Theorem imaslmhm 33377

Description: Given a function 𝐹 with homomorphic properties, build the image of a left module. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
imasmhm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
imasmhm.1	⊢ + = (+g‘𝑊)
imasmhm.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))))
imaslmhm.1	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
imaslmhm.2	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
imaslmhm.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏) → (𝐹‘(𝑘 × 𝑎)) = (𝐹‘(𝑘 × 𝑏))))
imaslmhm.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
imaslmhm.4	⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
imaslmhm	⊢ (𝜑 → ((𝐹 “s 𝑊) ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (𝑊 LMHom (𝐹 “s 𝑊))))

Distinct variable groups:   + ,𝑏,𝑘,𝑝,𝑞   × ,𝑏,𝑘,𝑝,𝑞   𝐵,𝑎,𝑏,𝑘,𝑝,𝑞   𝐹,𝑎,𝑏,𝑘,𝑝,𝑞   𝐾,𝑎,𝑏,𝑘   𝑊,𝑎,𝑏,𝑘,𝑝,𝑞   𝜑,𝑎,𝑞,𝑏,𝑘,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑘,𝑞,𝑝,𝑎,𝑏)   𝐷(𝑘,𝑞,𝑝,𝑎,𝑏)   + (𝑎)   × (𝑎)   𝐾(𝑞,𝑝)

Proof of Theorem imaslmhm

Dummy variables 𝑥 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2737	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “s 𝑊) = (𝐹 “s 𝑊))
2		imasmhm.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3		imaslmhm.2	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
4		imaslmhm.1	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
5	4	fveq2i 6884	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
6	3, 5	eqtri 2759	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑊))
7		imasmhm.1	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑊)
8		imaslmhm.4	. . 3 ⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑊)
9		eqid 2736	. . 3 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
10		imasmhm.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
11		fimadmfo 6804	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐵⟶𝐶 → 𝐹:𝐵–onto→(𝐹 “ 𝐵))
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–onto→(𝐹 “ 𝐵))
13		imasmhm.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))))
14		imaslmhm.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏) → (𝐹‘(𝑘 × 𝑎)) = (𝐹‘(𝑘 × 𝑏))))
15		imaslmhm.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
16	1, 2, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 14, 15	imaslmod 33373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “s 𝑊) ∈ LMod)
17		eqid 2736	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘(𝐹 “s 𝑊)) = ( ·𝑠 ‘(𝐹 “s 𝑊))
18		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Scalar‘(𝐹 “s 𝑊)) = (Scalar‘(𝐹 “s 𝑊))
19	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑊))
20	1, 19, 12, 15, 4	imassca 17538	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (Scalar‘(𝐹 “s 𝑊)))
21	20	eqcomd 2742	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘(𝐹 “s 𝑊)) = 𝐷)
22	15	lmodgrpd 20832	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
23	2, 10, 7, 13, 22	imasghm 33375	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “s 𝑊) ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ (𝑊 GrpHom (𝐹 “s 𝑊))))
24	23	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑊 GrpHom (𝐹 “s 𝑊)))
25	1, 19, 12, 15, 4, 3, 8, 17, 14	imasvscaval 17557	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑢( ·𝑠 ‘(𝐹 “s 𝑊))(𝐹‘𝑥)) = (𝐹‘(𝑢 × 𝑥)))
26	25	3expb 1120	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (𝑢( ·𝑠 ‘(𝐹 “s 𝑊))(𝐹‘𝑥)) = (𝐹‘(𝑢 × 𝑥)))
27	26	eqcomd 2742	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑢 × 𝑥)) = (𝑢( ·𝑠 ‘(𝐹 “s 𝑊))(𝐹‘𝑥)))
28	2, 8, 17, 4, 18, 3, 15, 16, 21, 24, 27	islmhmd 21002	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑊 LMHom (𝐹 “s 𝑊)))
29	16, 28	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “s 𝑊) ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (𝑊 LMHom (𝐹 “s 𝑊))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   “ cima 5662  ⟶wf 6532  –onto→wfo 6534  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17233  +_gcplusg 17276  Scalarcsca 17279   ·_𝑠 cvsca 17280  0_gc0g 17458   “_s cimas 17523  Grpcgrp 18921   GrpHom cghm 19200  LModclmod 20822   LMHom clmhm 20982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-fz 13530  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-0g 17460  df-imas 17527  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-ghm 19201  df-mgp 20106  df-ur 20147  df-ring 20200  df-lmod 20824  df-lmhm 20985

This theorem is referenced by:  r1plmhm  33624