Theorem slmdcmn 33495

Description: A semimodule is a commutative monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
slmdcmn	⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 𝑊 ∈ CMnd)

Proof of Theorem slmdcmn

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2770	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2770	. . 3 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
3		eqid 2770	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
4		eqid 2770	. . 3 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
5		eqid 2770	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
6		eqid 2770	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
7		eqid 2770	. . 3 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
8		eqid 2770	. . 3 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
9		eqid 2770	. . 3 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
10		eqid 2770	. . 3 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	isslmd 33492	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod ↔ (𝑊 ∈ CMnd ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ SRing ∧ ∀𝑤 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑦(+g‘𝑊)𝑥)) = ((𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)(𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑤(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑧)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) = ((𝑤( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)(𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))) ∧ (((𝑤(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑧)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) = (𝑤( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) = 𝑦 ∧ ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) = (0g‘𝑊)))))
12	11	simp1bi 1161	1 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 𝑊 ∈ CMnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2150  ∀wral 3086  ‘cfv 6540  (class class class)co 7414  Basecbs 17272  +_gcplusg 17313  ._rcmulr 17314  Scalarcsca 17316   ·_𝑠 cvsca 17317  0_gc0g 17495  CMndccmn 19853  1_rcur 20266  SRingcsrg 20271  SLModcslmd 33490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-ext 2742  ax-nul 5274

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-sb 2099  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-ne 2966  df-ral 3087  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-dif 3916  df-un 3918  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-iota 6496  df-fv 6548  df-ov 7417  df-slmd 33491

This theorem is referenced by:  slmdmnd  33496  gsumvsca1  33516  gsumvsca2  33517