MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodfgrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodfgrp 19572
Description: The scalar component of a left module is an additive group. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
lmodring.1 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lmodfgrp (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)

Proof of Theorem lmodfgrp
StepHypRef Expression
1 lmodring.1 . . 3 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
21lmodring 19571 . 2 (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
3 ringgrp 19231 . 2 (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
42, 3syl 17 1 (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  cfv 6348  Scalarcsca 16556  Grpcgrp 18041  Ringcrg 19226  LModclmod 19563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-nul 5201
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-iota 6307  df-fv 6356  df-ov 7148  df-ring 19228  df-lmod 19565
This theorem is referenced by:  lmodacl  19574  lmodsn0  19576  lmodvneg1  19606  lssvsubcl  19644  lspsnneg  19707  lvecvscan2  19813  lspexch  19830  lspsolvlem  19843  ascl0  20041  ipsubdir  20714  ipsubdi  20715  ip2eq  20725  ocvlss  20744  lsmcss  20764  islindf4  20910  clmfgrp  23602  lmodvslmhm  30615  lflmul  36084  lkrlss  36111  eqlkr  36115  lkrlsp  36118  lshpkrlem1  36126  ldualvsubval  36173  lcfrlem1  38558  lcdvsubval  38634  lmodvsmdi  44358  lincsum  44412  lincsumcl  44414  lincext1  44437  lindslinindsimp1  44440  lindslinindimp2lem1  44441  lindslinindsimp2lem5  44445  ldepsprlem  44455  ldepspr  44456  lincresunit3lem3  44457  lincresunit3lem1  44462  lincresunit3lem2  44463  lincresunit3  44464
  Copyright terms: Public domain W3C validator