Theorem lmodfgrp 20832

Description: The scalar component of a left module is an additive group. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
lmodring.1	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lmodfgrp	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)

Proof of Theorem lmodfgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodring.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2	1	lmodring 20831	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
3		ringgrp 20185	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
4	2, 3	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  Scalarcsca 17192  Grpcgrp 18875  Ringcrg 20180  LModclmod 20823

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-nul 5253

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-iota 6456  df-fv 6508  df-ov 7371  df-ring 20182  df-lmod 20825

This theorem is referenced by:  lmodacl  20835  lmodsn0  20837  lmodvneg1  20868  lssvsubcl  20907  lspsnneg  20969  lvecvscan2  21079  lspexch  21096  lspsolvlem  21109  ipsubdir  21609  ipsubdi  21610  ip2eq  21620  ocvlss  21639  lsmcss  21659  islindf4  21805  ascl0  21852  clmfgrp  25039  lmodvslmhm  33143  lflmul  39438  lkrlss  39465  eqlkr  39469  lkrlsp  39472  lshpkrlem1  39480  ldualvsubval  39527  lcfrlem1  41912  lcdvsubval  41988  lmodvsmdi  48733  lincsum  48783  lincsumcl  48785  lincext1  48808  lindslinindsimp1  48811  lindslinindimp2lem1  48812  lindslinindsimp2lem5  48816  ldepsprlem  48826  ldepspr  48827  lincresunit3lem3  48828  lincresunit3lem1  48833  lincresunit3lem2  48834  lincresunit3  48835