Theorem slmdacl 33820

Description: Closure of ring addition for a semimodule. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
slmdacl.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
slmdacl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
slmdacl.p	⊢ + = (+g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
slmdacl	⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem slmdacl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slmdacl.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2	1	slmdsrg 33818	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 𝐹 ∈ SRing)
3		srgmnd 20425	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ SRing → 𝐹 ∈ Mnd)
4	2, 3	syl 18	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 𝐹 ∈ Mnd)
5		slmdacl.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
6		slmdacl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐹)
7	5, 6	mndcl 18940	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐾)
8	4, 7	syl3an1 1181	1 ⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐾)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  Basecbs 17396  +_gcplusg 17437  Scalarcsca 17440  Mndcmnd 18932  SRingcsrg 20421  SLModcslmd 33811

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-nul 5259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3897  df-dif 4046  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-iota 6497  df-fv 6551  df-ov 7427  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-cmn 20005  df-srg 20422  df-slmd 33812

This theorem is used by: (None)