Theorem gsumvsca2 31480

Description: Scalar product of a finite group sum for a left module over a semiring. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 12-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumvsca.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
gsumvsca.g	⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑊)
gsumvsca.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
gsumvsca.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
gsumvsca.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
gsumvsca.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ (Base‘𝐺))
gsumvsca.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsumvsca.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ SLMod)
gsumvsca2.n	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐵)
gsumvsca2.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
gsumvsca2	⊢ (𝜑 → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑃)) · 𝑄))

Distinct variable groups:   · ,𝑘   𝐴,𝑘   𝑘,𝑊   𝜑,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝐾   𝑄,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑘)   + (𝑘)   0 (𝑘)

Proof of Theorem gsumvsca2

Dummy variables 𝑒 𝑎 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumvsca.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		ssid 3943	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐴
3		sseq1 3946	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑎 ⊆ 𝐴 ↔ ∅ ⊆ 𝐴))
4	3	anbi2d 629	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ∅ → ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐴)))
5		mpteq1 5167	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄)) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄)))
6	5	oveq2d 7291	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))))
7		mpteq1 5167	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝑃) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑃))
8	7	oveq2d 7291	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝑃)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑃)))
9	8	oveq1d 7290	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ∅ → ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝑃)) · 𝑄) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑃)) · 𝑄))
10	6, 9	eqeq12d 2754	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ∅ → ((𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝑃)) · 𝑄) ↔ (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑃)) · 𝑄)))
11	4, 10	imbi12d 345	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ∅ → (((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝑃)) · 𝑄)) ↔ ((𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑃)) · 𝑄))))
12		sseq1 3946	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑒 → (𝑎 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑒 ⊆ 𝐴))
13	12	anbi2d 629	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑒 → ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐴)))
14		mpteq1 5167	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑒 → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄)) = (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄)))
15	14	oveq2d 7291	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑒 → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))))
16		mpteq1 5167	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑒 → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝑃) = (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃))
17	16	oveq2d 7291	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑒 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝑃)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃)))
18	17	oveq1d 7290	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑒 → ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝑃)) · 𝑄) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃)) · 𝑄))
19	15, 18	eqeq12d 2754	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑒 → ((𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝑃)) · 𝑄) ↔ (𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃)) · 𝑄)))
20	13, 19	imbi12d 345	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑒 → (((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝑃)) · 𝑄)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃)) · 𝑄))))
21		sseq1 3946	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → (𝑎 ⊆ 𝐴 ↔ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴))
22	21	anbi2d 629	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)))
23		mpteq1 5167	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄)) = (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄)))
24	23	oveq2d 7291	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))))
25		mpteq1 5167	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝑃) = (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑃))
26	25	oveq2d 7291	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝑃)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑃)))
27	26	oveq1d 7290	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝑃)) · 𝑄) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑃)) · 𝑄))
28	24, 27	eqeq12d 2754	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → ((𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝑃)) · 𝑄) ↔ (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑃)) · 𝑄)))
29	22, 28	imbi12d 345	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → (((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝑃)) · 𝑄)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑃)) · 𝑄))))
30		sseq1 3946	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐴))
31	30	anbi2d 629	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐴)))
32		mpteq1 5167	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄)))
33	32	oveq2d 7291	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))))
34		mpteq1 5167	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝑃) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑃))
35	34	oveq2d 7291	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝑃)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑃)))
36	35	oveq1d 7290	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝑃)) · 𝑄) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑃)) · 𝑄))
37	33, 36	eqeq12d 2754	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝑃)) · 𝑄) ↔ (𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑃)) · 𝑄)))
38	31, 37	imbi12d 345	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝑃)) · 𝑄)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑃)) · 𝑄))))
39		gsumvsca.w	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ SLMod)
40		gsumvsca2.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐵)
41		gsumvsca.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
42		gsumvsca.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑊)
43		gsumvsca.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
44		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
45		gsumvsca.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
46	41, 42, 43, 44, 45	slmd0vs 31477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) · 𝑄) = 0 )
47	39, 40, 46	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝐺) · 𝑄) = 0 )
48	47	eqcomd 2744	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 = ((0g‘𝐺) · 𝑄))
49		mpt0 6575	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄)) = ∅
50	49	oveq2i 7286	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑊 Σg ∅)
51	45	gsum0 18368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 Σg ∅) = 0
52	50, 51	eqtri 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))) = 0
53		mpt0 6575	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑃) = ∅
54	53	oveq2i 7286	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑃)) = (𝐺 Σg ∅)
55	44	gsum0 18368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 Σg ∅) = (0g‘𝐺)
56	54, 55	eqtri 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑃)) = (0g‘𝐺)
57	56	oveq1i 7285	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑃)) · 𝑄) = ((0g‘𝐺) · 𝑄)
58	48, 52, 57	3eqtr4g 2803	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑃)) · 𝑄))
59	58	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑃)) · 𝑄))
60		ssun1 4106	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑒 ⊆ (𝑒 ∪ {𝑧})
61		sstr2 3928	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 ⊆ (𝑒 ∪ {𝑧}) → ((𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 → 𝑒 ⊆ 𝐴))
62	60, 61	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 → 𝑒 ⊆ 𝐴)
63	62	anim2i 617	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐴))
64	63	imim1i 63	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃)) · 𝑄)) → ((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃)) · 𝑄)))
65	39	ad2antrl 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑊 ∈ SLMod)
66		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
67	42	slmdsrg 31460	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 𝐺 ∈ SRing)
68		srgcmn 19744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ SRing → 𝐺 ∈ CMnd)
69	65, 67, 68	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝐺 ∈ CMnd)
70		vex 3436	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑒 ∈ V
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑒 ∈ V)
72		simplrl 774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑒) → 𝜑)
73		simprr 770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
74	73	unssad 4121	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑒 ⊆ 𝐴)
75	74	sselda 3921	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑒) → 𝑘 ∈ 𝐴)
76		gsumvsca.k	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ (Base‘𝐺))
77	76	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐾 ⊆ (Base‘𝐺))
78		gsumvsca2.c	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐾)
79	77, 78	sseldd 3922	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐺))
80	72, 75, 79	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑒) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐺))
81	80	fmpttd 6989	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃):𝑒⟶(Base‘𝐺))
82		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃) = (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃)
83		simpll 764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑒 ∈ Fin)
84	72, 75, 78	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑒) → 𝑃 ∈ 𝐾)
85		fvexd 6789	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (0g‘𝐺) ∈ V)
86	82, 83, 84, 85	fsuppmptdm 9139	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃) finSupp (0g‘𝐺))
87	66, 44, 69, 71, 81, 86	gsumcl 19516	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃)) ∈ (Base‘𝐺))
88	73	unssbd 4122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → {𝑧} ⊆ 𝐴)
89		vex 3436	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑧 ∈ V
90	89	snss 4719	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 ↔ {𝑧} ⊆ 𝐴)
91	88, 90	sylibr 233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
92	79	ralrimiva 3103	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝑃 ∈ (Base‘𝐺))
93	92	ad2antrl 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝑃 ∈ (Base‘𝐺))
94		rspcsbela 4369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝑃 ∈ (Base‘𝐺)) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝑃 ∈ (Base‘𝐺))
95	91, 93, 94	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝑃 ∈ (Base‘𝐺))
96	40	ad2antrl 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑄 ∈ 𝐵)
97		gsumvsca.p	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ + = (+g‘𝑊)
98		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
99	41, 97, 42, 43, 66, 98	slmdvsdir 31469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃)) ∈ (Base‘𝐺) ∧ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝑃 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑄 ∈ 𝐵)) → (((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃))(+g‘𝐺)⦋𝑧 / 𝑘⦌𝑃) · 𝑄) = (((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃)) · 𝑄) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝑃 · 𝑄)))
100	65, 87, 95, 96, 99	syl13anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃))(+g‘𝐺)⦋𝑧 / 𝑘⦌𝑃) · 𝑄) = (((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃)) · 𝑄) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝑃 · 𝑄)))
101	100	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃)) · 𝑄)) → (((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃))(+g‘𝐺)⦋𝑧 / 𝑘⦌𝑃) · 𝑄) = (((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃)) · 𝑄) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝑃 · 𝑄)))
102		nfcsb1v 3857	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑧 / 𝑘⦌𝑃
103	89	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑧 ∈ V)
104		simplr 766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑒)
105		csbeq1a 3846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → 𝑃 = ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝑃)
106	102, 66, 98, 69, 83, 80, 103, 104, 95, 105	gsumunsnf 19560	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑃)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃))(+g‘𝐺)⦋𝑧 / 𝑘⦌𝑃))
107	106	oveq1d 7290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑃)) · 𝑄) = (((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃))(+g‘𝐺)⦋𝑧 / 𝑘⦌𝑃) · 𝑄))
108	107	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃)) · 𝑄)) → ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑃)) · 𝑄) = (((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃))(+g‘𝐺)⦋𝑧 / 𝑘⦌𝑃) · 𝑄))
109		nfcv 2907	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘 ·
110		nfcv 2907	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘𝑄
111	102, 109, 110	nfov 7305	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘(⦋𝑧 / 𝑘⦌𝑃 · 𝑄)
112		slmdcmn 31458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 𝑊 ∈ CMnd)
113	65, 112	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑊 ∈ CMnd)
114	72, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑒) → 𝑊 ∈ SLMod)
115	72, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑒) → 𝑄 ∈ 𝐵)
116	41, 42, 43, 66	slmdvscl 31467	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → (𝑃 · 𝑄) ∈ 𝐵)
117	114, 80, 115, 116	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑒) → (𝑃 · 𝑄) ∈ 𝐵)
118	41, 42, 43, 66	slmdvscl 31467	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝑃 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝑃 · 𝑄) ∈ 𝐵)
119	65, 95, 96, 118	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝑃 · 𝑄) ∈ 𝐵)
120	105	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → (𝑃 · 𝑄) = (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝑃 · 𝑄))
121	111, 41, 97, 113, 83, 117, 103, 104, 119, 120	gsumunsnf 19560	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝑃 · 𝑄)))
122	121	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃)) · 𝑄)) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝑃 · 𝑄)))
123		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃)) · 𝑄)) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃)) · 𝑄))
124	123	oveq1d 7290	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃)) · 𝑄)) → ((𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝑃 · 𝑄)) = (((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃)) · 𝑄) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝑃 · 𝑄)))
125	122, 124	eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃)) · 𝑄)) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃)) · 𝑄) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝑃 · 𝑄)))
126	101, 108, 125	3eqtr4rd 2789	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃)) · 𝑄)) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑃)) · 𝑄))
127	126	exp31 420	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) → ((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → ((𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃)) · 𝑄) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑃)) · 𝑄))))
128	127	a2d 29	. . . . . 6 ⊢ ((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) → (((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃)) · 𝑄)) → ((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑃)) · 𝑄))))
129	64, 128	syl5 34	. . . . 5 ⊢ ((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑒) → (((𝜑 ∧ 𝑒 ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑒 ↦ 𝑃)) · 𝑄)) → ((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑃)) · 𝑄))))
130	11, 20, 29, 38, 59, 129	findcard2s 8948	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑃)) · 𝑄)))
131	130	imp 407	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐴)) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑃)) · 𝑄))
132	2, 131	mpanr2 701	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝜑) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑃)) · 𝑄))
133	1, 132	mpancom 685	1 ⊢ (𝜑 → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑃)) · 𝑄))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  Vcvv 3432  ⦋csb 3832   ∪ cun 3885   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  {csn 4561   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Fincfn 8733  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962  Scalarcsca 16965   ·_𝑠 cvsca 16966  0_gc0g 17150   Σ_g cgsu 17151  CMndccmn 19386  SRingcsrg 19741  SLModcslmd 31453

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-hash 14045  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-srg 19742  df-slmd 31454

This theorem is referenced by: (None)