Theorem opoccl 39194

Description: Closure of orthocomplement operation. (choccl 31242 analog.) (Contributed by NM, 20-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
opoccl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
opoccl.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
opoccl	⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem opoccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opoccl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		opoccl.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
4		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
5		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
6		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
7		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	oposlem 39182	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ (𝑋(le‘𝐾)𝑋 → ( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)( ⊥ ‘𝑋))) ∧ (𝑋(join‘𝐾)( ⊥ ‘𝑋)) = (1.‘𝐾) ∧ (𝑋(meet‘𝐾)( ⊥ ‘𝑋)) = (0.‘𝐾)))
9	8	3anidm23 1423	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ (𝑋(le‘𝐾)𝑋 → ( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)( ⊥ ‘𝑋))) ∧ (𝑋(join‘𝐾)( ⊥ ‘𝑋)) = (1.‘𝐾) ∧ (𝑋(meet‘𝐾)( ⊥ ‘𝑋)) = (0.‘𝐾)))
10	9	simp1d 1142	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ (𝑋(le‘𝐾)𝑋 → ( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)( ⊥ ‘𝑋))))
11	10	simp1d 1142	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  lecple 17234  occoc 17235  joincjn 18279  meetcmee 18280  0.cp0 18389  1.cp1 18390  OPcops 39172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2702  ax-nul 5264

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-dm 5651  df-iota 6467  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oposet 39176

This theorem is referenced by:  opcon2b  39197  oplecon3b  39200  oplecon1b  39201  opoc1  39202  opltcon3b  39204  opltcon1b  39205  opltcon2b  39206  riotaocN  39209  oldmm1  39217  oldmm2  39218  oldmm3N  39219  oldmm4  39220  oldmj1  39221  oldmj2  39222  oldmj3  39223  oldmj4  39224  olm11  39227  latmassOLD  39229  omllaw2N  39244  omllaw4  39246  cmtcomlemN  39248  cmt2N  39250  cmt3N  39251  cmt4N  39252  cmtbr2N  39253  cmtbr3N  39254  cmtbr4N  39255  lecmtN  39256  omlfh1N  39258  omlfh3N  39259  omlspjN  39261  cvrcon3b  39277  cvrcmp2  39284  atlatmstc  39319  glbconN  39377  glbconNOLD  39378  glbconxN  39379  cvrexch  39421  1cvrco  39473  1cvratex  39474  1cvrjat  39476  polval2N  39907  polsubN  39908  2polpmapN  39914  2polvalN  39915  poldmj1N  39929  pmapj2N  39930  polatN  39932  2polatN  39933  pnonsingN  39934  ispsubcl2N  39948  polsubclN  39953  poml4N  39954  pmapojoinN  39969  pl42lem1N  39980  lhpoc2N  40016  lhpocnle  40017  lhpmod2i2  40039  lhpmod6i1  40040  lhprelat3N  40041  trlcl  40165  trlle  40185  docaclN  41125  doca2N  41127  djajN  41138  dih1  41287  dih1dimatlem  41330  dochcl  41354  dochvalr3  41364  doch2val2  41365  dochss  41366  dochocss  41367  dochoc  41368  dochnoncon  41392  djhlj  41402