Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opococ Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opococ 37854
Description: Double negative law for orthoposets. (ococ 30517 analog.) (Contributed by NM, 13-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
opoccl.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
opoccl.o = (oc‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
opococ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem opococ
StepHypRef Expression
1 opoccl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2731 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3 opoccl.o . . . . 5 = (oc‘𝐾)
4 eqid 2731 . . . . 5 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
5 eqid 2731 . . . . 5 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
6 eqid 2731 . . . . 5 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
7 eqid 2731 . . . . 5 (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7oposlem 37841 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐵) → ((( 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( ‘( 𝑋)) = 𝑋 ∧ (𝑋(le‘𝐾)𝑋 → ( 𝑋)(le‘𝐾)( 𝑋))) ∧ (𝑋(join‘𝐾)( 𝑋)) = (1.‘𝐾) ∧ (𝑋(meet‘𝐾)( 𝑋)) = (0.‘𝐾)))
983anidm23 1421 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ((( 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( ‘( 𝑋)) = 𝑋 ∧ (𝑋(le‘𝐾)𝑋 → ( 𝑋)(le‘𝐾)( 𝑋))) ∧ (𝑋(join‘𝐾)( 𝑋)) = (1.‘𝐾) ∧ (𝑋(meet‘𝐾)( 𝑋)) = (0.‘𝐾)))
109simp1d 1142 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → (( 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( ‘( 𝑋)) = 𝑋 ∧ (𝑋(le‘𝐾)𝑋 → ( 𝑋)(le‘𝐾)( 𝑋))))
1110simp2d 1143 1 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5138  cfv 6529  (class class class)co 7390  Basecbs 17123  lecple 17183  occoc 17184  joincjn 18243  meetcmee 18244  0.cp0 18355  1.cp1 18356  OPcops 37831
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2702  ax-nul 5296
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rab 3430  df-v 3472  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4520  df-sn 4620  df-pr 4622  df-op 4626  df-uni 4899  df-br 5139  df-dm 5676  df-iota 6481  df-fv 6537  df-ov 7393  df-oposet 37835
This theorem is referenced by:  opcon3b  37855  opcon2b  37856  oplecon3b  37859  oplecon1b  37860  opltcon1b  37864  opltcon2b  37865  oldmm2  37877  oldmm3N  37878  oldmm4  37879  oldmj1  37880  oldmj2  37881  oldmj3  37882  oldmj4  37883  olm11  37886  omllaw4  37905  cmt2N  37909  glbconN  38036  glbconNOLD  38037  1cvratex  38133  1cvrjat  38135  polval2N  38566  2polpmapN  38573  2polvalN  38574  2polatN  38592  lhpoc2N  38675  doch2val2  40024  dochocss  40026  dochoc  40027
  Copyright terms: Public domain W3C validator