Theorem slmdcmn 33766

Description: A semimodule is a commutative monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
slmdcmn	⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 𝑊 ∈ CMnd)

Proof of Theorem slmdcmn

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
3		eqid 2760	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
4		eqid 2760	. . 3 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
5		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
6		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
7		eqid 2760	. . 3 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
8		eqid 2760	. . 3 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
9		eqid 2760	. . 3 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
10		eqid 2760	. . 3 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	isslmd 33763	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod ↔ (𝑊 ∈ CMnd ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ SRing ∧ ∀𝑤 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑦(+g‘𝑊)𝑥)) = ((𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)(𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑤(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑧)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) = ((𝑤( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)(+g‘𝑊)(𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))) ∧ (((𝑤(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑧)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) = (𝑤( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) = 𝑦 ∧ ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) = (0g‘𝑊)))))
12	11	simp1bi 1163	1 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 𝑊 ∈ CMnd)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428  ._rcmulr 17429  Scalarcsca 17431   ·_𝑠 cvsca 17432  0_gc0g 17610  CMndccmn 19994  1_rcur 20407  SRingcsrg 20412  SLModcslmd 33761

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-nul 5259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-dif 4047  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-iota 6494  df-fv 6546  df-ov 7423  df-slmd 33762

This theorem is used by:  slmdmnd  33767  gsumvsca1  33787  gsumvsca2  33788