Theorem imaslmhm 33365

Description: Given a function 𝐹 with homomorphic properties, build the image of a left module. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
imasmhm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
imasmhm.1	⊢ + = (+g‘𝑊)
imasmhm.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))))
imaslmhm.1	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
imaslmhm.2	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
imaslmhm.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏) → (𝐹‘(𝑘 × 𝑎)) = (𝐹‘(𝑘 × 𝑏))))
imaslmhm.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
imaslmhm.4	⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
imaslmhm	⊢ (𝜑 → ((𝐹 “s 𝑊) ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (𝑊 LMHom (𝐹 “s 𝑊))))

Distinct variable groups:   + ,𝑏,𝑘,𝑝,𝑞   × ,𝑏,𝑘,𝑝,𝑞   𝐵,𝑎,𝑏,𝑘,𝑝,𝑞   𝐹,𝑎,𝑏,𝑘,𝑝,𝑞   𝐾,𝑎,𝑏,𝑘   𝑊,𝑎,𝑏,𝑘,𝑝,𝑞   𝜑,𝑎,𝑞,𝑏,𝑘,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑘,𝑞,𝑝,𝑎,𝑏)   𝐷(𝑘,𝑞,𝑝,𝑎,𝑏)   + (𝑎)   × (𝑎)   𝐾(𝑞,𝑝)

Proof of Theorem imaslmhm

Dummy variables 𝑥 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2736	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “s 𝑊) = (𝐹 “s 𝑊))
2		imasmhm.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3		imaslmhm.2	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
4		imaslmhm.1	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
5	4	fveq2i 6910	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
6	3, 5	eqtri 2763	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑊))
7		imasmhm.1	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑊)
8		imaslmhm.4	. . 3 ⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑊)
9		eqid 2735	. . 3 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
10		imasmhm.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
11		fimadmfo 6830	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐵⟶𝐶 → 𝐹:𝐵–onto→(𝐹 “ 𝐵))
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–onto→(𝐹 “ 𝐵))
13		imasmhm.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))))
14		imaslmhm.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏) → (𝐹‘(𝑘 × 𝑎)) = (𝐹‘(𝑘 × 𝑏))))
15		imaslmhm.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
16	1, 2, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 14, 15	imaslmod 33361	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “s 𝑊) ∈ LMod)
17		eqid 2735	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘(𝐹 “s 𝑊)) = ( ·𝑠 ‘(𝐹 “s 𝑊))
18		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Scalar‘(𝐹 “s 𝑊)) = (Scalar‘(𝐹 “s 𝑊))
19	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑊))
20	1, 19, 12, 15, 4	imassca 17566	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (Scalar‘(𝐹 “s 𝑊)))
21	20	eqcomd 2741	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘(𝐹 “s 𝑊)) = 𝐷)
22	15	lmodgrpd 20885	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
23	2, 10, 7, 13, 22	imasghm 33363	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “s 𝑊) ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ (𝑊 GrpHom (𝐹 “s 𝑊))))
24	23	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑊 GrpHom (𝐹 “s 𝑊)))
25	1, 19, 12, 15, 4, 3, 8, 17, 14	imasvscaval 17585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑢( ·𝑠 ‘(𝐹 “s 𝑊))(𝐹‘𝑥)) = (𝐹‘(𝑢 × 𝑥)))
26	25	3expb 1119	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (𝑢( ·𝑠 ‘(𝐹 “s 𝑊))(𝐹‘𝑥)) = (𝐹‘(𝑢 × 𝑥)))
27	26	eqcomd 2741	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑢 × 𝑥)) = (𝑢( ·𝑠 ‘(𝐹 “s 𝑊))(𝐹‘𝑥)))
28	2, 8, 17, 4, 18, 3, 15, 16, 21, 24, 27	islmhmd 21056	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑊 LMHom (𝐹 “s 𝑊)))
29	16, 28	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “s 𝑊) ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (𝑊 LMHom (𝐹 “s 𝑊))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   “ cima 5692  ⟶wf 6559  –onto→wfo 6561  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298  Scalarcsca 17301   ·_𝑠 cvsca 17302  0_gc0g 17486   “_s cimas 17551  Grpcgrp 18964   GrpHom cghm 19243  LModclmod 20875   LMHom clmhm 21036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-0g 17488  df-imas 17555  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-ghm 19244  df-mgp 20153  df-ur 20200  df-ring 20253  df-lmod 20877  df-lmhm 21039

This theorem is referenced by:  r1plmhm  33610