Theorem lmodfgrp 20866

Description: The scalar component of a left module is an additive group. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
lmodring.1	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lmodfgrp	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)

Proof of Theorem lmodfgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodring.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2	1	lmodring 20865	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
3		ringgrp 20217	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
4	2, 3	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6492  Scalarcsca 17221  Grpcgrp 18907  Ringcrg 20212  LModclmod 20857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2712  ax-nul 5235

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-dif 3893  df-un 3895  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-iota 6448  df-fv 6500  df-ov 7366  df-ring 20214  df-lmod 20859

This theorem is referenced by:  lmodacl  20869  lmodsn0  20871  lmodvneg1  20902  lssvsubcl  20941  lspsnneg  21003  lvecvscan2  21112  lspexch  21129  lspsolvlem  21142  ipsubdir  21624  ipsubdi  21625  ip2eq  21635  ocvlss  21654  lsmcss  21674  islindf4  21820  ascl0  21866  clmfgrp  25063  lmodvslmhm  33138  lflmul  39567  lkrlss  39594  eqlkr  39598  lkrlsp  39601  lshpkrlem1  39609  ldualvsubval  39656  lcfrlem1  42041  lcdvsubval  42117  lmodvsmdi  48877  lincsum  48927  lincsumcl  48929  lincext1  48952  lindslinindsimp1  48955  lindslinindimp2lem1  48956  lindslinindsimp2lem5  48960  ldepsprlem  48970  ldepspr  48971  lincresunit3lem3  48972  lincresunit3lem1  48977  lincresunit3lem2  48978  lincresunit3  48979