Theorem lmodslmd 33286

Description: Left semimodules generalize the notion of left modules. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
lmodslmd	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ SLMod)

Proof of Theorem lmodslmd

Dummy variables 𝑟 𝑞 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodcmn 20861	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ CMnd)
2		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3	2	lmodring 20819	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
4		ringsrg 20232	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ Ring → (Scalar‘𝑊) ∈ SRing)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ SRing)
6		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
7		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
8		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
9		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
10		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
11		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
12		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
13	6, 7, 8, 2, 9, 10, 11, 12	islmod 20815	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ LMod ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ Ring ∧ ∀𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑤(+g‘𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = 𝑤))))
14	13	simp3bi 1147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ∀𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑤(+g‘𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = 𝑤)))
15	14	r19.21bi 3228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑤(+g‘𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = 𝑤)))
16	15	r19.21bi 3228	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑤(+g‘𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = 𝑤)))
17	16	r19.21bi 3228	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → ∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑤(+g‘𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = 𝑤)))
18	17	r19.21bi 3228	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊)) → (((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑤(+g‘𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = 𝑤)))
19	18	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑤(+g‘𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤))))
20	18	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊)) → (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = 𝑤))
21	20	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)))
22	20	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊)) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = 𝑤)
23		simp-4l 782	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑊 ∈ LMod)
24		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
25		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
26	6, 2, 8, 24, 25	lmod0vs 20846	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊)) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (0g‘𝑊))
27	23, 26	sylancom 588	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊)) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (0g‘𝑊))
28	21, 22, 27	3jca 1128	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊)) → (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = 𝑤 ∧ ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (0g‘𝑊)))
29	19, 28	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊)) → (((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑤(+g‘𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = 𝑤 ∧ ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (0g‘𝑊))))
30	29	ralrimiva 3128	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → ∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑤(+g‘𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = 𝑤 ∧ ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (0g‘𝑊))))
31	30	ralrimiva 3128	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑤(+g‘𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = 𝑤 ∧ ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (0g‘𝑊))))
32	31	ralrimiva 3128	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑤(+g‘𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = 𝑤 ∧ ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (0g‘𝑊))))
33	32	ralrimiva 3128	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ∀𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑤(+g‘𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = 𝑤 ∧ ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (0g‘𝑊))))
34	6, 7, 8, 25, 2, 9, 10, 11, 12, 24	isslmd 33284	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod ↔ (𝑊 ∈ CMnd ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ SRing ∧ ∀𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑤(+g‘𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = 𝑤 ∧ ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (0g‘𝑊)))))
35	1, 5, 33, 34	syl3anbrc 1344	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ SLMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  +_gcplusg 17177  ._rcmulr 17178  Scalarcsca 17180   ·_𝑠 cvsca 17181  0_gc0g 17359  Grpcgrp 18863  CMndccmn 19709  1_rcur 20116  SRingcsrg 20121  Ringcrg 20168  LModclmod 20811  SLModcslmd 33282

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-plusg 17190  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-srg 20122  df-ring 20170  df-lmod 20813  df-slmd 33283

This theorem is referenced by: (None)