Theorem imaslmhm 33677

Description: Given a function 𝐹 with homomorphic properties, build the image of a left module. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
imasmhm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
imasmhm.1	⊢ + = (+g‘𝑊)
imasmhm.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))))
imaslmhm.1	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
imaslmhm.2	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
imaslmhm.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏) → (𝐹‘(𝑘 × 𝑎)) = (𝐹‘(𝑘 × 𝑏))))
imaslmhm.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
imaslmhm.4	⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
imaslmhm	⊢ (𝜑 → ((𝐹 “s 𝑊) ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (𝑊 LMHom (𝐹 “s 𝑊))))

Distinct variable groups:   + ,𝑏,𝑘,𝑝,𝑞   × ,𝑏,𝑘,𝑝,𝑞   𝐵,𝑎,𝑏,𝑘,𝑝,𝑞   𝐹,𝑎,𝑏,𝑘,𝑝,𝑞   𝐾,𝑎,𝑏,𝑘   𝑊,𝑎,𝑏,𝑘,𝑝,𝑞   𝜑,𝑎,𝑞,𝑏,𝑘,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑘,𝑞,𝑝,𝑎,𝑏)   𝐷(𝑘,𝑞,𝑝,𝑎,𝑏)   + (𝑎)   × (𝑎)   𝐾(𝑞,𝑝)

Proof of Theorem imaslmhm

Dummy variables 𝑥 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2764	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “s 𝑊) = (𝐹 “s 𝑊))
2		imasmhm.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3		imaslmhm.2	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
4		imaslmhm.1	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
5	4	fveq2i 6884	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
6	3, 5	eqtri 2786	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑊))
7		imasmhm.1	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑊)
8		imaslmhm.4	. . 3 ⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑊)
9		eqid 2763	. . 3 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
10		imasmhm.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
11		fimadmfo 6801	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐵⟶𝐶 → 𝐹:𝐵–onto→(𝐹 “ 𝐵))
12	10, 11	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–onto→(𝐹 “ 𝐵))
13		imasmhm.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))))
14		imaslmhm.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏) → (𝐹‘(𝑘 × 𝑎)) = (𝐹‘(𝑘 × 𝑏))))
15		imaslmhm.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
16	1, 2, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 14, 15	imaslmod 33673	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “s 𝑊) ∈ LMod)
17		eqid 2763	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘(𝐹 “s 𝑊)) = ( ·𝑠 ‘(𝐹 “s 𝑊))
18		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Scalar‘(𝐹 “s 𝑊)) = (Scalar‘(𝐹 “s 𝑊))
19	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑊))
20	1, 19, 12, 15, 4	imassca 17568	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (Scalar‘(𝐹 “s 𝑊)))
21	20	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘(𝐹 “s 𝑊)) = 𝐷)
22	15	lmodgrpd 20991	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
23	2, 10, 7, 13, 22	imasghm 33675	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “s 𝑊) ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ (𝑊 GrpHom (𝐹 “s 𝑊))))
24	23	simprd 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑊 GrpHom (𝐹 “s 𝑊)))
25	1, 19, 12, 15, 4, 3, 8, 17, 14	imasvscaval 17587	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑢( ·𝑠 ‘(𝐹 “s 𝑊))(𝐹‘𝑥)) = (𝐹‘(𝑢 × 𝑥)))
26	25	3expb 1138	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (𝑢( ·𝑠 ‘(𝐹 “s 𝑊))(𝐹‘𝑥)) = (𝐹‘(𝑢 × 𝑥)))
27	26	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑢 × 𝑥)) = (𝑢( ·𝑠 ‘(𝐹 “s 𝑊))(𝐹‘𝑥)))
28	2, 8, 17, 4, 18, 3, 15, 16, 21, 24, 27	islmhmd 21160	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑊 LMHom (𝐹 “s 𝑊)))
29	16, 28	jca 520	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “s 𝑊) ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (𝑊 LMHom (𝐹 “s 𝑊))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   “ cima 5664  ⟶wf 6532  –onto→wfo 6534  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264  +_gcplusg 17305  Scalarcsca 17308   ·_𝑠 cvsca 17309  0_gc0g 17487   “_s cimas 17553  Grpcgrp 18995   GrpHom cghm 19278  LModclmod 20981   LMHom clmhm 21140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-fz 13531  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-0g 17489  df-imas 17557  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-ghm 19279  df-mgp 20212  df-ur 20259  df-ring 20312  df-lmod 20983  df-lmhm 21143

This theorem is referenced by:  r1plmhm  33899