Theorem slmdcmn 33194

Description: A semimodule is a commutative monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
slmdcmn	⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 𝑊 ∈ CMnd)

Proof of Theorem slmdcmn

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2735	. . 3 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
3		eqid 2735	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
4		eqid 2735	. . 3 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
5		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
6		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
7		eqid 2735	. . 3 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
8		eqid 2735	. . 3 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
9		eqid 2735	. . 3 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
10		eqid 2735	. . 3 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	isslmd 33191	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod ↔ (𝑊 ∈ CMnd ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ SRing ∧ ∀𝑤 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑦(+g‘𝑊)𝑥)) = ((𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)(𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑤(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑧)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) = ((𝑤( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)(𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))) ∧ (((𝑤(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑧)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) = (𝑤( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) = 𝑦 ∧ ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) = (0g‘𝑊)))))
12	11	simp1bi 1144	1 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 𝑊 ∈ CMnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298  ._rcmulr 17299  Scalarcsca 17301   ·_𝑠 cvsca 17302  0_gc0g 17486  CMndccmn 19813  1_rcur 20199  SRingcsrg 20204  SLModcslmd 33189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706  ax-nul 5312

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-iota 6516  df-fv 6571  df-ov 7434  df-slmd 33190

This theorem is referenced by:  slmdmnd  33195  gsumvsca1  33215  gsumvsca2  33216