Theorem lmodbn0 20891

Description: The base set of a left module is nonempty. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
lmodbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lmodbn0	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem lmodbn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodgrp 20887	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
2		lmodbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3	2	grpbn0 19006	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)
4	1, 3	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐵 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∅c0 4352  ‘cfv 6573  Basecbs 17258  Grpcgrp 18973  LModclmod 20880

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-lmod 20882

This theorem is referenced by:  lmodfopnelem1  20918  lss1  20959  lmod0rng  47952