Theorem slmdacl 33198

Description: Closure of ring addition for a semimodule. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
slmdacl.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
slmdacl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
slmdacl.p	⊢ + = (+g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
slmdacl	⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem slmdacl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slmdacl.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2	1	slmdsrg 33196	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 𝐹 ∈ SRing)
3		srgmnd 20208	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ SRing → 𝐹 ∈ Mnd)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 𝐹 ∈ Mnd)
5		slmdacl.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
6		slmdacl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐹)
7	5, 6	mndcl 18768	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐾)
8	4, 7	syl3an1 1162	1 ⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298  Scalarcsca 17301  Mndcmnd 18760  SRingcsrg 20204  SLModcslmd 33189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706  ax-nul 5312

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-iota 6516  df-fv 6571  df-ov 7434  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-cmn 19815  df-srg 20205  df-slmd 33190

This theorem is referenced by: (None)