Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmodslmd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodslmd 31451
Description: Left semimodules generalize the notion of left modules. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
lmodslmd (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ SLMod)

Proof of Theorem lmodslmd
Dummy variables 𝑟 𝑞 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmodcmn 20167 . 2 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ CMnd)
2 eqid 2740 . . . 4 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
32lmodring 20127 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
4 ringsrg 19824 . . 3 ((Scalar‘𝑊) ∈ Ring → (Scalar‘𝑊) ∈ SRing)
53, 4syl 17 . 2 (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ SRing)
6 eqid 2740 . . . . . . . . . . . . . 14 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
7 eqid 2740 . . . . . . . . . . . . . 14 (+g𝑊) = (+g𝑊)
8 eqid 2740 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
9 eqid 2740 . . . . . . . . . . . . . 14 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
10 eqid 2740 . . . . . . . . . . . . . 14 (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
11 eqid 2740 . . . . . . . . . . . . . 14 (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
12 eqid 2740 . . . . . . . . . . . . . 14 (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
136, 7, 8, 2, 9, 10, 11, 12islmod 20123 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ LMod ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ Ring ∧ ∀𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠𝑊)(𝑤(+g𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤)(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠𝑊)𝑤)(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑤) = 𝑤))))
1413simp3bi 1146 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ LMod → ∀𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠𝑊)(𝑤(+g𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤)(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠𝑊)𝑤)(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑤) = 𝑤)))
1514r19.21bi 3135 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠𝑊)(𝑤(+g𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤)(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠𝑊)𝑤)(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑤) = 𝑤)))
1615r19.21bi 3135 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠𝑊)(𝑤(+g𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤)(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠𝑊)𝑤)(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑤) = 𝑤)))
1716r19.21bi 3135 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → ∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠𝑊)(𝑤(+g𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤)(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠𝑊)𝑤)(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑤) = 𝑤)))
1817r19.21bi 3135 . . . . . . . 8 (((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊)) → (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠𝑊)(𝑤(+g𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤)(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠𝑊)𝑤)(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑤) = 𝑤)))
1918simpld 495 . . . . . . 7 (((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠𝑊)(𝑤(+g𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤)(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠𝑊)𝑤)(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤))))
2018simprd 496 . . . . . . . . 9 (((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊)) → (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑤) = 𝑤))
2120simpld 495 . . . . . . . 8 (((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤)))
2220simprd 496 . . . . . . . 8 (((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊)) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑤) = 𝑤)
23 simp-4l 780 . . . . . . . . 9 (((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑊 ∈ LMod)
24 eqid 2740 . . . . . . . . . 10 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
25 eqid 2740 . . . . . . . . . 10 (0g𝑊) = (0g𝑊)
266, 2, 8, 24, 25lmod0vs 20152 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊)) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑤) = (0g𝑊))
2723, 26sylancom 588 . . . . . . . 8 (((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊)) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑤) = (0g𝑊))
2821, 22, 273jca 1127 . . . . . . 7 (((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊)) → (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑤) = 𝑤 ∧ ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑤) = (0g𝑊)))
2919, 28jca 512 . . . . . 6 (((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑊)) → (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠𝑊)(𝑤(+g𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤)(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠𝑊)𝑤)(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑤) = 𝑤 ∧ ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑤) = (0g𝑊))))
3029ralrimiva 3110 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → ∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠𝑊)(𝑤(+g𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤)(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠𝑊)𝑤)(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑤) = 𝑤 ∧ ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑤) = (0g𝑊))))
3130ralrimiva 3110 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠𝑊)(𝑤(+g𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤)(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠𝑊)𝑤)(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑤) = 𝑤 ∧ ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑤) = (0g𝑊))))
3231ralrimiva 3110 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠𝑊)(𝑤(+g𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤)(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠𝑊)𝑤)(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑤) = 𝑤 ∧ ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑤) = (0g𝑊))))
3332ralrimiva 3110 . 2 (𝑊 ∈ LMod → ∀𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠𝑊)(𝑤(+g𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤)(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠𝑊)𝑤)(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑤) = 𝑤 ∧ ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑤) = (0g𝑊))))
346, 7, 8, 25, 2, 9, 10, 11, 12, 24isslmd 31449 . 2 (𝑊 ∈ SLMod ↔ (𝑊 ∈ CMnd ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ SRing ∧ ∀𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠𝑊)(𝑤(+g𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤)(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠𝑊)𝑤)(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑤) = 𝑤 ∧ ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑤) = (0g𝑊)))))
351, 5, 33, 34syl3anbrc 1342 1 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ SLMod)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1542  wcel 2110  wral 3066  cfv 6431  (class class class)co 7269  Basecbs 16908  +gcplusg 16958  .rcmulr 16959  Scalarcsca 16961   ·𝑠 cvsca 16962  0gc0g 17146  Grpcgrp 18573  CMndccmn 19382  1rcur 19733  SRingcsrg 19737  Ringcrg 19779  LModclmod 20119  SLModcslmd 31447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10926  ax-resscn 10927  ax-1cn 10928  ax-icn 10929  ax-addcl 10930  ax-addrcl 10931  ax-mulcl 10932  ax-mulrcl 10933  ax-mulcom 10934  ax-addass 10935  ax-mulass 10936  ax-distr 10937  ax-i2m1 10938  ax-1ne0 10939  ax-1rid 10940  ax-rnegex 10941  ax-rrecex 10942  ax-cnre 10943  ax-pre-lttri 10944  ax-pre-lttrn 10945  ax-pre-ltadd 10946  ax-pre-mulgt0 10947
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7705  df-2nd 7823  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-er 8479  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-pnf 11010  df-mnf 11011  df-xr 11012  df-ltxr 11013  df-le 11014  df-sub 11205  df-neg 11206  df-nn 11972  df-2 12034  df-sets 16861  df-slot 16879  df-ndx 16891  df-base 16909  df-plusg 16971  df-0g 17148  df-mgm 18322  df-sgrp 18371  df-mnd 18382  df-grp 18576  df-minusg 18577  df-cmn 19384  df-abl 19385  df-mgp 19717  df-ur 19734  df-srg 19738  df-ring 19781  df-lmod 20121  df-slmd 31448
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator