Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmodslmd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodslmd 32855
Description: Left semimodules generalize the notion of left modules. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
lmodslmd (๐‘Š โˆˆ LMod โ†’ ๐‘Š โˆˆ SLMod)

Proof of Theorem lmodslmd
Dummy variables ๐‘Ÿ ๐‘ž ๐‘ค ๐‘ฅ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmodcmn 20756 . 2 (๐‘Š โˆˆ LMod โ†’ ๐‘Š โˆˆ CMnd)
2 eqid 2726 . . . 4 (Scalarโ€˜๐‘Š) = (Scalarโ€˜๐‘Š)
32lmodring 20714 . . 3 (๐‘Š โˆˆ LMod โ†’ (Scalarโ€˜๐‘Š) โˆˆ Ring)
4 ringsrg 20196 . . 3 ((Scalarโ€˜๐‘Š) โˆˆ Ring โ†’ (Scalarโ€˜๐‘Š) โˆˆ SRing)
53, 4syl 17 . 2 (๐‘Š โˆˆ LMod โ†’ (Scalarโ€˜๐‘Š) โˆˆ SRing)
6 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 (Baseโ€˜๐‘Š) = (Baseโ€˜๐‘Š)
7 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 (+gโ€˜๐‘Š) = (+gโ€˜๐‘Š)
8 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š) = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)
9 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š)) = (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))
10 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 (+gโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š)) = (+gโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))
11 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 (.rโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š)) = (.rโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))
12 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 (1rโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š)) = (1rโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))
136, 7, 8, 2, 9, 10, 11, 12islmod 20710 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Š โˆˆ LMod โ†” (๐‘Š โˆˆ Grp โˆง (Scalarโ€˜๐‘Š) โˆˆ Ring โˆง โˆ€๐‘ž โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))โˆ€๐‘Ÿ โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š)โˆ€๐‘ค โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š)(((๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š) โˆง (๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)(๐‘ค(+gโ€˜๐‘Š)๐‘ฅ)) = ((๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค)(+gโ€˜๐‘Š)(๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ฅ)) โˆง ((๐‘ž(+gโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))๐‘Ÿ)( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) = ((๐‘ž( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค)(+gโ€˜๐‘Š)(๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค))) โˆง (((๐‘ž(.rโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))๐‘Ÿ)( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) = (๐‘ž( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)(๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค)) โˆง ((1rโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) = ๐‘ค))))
1413simp3bi 1144 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Š โˆˆ LMod โ†’ โˆ€๐‘ž โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))โˆ€๐‘Ÿ โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š)โˆ€๐‘ค โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š)(((๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š) โˆง (๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)(๐‘ค(+gโ€˜๐‘Š)๐‘ฅ)) = ((๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค)(+gโ€˜๐‘Š)(๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ฅ)) โˆง ((๐‘ž(+gโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))๐‘Ÿ)( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) = ((๐‘ž( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค)(+gโ€˜๐‘Š)(๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค))) โˆง (((๐‘ž(.rโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))๐‘Ÿ)( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) = (๐‘ž( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)(๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค)) โˆง ((1rโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) = ๐‘ค)))
1514r19.21bi 3242 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Š โˆˆ LMod โˆง ๐‘ž โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))) โ†’ โˆ€๐‘Ÿ โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š)โˆ€๐‘ค โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š)(((๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š) โˆง (๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)(๐‘ค(+gโ€˜๐‘Š)๐‘ฅ)) = ((๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค)(+gโ€˜๐‘Š)(๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ฅ)) โˆง ((๐‘ž(+gโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))๐‘Ÿ)( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) = ((๐‘ž( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค)(+gโ€˜๐‘Š)(๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค))) โˆง (((๐‘ž(.rโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))๐‘Ÿ)( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) = (๐‘ž( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)(๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค)) โˆง ((1rโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) = ๐‘ค)))
1615r19.21bi 3242 . . . . . . . . . 10 (((๐‘Š โˆˆ LMod โˆง ๐‘ž โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š)โˆ€๐‘ค โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š)(((๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š) โˆง (๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)(๐‘ค(+gโ€˜๐‘Š)๐‘ฅ)) = ((๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค)(+gโ€˜๐‘Š)(๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ฅ)) โˆง ((๐‘ž(+gโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))๐‘Ÿ)( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) = ((๐‘ž( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค)(+gโ€˜๐‘Š)(๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค))) โˆง (((๐‘ž(.rโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))๐‘Ÿ)( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) = (๐‘ž( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)(๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค)) โˆง ((1rโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) = ๐‘ค)))
1716r19.21bi 3242 . . . . . . . . 9 ((((๐‘Š โˆˆ LMod โˆง ๐‘ž โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š)) โ†’ โˆ€๐‘ค โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š)(((๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š) โˆง (๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)(๐‘ค(+gโ€˜๐‘Š)๐‘ฅ)) = ((๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค)(+gโ€˜๐‘Š)(๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ฅ)) โˆง ((๐‘ž(+gโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))๐‘Ÿ)( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) = ((๐‘ž( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค)(+gโ€˜๐‘Š)(๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค))) โˆง (((๐‘ž(.rโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))๐‘Ÿ)( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) = (๐‘ž( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)(๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค)) โˆง ((1rโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) = ๐‘ค)))
1817r19.21bi 3242 . . . . . . . 8 (((((๐‘Š โˆˆ LMod โˆง ๐‘ž โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š)) โ†’ (((๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š) โˆง (๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)(๐‘ค(+gโ€˜๐‘Š)๐‘ฅ)) = ((๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค)(+gโ€˜๐‘Š)(๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ฅ)) โˆง ((๐‘ž(+gโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))๐‘Ÿ)( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) = ((๐‘ž( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค)(+gโ€˜๐‘Š)(๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค))) โˆง (((๐‘ž(.rโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))๐‘Ÿ)( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) = (๐‘ž( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)(๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค)) โˆง ((1rโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) = ๐‘ค)))
1918simpld 494 . . . . . . 7 (((((๐‘Š โˆˆ LMod โˆง ๐‘ž โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š)) โ†’ ((๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š) โˆง (๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)(๐‘ค(+gโ€˜๐‘Š)๐‘ฅ)) = ((๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค)(+gโ€˜๐‘Š)(๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ฅ)) โˆง ((๐‘ž(+gโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))๐‘Ÿ)( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) = ((๐‘ž( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค)(+gโ€˜๐‘Š)(๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค))))
2018simprd 495 . . . . . . . . 9 (((((๐‘Š โˆˆ LMod โˆง ๐‘ž โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š)) โ†’ (((๐‘ž(.rโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))๐‘Ÿ)( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) = (๐‘ž( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)(๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค)) โˆง ((1rโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) = ๐‘ค))
2120simpld 494 . . . . . . . 8 (((((๐‘Š โˆˆ LMod โˆง ๐‘ž โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š)) โ†’ ((๐‘ž(.rโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))๐‘Ÿ)( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) = (๐‘ž( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)(๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค)))
2220simprd 495 . . . . . . . 8 (((((๐‘Š โˆˆ LMod โˆง ๐‘ž โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š)) โ†’ ((1rโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) = ๐‘ค)
23 simp-4l 780 . . . . . . . . 9 (((((๐‘Š โˆˆ LMod โˆง ๐‘ž โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š)) โ†’ ๐‘Š โˆˆ LMod)
24 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (0gโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š)) = (0gโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))
25 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (0gโ€˜๐‘Š) = (0gโ€˜๐‘Š)
266, 2, 8, 24, 25lmod0vs 20741 . . . . . . . . 9 ((๐‘Š โˆˆ LMod โˆง ๐‘ค โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š)) โ†’ ((0gโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) = (0gโ€˜๐‘Š))
2723, 26sylancom 587 . . . . . . . 8 (((((๐‘Š โˆˆ LMod โˆง ๐‘ž โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š)) โ†’ ((0gโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) = (0gโ€˜๐‘Š))
2821, 22, 273jca 1125 . . . . . . 7 (((((๐‘Š โˆˆ LMod โˆง ๐‘ž โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š)) โ†’ (((๐‘ž(.rโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))๐‘Ÿ)( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) = (๐‘ž( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)(๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค)) โˆง ((1rโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) = ๐‘ค โˆง ((0gโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) = (0gโ€˜๐‘Š)))
2919, 28jca 511 . . . . . 6 (((((๐‘Š โˆˆ LMod โˆง ๐‘ž โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š)) โ†’ (((๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š) โˆง (๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)(๐‘ค(+gโ€˜๐‘Š)๐‘ฅ)) = ((๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค)(+gโ€˜๐‘Š)(๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ฅ)) โˆง ((๐‘ž(+gโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))๐‘Ÿ)( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) = ((๐‘ž( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค)(+gโ€˜๐‘Š)(๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค))) โˆง (((๐‘ž(.rโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))๐‘Ÿ)( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) = (๐‘ž( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)(๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค)) โˆง ((1rโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) = ๐‘ค โˆง ((0gโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) = (0gโ€˜๐‘Š))))
3029ralrimiva 3140 . . . . 5 ((((๐‘Š โˆˆ LMod โˆง ๐‘ž โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š)) โ†’ โˆ€๐‘ค โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š)(((๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š) โˆง (๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)(๐‘ค(+gโ€˜๐‘Š)๐‘ฅ)) = ((๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค)(+gโ€˜๐‘Š)(๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ฅ)) โˆง ((๐‘ž(+gโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))๐‘Ÿ)( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) = ((๐‘ž( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค)(+gโ€˜๐‘Š)(๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค))) โˆง (((๐‘ž(.rโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))๐‘Ÿ)( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) = (๐‘ž( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)(๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค)) โˆง ((1rโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) = ๐‘ค โˆง ((0gโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) = (0gโ€˜๐‘Š))))
3130ralrimiva 3140 . . . 4 (((๐‘Š โˆˆ LMod โˆง ๐‘ž โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š)โˆ€๐‘ค โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š)(((๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š) โˆง (๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)(๐‘ค(+gโ€˜๐‘Š)๐‘ฅ)) = ((๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค)(+gโ€˜๐‘Š)(๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ฅ)) โˆง ((๐‘ž(+gโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))๐‘Ÿ)( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) = ((๐‘ž( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค)(+gโ€˜๐‘Š)(๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค))) โˆง (((๐‘ž(.rโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))๐‘Ÿ)( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) = (๐‘ž( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)(๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค)) โˆง ((1rโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) = ๐‘ค โˆง ((0gโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) = (0gโ€˜๐‘Š))))
3231ralrimiva 3140 . . 3 ((๐‘Š โˆˆ LMod โˆง ๐‘ž โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))) โ†’ โˆ€๐‘Ÿ โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š)โˆ€๐‘ค โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š)(((๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š) โˆง (๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)(๐‘ค(+gโ€˜๐‘Š)๐‘ฅ)) = ((๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค)(+gโ€˜๐‘Š)(๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ฅ)) โˆง ((๐‘ž(+gโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))๐‘Ÿ)( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) = ((๐‘ž( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค)(+gโ€˜๐‘Š)(๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค))) โˆง (((๐‘ž(.rโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))๐‘Ÿ)( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) = (๐‘ž( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)(๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค)) โˆง ((1rโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) = ๐‘ค โˆง ((0gโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) = (0gโ€˜๐‘Š))))
3332ralrimiva 3140 . 2 (๐‘Š โˆˆ LMod โ†’ โˆ€๐‘ž โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))โˆ€๐‘Ÿ โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š)โˆ€๐‘ค โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š)(((๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š) โˆง (๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)(๐‘ค(+gโ€˜๐‘Š)๐‘ฅ)) = ((๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค)(+gโ€˜๐‘Š)(๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ฅ)) โˆง ((๐‘ž(+gโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))๐‘Ÿ)( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) = ((๐‘ž( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค)(+gโ€˜๐‘Š)(๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค))) โˆง (((๐‘ž(.rโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))๐‘Ÿ)( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) = (๐‘ž( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)(๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค)) โˆง ((1rโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) = ๐‘ค โˆง ((0gโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) = (0gโ€˜๐‘Š))))
346, 7, 8, 25, 2, 9, 10, 11, 12, 24isslmd 32853 . 2 (๐‘Š โˆˆ SLMod โ†” (๐‘Š โˆˆ CMnd โˆง (Scalarโ€˜๐‘Š) โˆˆ SRing โˆง โˆ€๐‘ž โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))โˆ€๐‘Ÿ โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š)โˆ€๐‘ค โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š)(((๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š) โˆง (๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)(๐‘ค(+gโ€˜๐‘Š)๐‘ฅ)) = ((๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค)(+gโ€˜๐‘Š)(๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ฅ)) โˆง ((๐‘ž(+gโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))๐‘Ÿ)( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) = ((๐‘ž( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค)(+gโ€˜๐‘Š)(๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค))) โˆง (((๐‘ž(.rโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))๐‘Ÿ)( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) = (๐‘ž( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)(๐‘Ÿ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค)) โˆง ((1rโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) = ๐‘ค โˆง ((0gโ€˜(Scalarโ€˜๐‘Š))( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)๐‘ค) = (0gโ€˜๐‘Š)))))
351, 5, 33, 34syl3anbrc 1340 1 (๐‘Š โˆˆ LMod โ†’ ๐‘Š โˆˆ SLMod)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  .rcmulr 17207  Scalarcsca 17209   ยท๐‘  cvsca 17210  0gc0g 17394  Grpcgrp 18863  CMndccmn 19700  1rcur 20086  SRingcsrg 20091  Ringcrg 20138  LModclmod 20706  SLModcslmd 32851
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-srg 20092  df-ring 20140  df-lmod 20708  df-slmd 32852
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator