Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumvsca1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem gsumvsca1 32371
Description: Scalar product of a finite group sum for a left module over a semiring. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumvsca.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
gsumvsca.g 𝐺 = (Scalarβ€˜π‘Š)
gsumvsca.z 0 = (0gβ€˜π‘Š)
gsumvsca.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
gsumvsca.p + = (+gβ€˜π‘Š)
gsumvsca.k (πœ‘ β†’ 𝐾 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
gsumvsca.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
gsumvsca.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ SLMod)
gsumvsca1.n (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐾)
gsumvsca1.c ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
gsumvsca1 (πœ‘ β†’ (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝑃 Β· 𝑄))) = (𝑃 Β· (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝑄))))
Distinct variable groups:   Β· ,π‘˜   𝐴,π‘˜   π‘˜,π‘Š   πœ‘,π‘˜   𝐡,π‘˜   𝑃,π‘˜
Allowed substitution hints:   + (π‘˜)   𝑄(π‘˜)   𝐺(π‘˜)   𝐾(π‘˜)   0 (π‘˜)
Proof of Theorem gsumvsca1
Dummy variables 𝑒 π‘Ž 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumvsca.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
2 ssid 4005 . . 3 𝐴 βŠ† 𝐴
3 sseq1 4008 . . . . . . 7 (π‘Ž = βˆ… β†’ (π‘Ž βŠ† 𝐴 ↔ βˆ… βŠ† 𝐴))
43anbi2d 630 . . . . . 6 (π‘Ž = βˆ… β†’ ((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴) ↔ (πœ‘ ∧ βˆ… βŠ† 𝐴)))
5 mpteq1 5242 . . . . . . . 8 (π‘Ž = βˆ… β†’ (π‘˜ ∈ π‘Ž ↦ (𝑃 Β· 𝑄)) = (π‘˜ ∈ βˆ… ↦ (𝑃 Β· 𝑄)))
65oveq2d 7425 . . . . . . 7 (π‘Ž = βˆ… β†’ (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘Ž ↦ (𝑃 Β· 𝑄))) = (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ βˆ… ↦ (𝑃 Β· 𝑄))))
7 mpteq1 5242 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = βˆ… β†’ (π‘˜ ∈ π‘Ž ↦ 𝑄) = (π‘˜ ∈ βˆ… ↦ 𝑄))
87oveq2d 7425 . . . . . . . 8 (π‘Ž = βˆ… β†’ (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘Ž ↦ 𝑄)) = (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ βˆ… ↦ 𝑄)))
98oveq2d 7425 . . . . . . 7 (π‘Ž = βˆ… β†’ (𝑃 Β· (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘Ž ↦ 𝑄))) = (𝑃 Β· (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ βˆ… ↦ 𝑄))))
106, 9eqeq12d 2749 . . . . . 6 (π‘Ž = βˆ… β†’ ((π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘Ž ↦ (𝑃 Β· 𝑄))) = (𝑃 Β· (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘Ž ↦ 𝑄))) ↔ (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ βˆ… ↦ (𝑃 Β· 𝑄))) = (𝑃 Β· (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ βˆ… ↦ 𝑄)))))
114, 10imbi12d 345 . . . . 5 (π‘Ž = βˆ… β†’ (((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴) β†’ (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘Ž ↦ (𝑃 Β· 𝑄))) = (𝑃 Β· (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘Ž ↦ 𝑄)))) ↔ ((πœ‘ ∧ βˆ… βŠ† 𝐴) β†’ (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ βˆ… ↦ (𝑃 Β· 𝑄))) = (𝑃 Β· (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ βˆ… ↦ 𝑄))))))
12 sseq1 4008 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑒 β†’ (π‘Ž βŠ† 𝐴 ↔ 𝑒 βŠ† 𝐴))
1312anbi2d 630 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑒 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑒 βŠ† 𝐴)))
14 mpteq1 5242 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑒 β†’ (π‘˜ ∈ π‘Ž ↦ (𝑃 Β· 𝑄)) = (π‘˜ ∈ 𝑒 ↦ (𝑃 Β· 𝑄)))
1514oveq2d 7425 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑒 β†’ (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘Ž ↦ (𝑃 Β· 𝑄))) = (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑒 ↦ (𝑃 Β· 𝑄))))
16 mpteq1 5242 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝑒 β†’ (π‘˜ ∈ π‘Ž ↦ 𝑄) = (π‘˜ ∈ 𝑒 ↦ 𝑄))
1716oveq2d 7425 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑒 β†’ (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘Ž ↦ 𝑄)) = (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑒 ↦ 𝑄)))
1817oveq2d 7425 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑒 β†’ (𝑃 Β· (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘Ž ↦ 𝑄))) = (𝑃 Β· (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑒 ↦ 𝑄))))
1915, 18eqeq12d 2749 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑒 β†’ ((π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘Ž ↦ (𝑃 Β· 𝑄))) = (𝑃 Β· (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘Ž ↦ 𝑄))) ↔ (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑒 ↦ (𝑃 Β· 𝑄))) = (𝑃 Β· (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑒 ↦ 𝑄)))))
2013, 19imbi12d 345 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑒 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴) β†’ (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘Ž ↦ (𝑃 Β· 𝑄))) = (𝑃 Β· (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘Ž ↦ 𝑄)))) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑒 βŠ† 𝐴) β†’ (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑒 ↦ (𝑃 Β· 𝑄))) = (𝑃 Β· (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑒 ↦ 𝑄))))))
21 sseq1 4008 . . . . . . 7 (π‘Ž = (𝑒 βˆͺ {𝑧}) β†’ (π‘Ž βŠ† 𝐴 ↔ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴))
2221anbi2d 630 . . . . . 6 (π‘Ž = (𝑒 βˆͺ {𝑧}) β†’ ((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴) ↔ (πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴)))
23 mpteq1 5242 . . . . . . . 8 (π‘Ž = (𝑒 βˆͺ {𝑧}) β†’ (π‘˜ ∈ π‘Ž ↦ (𝑃 Β· 𝑄)) = (π‘˜ ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) ↦ (𝑃 Β· 𝑄)))
2423oveq2d 7425 . . . . . . 7 (π‘Ž = (𝑒 βˆͺ {𝑧}) β†’ (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘Ž ↦ (𝑃 Β· 𝑄))) = (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) ↦ (𝑃 Β· 𝑄))))
25 mpteq1 5242 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = (𝑒 βˆͺ {𝑧}) β†’ (π‘˜ ∈ π‘Ž ↦ 𝑄) = (π‘˜ ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) ↦ 𝑄))
2625oveq2d 7425 . . . . . . . 8 (π‘Ž = (𝑒 βˆͺ {𝑧}) β†’ (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘Ž ↦ 𝑄)) = (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) ↦ 𝑄)))
2726oveq2d 7425 . . . . . . 7 (π‘Ž = (𝑒 βˆͺ {𝑧}) β†’ (𝑃 Β· (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘Ž ↦ 𝑄))) = (𝑃 Β· (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) ↦ 𝑄))))
2824, 27eqeq12d 2749 . . . . . 6 (π‘Ž = (𝑒 βˆͺ {𝑧}) β†’ ((π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘Ž ↦ (𝑃 Β· 𝑄))) = (𝑃 Β· (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘Ž ↦ 𝑄))) ↔ (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) ↦ (𝑃 Β· 𝑄))) = (𝑃 Β· (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) ↦ 𝑄)))))
2922, 28imbi12d 345 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑒 βˆͺ {𝑧}) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴) β†’ (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘Ž ↦ (𝑃 Β· 𝑄))) = (𝑃 Β· (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘Ž ↦ 𝑄)))) ↔ ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴) β†’ (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) ↦ (𝑃 Β· 𝑄))) = (𝑃 Β· (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) ↦ 𝑄))))))
30 sseq1 4008 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (π‘Ž βŠ† 𝐴 ↔ 𝐴 βŠ† 𝐴))
3130anbi2d 630 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝐴 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴) ↔ (πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† 𝐴)))
32 mpteq1 5242 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (π‘˜ ∈ π‘Ž ↦ (𝑃 Β· 𝑄)) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝑃 Β· 𝑄)))
3332oveq2d 7425 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘Ž ↦ (𝑃 Β· 𝑄))) = (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝑃 Β· 𝑄))))
34 mpteq1 5242 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (π‘˜ ∈ π‘Ž ↦ 𝑄) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝑄))
3534oveq2d 7425 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘Ž ↦ 𝑄)) = (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝑄)))
3635oveq2d 7425 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (𝑃 Β· (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘Ž ↦ 𝑄))) = (𝑃 Β· (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝑄))))
3733, 36eqeq12d 2749 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝐴 β†’ ((π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘Ž ↦ (𝑃 Β· 𝑄))) = (𝑃 Β· (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘Ž ↦ 𝑄))) ↔ (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝑃 Β· 𝑄))) = (𝑃 Β· (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝑄)))))
3831, 37imbi12d 345 . . . . 5 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴) β†’ (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘Ž ↦ (𝑃 Β· 𝑄))) = (𝑃 Β· (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘Ž ↦ 𝑄)))) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† 𝐴) β†’ (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝑃 Β· 𝑄))) = (𝑃 Β· (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝑄))))))
39 gsumvsca.w . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ SLMod)
40 gsumvsca.k . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐾 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
41 gsumvsca1.n . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐾)
4240, 41sseldd 3984 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
43 gsumvsca.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (Scalarβ€˜π‘Š)
44 gsumvsca.t . . . . . . . . . 10 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
45 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
46 gsumvsca.z . . . . . . . . . 10 0 = (0gβ€˜π‘Š)
4743, 44, 45, 46slmdvs0 32370 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ SLMod ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (𝑃 Β· 0 ) = 0 )
4839, 42, 47syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑃 Β· 0 ) = 0 )
4948eqcomd 2739 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 = (𝑃 Β· 0 ))
50 mpt0 6693 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ βˆ… ↦ (𝑃 Β· 𝑄)) = βˆ…
5150oveq2i 7420 . . . . . . . 8 (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ βˆ… ↦ (𝑃 Β· 𝑄))) = (π‘Š Ξ£g βˆ…)
5246gsum0 18603 . . . . . . . 8 (π‘Š Ξ£g βˆ…) = 0
5351, 52eqtri 2761 . . . . . . 7 (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ βˆ… ↦ (𝑃 Β· 𝑄))) = 0
54 mpt0 6693 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ βˆ… ↦ 𝑄) = βˆ…
5554oveq2i 7420 . . . . . . . . 9 (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ βˆ… ↦ 𝑄)) = (π‘Š Ξ£g βˆ…)
5655, 52eqtri 2761 . . . . . . . 8 (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ βˆ… ↦ 𝑄)) = 0
5756oveq2i 7420 . . . . . . 7 (𝑃 Β· (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ βˆ… ↦ 𝑄))) = (𝑃 Β· 0 )
5849, 53, 573eqtr4g 2798 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ βˆ… ↦ (𝑃 Β· 𝑄))) = (𝑃 Β· (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ βˆ… ↦ 𝑄))))
5958adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ βˆ… βŠ† 𝐴) β†’ (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ βˆ… ↦ (𝑃 Β· 𝑄))) = (𝑃 Β· (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ βˆ… ↦ 𝑄))))
60 ssun1 4173 . . . . . . . . 9 𝑒 βŠ† (𝑒 βˆͺ {𝑧})
61 sstr2 3990 . . . . . . . . 9 (𝑒 βŠ† (𝑒 βˆͺ {𝑧}) β†’ ((𝑒 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 β†’ 𝑒 βŠ† 𝐴))
6260, 61ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑒 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 β†’ 𝑒 βŠ† 𝐴)
6362anim2i 618 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴) β†’ (πœ‘ ∧ 𝑒 βŠ† 𝐴))
6463imim1i 63 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 βŠ† 𝐴) β†’ (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑒 ↦ (𝑃 Β· 𝑄))) = (𝑃 Β· (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑒 ↦ 𝑄)))) β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴) β†’ (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑒 ↦ (𝑃 Β· 𝑄))) = (𝑃 Β· (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑒 ↦ 𝑄)))))
6539ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴)) β†’ π‘Š ∈ SLMod)
6642ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴)) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
67 gsumvsca.b . . . . . . . . . . . 12 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
68 slmdcmn 32350 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Š ∈ SLMod β†’ π‘Š ∈ CMnd)
6965, 68syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴)) β†’ π‘Š ∈ CMnd)
70 vex 3479 . . . . . . . . . . . . 13 𝑒 ∈ V
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴)) β†’ 𝑒 ∈ V)
72 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑒) β†’ πœ‘)
73 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑒 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴)) β†’ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴)
7473unssad 4188 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑒 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴)) β†’ 𝑒 βŠ† 𝐴)
7574sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑒) β†’ π‘˜ ∈ 𝐴)
76 gsumvsca1.c . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
7772, 75, 76syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑒) β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
7877fmpttd 7115 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑒 ↦ 𝑄):π‘’βŸΆπ΅)
79 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ 𝑒 ↦ 𝑄) = (π‘˜ ∈ 𝑒 ↦ 𝑄)
80 simpll 766 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑒 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴)) β†’ 𝑒 ∈ Fin)
8146fvexi 6906 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ V
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑒 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴)) β†’ 0 ∈ V)
8379, 80, 77, 82fsuppmptdm 9374 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑒 ↦ 𝑄) finSupp 0 )
8467, 46, 69, 71, 78, 83gsumcl 19783 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴)) β†’ (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑒 ↦ 𝑄)) ∈ 𝐡)
8573unssbd 4189 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑒 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴)) β†’ {𝑧} βŠ† 𝐴)
86 vex 3479 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧 ∈ V
8786snss 4790 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ 𝐴 ↔ {𝑧} βŠ† 𝐴)
8885, 87sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
8976ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝑄 ∈ 𝐡)
9089ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝑄 ∈ 𝐡)
91 rspcsbela 4436 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝑄 ∈ 𝐡) β†’ ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ‘„ ∈ 𝐡)
9288, 90, 91syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴)) β†’ ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ‘„ ∈ 𝐡)
93 gsumvsca.p . . . . . . . . . . . 12 + = (+gβ€˜π‘Š)
9467, 93, 43, 44, 45slmdvsdi 32360 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ SLMod ∧ (𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑒 ↦ 𝑄)) ∈ 𝐡 ∧ ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ‘„ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑃 Β· ((π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑒 ↦ 𝑄)) + ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ‘„)) = ((𝑃 Β· (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑒 ↦ 𝑄))) + (𝑃 Β· ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ‘„)))
9565, 66, 84, 92, 94syl13anc 1373 . . . . . . . . . 10 (((𝑒 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴)) β†’ (𝑃 Β· ((π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑒 ↦ 𝑄)) + ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ‘„)) = ((𝑃 Β· (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑒 ↦ 𝑄))) + (𝑃 Β· ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ‘„)))
9695adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴)) ∧ (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑒 ↦ (𝑃 Β· 𝑄))) = (𝑃 Β· (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑒 ↦ 𝑄)))) β†’ (𝑃 Β· ((π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑒 ↦ 𝑄)) + ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ‘„)) = ((𝑃 Β· (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑒 ↦ 𝑄))) + (𝑃 Β· ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ‘„)))
97 nfcsb1v 3919 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘˜β¦‹π‘§ / π‘˜β¦Œπ‘„
9886a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴)) β†’ 𝑧 ∈ V)
99 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴)) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑒)
100 csbeq1a 3908 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑧 β†’ 𝑄 = ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ‘„)
10197, 67, 93, 69, 80, 77, 98, 99, 92, 100gsumunsnf 19827 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴)) β†’ (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) ↦ 𝑄)) = ((π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑒 ↦ 𝑄)) + ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ‘„))
102101oveq2d 7425 . . . . . . . . . 10 (((𝑒 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴)) β†’ (𝑃 Β· (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) ↦ 𝑄))) = (𝑃 Β· ((π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑒 ↦ 𝑄)) + ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ‘„)))
103102adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴)) ∧ (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑒 ↦ (𝑃 Β· 𝑄))) = (𝑃 Β· (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑒 ↦ 𝑄)))) β†’ (𝑃 Β· (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) ↦ 𝑄))) = (𝑃 Β· ((π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑒 ↦ 𝑄)) + ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ‘„)))
104 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜π‘ƒ
105 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜ Β·
106104, 105, 97nfov 7439 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘˜(𝑃 Β· ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ‘„)
10772, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑒) β†’ π‘Š ∈ SLMod)
10872, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑒) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
10967, 43, 44, 45slmdvscl 32359 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ SLMod ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 Β· 𝑄) ∈ 𝐡)
110107, 108, 77, 109syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑒) β†’ (𝑃 Β· 𝑄) ∈ 𝐡)
11167, 43, 44, 45slmdvscl 32359 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ SLMod ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ‘„ ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 Β· ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ‘„) ∈ 𝐡)
11265, 66, 92, 111syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴)) β†’ (𝑃 Β· ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ‘„) ∈ 𝐡)
113100oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑧 β†’ (𝑃 Β· 𝑄) = (𝑃 Β· ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ‘„))
114106, 67, 93, 69, 80, 110, 98, 99, 112, 113gsumunsnf 19827 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴)) β†’ (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) ↦ (𝑃 Β· 𝑄))) = ((π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑒 ↦ (𝑃 Β· 𝑄))) + (𝑃 Β· ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ‘„)))
115114adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴)) ∧ (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑒 ↦ (𝑃 Β· 𝑄))) = (𝑃 Β· (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑒 ↦ 𝑄)))) β†’ (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) ↦ (𝑃 Β· 𝑄))) = ((π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑒 ↦ (𝑃 Β· 𝑄))) + (𝑃 Β· ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ‘„)))
116 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴)) ∧ (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑒 ↦ (𝑃 Β· 𝑄))) = (𝑃 Β· (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑒 ↦ 𝑄)))) β†’ (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑒 ↦ (𝑃 Β· 𝑄))) = (𝑃 Β· (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑒 ↦ 𝑄))))
117116oveq1d 7424 . . . . . . . . . 10 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴)) ∧ (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑒 ↦ (𝑃 Β· 𝑄))) = (𝑃 Β· (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑒 ↦ 𝑄)))) β†’ ((π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑒 ↦ (𝑃 Β· 𝑄))) + (𝑃 Β· ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ‘„)) = ((𝑃 Β· (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑒 ↦ 𝑄))) + (𝑃 Β· ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ‘„)))
118115, 117eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴)) ∧ (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑒 ↦ (𝑃 Β· 𝑄))) = (𝑃 Β· (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑒 ↦ 𝑄)))) β†’ (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) ↦ (𝑃 Β· 𝑄))) = ((𝑃 Β· (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑒 ↦ 𝑄))) + (𝑃 Β· ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ‘„)))
11996, 103, 1183eqtr4rd 2784 . . . . . . . 8 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑒) ∧ (πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴)) ∧ (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑒 ↦ (𝑃 Β· 𝑄))) = (𝑃 Β· (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑒 ↦ 𝑄)))) β†’ (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) ↦ (𝑃 Β· 𝑄))) = (𝑃 Β· (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) ↦ 𝑄))))
120119exp31 421 . . . . . . 7 ((𝑒 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑒) β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴) β†’ ((π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑒 ↦ (𝑃 Β· 𝑄))) = (𝑃 Β· (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑒 ↦ 𝑄))) β†’ (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) ↦ (𝑃 Β· 𝑄))) = (𝑃 Β· (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) ↦ 𝑄))))))
121120a2d 29 . . . . . 6 ((𝑒 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑒) β†’ (((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴) β†’ (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑒 ↦ (𝑃 Β· 𝑄))) = (𝑃 Β· (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑒 ↦ 𝑄)))) β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴) β†’ (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) ↦ (𝑃 Β· 𝑄))) = (𝑃 Β· (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) ↦ 𝑄))))))
12264, 121syl5 34 . . . . 5 ((𝑒 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑒) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑒 βŠ† 𝐴) β†’ (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑒 ↦ (𝑃 Β· 𝑄))) = (𝑃 Β· (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑒 ↦ 𝑄)))) β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴) β†’ (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) ↦ (𝑃 Β· 𝑄))) = (𝑃 Β· (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝑒 βˆͺ {𝑧}) ↦ 𝑄))))))
12311, 20, 29, 38, 59, 122findcard2s 9165 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin β†’ ((πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† 𝐴) β†’ (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝑃 Β· 𝑄))) = (𝑃 Β· (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝑄)))))
124123imp 408 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (πœ‘ ∧ 𝐴 βŠ† 𝐴)) β†’ (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝑃 Β· 𝑄))) = (𝑃 Β· (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝑄))))
1252, 124mpanr2 703 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ πœ‘) β†’ (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝑃 Β· 𝑄))) = (𝑃 Β· (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝑄))))
1261, 125mpancom 687 1 (πœ‘ β†’ (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝑃 Β· 𝑄))) = (𝑃 Β· (π‘Š Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝑄))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475  β¦‹csb 3894   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  {csn 4629   ↦ cmpt 5232  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  Scalarcsca 17200   ·𝑠 cvsca 17201  0gc0g 17385   Ξ£g cgsu 17386  CMndccmn 19648  SLModcslmd 32345
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-hash 14291  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-srg 20010  df-slmd 32346
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator