Theorem lmodfgrp 20795

Description: The scalar component of a left module is an additive group. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
lmodring.1	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lmodfgrp	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)

Proof of Theorem lmodfgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodring.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2	1	lmodring 20794	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
3		ringgrp 20149	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
4	2, 3	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6477  Scalarcsca 17156  Grpcgrp 18838  Ringcrg 20144  LModclmod 20786

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-ext 2702  ax-nul 5242

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2067  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-dif 3903  df-un 3905  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-br 5090  df-iota 6433  df-fv 6485  df-ov 7344  df-ring 20146  df-lmod 20788

This theorem is referenced by:  lmodacl  20798  lmodsn0  20800  lmodvneg1  20831  lssvsubcl  20870  lspsnneg  20932  lvecvscan2  21042  lspexch  21059  lspsolvlem  21072  ipsubdir  21572  ipsubdi  21573  ip2eq  21583  ocvlss  21602  lsmcss  21622  islindf4  21768  ascl0  21814  clmfgrp  24991  lmodvslmhm  33020  lflmul  39086  lkrlss  39113  eqlkr  39117  lkrlsp  39120  lshpkrlem1  39128  ldualvsubval  39175  lcfrlem1  41560  lcdvsubval  41636  lmodvsmdi  48389  lincsum  48440  lincsumcl  48442  lincext1  48465  lindslinindsimp1  48468  lindslinindimp2lem1  48469  lindslinindsimp2lem5  48473  ldepsprlem  48483  ldepspr  48484  lincresunit3lem3  48485  lincresunit3lem1  48490  lincresunit3lem2  48491  lincresunit3  48492