Theorem lmodgrp 20914

Description: A left module is a group. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
lmodgrp	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)

Proof of Theorem lmodgrp

Dummy variables 𝑟 𝑞 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2761	. . 3 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
3		eqid 2761	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
4		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
5		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
6		eqid 2761	. . 3 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
7		eqid 2761	. . 3 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
8		eqid 2761	. . 3 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	islmod 20911	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ Ring ∧ ∀𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑤(+g‘𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = 𝑤))))
10	9	simp1bi 1157	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  Basecbs 17228  +_gcplusg 17269  ._rcmulr 17270  Scalarcsca 17272   ·_𝑠 cvsca 17273  Grpcgrp 18958  1_rcur 20210  Ringcrg 20262  LModclmod 20907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-ext 2733  ax-nul 5255

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-sb 2090  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-dif 3907  df-un 3909  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-iota 6473  df-fv 6525  df-ov 7395  df-lmod 20909

This theorem is referenced by:  lmodgrpd  20917  lmodbn0  20918  lmodvacl  20922  lmodass  20923  lmodlcan  20924  lmod0vcl  20938  lmod0vlid  20939  lmod0vrid  20940  lmod0vid  20941  lmodvsmmulgdi  20944  lmodfopne  20947  lmodvnegcl  20950  lmodvnegid  20951  lmodvsubcl  20954  lmodcom  20955  lmodabl  20956  lmodvpncan  20962  lmodvnpcan  20963  lmodsubeq0  20968  lmodsubid  20969  lmodvsghm  20970  lmodprop2d  20971  lsssubg  21004  islss3  21006  lssacs  21014  prdslmodd  21016  lspsnneg  21053  lspsnsub  21054  lmodindp1  21061  lmodvsinv2  21084  islmhm2  21085  0lmhm  21087  idlmhm  21088  pwsdiaglmhm  21104  pwssplit3  21108  lspexch  21179  lspsolvlem  21192  ip0l  21668  ipsubdir  21674  ipsubdi  21675  ip2eq  21685  lsmcss  21724  dsmmlss  21776  frlm0  21786  frlmsubgval  21797  frlmplusgvalb  21801  frlmup1  21830  islindf4  21870  mplind  22103  matgrp  22470  tlmtgp  24236  clmgrp  25110  ncvspi  25198  cphtcphnm  25272  ipcau2  25276  tcphcphlem1  25277  tcphcph  25279  rrxnm  25433  rrxds  25435  pjthlem2  25480  lmodvslmhm  33191  eqgvscpbl  33497  imaslmod  33500  quslmod  33505  linds2eq  33528  lbslsat  33874  lindsunlem  33882  lbsdiflsp0  33884  dimkerim  33885  lclkrlem2m  42107  mapdpglem14  42273  baerlem3lem1  42295  baerlem5amN  42304  baerlem5bmN  42305  baerlem5abmN  42306  mapdh6bN  42325  mapdh6cN  42326  hdmap1l6b  42399  hdmap1l6c  42400  hdmap11  42436  frlmsnic  43122  kercvrlsm  43624  pwssplit4  43630  pwslnmlem2  43634  mendring  43729  zlmodzxzsub  48946  lmodvsmdi  48965  lincvalsng  49002  lincvalsc0  49007  linc0scn0  49009  linc1  49011  lcoel0  49014  lindslinindimp2lem4  49047  snlindsntor  49057  lincresunit3  49067