Theorem opoccl 37869

Description: Closure of orthocomplement operation. (choccl 30422 analog.) (Contributed by NM, 20-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
opoccl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
opoccl.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
opoccl	⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem opoccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opoccl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		opoccl.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
4		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
5		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
6		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
7		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	oposlem 37857	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ (𝑋(le‘𝐾)𝑋 → ( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)( ⊥ ‘𝑋))) ∧ (𝑋(join‘𝐾)( ⊥ ‘𝑋)) = (1.‘𝐾) ∧ (𝑋(meet‘𝐾)( ⊥ ‘𝑋)) = (0.‘𝐾)))
9	8	3anidm23 1421	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ (𝑋(le‘𝐾)𝑋 → ( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)( ⊥ ‘𝑋))) ∧ (𝑋(join‘𝐾)( ⊥ ‘𝑋)) = (1.‘𝐾) ∧ (𝑋(meet‘𝐾)( ⊥ ‘𝑋)) = (0.‘𝐾)))
10	9	simp1d 1142	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ (𝑋(le‘𝐾)𝑋 → ( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)( ⊥ ‘𝑋))))
11	10	simp1d 1142	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5141  ‘cfv 6532  (class class class)co 7393  Basecbs 17126  lecple 17186  occoc 17187  joincjn 18246  meetcmee 18247  0.cp0 18358  1.cp1 18359  OPcops 37847

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2702  ax-nul 5299

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-br 5142  df-dm 5679  df-iota 6484  df-fv 6540  df-ov 7396  df-oposet 37851

This theorem is referenced by:  opcon2b  37872  oplecon3b  37875  oplecon1b  37876  opoc1  37877  opltcon3b  37879  opltcon1b  37880  opltcon2b  37881  riotaocN  37884  oldmm1  37892  oldmm2  37893  oldmm3N  37894  oldmm4  37895  oldmj1  37896  oldmj2  37897  oldmj3  37898  oldmj4  37899  olm11  37902  latmassOLD  37904  omllaw2N  37919  omllaw4  37921  cmtcomlemN  37923  cmt2N  37925  cmt3N  37926  cmt4N  37927  cmtbr2N  37928  cmtbr3N  37929  cmtbr4N  37930  lecmtN  37931  omlfh1N  37933  omlfh3N  37934  omlspjN  37936  cvrcon3b  37952  cvrcmp2  37959  atlatmstc  37994  glbconN  38052  glbconNOLD  38053  glbconxN  38054  cvrexch  38096  1cvrco  38148  1cvratex  38149  1cvrjat  38151  polval2N  38582  polsubN  38583  2polpmapN  38589  2polvalN  38590  poldmj1N  38604  pmapj2N  38605  polatN  38607  2polatN  38608  pnonsingN  38609  ispsubcl2N  38623  polsubclN  38628  poml4N  38629  pmapojoinN  38644  pl42lem1N  38655  lhpoc2N  38691  lhpocnle  38692  lhpmod2i2  38714  lhpmod6i1  38715  lhprelat3N  38716  trlcl  38840  trlle  38860  docaclN  39800  doca2N  39802  djajN  39813  dih1  39962  dih1dimatlem  40005  dochcl  40029  dochvalr3  40039  doch2val2  40040  dochss  40041  dochocss  40042  dochoc  40043  dochnoncon  40067  djhlj  40077