Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  slmdbn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem slmdbn0 30889
Description: The base set of a semimodule is nonempty. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.) (Proof shortened by AV, 10-Jan-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
slmdbn0.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
slmdbn0 (𝑊 ∈ SLMod → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem slmdbn0
StepHypRef Expression
1 slmdmnd 30887 . 2 (𝑊 ∈ SLMod → 𝑊 ∈ Mnd)
2 slmdbn0.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑊)
32mndbn0 17922 . 2 (𝑊 ∈ Mnd → 𝐵 ≠ ∅)
41, 3syl 17 1 (𝑊 ∈ SLMod → 𝐵 ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  c0 4246  cfv 6328  Basecbs 16478  Mndcmnd 17906  SLModcslmd 30881
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-0g 16710  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-cmn 18903  df-slmd 30882
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator