Theorem opoccl 40517

Description: Closure of orthocomplement operation. (choccl 31965 analog.) (Contributed by NM, 20-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
opoccl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
opoccl.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
opoccl	⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem opoccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opoccl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		opoccl.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
4		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
5		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
6		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
7		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	oposlem 40505	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ (𝑋(le‘𝐾)𝑋 → ( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)( ⊥ ‘𝑋))) ∧ (𝑋(join‘𝐾)( ⊥ ‘𝑋)) = (1.‘𝐾) ∧ (𝑋(meet‘𝐾)( ⊥ ‘𝑋)) = (0.‘𝐾)))
9	8	3anidm23 1449	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ (𝑋(le‘𝐾)𝑋 → ( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)( ⊥ ‘𝑋))) ∧ (𝑋(join‘𝐾)( ⊥ ‘𝑋)) = (1.‘𝐾) ∧ (𝑋(meet‘𝐾)( ⊥ ‘𝑋)) = (0.‘𝐾)))
10	9	simp1d 1160	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ (𝑋(le‘𝐾)𝑋 → ( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)( ⊥ ‘𝑋))))
11	10	simp1d 1160	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431  lecple 17479  occoc 17480  joincjn 18535  meetcmee 18536  0.cp0 18645  1.cp1 18646  OPcops 40495

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-nul 5266

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-dm 5668  df-iota 6520  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oposet 40499

This theorem is used by:  opcon2b  40520  oplecon3b  40523  oplecon1b  40524  opoc1  40525  opltcon3b  40527  opltcon1b  40528  opltcon2b  40529  riotaocN  40532  oldmm1  40540  oldmm2  40541  oldmm3N  40542  oldmm4  40543  oldmj1  40544  oldmj2  40545  oldmj3  40546  oldmj4  40547  olm11  40550  latmassOLD  40552  omllaw2N  40567  omllaw4  40569  cmtcomlemN  40571  cmt2N  40573  cmt3N  40574  cmt4N  40575  cmtbr2N  40576  cmtbr3N  40577  cmtbr4N  40578  lecmtN  40579  omlfh1N  40581  omlfh3N  40582  omlspjN  40584  cvrcon3b  40600  cvrcmp2  40607  atlatmstc  40642  glbconN  40700  glbconxN  40701  cvrexch  40743  1cvrco  40795  1cvratex  40796  1cvrjat  40798  polval2N  41229  polsubN  41230  2polpmapN  41236  2polvalN  41237  poldmj1N  41251  pmapj2N  41252  polatN  41254  2polatN  41255  pnonsingN  41256  ispsubcl2N  41270  polsubclN  41275  poml4N  41276  pmapojoinN  41291  pl42lem1N  41302  lhpoc2N  41338  lhpocnle  41339  lhpmod2i2  41361  lhpmod6i1  41362  lhprelat3N  41363  trlcl  41487  trlle  41507  docaclN  42447  doca2N  42449  djajN  42460  dih1  42609  dih1dimatlem  42652  dochcl  42676  dochvalr3  42686  doch2val2  42687  dochss  42688  dochocss  42689  dochoc  42690  dochnoncon  42714  djhlj  42724