Theorem opoccl 39195

Description: Closure of orthocomplement operation. (choccl 31325 analog.) (Contributed by NM, 20-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
opoccl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
opoccl.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
opoccl	⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem opoccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opoccl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		opoccl.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
4		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
5		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
6		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
7		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	oposlem 39183	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ (𝑋(le‘𝐾)𝑋 → ( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)( ⊥ ‘𝑋))) ∧ (𝑋(join‘𝐾)( ⊥ ‘𝑋)) = (1.‘𝐾) ∧ (𝑋(meet‘𝐾)( ⊥ ‘𝑋)) = (0.‘𝐾)))
9	8	3anidm23 1423	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ (𝑋(le‘𝐾)𝑋 → ( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)( ⊥ ‘𝑋))) ∧ (𝑋(join‘𝐾)( ⊥ ‘𝑋)) = (1.‘𝐾) ∧ (𝑋(meet‘𝐾)( ⊥ ‘𝑋)) = (0.‘𝐾)))
10	9	simp1d 1143	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ (𝑋(le‘𝐾)𝑋 → ( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)( ⊥ ‘𝑋))))
11	10	simp1d 1143	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  lecple 17304  occoc 17305  joincjn 18357  meetcmee 18358  0.cp0 18468  1.cp1 18469  OPcops 39173

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708  ax-nul 5306

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-dm 5695  df-iota 6514  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oposet 39177

This theorem is referenced by:  opcon2b  39198  oplecon3b  39201  oplecon1b  39202  opoc1  39203  opltcon3b  39205  opltcon1b  39206  opltcon2b  39207  riotaocN  39210  oldmm1  39218  oldmm2  39219  oldmm3N  39220  oldmm4  39221  oldmj1  39222  oldmj2  39223  oldmj3  39224  oldmj4  39225  olm11  39228  latmassOLD  39230  omllaw2N  39245  omllaw4  39247  cmtcomlemN  39249  cmt2N  39251  cmt3N  39252  cmt4N  39253  cmtbr2N  39254  cmtbr3N  39255  cmtbr4N  39256  lecmtN  39257  omlfh1N  39259  omlfh3N  39260  omlspjN  39262  cvrcon3b  39278  cvrcmp2  39285  atlatmstc  39320  glbconN  39378  glbconNOLD  39379  glbconxN  39380  cvrexch  39422  1cvrco  39474  1cvratex  39475  1cvrjat  39477  polval2N  39908  polsubN  39909  2polpmapN  39915  2polvalN  39916  poldmj1N  39930  pmapj2N  39931  polatN  39933  2polatN  39934  pnonsingN  39935  ispsubcl2N  39949  polsubclN  39954  poml4N  39955  pmapojoinN  39970  pl42lem1N  39981  lhpoc2N  40017  lhpocnle  40018  lhpmod2i2  40040  lhpmod6i1  40041  lhprelat3N  40042  trlcl  40166  trlle  40186  docaclN  41126  doca2N  41128  djajN  41139  dih1  41288  dih1dimatlem  41331  dochcl  41355  dochvalr3  41365  doch2val2  41366  dochss  41367  dochocss  41368  dochoc  41369  dochnoncon  41393  djhlj  41403