Theorem lmodgrp 20862

Description: A left module is a group. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
lmodgrp	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)

Proof of Theorem lmodgrp

Dummy variables 𝑟 𝑞 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
3		eqid 2736	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
4		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
5		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
6		eqid 2736	. . 3 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
7		eqid 2736	. . 3 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
8		eqid 2736	. . 3 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	islmod 20859	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ Ring ∧ ∀𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑤(+g‘𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = 𝑤))))
10	9	simp1bi 1146	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  ._rcmulr 17221  Scalarcsca 17223   ·_𝑠 cvsca 17224  Grpcgrp 18909  1_rcur 20162  Ringcrg 20214  LModclmod 20855

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-nul 5241

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-dif 3892  df-un 3894  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-iota 6454  df-fv 6506  df-ov 7370  df-lmod 20857

This theorem is referenced by:  lmodgrpd  20865  lmodbn0  20866  lmodvacl  20870  lmodass  20871  lmodlcan  20872  lmod0vcl  20886  lmod0vlid  20887  lmod0vrid  20888  lmod0vid  20889  lmodvsmmulgdi  20892  lmodfopne  20895  lmodvnegcl  20898  lmodvnegid  20899  lmodvsubcl  20902  lmodcom  20903  lmodabl  20904  lmodvpncan  20910  lmodvnpcan  20911  lmodsubeq0  20916  lmodsubid  20917  lmodvsghm  20918  lmodprop2d  20919  lsssubg  20952  islss3  20954  lssacs  20962  prdslmodd  20964  lspsnneg  21001  lspsnsub  21002  lmodindp1  21009  lmodvsinv2  21032  islmhm2  21033  0lmhm  21035  idlmhm  21036  pwsdiaglmhm  21052  pwssplit3  21056  lspexch  21127  lspsolvlem  21140  ip0l  21616  ipsubdir  21622  ipsubdi  21623  ip2eq  21633  lsmcss  21672  dsmmlss  21724  frlm0  21734  frlmsubgval  21745  frlmplusgvalb  21749  frlmup1  21778  islindf4  21818  mplind  22048  matgrp  22395  tlmtgp  24161  clmgrp  25035  ncvspi  25123  cphtcphnm  25197  ipcau2  25201  tcphcphlem1  25202  tcphcph  25204  rrxnm  25358  rrxds  25360  pjthlem2  25405  lmodvslmhm  33111  eqgvscpbl  33410  imaslmod  33413  quslmod  33418  linds2eq  33441  lbslsat  33760  lindsunlem  33768  lbsdiflsp0  33770  dimkerim  33771  lclkrlem2m  41965  mapdpglem14  42131  baerlem3lem1  42153  baerlem5amN  42162  baerlem5bmN  42163  baerlem5abmN  42164  mapdh6bN  42183  mapdh6cN  42184  hdmap1l6b  42257  hdmap1l6c  42258  hdmap11  42294  frlmsnic  42985  kercvrlsm  43511  pwssplit4  43517  pwslnmlem2  43521  mendring  43616  zlmodzxzsub  48836  lmodvsmdi  48855  lincvalsng  48892  lincvalsc0  48897  linc0scn0  48899  linc1  48901  lcoel0  48904  lindslinindimp2lem4  48937  snlindsntor  48947  lincresunit3  48957