Theorem q1pvsca 33613

Description: Scalar multiplication property of the polynomial division. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
r1padd1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
r1padd1.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
r1padd1.n	⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
q1pdir.d	⊢ / = (quot1p‘𝑅)
q1pdir.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
q1pdir.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
q1pdir.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑁)
q1pvsca.1	⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑃)
q1pvsca.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
q1pvsca.8	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
q1pvsca	⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝐴) / 𝐶) = (𝐵 × (𝐴 / 𝐶)))

Proof of Theorem q1pvsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		q1pdir.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		r1padd1.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
3		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
4		q1pvsca.1	. . 3 ⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑃)
5		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
6		r1padd1.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
7	6	ply1lmod 22187	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
8	1, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
9		q1pvsca.8	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
10		q1pvsca.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
11	6	ply1sca 22188	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
12	1, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
13	12	fveq2d 6880	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
14	10, 13	eqtrid 2782	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
15	9, 14	eleqtrd 2836	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
16		q1pdir.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
17	2, 3, 4, 5, 8, 15, 16	lmodvscld 20836	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × 𝐴) ∈ 𝑈)
18		q1pdir.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑁)
19		q1pdir.d	. . . . 5 ⊢ / = (quot1p‘𝑅)
20		r1padd1.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
21	19, 6, 2, 20	q1pcl 26114	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑁) → (𝐴 / 𝐶) ∈ 𝑈)
22	1, 16, 18, 21	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐶) ∈ 𝑈)
23	2, 3, 4, 5, 8, 15, 22	lmodvscld 20836	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × (𝐴 / 𝐶)) ∈ 𝑈)
24	8	lmodgrpd 20827	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
25		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
26	6	ply1ring 22183	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
27	1, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
28	6, 2, 20	uc1pcl 26101	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑁 → 𝐶 ∈ 𝑈)
29	18, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
30	2, 25, 27, 23, 29	ringcld 20220	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × (𝐴 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶) ∈ 𝑈)
31		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
32	2, 31	grpsubcl 19003	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ (𝐵 × 𝐴) ∈ 𝑈 ∧ ((𝐵 × (𝐴 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶) ∈ 𝑈) → ((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)((𝐵 × (𝐴 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶)) ∈ 𝑈)
33	24, 17, 30, 32	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)((𝐵 × (𝐴 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶)) ∈ 𝑈)
34		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
35	34, 6, 2	deg1xrcl 26039	. . . 4 ⊢ (((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)((𝐵 × (𝐴 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶)) ∈ 𝑈 → ((deg1‘𝑅)‘((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)((𝐵 × (𝐴 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶))) ∈ ℝ*)
36	33, 35	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)((𝐵 × (𝐴 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶))) ∈ ℝ*)
37		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (rem1p‘𝑅) = (rem1p‘𝑅)
38	37, 6, 2, 19, 25, 31	r1pval 26115	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶) = (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)))
39	16, 29, 38	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶) = (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)))
40	2, 25, 27, 22, 29	ringcld 20220	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶) ∈ 𝑈)
41	2, 31	grpsubcl 19003	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ ((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶) ∈ 𝑈) → (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)) ∈ 𝑈)
42	24, 16, 40, 41	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)) ∈ 𝑈)
43	39, 42	eqeltrd 2834	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶) ∈ 𝑈)
44	34, 6, 2	deg1xrcl 26039	. . . 4 ⊢ ((𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶) ∈ 𝑈 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶)) ∈ ℝ*)
45	43, 44	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶)) ∈ ℝ*)
46	34, 6, 2	deg1xrcl 26039	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑈 → ((deg1‘𝑅)‘𝐶) ∈ ℝ*)
47	29, 46	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘𝐶) ∈ ℝ*)
48	6, 34, 1, 2, 10, 4, 9, 42	deg1vscale 26061	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐵 × (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)))) ≤ ((deg1‘𝑅)‘(𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))))
49	6, 25, 2, 10, 4	ply1ass23l 22162	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐵 ∈ 𝐾 ∧ (𝐴 / 𝐶) ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈)) → ((𝐵 × (𝐴 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶) = (𝐵 × ((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)))
50	1, 9, 22, 29, 49	syl13anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × (𝐴 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶) = (𝐵 × ((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)))
51	50	oveq2d 7421	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)((𝐵 × (𝐴 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶)) = ((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)(𝐵 × ((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))))
52	2, 4, 3, 5, 31, 8, 15, 16, 40	lmodsubdi 20876	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))) = ((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)(𝐵 × ((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))))
53	51, 52	eqtr4d 2773	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)((𝐵 × (𝐴 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶)) = (𝐵 × (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))))
54	53	fveq2d 6880	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)((𝐵 × (𝐴 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶))) = ((deg1‘𝑅)‘(𝐵 × (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)))))
55	39	fveq2d 6880	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶)) = ((deg1‘𝑅)‘(𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))))
56	48, 54, 55	3brtr4d 5151	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)((𝐵 × (𝐴 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶))) ≤ ((deg1‘𝑅)‘(𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶)))
57	37, 6, 2, 20, 34	r1pdeglt 26117	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑁) → ((deg1‘𝑅)‘(𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶)) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶))
58	1, 16, 18, 57	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶)) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶))
59	36, 45, 47, 56, 58	xrlelttrd 13176	. 2 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)((𝐵 × (𝐴 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶))) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶))
60	19, 6, 2, 34, 31, 25, 20	q1peqb 26113	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐵 × 𝐴) ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑁) → (((𝐵 × (𝐴 / 𝐶)) ∈ 𝑈 ∧ ((deg1‘𝑅)‘((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)((𝐵 × (𝐴 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶))) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶)) ↔ ((𝐵 × 𝐴) / 𝐶) = (𝐵 × (𝐴 / 𝐶))))
61	60	biimpa 476	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐵 × 𝐴) ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑁) ∧ ((𝐵 × (𝐴 / 𝐶)) ∈ 𝑈 ∧ ((deg1‘𝑅)‘((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)((𝐵 × (𝐴 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶))) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶))) → ((𝐵 × 𝐴) / 𝐶) = (𝐵 × (𝐴 / 𝐶)))
62	1, 17, 18, 23, 59, 61	syl32anc 1380	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝐴) / 𝐶) = (𝐵 × (𝐴 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℝ^*cxr 11268   < clt 11269   ≤ cle 11270  Basecbs 17228  ._rcmulr 17272  Scalarcsca 17274   ·_𝑠 cvsca 17275  Grpcgrp 18916  -_gcsg 18918  Ringcrg 20193  LModclmod 20817  Poly₁cpl1 22112  deg₁cdg1 26011  Unic_1pcuc1p 26084  quot_1pcq1p 26085  rem_1pcr1p 26086

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207  ax-addf 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-ofr 7672  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-sup 9454  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-seq 14020  df-hash 14349  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-hom 17295  df-cco 17296  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-prds 17461  df-pws 17463  df-mre 17598  df-mrc 17599  df-acs 17601  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-mhm 18761  df-submnd 18762  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-mulg 19051  df-subg 19106  df-ghm 19196  df-cntz 19300  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-ring 20195  df-cring 20196  df-oppr 20297  df-dvdsr 20317  df-unit 20318  df-invr 20348  df-subrng 20506  df-subrg 20530  df-rlreg 20654  df-lmod 20819  df-lss 20889  df-cnfld 21316  df-psr 21869  df-mvr 21870  df-mpl 21871  df-opsr 21873  df-psr1 22115  df-vr1 22116  df-ply1 22117  df-coe1 22118  df-mdeg 26012  df-deg1 26013  df-uc1p 26089  df-q1p 26090  df-r1p 26091

This theorem is referenced by:  r1pvsca  33614