rem_1pcr1p 26034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-ofr 7654  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-tpos 8205  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-sup 9393  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-hash 14296  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-mulg 19000  df-subg 19055  df-ghm 19145  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-cring 20145  df-oppr 20246  df-dvdsr 20266  df-unit 20267  df-invr 20297  df-subrng 20455  df-subrg 20479  df-rlreg 20603  df-lmod 20768  df-lss 20838  df-cnfld 21265  df-psr 21818  df-mvr 21819  df-mpl 21820  df-opsr 21822  df-psr1 22064  df-vr1 22065  df-ply1 22066  df-coe1 22067  df-mdeg 25960  df-deg1 25961  df-uc1p 26037  df-q1p 26038  df-r1p 26039

This theorem is referenced by:  r1pvsca  33570