Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  q1pvsca Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem q1pvsca 32949
Description: Scalar multiplication property of the polynomial division. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
r1padd1.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
r1padd1.u π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘ƒ)
r1padd1.n 𝑁 = (Unic1pβ€˜π‘…)
q1pdir.d / = (quot1pβ€˜π‘…)
q1pdir.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
q1pdir.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
q1pdir.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑁)
q1pvsca.1 Γ— = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
q1pvsca.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
q1pvsca.8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐾)
Assertion
Ref Expression
q1pvsca (πœ‘ β†’ ((𝐡 Γ— 𝐴) / 𝐢) = (𝐡 Γ— (𝐴 / 𝐢)))
Proof of Theorem q1pvsca
StepHypRef Expression
1 q1pdir.r . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2 r1padd1.u . . 3 π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘ƒ)
3 eqid 2730 . . 3 (Scalarβ€˜π‘ƒ) = (Scalarβ€˜π‘ƒ)
4 q1pvsca.1 . . 3 Γ— = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
5 eqid 2730 . . 3 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))
6 r1padd1.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
76ply1lmod 21994 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ LMod)
81, 7syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ LMod)
9 q1pvsca.8 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐾)
10 q1pvsca.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
116ply1sca 21995 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
121, 11syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
1312fveq2d 6894 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
1410, 13eqtrid 2782 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
159, 14eleqtrd 2833 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
16 q1pdir.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
172, 3, 4, 5, 8, 15, 16lmodvscld 20633 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐡 Γ— 𝐴) ∈ π‘ˆ)
18 q1pdir.c . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑁)
19 q1pdir.d . . . . 5 / = (quot1pβ€˜π‘…)
20 r1padd1.n . . . . 5 𝑁 = (Unic1pβ€˜π‘…)
2119, 6, 2, 20q1pcl 25908 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐢 ∈ 𝑁) β†’ (𝐴 / 𝐢) ∈ π‘ˆ)
221, 16, 18, 21syl3anc 1369 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 / 𝐢) ∈ π‘ˆ)
232, 3, 4, 5, 8, 15, 22lmodvscld 20633 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐡 Γ— (𝐴 / 𝐢)) ∈ π‘ˆ)
248lmodgrpd 20624 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Grp)
25 eqid 2730 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘ƒ) = (.rβ€˜π‘ƒ)
266ply1ring 21990 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
271, 26syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Ring)
286, 2, 20uc1pcl 25896 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ 𝑁 β†’ 𝐢 ∈ π‘ˆ)
2918, 28syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ π‘ˆ)
302, 25, 27, 23, 29ringcld 20151 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐡 Γ— (𝐴 / 𝐢))(.rβ€˜π‘ƒ)𝐢) ∈ π‘ˆ)
31 eqid 2730 . . . . . 6 (-gβ€˜π‘ƒ) = (-gβ€˜π‘ƒ)
322, 31grpsubcl 18939 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Grp ∧ (𝐡 Γ— 𝐴) ∈ π‘ˆ ∧ ((𝐡 Γ— (𝐴 / 𝐢))(.rβ€˜π‘ƒ)𝐢) ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝐡 Γ— 𝐴)(-gβ€˜π‘ƒ)((𝐡 Γ— (𝐴 / 𝐢))(.rβ€˜π‘ƒ)𝐢)) ∈ π‘ˆ)
3324, 17, 30, 32syl3anc 1369 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐡 Γ— 𝐴)(-gβ€˜π‘ƒ)((𝐡 Γ— (𝐴 / 𝐢))(.rβ€˜π‘ƒ)𝐢)) ∈ π‘ˆ)
34 eqid 2730 . . . . 5 ( deg1 β€˜π‘…) = ( deg1 β€˜π‘…)
3534, 6, 2deg1xrcl 25835 . . . 4 (((𝐡 Γ— 𝐴)(-gβ€˜π‘ƒ)((𝐡 Γ— (𝐴 / 𝐢))(.rβ€˜π‘ƒ)𝐢)) ∈ π‘ˆ β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜((𝐡 Γ— 𝐴)(-gβ€˜π‘ƒ)((𝐡 Γ— (𝐴 / 𝐢))(.rβ€˜π‘ƒ)𝐢))) ∈ ℝ*)
3633, 35syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜((𝐡 Γ— 𝐴)(-gβ€˜π‘ƒ)((𝐡 Γ— (𝐴 / 𝐢))(.rβ€˜π‘ƒ)𝐢))) ∈ ℝ*)
37 eqid 2730 . . . . . . 7 (rem1pβ€˜π‘…) = (rem1pβ€˜π‘…)
3837, 6, 2, 19, 25, 31r1pval 25909 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐢 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐴(rem1pβ€˜π‘…)𝐢) = (𝐴(-gβ€˜π‘ƒ)((𝐴 / 𝐢)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐢)))
3916, 29, 38syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴(rem1pβ€˜π‘…)𝐢) = (𝐴(-gβ€˜π‘ƒ)((𝐴 / 𝐢)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐢)))
402, 25, 27, 22, 29ringcld 20151 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐴 / 𝐢)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐢) ∈ π‘ˆ)
412, 31grpsubcl 18939 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ ∧ ((𝐴 / 𝐢)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐢) ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐴(-gβ€˜π‘ƒ)((𝐴 / 𝐢)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐢)) ∈ π‘ˆ)
4224, 16, 40, 41syl3anc 1369 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴(-gβ€˜π‘ƒ)((𝐴 / 𝐢)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐢)) ∈ π‘ˆ)
4339, 42eqeltrd 2831 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴(rem1pβ€˜π‘…)𝐢) ∈ π‘ˆ)
4434, 6, 2deg1xrcl 25835 . . . 4 ((𝐴(rem1pβ€˜π‘…)𝐢) ∈ π‘ˆ β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(𝐴(rem1pβ€˜π‘…)𝐢)) ∈ ℝ*)
4543, 44syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(𝐴(rem1pβ€˜π‘…)𝐢)) ∈ ℝ*)
4634, 6, 2deg1xrcl 25835 . . . 4 (𝐢 ∈ π‘ˆ β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜πΆ) ∈ ℝ*)
4729, 46syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜πΆ) ∈ ℝ*)
486, 34, 1, 2, 10, 4, 9, 42deg1vscale 25857 . . . 4 (πœ‘ β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(𝐡 Γ— (𝐴(-gβ€˜π‘ƒ)((𝐴 / 𝐢)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐢)))) ≀ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(𝐴(-gβ€˜π‘ƒ)((𝐴 / 𝐢)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐢))))
496, 25, 2, 10, 4ply1ass23l 21969 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐡 ∈ 𝐾 ∧ (𝐴 / 𝐢) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐢 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝐡 Γ— (𝐴 / 𝐢))(.rβ€˜π‘ƒ)𝐢) = (𝐡 Γ— ((𝐴 / 𝐢)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐢)))
501, 9, 22, 29, 49syl13anc 1370 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐡 Γ— (𝐴 / 𝐢))(.rβ€˜π‘ƒ)𝐢) = (𝐡 Γ— ((𝐴 / 𝐢)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐢)))
5150oveq2d 7427 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐡 Γ— 𝐴)(-gβ€˜π‘ƒ)((𝐡 Γ— (𝐴 / 𝐢))(.rβ€˜π‘ƒ)𝐢)) = ((𝐡 Γ— 𝐴)(-gβ€˜π‘ƒ)(𝐡 Γ— ((𝐴 / 𝐢)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐢))))
522, 4, 3, 5, 31, 8, 15, 16, 40lmodsubdi 20673 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐡 Γ— (𝐴(-gβ€˜π‘ƒ)((𝐴 / 𝐢)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐢))) = ((𝐡 Γ— 𝐴)(-gβ€˜π‘ƒ)(𝐡 Γ— ((𝐴 / 𝐢)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐢))))
5351, 52eqtr4d 2773 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐡 Γ— 𝐴)(-gβ€˜π‘ƒ)((𝐡 Γ— (𝐴 / 𝐢))(.rβ€˜π‘ƒ)𝐢)) = (𝐡 Γ— (𝐴(-gβ€˜π‘ƒ)((𝐴 / 𝐢)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐢))))
5453fveq2d 6894 . . . 4 (πœ‘ β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜((𝐡 Γ— 𝐴)(-gβ€˜π‘ƒ)((𝐡 Γ— (𝐴 / 𝐢))(.rβ€˜π‘ƒ)𝐢))) = (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(𝐡 Γ— (𝐴(-gβ€˜π‘ƒ)((𝐴 / 𝐢)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐢)))))
5539fveq2d 6894 . . . 4 (πœ‘ β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(𝐴(rem1pβ€˜π‘…)𝐢)) = (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(𝐴(-gβ€˜π‘ƒ)((𝐴 / 𝐢)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐢))))
5648, 54, 553brtr4d 5179 . . 3 (πœ‘ β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜((𝐡 Γ— 𝐴)(-gβ€˜π‘ƒ)((𝐡 Γ— (𝐴 / 𝐢))(.rβ€˜π‘ƒ)𝐢))) ≀ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(𝐴(rem1pβ€˜π‘…)𝐢)))
5737, 6, 2, 20, 34r1pdeglt 25911 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐢 ∈ 𝑁) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(𝐴(rem1pβ€˜π‘…)𝐢)) < (( deg1 β€˜π‘…)β€˜πΆ))
581, 16, 18, 57syl3anc 1369 . . 3 (πœ‘ β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(𝐴(rem1pβ€˜π‘…)𝐢)) < (( deg1 β€˜π‘…)β€˜πΆ))
5936, 45, 47, 56, 58xrlelttrd 13143 . 2 (πœ‘ β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜((𝐡 Γ— 𝐴)(-gβ€˜π‘ƒ)((𝐡 Γ— (𝐴 / 𝐢))(.rβ€˜π‘ƒ)𝐢))) < (( deg1 β€˜π‘…)β€˜πΆ))
6019, 6, 2, 34, 31, 25, 20q1peqb 25907 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐡 Γ— 𝐴) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐢 ∈ 𝑁) β†’ (((𝐡 Γ— (𝐴 / 𝐢)) ∈ π‘ˆ ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜((𝐡 Γ— 𝐴)(-gβ€˜π‘ƒ)((𝐡 Γ— (𝐴 / 𝐢))(.rβ€˜π‘ƒ)𝐢))) < (( deg1 β€˜π‘…)β€˜πΆ)) ↔ ((𝐡 Γ— 𝐴) / 𝐢) = (𝐡 Γ— (𝐴 / 𝐢))))
6160biimpa 475 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐡 Γ— 𝐴) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐢 ∈ 𝑁) ∧ ((𝐡 Γ— (𝐴 / 𝐢)) ∈ π‘ˆ ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜((𝐡 Γ— 𝐴)(-gβ€˜π‘ƒ)((𝐡 Γ— (𝐴 / 𝐢))(.rβ€˜π‘ƒ)𝐢))) < (( deg1 β€˜π‘…)β€˜πΆ))) β†’ ((𝐡 Γ— 𝐴) / 𝐢) = (𝐡 Γ— (𝐴 / 𝐢)))
621, 17, 18, 23, 59, 61syl32anc 1376 1 (πœ‘ β†’ ((𝐡 Γ— 𝐴) / 𝐢) = (𝐡 Γ— (𝐴 / 𝐢)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253  Basecbs 17148  .rcmulr 17202  Scalarcsca 17204   ·𝑠 cvsca 17205  Grpcgrp 18855  -gcsg 18857  Ringcrg 20127  LModclmod 20614  Poly1cpl1 21920   deg1 cdg1 25804  Unic1pcuc1p 25879  quot1pcq1p 25880  rem1pcr1p 25881
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-prds 17397  df-pws 17399  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-rlreg 21099  df-cnfld 21145  df-psr 21681  df-mvr 21682  df-mpl 21683  df-opsr 21685  df-psr1 21923  df-vr1 21924  df-ply1 21925  df-coe1 21926  df-mdeg 25805  df-deg1 25806  df-uc1p 25884  df-q1p 25885  df-r1p 25886
This theorem is referenced by:  r1pvsca  32950
  Copyright terms: Public domain W3C validator