Theorem lmodgrp 20478

Description: A left module is a group. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
lmodgrp	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)

Proof of Theorem lmodgrp

Dummy variables 𝑟 𝑞 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2733	. . 3 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
3		eqid 2733	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
4		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
5		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
6		eqid 2733	. . 3 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
7		eqid 2733	. . 3 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
8		eqid 2733	. . 3 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	islmod 20475	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ Ring ∧ ∀𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑤(+g‘𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = 𝑤))))
10	9	simp1bi 1146	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  +_gcplusg 17197  ._rcmulr 17198  Scalarcsca 17200   ·_𝑠 cvsca 17201  Grpcgrp 18819  1_rcur 20004  Ringcrg 20056  LModclmod 20471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-nul 5307

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-iota 6496  df-fv 6552  df-ov 7412  df-lmod 20473

This theorem is referenced by:  lmodgrpd  20481  lmodbn0  20482  lmodvacl  20486  lmodass  20487  lmodlcan  20488  lmod0vcl  20501  lmod0vlid  20502  lmod0vrid  20503  lmod0vid  20504  lmodvsmmulgdi  20507  lmodfopne  20510  lmodvnegcl  20513  lmodvnegid  20514  lmodvsubcl  20517  lmodcom  20518  lmodabl  20519  lmodvpncan  20525  lmodvnpcan  20526  lmodsubeq0  20531  lmodsubid  20532  lmodvsghm  20533  lmodprop2d  20534  lsssubg  20568  islss3  20570  lssacs  20578  prdslmodd  20580  lspsnneg  20617  lspsnsub  20618  lmodindp1  20625  lmodvsinv2  20648  islmhm2  20649  0lmhm  20651  idlmhm  20652  pwsdiaglmhm  20668  pwssplit3  20672  lspexch  20742  lspsolvlem  20755  ip0l  21189  ipsubdir  21195  ipsubdi  21196  ip2eq  21206  lsmcss  21245  dsmmlss  21299  frlm0  21309  frlmsubgval  21320  frlmplusgvalb  21324  frlmup1  21353  islindf4  21393  mplind  21631  matgrp  21932  tlmtgp  23700  clmgrp  24584  ncvspi  24673  cphtcphnm  24747  ipcau2  24751  tcphcphlem1  24752  tcphcph  24754  rrxnm  24908  rrxds  24910  pjthlem2  24955  lmodvslmhm  32202  eqgvscpbl  32465  imaslmod  32468  quslmod  32469  linds2eq  32497  lbslsat  32701  lindsunlem  32709  lbsdiflsp0  32711  dimkerim  32712  lclkrlem2m  40390  mapdpglem14  40556  baerlem3lem1  40578  baerlem5amN  40587  baerlem5bmN  40588  baerlem5abmN  40589  mapdh6bN  40608  mapdh6cN  40609  hdmap1l6b  40682  hdmap1l6c  40683  hdmap11  40719  frlmsnic  41110  kercvrlsm  41825  pwssplit4  41831  pwslnmlem2  41835  mendring  41934  zlmodzxzsub  47036  lmodvsmdi  47058  lincvalsng  47097  lincvalsc0  47102  linc0scn0  47104  linc1  47106  lcoel0  47109  lindslinindimp2lem4  47142  snlindsntor  47152  lincresunit3  47162