Theorem imaslmhm 33686

Description: Given a function 𝐹 with homomorphic properties, build the image of a left module. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
imasmhm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
imasmhm.1	⊢ + = (+g‘𝑊)
imasmhm.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))))
imaslmhm.1	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
imaslmhm.2	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
imaslmhm.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏) → (𝐹‘(𝑘 × 𝑎)) = (𝐹‘(𝑘 × 𝑏))))
imaslmhm.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
imaslmhm.4	⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
imaslmhm	⊢ (𝜑 → ((𝐹 “s 𝑊) ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (𝑊 LMHom (𝐹 “s 𝑊))))

Distinct variable groups:   + ,𝑏,𝑘,𝑝,𝑞   × ,𝑏,𝑘,𝑝,𝑞   𝐵,𝑎,𝑏,𝑘,𝑝,𝑞   𝐹,𝑎,𝑏,𝑘,𝑝,𝑞   𝐾,𝑎,𝑏,𝑘   𝑊,𝑎,𝑏,𝑘,𝑝,𝑞   𝜑,𝑎,𝑞,𝑏,𝑘,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑘, 𝑞, 𝑝, 𝑎, 𝑏)   𝐷(𝑘, 𝑞, 𝑝, 𝑎, 𝑏)   + (𝑎)   × (𝑎)   𝐾(𝑞, 𝑝)

Proof of Theorem imaslmhm

Dummy variables 𝑥 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2763	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “s 𝑊) = (𝐹 “s 𝑊))
2		imasmhm.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3		imaslmhm.2	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
4		imaslmhm.1	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
5	4	fveq2i 6884	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
6	3, 5	eqtri 2785	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑊))
7		imasmhm.1	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑊)
8		imaslmhm.4	. . 3 ⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑊)
9		eqid 2762	. . 3 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
10		imasmhm.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
11		fimadmfo 6801	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐵⟶𝐶 → 𝐹:𝐵–onto→(𝐹 “ 𝐵))
12	10, 11	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–onto→(𝐹 “ 𝐵))
13		imasmhm.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))))
14		imaslmhm.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏) → (𝐹‘(𝑘 × 𝑎)) = (𝐹‘(𝑘 × 𝑏))))
15		imaslmhm.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
16	1, 2, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 14, 15	imaslmod 33682	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “s 𝑊) ∈ LMod)
17		eqid 2762	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘(𝐹 “s 𝑊)) = ( ·𝑠 ‘(𝐹 “s 𝑊))
18		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Scalar‘(𝐹 “s 𝑊)) = (Scalar‘(𝐹 “s 𝑊))
19	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑊))
20	1, 19, 12, 15, 4	imassca 17579	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (Scalar‘(𝐹 “s 𝑊)))
21	20	eqcomd 2768	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘(𝐹 “s 𝑊)) = 𝐷)
22	15	lmodgrpd 21002	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
23	2, 10, 7, 13, 22	imasghm 33684	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “s 𝑊) ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ (𝑊 GrpHom (𝐹 “s 𝑊))))
24	23	simprd 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑊 GrpHom (𝐹 “s 𝑊)))
25	1, 19, 12, 15, 4, 3, 8, 17, 14	imasvscaval 17598	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑢( ·𝑠 ‘(𝐹 “s 𝑊))(𝐹‘𝑥)) = (𝐹‘(𝑢 × 𝑥)))
26	25	3expb 1137	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (𝑢( ·𝑠 ‘(𝐹 “s 𝑊))(𝐹‘𝑥)) = (𝐹‘(𝑢 × 𝑥)))
27	26	eqcomd 2768	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑢 × 𝑥)) = (𝑢( ·𝑠 ‘(𝐹 “s 𝑊))(𝐹‘𝑥)))
28	2, 8, 17, 4, 18, 3, 15, 16, 21, 24, 27	islmhmd 21171	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑊 LMHom (𝐹 “s 𝑊)))
29	16, 28	jca 520	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “s 𝑊) ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (𝑊 LMHom (𝐹 “s 𝑊))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   “ cima 5663  ⟶wf 6532  –onto→wfo 6534  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  Basecbs 17275  +_gcplusg 17316  Scalarcsca 17319   ·_𝑠 cvsca 17320  0_gc0g 17498   “_s cimas 17564  Grpcgrp 19006   GrpHom cghm 19289  LModclmod 20992   LMHom clmhm 21151

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-er 8692  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-fz 13542  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-ip 17334  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ds 17338  df-0g 17500  df-imas 17568  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-ghm 19290  df-mgp 20223  df-ur 20270  df-ring 20323  df-lmod 20994  df-lmhm 21154

This theorem is used by:  r1plmhm  33908