Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumvsca2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumvsca2 30772
Description: Scalar product of a finite group sum for a left module over a semiring. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 12-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumvsca.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
gsumvsca.g 𝐺 = (Scalar‘𝑊)
gsumvsca.z 0 = (0g𝑊)
gsumvsca.t · = ( ·𝑠𝑊)
gsumvsca.p + = (+g𝑊)
gsumvsca.k (𝜑𝐾 ⊆ (Base‘𝐺))
gsumvsca.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
gsumvsca.w (𝜑𝑊 ∈ SLMod)
gsumvsca2.n (𝜑𝑄𝐵)
gsumvsca2.c ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
gsumvsca2 (𝜑 → (𝑊 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑃)) · 𝑄))
Distinct variable groups:   · ,𝑘   𝐴,𝑘   𝑘,𝑊   𝜑,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝐾   𝑄,𝑘
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑘)   + (𝑘)   0 (𝑘)

Proof of Theorem gsumvsca2
Dummy variables 𝑒 𝑎 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumvsca.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 ssid 3992 . . 3 𝐴𝐴
3 sseq1 3995 . . . . . . 7 (𝑎 = ∅ → (𝑎𝐴 ↔ ∅ ⊆ 𝐴))
43anbi2d 628 . . . . . 6 (𝑎 = ∅ → ((𝜑𝑎𝐴) ↔ (𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐴)))
5 mpteq1 5150 . . . . . . . 8 (𝑎 = ∅ → (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄)) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄)))
65oveq2d 7167 . . . . . . 7 (𝑎 = ∅ → (𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))))
7 mpteq1 5150 . . . . . . . . 9 (𝑎 = ∅ → (𝑘𝑎𝑃) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑃))
87oveq2d 7167 . . . . . . . 8 (𝑎 = ∅ → (𝐺 Σg (𝑘𝑎𝑃)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑃)))
98oveq1d 7166 . . . . . . 7 (𝑎 = ∅ → ((𝐺 Σg (𝑘𝑎𝑃)) · 𝑄) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑃)) · 𝑄))
106, 9eqeq12d 2841 . . . . . 6 (𝑎 = ∅ → ((𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑎𝑃)) · 𝑄) ↔ (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑃)) · 𝑄)))
114, 10imbi12d 346 . . . . 5 (𝑎 = ∅ → (((𝜑𝑎𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑎𝑃)) · 𝑄)) ↔ ((𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑃)) · 𝑄))))
12 sseq1 3995 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑒 → (𝑎𝐴𝑒𝐴))
1312anbi2d 628 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑒 → ((𝜑𝑎𝐴) ↔ (𝜑𝑒𝐴)))
14 mpteq1 5150 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑒 → (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄)) = (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄)))
1514oveq2d 7167 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑒 → (𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))))
16 mpteq1 5150 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑒 → (𝑘𝑎𝑃) = (𝑘𝑒𝑃))
1716oveq2d 7167 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑒 → (𝐺 Σg (𝑘𝑎𝑃)) = (𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)))
1817oveq1d 7166 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑒 → ((𝐺 Σg (𝑘𝑎𝑃)) · 𝑄) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄))
1915, 18eqeq12d 2841 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑒 → ((𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑎𝑃)) · 𝑄) ↔ (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄)))
2013, 19imbi12d 346 . . . . 5 (𝑎 = 𝑒 → (((𝜑𝑎𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑎𝑃)) · 𝑄)) ↔ ((𝜑𝑒𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄))))
21 sseq1 3995 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → (𝑎𝐴 ↔ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴))
2221anbi2d 628 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → ((𝜑𝑎𝐴) ↔ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)))
23 mpteq1 5150 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄)) = (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄)))
2423oveq2d 7167 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → (𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))))
25 mpteq1 5150 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → (𝑘𝑎𝑃) = (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑃))
2625oveq2d 7167 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → (𝐺 Σg (𝑘𝑎𝑃)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑃)))
2726oveq1d 7166 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → ((𝐺 Σg (𝑘𝑎𝑃)) · 𝑄) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑃)) · 𝑄))
2824, 27eqeq12d 2841 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → ((𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑎𝑃)) · 𝑄) ↔ (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑃)) · 𝑄)))
2922, 28imbi12d 346 . . . . 5 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → (((𝜑𝑎𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑎𝑃)) · 𝑄)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑃)) · 𝑄))))
30 sseq1 3995 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎𝐴𝐴𝐴))
3130anbi2d 628 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐴 → ((𝜑𝑎𝐴) ↔ (𝜑𝐴𝐴)))
32 mpteq1 5150 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐴 → (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄)) = (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄)))
3332oveq2d 7167 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐴 → (𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑊 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))))
34 mpteq1 5150 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝐴 → (𝑘𝑎𝑃) = (𝑘𝐴𝑃))
3534oveq2d 7167 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐴 → (𝐺 Σg (𝑘𝑎𝑃)) = (𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑃)))
3635oveq1d 7166 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐴 → ((𝐺 Σg (𝑘𝑎𝑃)) · 𝑄) = ((𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑃)) · 𝑄))
3733, 36eqeq12d 2841 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐴 → ((𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑎𝑃)) · 𝑄) ↔ (𝑊 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑃)) · 𝑄)))
3831, 37imbi12d 346 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → (((𝜑𝑎𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑎𝑃)) · 𝑄)) ↔ ((𝜑𝐴𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑃)) · 𝑄))))
39 gsumvsca.w . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ SLMod)
40 gsumvsca2.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄𝐵)
41 gsumvsca.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝑊)
42 gsumvsca.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (Scalar‘𝑊)
43 gsumvsca.t . . . . . . . . . 10 · = ( ·𝑠𝑊)
44 eqid 2825 . . . . . . . . . 10 (0g𝐺) = (0g𝐺)
45 gsumvsca.z . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑊)
4641, 42, 43, 44, 45slmd0vs 30769 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑄𝐵) → ((0g𝐺) · 𝑄) = 0 )
4739, 40, 46syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((0g𝐺) · 𝑄) = 0 )
4847eqcomd 2831 . . . . . . 7 (𝜑0 = ((0g𝐺) · 𝑄))
49 mpt0 6486 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄)) = ∅
5049oveq2i 7162 . . . . . . . 8 (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑊 Σg ∅)
5145gsum0 17886 . . . . . . . 8 (𝑊 Σg ∅) = 0
5250, 51eqtri 2848 . . . . . . 7 (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))) = 0
53 mpt0 6486 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑃) = ∅
5453oveq2i 7162 . . . . . . . . 9 (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑃)) = (𝐺 Σg ∅)
5544gsum0 17886 . . . . . . . . 9 (𝐺 Σg ∅) = (0g𝐺)
5654, 55eqtri 2848 . . . . . . . 8 (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑃)) = (0g𝐺)
5756oveq1i 7161 . . . . . . 7 ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑃)) · 𝑄) = ((0g𝐺) · 𝑄)
5848, 52, 573eqtr4g 2885 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑃)) · 𝑄))
5958adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑃)) · 𝑄))
60 ssun1 4151 . . . . . . . . 9 𝑒 ⊆ (𝑒 ∪ {𝑧})
61 sstr2 3977 . . . . . . . . 9 (𝑒 ⊆ (𝑒 ∪ {𝑧}) → ((𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑒𝐴))
6260, 61ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑒𝐴)
6362anim2i 616 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝜑𝑒𝐴))
6463imim1i 63 . . . . . 6 (((𝜑𝑒𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄)) → ((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄)))
6539ad2antrl 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑊 ∈ SLMod)
66 eqid 2825 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
6742slmdsrg 30752 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ SLMod → 𝐺 ∈ SRing)
68 srgcmn 19181 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ SRing → 𝐺 ∈ CMnd)
6965, 67, 683syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝐺 ∈ CMnd)
70 vex 3502 . . . . . . . . . . . . 13 𝑒 ∈ V
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑒 ∈ V)
72 simplrl 773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑒) → 𝜑)
73 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
7473unssad 4166 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑒𝐴)
7574sselda 3970 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑒) → 𝑘𝐴)
76 gsumvsca.k . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐾 ⊆ (Base‘𝐺))
7776adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐾 ⊆ (Base‘𝐺))
78 gsumvsca2.c . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑃𝐾)
7977, 78sseldd 3971 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐺))
8072, 75, 79syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑒) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐺))
8180fmpttd 6874 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑘𝑒𝑃):𝑒⟶(Base‘𝐺))
82 eqid 2825 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘𝑒𝑃) = (𝑘𝑒𝑃)
83 simpll 763 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑒 ∈ Fin)
8472, 75, 78syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑒) → 𝑃𝐾)
85 fvexd 6681 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (0g𝐺) ∈ V)
8682, 83, 84, 85fsuppmptdm 8836 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑘𝑒𝑃) finSupp (0g𝐺))
8766, 44, 69, 71, 81, 86gsumcl 18958 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) ∈ (Base‘𝐺))
8873unssbd 4167 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → {𝑧} ⊆ 𝐴)
89 vex 3502 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧 ∈ V
9089snss 4716 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧𝐴 ↔ {𝑧} ⊆ 𝐴)
9188, 90sylibr 235 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑧𝐴)
9279ralrimiva 3186 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝑃 ∈ (Base‘𝐺))
9392ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → ∀𝑘𝐴 𝑃 ∈ (Base‘𝐺))
94 rspcsbela 4390 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝑃 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑧 / 𝑘𝑃 ∈ (Base‘𝐺))
9591, 93, 94syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑧 / 𝑘𝑃 ∈ (Base‘𝐺))
9640ad2antrl 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑄𝐵)
97 gsumvsca.p . . . . . . . . . . . 12 + = (+g𝑊)
98 eqid 2825 . . . . . . . . . . . 12 (+g𝐺) = (+g𝐺)
9941, 97, 42, 43, 66, 98slmdvsdir 30761 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ SLMod ∧ ((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 / 𝑘𝑃 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑄𝐵)) → (((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃))(+g𝐺)𝑧 / 𝑘𝑃) · 𝑄) = (((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄) + (𝑧 / 𝑘𝑃 · 𝑄)))
10065, 87, 95, 96, 99syl13anc 1366 . . . . . . . . . 10 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃))(+g𝐺)𝑧 / 𝑘𝑃) · 𝑄) = (((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄) + (𝑧 / 𝑘𝑃 · 𝑄)))
101100adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄)) → (((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃))(+g𝐺)𝑧 / 𝑘𝑃) · 𝑄) = (((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄) + (𝑧 / 𝑘𝑃 · 𝑄)))
102 nfcsb1v 3910 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝑧 / 𝑘𝑃
10389a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑧 ∈ V)
104 simplr 765 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → ¬ 𝑧𝑒)
105 csbeq1a 3900 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑧𝑃 = 𝑧 / 𝑘𝑃)
106102, 66, 98, 69, 83, 80, 103, 104, 95, 105gsumunsnf 19002 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑃)) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃))(+g𝐺)𝑧 / 𝑘𝑃))
107106oveq1d 7166 . . . . . . . . . 10 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑃)) · 𝑄) = (((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃))(+g𝐺)𝑧 / 𝑘𝑃) · 𝑄))
108107adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄)) → ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑃)) · 𝑄) = (((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃))(+g𝐺)𝑧 / 𝑘𝑃) · 𝑄))
109 nfcv 2981 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘 ·
110 nfcv 2981 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘𝑄
111102, 109, 110nfov 7181 . . . . . . . . . . . 12 𝑘(𝑧 / 𝑘𝑃 · 𝑄)
112 slmdcmn 30750 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ SLMod → 𝑊 ∈ CMnd)
11365, 112syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑊 ∈ CMnd)
11472, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑒) → 𝑊 ∈ SLMod)
11572, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑒) → 𝑄𝐵)
11641, 42, 43, 66slmdvscl 30759 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑄𝐵) → (𝑃 · 𝑄) ∈ 𝐵)
117114, 80, 115, 116syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑒) → (𝑃 · 𝑄) ∈ 𝐵)
11841, 42, 43, 66slmdvscl 30759 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑧 / 𝑘𝑃 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑄𝐵) → (𝑧 / 𝑘𝑃 · 𝑄) ∈ 𝐵)
11965, 95, 96, 118syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑧 / 𝑘𝑃 · 𝑄) ∈ 𝐵)
120105oveq1d 7166 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑧 → (𝑃 · 𝑄) = (𝑧 / 𝑘𝑃 · 𝑄))
121111, 41, 97, 113, 83, 117, 103, 104, 119, 120gsumunsnf 19002 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) + (𝑧 / 𝑘𝑃 · 𝑄)))
122121adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄)) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) + (𝑧 / 𝑘𝑃 · 𝑄)))
123 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄)) → (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄))
124123oveq1d 7166 . . . . . . . . . 10 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄)) → ((𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) + (𝑧 / 𝑘𝑃 · 𝑄)) = (((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄) + (𝑧 / 𝑘𝑃 · 𝑄)))
125122, 124eqtrd 2860 . . . . . . . . 9 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄)) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄) + (𝑧 / 𝑘𝑃 · 𝑄)))
126101, 108, 1253eqtr4rd 2871 . . . . . . . 8 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄)) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑃)) · 𝑄))
127126exp31 420 . . . . . . 7 ((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) → ((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → ((𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑃)) · 𝑄))))
128127a2d 29 . . . . . 6 ((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) → (((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄)) → ((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑃)) · 𝑄))))
12964, 128syl5 34 . . . . 5 ((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) → (((𝜑𝑒𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄)) → ((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑃)) · 𝑄))))
13011, 20, 29, 38, 59, 129findcard2s 8751 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → ((𝜑𝐴𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑃)) · 𝑄)))
131130imp 407 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝜑𝐴𝐴)) → (𝑊 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑃)) · 𝑄))
1322, 131mpanr2 700 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝜑) → (𝑊 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑃)) · 𝑄))
1331, 132mpancom 684 1 (𝜑 → (𝑊 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑃)) · 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3142  Vcvv 3499  csb 3886  cun 3937  wss 3939  c0 4294  {csn 4563  cmpt 5142  cfv 6351  (class class class)co 7151  Fincfn 8501  Basecbs 16476  +gcplusg 16558  Scalarcsca 16561   ·𝑠 cvsca 16562  0gc0g 16706   Σg cgsu 16707  CMndccmn 18829  SRingcsrg 19178  SLModcslmd 30745
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-iin 4919  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7402  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-seq 13363  df-hash 13684  df-ndx 16479  df-slot 16480  df-base 16482  df-sets 16483  df-ress 16484  df-plusg 16571  df-0g 16708  df-gsum 16709  df-mre 16850  df-mrc 16851  df-acs 16853  df-mgm 17845  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17948  df-mulg 18158  df-cntz 18380  df-cmn 18831  df-srg 19179  df-slmd 30746
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator