Theorem imaslmhm 34022

Description: Given a function 𝐹 with homomorphic properties, build the image of a left module. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
imasmhm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
imasmhm.1	⊢ + = (+g‘𝑊)
imasmhm.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))))
imaslmhm.1	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
imaslmhm.2	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
imaslmhm.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏) → (𝐹‘(𝑘 × 𝑎)) = (𝐹‘(𝑘 × 𝑏))))
imaslmhm.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
imaslmhm.4	⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
imaslmhm	⊢ (𝜑 → ((𝐹 “s 𝑊) ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (𝑊 LMHom (𝐹 “s 𝑊))))

Distinct variable groups:   + ,𝑏,𝑘,𝑝,𝑞   × ,𝑏,𝑘,𝑝,𝑞   𝐵,𝑎,𝑏,𝑘,𝑝,𝑞   𝐹,𝑎,𝑏,𝑘,𝑝,𝑞   𝐾,𝑎,𝑏,𝑘   𝑊,𝑎,𝑏,𝑘,𝑝,𝑞   𝜑,𝑎,𝑞,𝑏,𝑘,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑘, 𝑞, 𝑝, 𝑎, 𝑏)   𝐷(𝑘, 𝑞, 𝑝, 𝑎, 𝑏)   + (𝑎)   × (𝑎)   𝐾(𝑞, 𝑝)

Proof of Theorem imaslmhm

Dummy variables 𝑥 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2764	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “s 𝑊) = (𝐹 “s 𝑊))
2		imasmhm.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3		imaslmhm.2	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
4		imaslmhm.1	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
5	4	fveq2i 6919	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
6	3, 5	eqtri 2786	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑊))
7		imasmhm.1	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑊)
8		imaslmhm.4	. . 3 ⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑊)
9		eqid 2763	. . 3 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
10		imasmhm.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
11		fimadmfo 6835	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐵⟶𝐶 → 𝐹:𝐵⟶onto(𝐹 “ 𝐵))
12	10, 11	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶onto(𝐹 “ 𝐵))
13		imasmhm.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))))
14		imaslmhm.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏) → (𝐹‘(𝑘 × 𝑎)) = (𝐹‘(𝑘 × 𝑏))))
15		imaslmhm.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
16	1, 2, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 14, 15	imaslmod 34018	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “s 𝑊) ∈ LMod)
17		eqid 2763	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘(𝐹 “s 𝑊)) = ( ·𝑠 ‘(𝐹 “s 𝑊))
18		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Scalar‘(𝐹 “s 𝑊)) = (Scalar‘(𝐹 “s 𝑊))
19	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑊))
20	1, 19, 12, 15, 4	imassca 17741	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (Scalar‘(𝐹 “s 𝑊)))
21	20	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘(𝐹 “s 𝑊)) = 𝐷)
22	15	lmodgrpd 21196	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
23	2, 10, 7, 13, 22	imasghm 34020	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “s 𝑊) ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ (𝑊 GrpHom (𝐹 “s 𝑊))))
24	23	simprd 501	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑊 GrpHom (𝐹 “s 𝑊)))
25	1, 19, 12, 15, 4, 3, 8, 17, 14	imasvscaval 17760	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑢( ·𝑠 ‘(𝐹 “s 𝑊))(𝐹‘𝑥)) = (𝐹‘(𝑢 × 𝑥)))
26	25	3expb 1138	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (𝑢( ·𝑠 ‘(𝐹 “s 𝑊))(𝐹‘𝑥)) = (𝐹‘(𝑢 × 𝑥)))
27	26	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑢 × 𝑥)) = (𝑢( ·𝑠 ‘(𝐹 “s 𝑊))(𝐹‘𝑥)))
28	2, 8, 17, 4, 18, 3, 15, 16, 21, 24, 27	islmhmd 21365	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑊 LMHom (𝐹 “s 𝑊)))
29	16, 28	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “s 𝑊) ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (𝑊 LMHom (𝐹 “s 𝑊))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   “ cima 5661  ⟶wf 6562  ⟶ontowfo 6564  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431  +_gcplusg 17472  Scalarcsca 17475   ·_𝑠 cvsca 17476  0_gc0g 17660   “_s cimas 17726  Grpcgrp 19194   GrpHom cghm 19477  LModclmod 21186   LMHom clmhm 21345

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-fz 13680  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-0g 17662  df-imas 17730  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-ghm 19478  df-mgp 20412  df-ur 20459  df-ring 20512  df-lmod 21188  df-lmhm 21348

This theorem is used by:  r1plmhm  34246