Theorem opoccl 39303

Description: Closure of orthocomplement operation. (choccl 31286 analog.) (Contributed by NM, 20-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
opoccl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
opoccl.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
opoccl	⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem opoccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opoccl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		opoccl.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
4		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
5		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
6		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
7		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	oposlem 39291	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ (𝑋(le‘𝐾)𝑋 → ( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)( ⊥ ‘𝑋))) ∧ (𝑋(join‘𝐾)( ⊥ ‘𝑋)) = (1.‘𝐾) ∧ (𝑋(meet‘𝐾)( ⊥ ‘𝑋)) = (0.‘𝐾)))
9	8	3anidm23 1423	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ (𝑋(le‘𝐾)𝑋 → ( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)( ⊥ ‘𝑋))) ∧ (𝑋(join‘𝐾)( ⊥ ‘𝑋)) = (1.‘𝐾) ∧ (𝑋(meet‘𝐾)( ⊥ ‘𝑋)) = (0.‘𝐾)))
10	9	simp1d 1142	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ (𝑋(le‘𝐾)𝑋 → ( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)( ⊥ ‘𝑋))))
11	10	simp1d 1142	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  lecple 17168  occoc 17169  joincjn 18217  meetcmee 18218  0.cp0 18327  1.cp1 18328  OPcops 39281

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-nul 5242

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-dm 5624  df-iota 6437  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oposet 39285

This theorem is referenced by:  opcon2b  39306  oplecon3b  39309  oplecon1b  39310  opoc1  39311  opltcon3b  39313  opltcon1b  39314  opltcon2b  39315  riotaocN  39318  oldmm1  39326  oldmm2  39327  oldmm3N  39328  oldmm4  39329  oldmj1  39330  oldmj2  39331  oldmj3  39332  oldmj4  39333  olm11  39336  latmassOLD  39338  omllaw2N  39353  omllaw4  39355  cmtcomlemN  39357  cmt2N  39359  cmt3N  39360  cmt4N  39361  cmtbr2N  39362  cmtbr3N  39363  cmtbr4N  39364  lecmtN  39365  omlfh1N  39367  omlfh3N  39368  omlspjN  39370  cvrcon3b  39386  cvrcmp2  39393  atlatmstc  39428  glbconN  39486  glbconxN  39487  cvrexch  39529  1cvrco  39581  1cvratex  39582  1cvrjat  39584  polval2N  40015  polsubN  40016  2polpmapN  40022  2polvalN  40023  poldmj1N  40037  pmapj2N  40038  polatN  40040  2polatN  40041  pnonsingN  40042  ispsubcl2N  40056  polsubclN  40061  poml4N  40062  pmapojoinN  40077  pl42lem1N  40088  lhpoc2N  40124  lhpocnle  40125  lhpmod2i2  40147  lhpmod6i1  40148  lhprelat3N  40149  trlcl  40273  trlle  40293  docaclN  41233  doca2N  41235  djajN  41246  dih1  41395  dih1dimatlem  41438  dochcl  41462  dochvalr3  41472  doch2val2  41473  dochss  41474  dochocss  41475  dochoc  41476  dochnoncon  41500  djhlj  41510