Theorem slmdacl 32937

Description: Closure of ring addition for a semimodule. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
slmdacl.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
slmdacl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
slmdacl.p	⊢ + = (+g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
slmdacl	⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem slmdacl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slmdacl.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2	1	slmdsrg 32935	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 𝐹 ∈ SRing)
3		srgmnd 20137	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ SRing → 𝐹 ∈ Mnd)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 𝐹 ∈ Mnd)
5		slmdacl.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
6		slmdacl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐹)
7	5, 6	mndcl 18709	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐾)
8	4, 7	syl3an1 1160	1 ⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  +_gcplusg 17240  Scalarcsca 17243  Mndcmnd 18701  SRingcsrg 20133  SLModcslmd 32928

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2699  ax-nul 5310

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-iota 6505  df-fv 6561  df-ov 7429  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-cmn 19744  df-srg 20134  df-slmd 32929

This theorem is referenced by: (None)