MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodbn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodbn0 20285
Description: The base set of a left module is nonempty. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
lmodbn0.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lmodbn0 (𝑊 ∈ LMod → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem lmodbn0
StepHypRef Expression
1 lmodgrp 20282 . 2 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
2 lmodbn0.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑊)
32grpbn0 18739 . 2 (𝑊 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)
41, 3syl 17 1 (𝑊 ∈ LMod → 𝐵 ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2942  c0 4281  cfv 6494  Basecbs 17043  Grpcgrp 18708  LModclmod 20275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pr 5383
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5530  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fv 6502  df-riota 7308  df-ov 7355  df-0g 17283  df-mgm 18457  df-sgrp 18506  df-mnd 18517  df-grp 18711  df-lmod 20277
This theorem is referenced by:  lmodfopnelem1  20311  lss1  20352  lmod0rng  46061
  Copyright terms: Public domain W3C validator