Theorem lmodbn0 21021

Description: The base set of a left module is nonempty. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
lmodbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lmodbn0	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem lmodbn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodgrp 21017	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
2		lmodbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3	2	grpbn0 19056	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)
4	1, 3	syl 18	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐵 ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∅c0 4286  ‘cfv 6540  Basecbs 17286  Grpcgrp 19023  LModclmod 21010

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-0g 17511  df-mgm 18715  df-sgrp 18798  df-mnd 18814  df-grp 19026  df-lmod 21012

This theorem is used by:  lmodfopnelem1  21048  lss1  21088  lmod0rng  49027