Theorem lmodslmd 32905

Description: Left semimodules generalize the notion of left modules. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
lmodslmd	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ SLMod)

Proof of Theorem lmodslmd

Dummy variables 𝑟 𝑞 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodcmn 20786	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ CMnd)
2		eqid 2727	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3	2	lmodring 20744	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
4		ringsrg 20226	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ Ring → (Scalar‘𝑊) ∈ SRing)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ SRing)
6		eqid 2727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
7		eqid 2727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
8		eqid 2727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
9		eqid 2727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
10		eqid 2727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
11		eqid 2727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
12		eqid 2727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
13	6, 7, 8, 2, 9, 10, 11, 12	islmod 20740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ LMod ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ Ring ∧ ∀𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑤(+g‘𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = 𝑤))))
14	13	simp3bi 1145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ∀𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑤(+g‘𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = 𝑤)))
15	14	r19.21bi 3243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑤(+g‘𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = 𝑤)))
16	15	r19.21bi 3243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑤(+g‘𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = 𝑤)))
17	16	r19.21bi 3243	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → ∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑤(+g‘𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = 𝑤)))
18	17	r19.21bi 3243	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊)) → (((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑤(+g‘𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = 𝑤)))
19	18	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑤(+g‘𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤))))
20	18	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊)) → (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = 𝑤))
21	20	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)))
22	20	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊)) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = 𝑤)
23		simp-4l 782	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑊 ∈ LMod)
24		eqid 2727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
25		eqid 2727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
26	6, 2, 8, 24, 25	lmod0vs 20771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊)) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (0g‘𝑊))
27	23, 26	sylancom 587	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊)) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (0g‘𝑊))
28	21, 22, 27	3jca 1126	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊)) → (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = 𝑤 ∧ ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (0g‘𝑊)))
29	19, 28	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊)) → (((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑤(+g‘𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = 𝑤 ∧ ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (0g‘𝑊))))
30	29	ralrimiva 3141	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → ∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑤(+g‘𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = 𝑤 ∧ ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (0g‘𝑊))))
31	30	ralrimiva 3141	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑤(+g‘𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = 𝑤 ∧ ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (0g‘𝑊))))
32	31	ralrimiva 3141	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑤(+g‘𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = 𝑤 ∧ ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (0g‘𝑊))))
33	32	ralrimiva 3141	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ∀𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑤(+g‘𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = 𝑤 ∧ ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (0g‘𝑊))))
34	6, 7, 8, 25, 2, 9, 10, 11, 12, 24	isslmd 32903	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod ↔ (𝑊 ∈ CMnd ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ SRing ∧ ∀𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑤(+g‘𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = 𝑤 ∧ ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (0g‘𝑊)))))
35	1, 5, 33, 34	syl3anbrc 1341	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ SLMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3056  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17173  +_gcplusg 17226  ._rcmulr 17227  Scalarcsca 17229   ·_𝑠 cvsca 17230  0_gc0g 17414  Grpcgrp 18883  CMndccmn 19728  1_rcur 20114  SRingcsrg 20119  Ringcrg 20166  LModclmod 20736  SLModcslmd 32901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-plusg 17239  df-0g 17416  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-grp 18886  df-minusg 18887  df-cmn 19730  df-abl 19731  df-mgp 20068  df-rng 20086  df-ur 20115  df-srg 20120  df-ring 20168  df-lmod 20738  df-slmd 32902

This theorem is referenced by: (None)