Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumvsca1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumvsca1 31005
 Description: Scalar product of a finite group sum for a left module over a semiring. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumvsca.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
gsumvsca.g 𝐺 = (Scalar‘𝑊)
gsumvsca.z 0 = (0g𝑊)
gsumvsca.t · = ( ·𝑠𝑊)
gsumvsca.p + = (+g𝑊)
gsumvsca.k (𝜑𝐾 ⊆ (Base‘𝐺))
gsumvsca.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
gsumvsca.w (𝜑𝑊 ∈ SLMod)
gsumvsca1.n (𝜑𝑃𝐾)
gsumvsca1.c ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑄𝐵)
Assertion
Ref Expression
gsumvsca1 (𝜑 → (𝑊 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝐴𝑄))))
Distinct variable groups:   · ,𝑘   𝐴,𝑘   𝑘,𝑊   𝜑,𝑘   𝐵,𝑘   𝑃,𝑘
Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝑄(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐾(𝑘)   0 (𝑘)

Proof of Theorem gsumvsca1
Dummy variables 𝑒 𝑎 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumvsca.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 ssid 3914 . . 3 𝐴𝐴
3 sseq1 3917 . . . . . . 7 (𝑎 = ∅ → (𝑎𝐴 ↔ ∅ ⊆ 𝐴))
43anbi2d 631 . . . . . 6 (𝑎 = ∅ → ((𝜑𝑎𝐴) ↔ (𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐴)))
5 mpteq1 5120 . . . . . . . 8 (𝑎 = ∅ → (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄)) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄)))
65oveq2d 7166 . . . . . . 7 (𝑎 = ∅ → (𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))))
7 mpteq1 5120 . . . . . . . . 9 (𝑎 = ∅ → (𝑘𝑎𝑄) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑄))
87oveq2d 7166 . . . . . . . 8 (𝑎 = ∅ → (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄)) = (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑄)))
98oveq2d 7166 . . . . . . 7 (𝑎 = ∅ → (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑄))))
106, 9eqeq12d 2774 . . . . . 6 (𝑎 = ∅ → ((𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄))) ↔ (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑄)))))
114, 10imbi12d 348 . . . . 5 (𝑎 = ∅ → (((𝜑𝑎𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄)))) ↔ ((𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑄))))))
12 sseq1 3917 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑒 → (𝑎𝐴𝑒𝐴))
1312anbi2d 631 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑒 → ((𝜑𝑎𝐴) ↔ (𝜑𝑒𝐴)))
14 mpteq1 5120 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑒 → (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄)) = (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄)))
1514oveq2d 7166 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑒 → (𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))))
16 mpteq1 5120 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑒 → (𝑘𝑎𝑄) = (𝑘𝑒𝑄))
1716oveq2d 7166 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑒 → (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄)) = (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)))
1817oveq2d 7166 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑒 → (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄))))
1915, 18eqeq12d 2774 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑒 → ((𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄))) ↔ (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)))))
2013, 19imbi12d 348 . . . . 5 (𝑎 = 𝑒 → (((𝜑𝑎𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄)))) ↔ ((𝜑𝑒𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄))))))
21 sseq1 3917 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → (𝑎𝐴 ↔ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴))
2221anbi2d 631 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → ((𝜑𝑎𝐴) ↔ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)))
23 mpteq1 5120 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄)) = (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄)))
2423oveq2d 7166 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → (𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))))
25 mpteq1 5120 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → (𝑘𝑎𝑄) = (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑄))
2625oveq2d 7166 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄)) = (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑄)))
2726oveq2d 7166 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑄))))
2824, 27eqeq12d 2774 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → ((𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄))) ↔ (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑄)))))
2922, 28imbi12d 348 . . . . 5 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → (((𝜑𝑎𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄)))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑄))))))
30 sseq1 3917 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎𝐴𝐴𝐴))
3130anbi2d 631 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐴 → ((𝜑𝑎𝐴) ↔ (𝜑𝐴𝐴)))
32 mpteq1 5120 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐴 → (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄)) = (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄)))
3332oveq2d 7166 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐴 → (𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑊 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))))
34 mpteq1 5120 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝐴 → (𝑘𝑎𝑄) = (𝑘𝐴𝑄))
3534oveq2d 7166 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐴 → (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄)) = (𝑊 Σg (𝑘𝐴𝑄)))
3635oveq2d 7166 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐴 → (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝐴𝑄))))
3733, 36eqeq12d 2774 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐴 → ((𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄))) ↔ (𝑊 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝐴𝑄)))))
3831, 37imbi12d 348 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → (((𝜑𝑎𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄)))) ↔ ((𝜑𝐴𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝐴𝑄))))))
39 gsumvsca.w . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ SLMod)
40 gsumvsca.k . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ⊆ (Base‘𝐺))
41 gsumvsca1.n . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃𝐾)
4240, 41sseldd 3893 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ (Base‘𝐺))
43 gsumvsca.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (Scalar‘𝑊)
44 gsumvsca.t . . . . . . . . . 10 · = ( ·𝑠𝑊)
45 eqid 2758 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
46 gsumvsca.z . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑊)
4743, 44, 45, 46slmdvs0 31004 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑃 · 0 ) = 0 )
4839, 42, 47syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 · 0 ) = 0 )
4948eqcomd 2764 . . . . . . 7 (𝜑0 = (𝑃 · 0 ))
50 mpt0 6473 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄)) = ∅
5150oveq2i 7161 . . . . . . . 8 (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑊 Σg ∅)
5246gsum0 17960 . . . . . . . 8 (𝑊 Σg ∅) = 0
5351, 52eqtri 2781 . . . . . . 7 (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))) = 0
54 mpt0 6473 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑄) = ∅
5554oveq2i 7161 . . . . . . . . 9 (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑄)) = (𝑊 Σg ∅)
5655, 52eqtri 2781 . . . . . . . 8 (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑄)) = 0
5756oveq2i 7161 . . . . . . 7 (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑄))) = (𝑃 · 0 )
5849, 53, 573eqtr4g 2818 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑄))))
5958adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑄))))
60 ssun1 4077 . . . . . . . . 9 𝑒 ⊆ (𝑒 ∪ {𝑧})
61 sstr2 3899 . . . . . . . . 9 (𝑒 ⊆ (𝑒 ∪ {𝑧}) → ((𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑒𝐴))
6260, 61ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑒𝐴)
6362anim2i 619 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝜑𝑒𝐴))
6463imim1i 63 . . . . . 6 (((𝜑𝑒𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)))) → ((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)))))
6539ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑊 ∈ SLMod)
6642ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐺))
67 gsumvsca.b . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (Base‘𝑊)
68 slmdcmn 30984 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ SLMod → 𝑊 ∈ CMnd)
6965, 68syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑊 ∈ CMnd)
70 vex 3413 . . . . . . . . . . . . 13 𝑒 ∈ V
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑒 ∈ V)
72 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑒) → 𝜑)
73 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
7473unssad 4092 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑒𝐴)
7574sselda 3892 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑒) → 𝑘𝐴)
76 gsumvsca1.c . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑄𝐵)
7772, 75, 76syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑒) → 𝑄𝐵)
7877fmpttd 6870 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑘𝑒𝑄):𝑒𝐵)
79 eqid 2758 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘𝑒𝑄) = (𝑘𝑒𝑄)
80 simpll 766 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑒 ∈ Fin)
8146fvexi 6672 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ V
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 0 ∈ V)
8379, 80, 77, 82fsuppmptdm 8877 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑘𝑒𝑄) finSupp 0 )
8467, 46, 69, 71, 78, 83gsumcl 19103 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)) ∈ 𝐵)
8573unssbd 4093 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → {𝑧} ⊆ 𝐴)
86 vex 3413 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧 ∈ V
8786snss 4676 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧𝐴 ↔ {𝑧} ⊆ 𝐴)
8885, 87sylibr 237 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑧𝐴)
8976ralrimiva 3113 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝑄𝐵)
9089ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → ∀𝑘𝐴 𝑄𝐵)
91 rspcsbela 4332 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝑄𝐵) → 𝑧 / 𝑘𝑄𝐵)
9288, 90, 91syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑧 / 𝑘𝑄𝐵)
93 gsumvsca.p . . . . . . . . . . . 12 + = (+g𝑊)
9467, 93, 43, 44, 45slmdvsdi 30994 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ SLMod ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)) ∈ 𝐵𝑧 / 𝑘𝑄𝐵)) → (𝑃 · ((𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)) + 𝑧 / 𝑘𝑄)) = ((𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄))) + (𝑃 · 𝑧 / 𝑘𝑄)))
9565, 66, 84, 92, 94syl13anc 1369 . . . . . . . . . 10 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑃 · ((𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)) + 𝑧 / 𝑘𝑄)) = ((𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄))) + (𝑃 · 𝑧 / 𝑘𝑄)))
9695adantr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)))) → (𝑃 · ((𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)) + 𝑧 / 𝑘𝑄)) = ((𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄))) + (𝑃 · 𝑧 / 𝑘𝑄)))
97 nfcsb1v 3829 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝑧 / 𝑘𝑄
9886a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑧 ∈ V)
99 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → ¬ 𝑧𝑒)
100 csbeq1a 3819 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑧𝑄 = 𝑧 / 𝑘𝑄)
10197, 67, 93, 69, 80, 77, 98, 99, 92, 100gsumunsnf 19147 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑄)) = ((𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)) + 𝑧 / 𝑘𝑄))
102101oveq2d 7166 . . . . . . . . . 10 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑄))) = (𝑃 · ((𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)) + 𝑧 / 𝑘𝑄)))
103102adantr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)))) → (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑄))) = (𝑃 · ((𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)) + 𝑧 / 𝑘𝑄)))
104 nfcv 2919 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘𝑃
105 nfcv 2919 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘 ·
106104, 105, 97nfov 7180 . . . . . . . . . . . 12 𝑘(𝑃 · 𝑧 / 𝑘𝑄)
10772, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑒) → 𝑊 ∈ SLMod)
10872, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑒) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐺))
10967, 43, 44, 45slmdvscl 30993 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑄𝐵) → (𝑃 · 𝑄) ∈ 𝐵)
110107, 108, 77, 109syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑒) → (𝑃 · 𝑄) ∈ 𝐵)
11167, 43, 44, 45slmdvscl 30993 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 / 𝑘𝑄𝐵) → (𝑃 · 𝑧 / 𝑘𝑄) ∈ 𝐵)
11265, 66, 92, 111syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑃 · 𝑧 / 𝑘𝑄) ∈ 𝐵)
113100oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑧 → (𝑃 · 𝑄) = (𝑃 · 𝑧 / 𝑘𝑄))
114106, 67, 93, 69, 80, 110, 98, 99, 112, 113gsumunsnf 19147 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) + (𝑃 · 𝑧 / 𝑘𝑄)))
115114adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)))) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) + (𝑃 · 𝑧 / 𝑘𝑄)))
116 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)))) → (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄))))
117116oveq1d 7165 . . . . . . . . . 10 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)))) → ((𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) + (𝑃 · 𝑧 / 𝑘𝑄)) = ((𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄))) + (𝑃 · 𝑧 / 𝑘𝑄)))
118115, 117eqtrd 2793 . . . . . . . . 9 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)))) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄))) + (𝑃 · 𝑧 / 𝑘𝑄)))
11996, 103, 1183eqtr4rd 2804 . . . . . . . 8 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)))) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑄))))
120119exp31 423 . . . . . . 7 ((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) → ((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → ((𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄))) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑄))))))
121120a2d 29 . . . . . 6 ((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) → (((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)))) → ((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑄))))))
12264, 121syl5 34 . . . . 5 ((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) → (((𝜑𝑒𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)))) → ((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑄))))))
12311, 20, 29, 38, 59, 122findcard2s 8736 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → ((𝜑𝐴𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝐴𝑄)))))
124123imp 410 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝜑𝐴𝐴)) → (𝑊 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝐴𝑄))))
1252, 124mpanr2 703 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝜑) → (𝑊 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝐴𝑄))))
1261, 125mpancom 687 1 (𝜑 → (𝑊 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝐴𝑄))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070  Vcvv 3409  ⦋csb 3805   ∪ cun 3856   ⊆ wss 3858  ∅c0 4225  {csn 4522   ↦ cmpt 5112  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  Fincfn 8527  Basecbs 16541  +gcplusg 16623  Scalarcsca 16626   ·𝑠 cvsca 16627  0gc0g 16771   Σg cgsu 16772  CMndccmn 18973  SLModcslmd 30979 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-iin 4886  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-isom 6344  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7405  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-supp 7836  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-fsupp 8867  df-oi 9007  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-seq 13419  df-hash 13741  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549  df-plusg 16636  df-0g 16773  df-gsum 16774  df-mre 16915  df-mrc 16916  df-acs 16918  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-submnd 18023  df-mulg 18292  df-cntz 18514  df-cmn 18975  df-srg 19324  df-slmd 30980 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator