Theorem opoccl 37135

Description: Closure of orthocomplement operation. (choccl 29569 analog.) (Contributed by NM, 20-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
opoccl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
opoccl.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
opoccl	⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem opoccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opoccl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		opoccl.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
4		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
5		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
6		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
7		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	oposlem 37123	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ (𝑋(le‘𝐾)𝑋 → ( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)( ⊥ ‘𝑋))) ∧ (𝑋(join‘𝐾)( ⊥ ‘𝑋)) = (1.‘𝐾) ∧ (𝑋(meet‘𝐾)( ⊥ ‘𝑋)) = (0.‘𝐾)))
9	8	3anidm23 1419	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ (𝑋(le‘𝐾)𝑋 → ( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)( ⊥ ‘𝑋))) ∧ (𝑋(join‘𝐾)( ⊥ ‘𝑋)) = (1.‘𝐾) ∧ (𝑋(meet‘𝐾)( ⊥ ‘𝑋)) = (0.‘𝐾)))
10	9	simp1d 1140	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ (𝑋(le‘𝐾)𝑋 → ( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)( ⊥ ‘𝑋))))
11	10	simp1d 1140	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  lecple 16895  occoc 16896  joincjn 17944  meetcmee 17945  0.cp0 18056  1.cp1 18057  OPcops 37113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-nul 5225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-dm 5590  df-iota 6376  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oposet 37117

This theorem is referenced by:  opcon2b  37138  oplecon3b  37141  oplecon1b  37142  opoc1  37143  opltcon3b  37145  opltcon1b  37146  opltcon2b  37147  riotaocN  37150  oldmm1  37158  oldmm2  37159  oldmm3N  37160  oldmm4  37161  oldmj1  37162  oldmj2  37163  oldmj3  37164  oldmj4  37165  olm11  37168  latmassOLD  37170  omllaw2N  37185  omllaw4  37187  cmtcomlemN  37189  cmt2N  37191  cmt3N  37192  cmt4N  37193  cmtbr2N  37194  cmtbr3N  37195  cmtbr4N  37196  lecmtN  37197  omlfh1N  37199  omlfh3N  37200  omlspjN  37202  cvrcon3b  37218  cvrcmp2  37225  atlatmstc  37260  glbconN  37318  glbconxN  37319  cvrexch  37361  1cvrco  37413  1cvratex  37414  1cvrjat  37416  polval2N  37847  polsubN  37848  2polpmapN  37854  2polvalN  37855  poldmj1N  37869  pmapj2N  37870  polatN  37872  2polatN  37873  pnonsingN  37874  ispsubcl2N  37888  polsubclN  37893  poml4N  37894  pmapojoinN  37909  pl42lem1N  37920  lhpoc2N  37956  lhpocnle  37957  lhpmod2i2  37979  lhpmod6i1  37980  lhprelat3N  37981  trlcl  38105  trlle  38125  docaclN  39065  doca2N  39067  djajN  39078  dih1  39227  dih1dimatlem  39270  dochcl  39294  dochvalr3  39304  doch2val2  39305  dochss  39306  dochocss  39307  dochoc  39308  dochnoncon  39332  djhlj  39342