Theorem slmdacl 33211

Description: Closure of ring addition for a semimodule. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
slmdacl.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
slmdacl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
slmdacl.p	⊢ + = (+g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
slmdacl	⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem slmdacl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slmdacl.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2	1	slmdsrg 33209	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 𝐹 ∈ SRing)
3		srgmnd 20155	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ SRing → 𝐹 ∈ Mnd)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 𝐹 ∈ Mnd)
5		slmdacl.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
6		slmdacl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐹)
7	5, 6	mndcl 18725	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐾)
8	4, 7	syl3an1 1163	1 ⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17233  +_gcplusg 17276  Scalarcsca 17279  Mndcmnd 18717  SRingcsrg 20151  SLModcslmd 33202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2708  ax-nul 5281

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-dif 3934  df-un 3936  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-iota 6489  df-fv 6544  df-ov 7413  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-cmn 19768  df-srg 20152  df-slmd 33203

This theorem is referenced by: (None)