Theorem lmodslmd 33812

Description: Left semimodules generalize the notion of left modules. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
lmodslmd	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ SLMod)

Proof of Theorem lmodslmd

Dummy variables 𝑟 𝑞 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodcmn 21191	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ CMnd)
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3	2	lmodring 21149	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
4		ringsrg 20534	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ Ring → (Scalar‘𝑊) ∈ SRing)
5	3, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ SRing)
6		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
7		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
8		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
9		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
10		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
11		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
12		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
13	6, 7, 8, 2, 9, 10, 11, 12	islmod 21145	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ LMod ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ Ring ∧ ∀𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑤(+g‘𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = 𝑤))))
14	13	simp3bi 1165	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ∀𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑤(+g‘𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = 𝑤)))
15	14	r19.21bi 3254	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑤(+g‘𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = 𝑤)))
16	15	r19.21bi 3254	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑤(+g‘𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = 𝑤)))
17	16	r19.21bi 3254	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → ∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑤(+g‘𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = 𝑤)))
18	17	r19.21bi 3254	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊)) → (((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑤(+g‘𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = 𝑤)))
19	18	simpld 500	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑤(+g‘𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤))))
20	18	simprd 501	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊)) → (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = 𝑤))
21	20	simpld 500	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)))
22	20	simprd 501	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊)) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = 𝑤)
23		simp-4l 795	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑊 ∈ LMod)
24		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
25		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
26	6, 2, 8, 24, 25	lmod0vs 21176	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊)) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (0g‘𝑊))
27	23, 26	sylancom 600	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊)) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (0g‘𝑊))
28	21, 22, 27	3jca 1146	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊)) → (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = 𝑤 ∧ ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (0g‘𝑊)))
29	19, 28	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊)) → (((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑤(+g‘𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = 𝑤 ∧ ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (0g‘𝑊))))
30	29	ralrimiva 3154	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → ∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑤(+g‘𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = 𝑤 ∧ ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (0g‘𝑊))))
31	30	ralrimiva 3154	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑤(+g‘𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = 𝑤 ∧ ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (0g‘𝑊))))
32	31	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑤(+g‘𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = 𝑤 ∧ ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (0g‘𝑊))))
33	32	ralrimiva 3154	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ∀𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑤(+g‘𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = 𝑤 ∧ ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (0g‘𝑊))))
34	6, 7, 8, 25, 2, 9, 10, 11, 12, 24	isslmd 33810	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod ↔ (𝑊 ∈ CMnd ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ SRing ∧ ∀𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑤(+g‘𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = 𝑤 ∧ ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (0g‘𝑊)))))
35	1, 5, 33, 34	syl3anbrc 1362	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ SLMod)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Basecbs 17393  +_gcplusg 17434  ._rcmulr 17435  Scalarcsca 17437   ·_𝑠 cvsca 17438  0_gc0g 17616  Grpcgrp 19150  CMndccmn 20000  1_rcur 20413  SRingcsrg 20418  Ringcrg 20465  LModclmod 21141  SLModcslmd 33808

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-plusg 17447  df-0g 17618  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-grp 19153  df-minusg 19154  df-cmn 20002  df-abl 20003  df-mgp 20367  df-rng 20381  df-ur 20414  df-srg 20419  df-ring 20467  df-lmod 21143  df-slmd 33809

This theorem is used by: (None)