Theorem slmdbn0 33184

Description: The base set of a semimodule is nonempty. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.) (Proof shortened by AV, 10-Jan-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
slmdbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
slmdbn0	⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem slmdbn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slmdmnd 33182	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 𝑊 ∈ Mnd)
2		slmdbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3	2	mndbn0 18660	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Mnd → 𝐵 ≠ ∅)
4	1, 3	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 𝐵 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∅c0 4282  ‘cfv 6486  Basecbs 17122  Mndcmnd 18644  SLModcslmd 33176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-dif 3901  df-un 3903  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-0g 17347  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-cmn 19696  df-slmd 33177

This theorem is referenced by: (None)