Theorem gsumvsca2 33207

Description: Scalar product of a finite group sum for a left module over a semiring. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 12-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumvsca.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
gsumvsca.g	⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑊)
gsumvsca.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
gsumvsca.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
gsumvsca.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
gsumvsca.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ (Base‘𝐺))
gsumvsca.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsumvsca.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ SLMod)
gsumvsca2.n	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐵)
gsumvsca2.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
gsumvsca2	⊢ (𝜑 → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑃)) · 𝑄))

Distinct variable groups:   · ,𝑘   𝐴,𝑘   𝑘,𝑊   𝜑,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝐾   𝑄,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑘)   + (𝑘)   0 (𝑘)

Proof of Theorem gsumvsca2

Dummy variables 𝑒 𝑎 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumvsca.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		ssid 3954	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐴
3		sseq1 3957	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑎 ⊆ 𝐴 ↔ ∅ ⊆ 𝐴))
4	3	anbi2d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ∅ → ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐴)))
5		mpteq1 5184	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄)) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄)))
6	5	oveq2d 7371	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))))
7		mpteq1 5184	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝑃) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑃))
8	7	oveq2d 7371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝑃)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑃)))
9	8	oveq1d 7370	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ∅ → ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝑃)) · 𝑄) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑃)) · 𝑄))
10	6, 9	eqeq12d 2749	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ∅ → ((𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝑃)) · 𝑄) ↔ (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑃)) · 𝑄)))
11	4, 10	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ∅ → (((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝑃)) · 𝑄)) ↔ ((𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑃)) · 𝑄))))
12		sseq1 3957	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑒 → (𝑎 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑒 ⊆ 𝐴))
13	12	anbi2d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑒 → ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐴)))
14		mpteq1 5184	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑒 → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄)) = (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄)))
15	14	oveq2d 7371	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑒 → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))))
16		mpteq1 5184	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑒 → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝑃) = (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃))
17	16	oveq2d 7371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑒 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝑃)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃)))
18	17	oveq1d 7370	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑒 → ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝑃)) · 𝑄) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃)) · 𝑄))
19	15, 18	eqeq12d 2749	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑒 → ((𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝑃)) · 𝑄) ↔ (𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃)) · 𝑄)))
20	13, 19	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑒 → (((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝑃)) · 𝑄)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃)) · 𝑄))))
21		sseq1 3957	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → (𝑎 ⊆ 𝐴 ↔ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴))
22	21	anbi2d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)))
23		mpteq1 5184	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄)) = (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄)))
24	23	oveq2d 7371	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))))
25		mpteq1 5184	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝑃) = (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑃))
26	25	oveq2d 7371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝑃)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑃)))
27	26	oveq1d 7370	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝑃)) · 𝑄) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑃)) · 𝑄))
28	24, 27	eqeq12d 2749	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → ((𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝑃)) · 𝑄) ↔ (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑃)) · 𝑄)))
29	22, 28	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → (((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝑃)) · 𝑄)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑃)) · 𝑄))))
30		sseq1 3957	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐴))
31	30	anbi2d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐴)))
32		mpteq1 5184	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄)))
33	32	oveq2d 7371	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))))
34		mpteq1 5184	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝑃) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑃))
35	34	oveq2d 7371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝑃)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑃)))
36	35	oveq1d 7370	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝑃)) · 𝑄) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑃)) · 𝑄))
37	33, 36	eqeq12d 2749	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝑃)) · 𝑄) ↔ (𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑃)) · 𝑄)))
38	31, 37	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝑃)) · 𝑄)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑃)) · 𝑄))))
39		gsumvsca.w	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ SLMod)
40		gsumvsca2.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐵)
41		gsumvsca.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
42		gsumvsca.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑊)
43		gsumvsca.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
44		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
45		gsumvsca.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
46	41, 42, 43, 44, 45	slmd0vs 33204	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) · 𝑄) = 0 )
47	39, 40, 46	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝐺) · 𝑄) = 0 )
48	47	eqcomd 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 = ((0g‘𝐺) · 𝑄))
49		mpt0 6631	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄)) = ∅
50	49	oveq2i 7366	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑊 Σg ∅)
51	45	gsum0 18602	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 Σg ∅) = 0
52	50, 51	eqtri 2756	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))) = 0
53		mpt0 6631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑃) = ∅
54	53	oveq2i 7366	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑃)) = (𝐺 Σg ∅)
55	44	gsum0 18602	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 Σg ∅) = (0g‘𝐺)
56	54, 55	eqtri 2756	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑃)) = (0g‘𝐺)
57	56	oveq1i 7365	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑃)) · 𝑄) = ((0g‘𝐺) · 𝑄)
58	48, 52, 57	3eqtr4g 2793	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑃)) · 𝑄))
59	58	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑃)) · 𝑄))
60		ssun1 4129	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑒 ⊆ (𝑒 ∪ {𝑧})
61		sstr2 3938	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 ⊆ (𝑒 ∪ {𝑧}) → ((𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 → 𝑒 ⊆ 𝐴))
62	60, 61	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 → 𝑒 ⊆ 𝐴)
63	62	anim2i 617	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐴))
64	63	imim1i 63	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃)) · 𝑄)) → ((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃)) · 𝑄)))
65	39	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑊 ∈ SLMod)
66		eqid 2733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
67	42	slmdsrg 33187	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 𝐺 ∈ SRing)
68		srgcmn 20117	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ SRing → 𝐺 ∈ CMnd)
69	65, 67, 68	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝐺 ∈ CMnd)
70		vex 3442	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑒 ∈ V
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑒 ∈ V)
72		simplrl 776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑒) → 𝜑)
73		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
74	73	unssad 4144	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑒 ⊆ 𝐴)
75	74	sselda 3931	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑒) → 𝑘 ∈ 𝐴)
76		gsumvsca.k	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ (Base‘𝐺))
77	76	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐾 ⊆ (Base‘𝐺))
78		gsumvsca2.c	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐾)
79	77, 78	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐺))
80	72, 75, 79	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑒) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐺))
81	80	fmpttd 7057	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃):𝑒⟶(Base‘𝐺))
82		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃) = (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃)
83		simpll 766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑒 ∈ Fin)
84	72, 75, 78	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑒) → 𝑃 ∈ 𝐾)
85		fvexd 6846	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (0g‘𝐺) ∈ V)
86	82, 83, 84, 85	fsuppmptdm 9270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃) finSupp (0g‘𝐺))
87	66, 44, 69, 71, 81, 86	gsumcl 19837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃)) ∈ (Base‘𝐺))
88	73	unssbd 4145	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → {𝑧} ⊆ 𝐴)
89		vex 3442	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑧 ∈ V
90	89	snss 4738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 ↔ {𝑧} ⊆ 𝐴)
91	88, 90	sylibr 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
92	79	ralrimiva 3126	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝑃 ∈ (Base‘𝐺))
93	92	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝑃 ∈ (Base‘𝐺))
94		rspcsbela 4389	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝑃 ∈ (Base‘𝐺)) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝑃 ∈ (Base‘𝐺))
95	91, 93, 94	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝑃 ∈ (Base‘𝐺))
96	40	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑄 ∈ 𝐵)
97		gsumvsca.p	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ + = (+g‘𝑊)
98		eqid 2733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
99	41, 97, 42, 43, 66, 98	slmdvsdir 33196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃)) ∈ (Base‘𝐺) ∧ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝑃 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑄 ∈ 𝐵)) → (((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃))(+g‘𝐺)⦋𝑧 / 𝑘⦌𝑃) · 𝑄) = (((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃)) · 𝑄) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝑃 · 𝑄)))
100	65, 87, 95, 96, 99	syl13anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃))(+g‘𝐺)⦋𝑧 / 𝑘⦌𝑃) · 𝑄) = (((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃)) · 𝑄) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝑃 · 𝑄)))
101	100	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃)) · 𝑄)) → (((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃))(+g‘𝐺)⦋𝑧 / 𝑘⦌𝑃) · 𝑄) = (((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃)) · 𝑄) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝑃 · 𝑄)))
102		nfcsb1v 3871	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑧 / 𝑘⦌𝑃
103	89	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑧 ∈ V)
104		simplr 768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑒)
105		csbeq1a 3861	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → 𝑃 = ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝑃)
106	102, 66, 98, 69, 83, 80, 103, 104, 95, 105	gsumunsnf 19881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑃)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃))(+g‘𝐺)⦋𝑧 / 𝑘⦌𝑃))
107	106	oveq1d 7370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑃)) · 𝑄) = (((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃))(+g‘𝐺)⦋𝑧 / 𝑘⦌𝑃) · 𝑄))
108	107	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃)) · 𝑄)) → ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑃)) · 𝑄) = (((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃))(+g‘𝐺)⦋𝑧 / 𝑘⦌𝑃) · 𝑄))
109		nfcv 2896	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘 ·
110		nfcv 2896	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘𝑄
111	102, 109, 110	nfov 7385	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘(⦋𝑧 / 𝑘⦌𝑃 · 𝑄)
112		slmdcmn 33185	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 𝑊 ∈ CMnd)
113	65, 112	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑊 ∈ CMnd)
114	72, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑒) → 𝑊 ∈ SLMod)
115	72, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑒) → 𝑄 ∈ 𝐵)
116	41, 42, 43, 66	slmdvscl 33194	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → (𝑃 · 𝑄) ∈ 𝐵)
117	114, 80, 115, 116	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑒) → (𝑃 · 𝑄) ∈ 𝐵)
118	41, 42, 43, 66	slmdvscl 33194	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝑃 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝑃 · 𝑄) ∈ 𝐵)
119	65, 95, 96, 118	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝑃 · 𝑄) ∈ 𝐵)
120	105	oveq1d 7370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → (𝑃 · 𝑄) = (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝑃 · 𝑄))
121	111, 41, 97, 113, 83, 117, 103, 104, 119, 120	gsumunsnf 19881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝑃 · 𝑄)))
122	121	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃)) · 𝑄)) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝑃 · 𝑄)))
123		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃)) · 𝑄)) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃)) · 𝑄))
124	123	oveq1d 7370	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃)) · 𝑄)) → ((𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝑃 · 𝑄)) = (((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃)) · 𝑄) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝑃 · 𝑄)))
125	122, 124	eqtrd 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃)) · 𝑄)) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃)) · 𝑄) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝑃 · 𝑄)))
126	101, 108, 125	3eqtr4rd 2779	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃)) · 𝑄)) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑃)) · 𝑄))
127	126	exp31 419	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) → ((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → ((𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃)) · 𝑄) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑃)) · 𝑄))))
128	127	a2d 29	. . . . . 6 ⊢ ((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) → (((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃)) · 𝑄)) → ((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑃)) · 𝑄))))
129	64, 128	syl5 34	. . . . 5 ⊢ ((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) → (((𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃)) · 𝑄)) → ((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑃)) · 𝑄))))
130	11, 20, 29, 38, 59, 129	findcard2s 9085	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑃)) · 𝑄)))
131	130	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐴)) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑃)) · 𝑄))
132	2, 131	mpanr2 704	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝜑) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑃)) · 𝑄))
133	1, 132	mpancom 688	1 ⊢ (𝜑 → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑃)) · 𝑄))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049  Vcvv 3438  ⦋csb 3847   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  ∅c0 4284  {csn 4577   ↦ cmpt 5176  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  Fincfn 8878  Basecbs 17130  +_gcplusg 17171  Scalarcsca 17174   ·_𝑠 cvsca 17175  0_gc0g 17353   Σ_g cgsu 17354  CMndccmn 19702  SRingcsrg 20114  SLModcslmd 33180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-fin 8882  df-fsupp 9256  df-oi 9406  df-card 9842  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-nn 12136  df-2 12198  df-n0 12392  df-z 12479  df-uz 12743  df-fz 13418  df-fzo 13565  df-seq 13919  df-hash 14248  df-sets 17085  df-slot 17103  df-ndx 17115  df-base 17131  df-ress 17152  df-plusg 17184  df-0g 17355  df-gsum 17356  df-mre 17498  df-mrc 17499  df-acs 17501  df-mgm 18558  df-sgrp 18637  df-mnd 18653  df-submnd 18702  df-mulg 18991  df-cntz 19239  df-cmn 19704  df-srg 20115  df-slmd 33181

This theorem is referenced by: (None)