Theorem lmodgrp 20045

Description: A left module is a group. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
lmodgrp	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)

Proof of Theorem lmodgrp

Dummy variables 𝑟 𝑞 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2738	. . 3 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
3		eqid 2738	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
4		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
5		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
6		eqid 2738	. . 3 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
7		eqid 2738	. . 3 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
8		eqid 2738	. . 3 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	islmod 20042	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ Ring ∧ ∀𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑤(+g‘𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = 𝑤))))
10	9	simp1bi 1143	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  ._rcmulr 16889  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  Grpcgrp 18492  1_rcur 19652  Ringcrg 19698  LModclmod 20038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-nul 5225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-iota 6376  df-fv 6426  df-ov 7258  df-lmod 20040

This theorem is referenced by:  lmodbn0  20048  lmodvacl  20052  lmodass  20053  lmodlcan  20054  lmod0vcl  20067  lmod0vlid  20068  lmod0vrid  20069  lmod0vid  20070  lmodvsmmulgdi  20073  lmodfopne  20076  lmodvnegcl  20079  lmodvnegid  20080  lmodvsubcl  20083  lmodcom  20084  lmodabl  20085  lmodvpncan  20091  lmodvnpcan  20092  lmodsubeq0  20097  lmodsubid  20098  lmodvsghm  20099  lmodprop2d  20100  lsssubg  20134  islss3  20136  lssacs  20144  prdslmodd  20146  lspsnneg  20183  lspsnsub  20184  lmodindp1  20191  lmodvsinv2  20214  islmhm2  20215  0lmhm  20217  idlmhm  20218  pwsdiaglmhm  20234  pwssplit3  20238  lspexch  20306  lspsolvlem  20319  ip0l  20753  ipsubdir  20759  ipsubdi  20760  ip2eq  20770  lsmcss  20809  dsmmlss  20861  frlm0  20871  frlmsubgval  20882  frlmplusgvalb  20886  frlmup1  20915  islindf4  20955  mplind  21188  matgrp  21487  tlmtgp  23255  clmgrp  24137  ncvspi  24225  cphtcphnm  24299  ipcau2  24303  tcphcphlem1  24304  tcphcph  24306  rrxnm  24460  rrxds  24462  pjthlem2  24507  lmodvslmhm  31212  eqgvscpbl  31452  imaslmod  31455  quslmod  31456  linds2eq  31477  lbslsat  31601  lindsunlem  31607  lbsdiflsp0  31609  dimkerim  31610  lclkrlem2m  39460  mapdpglem14  39626  baerlem3lem1  39648  baerlem5amN  39657  baerlem5bmN  39658  baerlem5abmN  39659  mapdh6bN  39678  mapdh6cN  39679  hdmap1l6b  39752  hdmap1l6c  39753  hdmap11  39789  lmodgrpd  40181  lvecgrp  40182  frlmsnic  40188  kercvrlsm  40824  pwssplit4  40830  pwslnmlem2  40834  mendring  40933  zlmodzxzsub  45584  lmodvsmdi  45606  lincvalsng  45645  lincvalsc0  45650  linc0scn0  45652  linc1  45654  lcoel0  45657  lindslinindimp2lem4  45690  snlindsntor  45700  lincresunit3  45710