Theorem slmdbn0 33537

Description: The base set of a semimodule is nonempty. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.) (Proof shortened by AV, 10-Jan-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
slmdbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
slmdbn0	⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem slmdbn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slmdmnd 33535	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 𝑊 ∈ Mnd)
2		slmdbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3	2	mndbn0 18814	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Mnd → 𝐵 ≠ ∅)
4	1, 3	syl 18	1 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 𝐵 ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∅c0 4285  ‘cfv 6536  Basecbs 17275  Mndcmnd 18798  SLModcslmd 33529

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5403

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-0g 17500  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-cmn 19858  df-slmd 33530

This theorem is used by: (None)