Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumvsca2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumvsca2 31765
Description: Scalar product of a finite group sum for a left module over a semiring. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 12-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumvsca.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
gsumvsca.g 𝐺 = (Scalar‘𝑊)
gsumvsca.z 0 = (0g𝑊)
gsumvsca.t · = ( ·𝑠𝑊)
gsumvsca.p + = (+g𝑊)
gsumvsca.k (𝜑𝐾 ⊆ (Base‘𝐺))
gsumvsca.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
gsumvsca.w (𝜑𝑊 ∈ SLMod)
gsumvsca2.n (𝜑𝑄𝐵)
gsumvsca2.c ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
gsumvsca2 (𝜑 → (𝑊 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑃)) · 𝑄))
Distinct variable groups:   · ,𝑘   𝐴,𝑘   𝑘,𝑊   𝜑,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝐾   𝑄,𝑘
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑘)   + (𝑘)   0 (𝑘)

Proof of Theorem gsumvsca2
Dummy variables 𝑒 𝑎 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumvsca.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 ssid 3957 . . 3 𝐴𝐴
3 sseq1 3960 . . . . . . 7 (𝑎 = ∅ → (𝑎𝐴 ↔ ∅ ⊆ 𝐴))
43anbi2d 630 . . . . . 6 (𝑎 = ∅ → ((𝜑𝑎𝐴) ↔ (𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐴)))
5 mpteq1 5189 . . . . . . . 8 (𝑎 = ∅ → (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄)) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄)))
65oveq2d 7357 . . . . . . 7 (𝑎 = ∅ → (𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))))
7 mpteq1 5189 . . . . . . . . 9 (𝑎 = ∅ → (𝑘𝑎𝑃) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑃))
87oveq2d 7357 . . . . . . . 8 (𝑎 = ∅ → (𝐺 Σg (𝑘𝑎𝑃)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑃)))
98oveq1d 7356 . . . . . . 7 (𝑎 = ∅ → ((𝐺 Σg (𝑘𝑎𝑃)) · 𝑄) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑃)) · 𝑄))
106, 9eqeq12d 2753 . . . . . 6 (𝑎 = ∅ → ((𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑎𝑃)) · 𝑄) ↔ (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑃)) · 𝑄)))
114, 10imbi12d 345 . . . . 5 (𝑎 = ∅ → (((𝜑𝑎𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑎𝑃)) · 𝑄)) ↔ ((𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑃)) · 𝑄))))
12 sseq1 3960 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑒 → (𝑎𝐴𝑒𝐴))
1312anbi2d 630 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑒 → ((𝜑𝑎𝐴) ↔ (𝜑𝑒𝐴)))
14 mpteq1 5189 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑒 → (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄)) = (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄)))
1514oveq2d 7357 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑒 → (𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))))
16 mpteq1 5189 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑒 → (𝑘𝑎𝑃) = (𝑘𝑒𝑃))
1716oveq2d 7357 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑒 → (𝐺 Σg (𝑘𝑎𝑃)) = (𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)))
1817oveq1d 7356 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑒 → ((𝐺 Σg (𝑘𝑎𝑃)) · 𝑄) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄))
1915, 18eqeq12d 2753 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑒 → ((𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑎𝑃)) · 𝑄) ↔ (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄)))
2013, 19imbi12d 345 . . . . 5 (𝑎 = 𝑒 → (((𝜑𝑎𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑎𝑃)) · 𝑄)) ↔ ((𝜑𝑒𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄))))
21 sseq1 3960 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → (𝑎𝐴 ↔ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴))
2221anbi2d 630 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → ((𝜑𝑎𝐴) ↔ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)))
23 mpteq1 5189 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄)) = (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄)))
2423oveq2d 7357 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → (𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))))
25 mpteq1 5189 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → (𝑘𝑎𝑃) = (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑃))
2625oveq2d 7357 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → (𝐺 Σg (𝑘𝑎𝑃)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑃)))
2726oveq1d 7356 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → ((𝐺 Σg (𝑘𝑎𝑃)) · 𝑄) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑃)) · 𝑄))
2824, 27eqeq12d 2753 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → ((𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑎𝑃)) · 𝑄) ↔ (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑃)) · 𝑄)))
2922, 28imbi12d 345 . . . . 5 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → (((𝜑𝑎𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑎𝑃)) · 𝑄)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑃)) · 𝑄))))
30 sseq1 3960 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎𝐴𝐴𝐴))
3130anbi2d 630 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐴 → ((𝜑𝑎𝐴) ↔ (𝜑𝐴𝐴)))
32 mpteq1 5189 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐴 → (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄)) = (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄)))
3332oveq2d 7357 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐴 → (𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑊 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))))
34 mpteq1 5189 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝐴 → (𝑘𝑎𝑃) = (𝑘𝐴𝑃))
3534oveq2d 7357 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐴 → (𝐺 Σg (𝑘𝑎𝑃)) = (𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑃)))
3635oveq1d 7356 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐴 → ((𝐺 Σg (𝑘𝑎𝑃)) · 𝑄) = ((𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑃)) · 𝑄))
3733, 36eqeq12d 2753 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐴 → ((𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑎𝑃)) · 𝑄) ↔ (𝑊 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑃)) · 𝑄)))
3831, 37imbi12d 345 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → (((𝜑𝑎𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑎𝑃)) · 𝑄)) ↔ ((𝜑𝐴𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑃)) · 𝑄))))
39 gsumvsca.w . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ SLMod)
40 gsumvsca2.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄𝐵)
41 gsumvsca.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝑊)
42 gsumvsca.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (Scalar‘𝑊)
43 gsumvsca.t . . . . . . . . . 10 · = ( ·𝑠𝑊)
44 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (0g𝐺) = (0g𝐺)
45 gsumvsca.z . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑊)
4641, 42, 43, 44, 45slmd0vs 31762 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑄𝐵) → ((0g𝐺) · 𝑄) = 0 )
4739, 40, 46syl2anc 585 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((0g𝐺) · 𝑄) = 0 )
4847eqcomd 2743 . . . . . . 7 (𝜑0 = ((0g𝐺) · 𝑄))
49 mpt0 6630 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄)) = ∅
5049oveq2i 7352 . . . . . . . 8 (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑊 Σg ∅)
5145gsum0 18465 . . . . . . . 8 (𝑊 Σg ∅) = 0
5250, 51eqtri 2765 . . . . . . 7 (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))) = 0
53 mpt0 6630 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑃) = ∅
5453oveq2i 7352 . . . . . . . . 9 (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑃)) = (𝐺 Σg ∅)
5544gsum0 18465 . . . . . . . . 9 (𝐺 Σg ∅) = (0g𝐺)
5654, 55eqtri 2765 . . . . . . . 8 (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑃)) = (0g𝐺)
5756oveq1i 7351 . . . . . . 7 ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑃)) · 𝑄) = ((0g𝐺) · 𝑄)
5848, 52, 573eqtr4g 2802 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑃)) · 𝑄))
5958adantr 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑃)) · 𝑄))
60 ssun1 4123 . . . . . . . . 9 𝑒 ⊆ (𝑒 ∪ {𝑧})
61 sstr2 3942 . . . . . . . . 9 (𝑒 ⊆ (𝑒 ∪ {𝑧}) → ((𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑒𝐴))
6260, 61ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑒𝐴)
6362anim2i 618 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝜑𝑒𝐴))
6463imim1i 63 . . . . . 6 (((𝜑𝑒𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄)) → ((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄)))
6539ad2antrl 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑊 ∈ SLMod)
66 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
6742slmdsrg 31745 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ SLMod → 𝐺 ∈ SRing)
68 srgcmn 19838 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ SRing → 𝐺 ∈ CMnd)
6965, 67, 683syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝐺 ∈ CMnd)
70 vex 3446 . . . . . . . . . . . . 13 𝑒 ∈ V
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑒 ∈ V)
72 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑒) → 𝜑)
73 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
7473unssad 4138 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑒𝐴)
7574sselda 3935 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑒) → 𝑘𝐴)
76 gsumvsca.k . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐾 ⊆ (Base‘𝐺))
7776adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐾 ⊆ (Base‘𝐺))
78 gsumvsca2.c . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑃𝐾)
7977, 78sseldd 3936 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐺))
8072, 75, 79syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑒) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐺))
8180fmpttd 7049 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑘𝑒𝑃):𝑒⟶(Base‘𝐺))
82 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘𝑒𝑃) = (𝑘𝑒𝑃)
83 simpll 765 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑒 ∈ Fin)
8472, 75, 78syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑒) → 𝑃𝐾)
85 fvexd 6844 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (0g𝐺) ∈ V)
8682, 83, 84, 85fsuppmptdm 9241 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑘𝑒𝑃) finSupp (0g𝐺))
8766, 44, 69, 71, 81, 86gsumcl 19610 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) ∈ (Base‘𝐺))
8873unssbd 4139 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → {𝑧} ⊆ 𝐴)
89 vex 3446 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧 ∈ V
9089snss 4737 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧𝐴 ↔ {𝑧} ⊆ 𝐴)
9188, 90sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑧𝐴)
9279ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝑃 ∈ (Base‘𝐺))
9392ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → ∀𝑘𝐴 𝑃 ∈ (Base‘𝐺))
94 rspcsbela 4386 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝑃 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑧 / 𝑘𝑃 ∈ (Base‘𝐺))
9591, 93, 94syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑧 / 𝑘𝑃 ∈ (Base‘𝐺))
9640ad2antrl 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑄𝐵)
97 gsumvsca.p . . . . . . . . . . . 12 + = (+g𝑊)
98 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (+g𝐺) = (+g𝐺)
9941, 97, 42, 43, 66, 98slmdvsdir 31754 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ SLMod ∧ ((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 / 𝑘𝑃 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑄𝐵)) → (((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃))(+g𝐺)𝑧 / 𝑘𝑃) · 𝑄) = (((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄) + (𝑧 / 𝑘𝑃 · 𝑄)))
10065, 87, 95, 96, 99syl13anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃))(+g𝐺)𝑧 / 𝑘𝑃) · 𝑄) = (((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄) + (𝑧 / 𝑘𝑃 · 𝑄)))
101100adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄)) → (((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃))(+g𝐺)𝑧 / 𝑘𝑃) · 𝑄) = (((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄) + (𝑧 / 𝑘𝑃 · 𝑄)))
102 nfcsb1v 3871 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝑧 / 𝑘𝑃
10389a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑧 ∈ V)
104 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → ¬ 𝑧𝑒)
105 csbeq1a 3860 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑧𝑃 = 𝑧 / 𝑘𝑃)
106102, 66, 98, 69, 83, 80, 103, 104, 95, 105gsumunsnf 19654 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑃)) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃))(+g𝐺)𝑧 / 𝑘𝑃))
107106oveq1d 7356 . . . . . . . . . 10 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑃)) · 𝑄) = (((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃))(+g𝐺)𝑧 / 𝑘𝑃) · 𝑄))
108107adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄)) → ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑃)) · 𝑄) = (((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃))(+g𝐺)𝑧 / 𝑘𝑃) · 𝑄))
109 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘 ·
110 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘𝑄
111102, 109, 110nfov 7371 . . . . . . . . . . . 12 𝑘(𝑧 / 𝑘𝑃 · 𝑄)
112 slmdcmn 31743 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ SLMod → 𝑊 ∈ CMnd)
11365, 112syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑊 ∈ CMnd)
11472, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑒) → 𝑊 ∈ SLMod)
11572, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑒) → 𝑄𝐵)
11641, 42, 43, 66slmdvscl 31752 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑄𝐵) → (𝑃 · 𝑄) ∈ 𝐵)
117114, 80, 115, 116syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑒) → (𝑃 · 𝑄) ∈ 𝐵)
11841, 42, 43, 66slmdvscl 31752 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑧 / 𝑘𝑃 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑄𝐵) → (𝑧 / 𝑘𝑃 · 𝑄) ∈ 𝐵)
11965, 95, 96, 118syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑧 / 𝑘𝑃 · 𝑄) ∈ 𝐵)
120105oveq1d 7356 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑧 → (𝑃 · 𝑄) = (𝑧 / 𝑘𝑃 · 𝑄))
121111, 41, 97, 113, 83, 117, 103, 104, 119, 120gsumunsnf 19654 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) + (𝑧 / 𝑘𝑃 · 𝑄)))
122121adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄)) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) + (𝑧 / 𝑘𝑃 · 𝑄)))
123 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄)) → (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄))
124123oveq1d 7356 . . . . . . . . . 10 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄)) → ((𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) + (𝑧 / 𝑘𝑃 · 𝑄)) = (((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄) + (𝑧 / 𝑘𝑃 · 𝑄)))
125122, 124eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄)) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄) + (𝑧 / 𝑘𝑃 · 𝑄)))
126101, 108, 1253eqtr4rd 2788 . . . . . . . 8 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄)) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑃)) · 𝑄))
127126exp31 421 . . . . . . 7 ((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) → ((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → ((𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑃)) · 𝑄))))
128127a2d 29 . . . . . 6 ((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) → (((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄)) → ((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑃)) · 𝑄))))
12964, 128syl5 34 . . . . 5 ((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) → (((𝜑𝑒𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝑒𝑃)) · 𝑄)) → ((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑃)) · 𝑄))))
13011, 20, 29, 38, 59, 129findcard2s 9034 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → ((𝜑𝐴𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑃)) · 𝑄)))
131130imp 408 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝜑𝐴𝐴)) → (𝑊 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑃)) · 𝑄))
1322, 131mpanr2 702 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝜑) → (𝑊 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑃)) · 𝑄))
1331, 132mpancom 686 1 (𝜑 → (𝑊 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑃)) · 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3062  Vcvv 3442  csb 3846  cun 3899  wss 3901  c0 4273  {csn 4577  cmpt 5179  cfv 6483  (class class class)co 7341  Fincfn 8808  Basecbs 17009  +gcplusg 17059  Scalarcsca 17062   ·𝑠 cvsca 17063  0gc0g 17247   Σg cgsu 17248  CMndccmn 19481  SRingcsrg 19835  SLModcslmd 31738
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5233  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654  ax-cnex 11032  ax-resscn 11033  ax-1cn 11034  ax-icn 11035  ax-addcl 11036  ax-addrcl 11037  ax-mulcl 11038  ax-mulrcl 11039  ax-mulcom 11040  ax-addass 11041  ax-mulass 11042  ax-distr 11043  ax-i2m1 11044  ax-1ne0 11045  ax-1rid 11046  ax-rnegex 11047  ax-rrecex 11048  ax-cnre 11049  ax-pre-lttri 11050  ax-pre-lttrn 11051  ax-pre-ltadd 11052  ax-pre-mulgt0 11053
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3920  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4857  df-int 4899  df-iun 4947  df-iin 4948  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-tr 5214  df-id 5522  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6242  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-isom 6492  df-riota 7297  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7599  df-om 7785  df-1st 7903  df-2nd 7904  df-supp 8052  df-frecs 8171  df-wrecs 8202  df-recs 8276  df-rdg 8315  df-1o 8371  df-er 8573  df-en 8809  df-dom 8810  df-sdom 8811  df-fin 8812  df-fsupp 9231  df-oi 9371  df-card 9800  df-pnf 11116  df-mnf 11117  df-xr 11118  df-ltxr 11119  df-le 11120  df-sub 11312  df-neg 11313  df-nn 12079  df-2 12141  df-n0 12339  df-z 12425  df-uz 12688  df-fz 13345  df-fzo 13488  df-seq 13827  df-hash 14150  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-0g 17249  df-gsum 17250  df-mre 17392  df-mrc 17393  df-acs 17395  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-submnd 18528  df-mulg 18797  df-cntz 19019  df-cmn 19483  df-srg 19836  df-slmd 31739
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator