Theorem opcon2b 40234

Description: Orthocomplement contraposition law. (negcon2 11604 analog.) (Contributed by NM, 16-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
opoccl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
opoccl.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
opcon2b	⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 = ( ⊥ ‘𝑌) ↔ 𝑌 = ( ⊥ ‘𝑋)))

Proof of Theorem opcon2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opoccl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		opoccl.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
3	1, 2	opoccl 40231	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
4	3	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
5	1, 2	opcon3b 40233	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 = ( ⊥ ‘𝑌) ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) = ( ⊥ ‘𝑋)))
6	4, 5	syld3an3 1436	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 = ( ⊥ ‘𝑌) ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) = ( ⊥ ‘𝑋)))
7	1, 2	opococ 40232	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) = 𝑌)
8	7	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) = 𝑌)
9	8	eqeq1d 2763	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) = ( ⊥ ‘𝑋) ↔ 𝑌 = ( ⊥ ‘𝑋)))
10	6, 9	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 = ( ⊥ ‘𝑌) ↔ 𝑌 = ( ⊥ ‘𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  Basecbs 17380  occoc 17429  OPcops 40209

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-nul 5260

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-dm 5661  df-iota 6493  df-fv 6545  df-ov 7421  df-oposet 40213

This theorem is used by:  opcon1b  40235  riotaocN  40246  glbconxN  40415