Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumvsca1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumvsca1 30250
Description: Scalar product of a finite group sum for a left module over a semiring. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumvsca.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
gsumvsca.g 𝐺 = (Scalar‘𝑊)
gsumvsca.z 0 = (0g𝑊)
gsumvsca.t · = ( ·𝑠𝑊)
gsumvsca.p + = (+g𝑊)
gsumvsca.k (𝜑𝐾 ⊆ (Base‘𝐺))
gsumvsca.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
gsumvsca.w (𝜑𝑊 ∈ SLMod)
gsumvsca1.n (𝜑𝑃𝐾)
gsumvsca1.c ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑄𝐵)
Assertion
Ref Expression
gsumvsca1 (𝜑 → (𝑊 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝐴𝑄))))
Distinct variable groups:   · ,𝑘   𝐴,𝑘   𝑘,𝑊   𝜑,𝑘   𝐵,𝑘   𝑃,𝑘
Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝑄(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐾(𝑘)   0 (𝑘)

Proof of Theorem gsumvsca1
Dummy variables 𝑒 𝑎 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumvsca.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 ssid 3785 . . 3 𝐴𝐴
3 sseq1 3788 . . . . . . 7 (𝑎 = ∅ → (𝑎𝐴 ↔ ∅ ⊆ 𝐴))
43anbi2d 622 . . . . . 6 (𝑎 = ∅ → ((𝜑𝑎𝐴) ↔ (𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐴)))
5 mpteq1 4898 . . . . . . . 8 (𝑎 = ∅ → (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄)) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄)))
65oveq2d 6862 . . . . . . 7 (𝑎 = ∅ → (𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))))
7 mpteq1 4898 . . . . . . . . 9 (𝑎 = ∅ → (𝑘𝑎𝑄) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑄))
87oveq2d 6862 . . . . . . . 8 (𝑎 = ∅ → (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄)) = (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑄)))
98oveq2d 6862 . . . . . . 7 (𝑎 = ∅ → (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑄))))
106, 9eqeq12d 2780 . . . . . 6 (𝑎 = ∅ → ((𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄))) ↔ (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑄)))))
114, 10imbi12d 335 . . . . 5 (𝑎 = ∅ → (((𝜑𝑎𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄)))) ↔ ((𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑄))))))
12 sseq1 3788 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑒 → (𝑎𝐴𝑒𝐴))
1312anbi2d 622 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑒 → ((𝜑𝑎𝐴) ↔ (𝜑𝑒𝐴)))
14 mpteq1 4898 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑒 → (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄)) = (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄)))
1514oveq2d 6862 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑒 → (𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))))
16 mpteq1 4898 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑒 → (𝑘𝑎𝑄) = (𝑘𝑒𝑄))
1716oveq2d 6862 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑒 → (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄)) = (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)))
1817oveq2d 6862 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑒 → (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄))))
1915, 18eqeq12d 2780 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑒 → ((𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄))) ↔ (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)))))
2013, 19imbi12d 335 . . . . 5 (𝑎 = 𝑒 → (((𝜑𝑎𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄)))) ↔ ((𝜑𝑒𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄))))))
21 sseq1 3788 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → (𝑎𝐴 ↔ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴))
2221anbi2d 622 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → ((𝜑𝑎𝐴) ↔ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)))
23 mpteq1 4898 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄)) = (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄)))
2423oveq2d 6862 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → (𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))))
25 mpteq1 4898 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → (𝑘𝑎𝑄) = (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑄))
2625oveq2d 6862 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄)) = (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑄)))
2726oveq2d 6862 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑄))))
2824, 27eqeq12d 2780 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → ((𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄))) ↔ (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑄)))))
2922, 28imbi12d 335 . . . . 5 (𝑎 = (𝑒 ∪ {𝑧}) → (((𝜑𝑎𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄)))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑄))))))
30 sseq1 3788 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎𝐴𝐴𝐴))
3130anbi2d 622 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐴 → ((𝜑𝑎𝐴) ↔ (𝜑𝐴𝐴)))
32 mpteq1 4898 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐴 → (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄)) = (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄)))
3332oveq2d 6862 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐴 → (𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑊 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))))
34 mpteq1 4898 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝐴 → (𝑘𝑎𝑄) = (𝑘𝐴𝑄))
3534oveq2d 6862 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐴 → (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄)) = (𝑊 Σg (𝑘𝐴𝑄)))
3635oveq2d 6862 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐴 → (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝐴𝑄))))
3733, 36eqeq12d 2780 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐴 → ((𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄))) ↔ (𝑊 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝐴𝑄)))))
3831, 37imbi12d 335 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → (((𝜑𝑎𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑎 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑎𝑄)))) ↔ ((𝜑𝐴𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝐴𝑄))))))
39 gsumvsca.w . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ SLMod)
40 gsumvsca.k . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ⊆ (Base‘𝐺))
41 gsumvsca1.n . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃𝐾)
4240, 41sseldd 3764 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ (Base‘𝐺))
43 gsumvsca.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (Scalar‘𝑊)
44 gsumvsca.t . . . . . . . . . 10 · = ( ·𝑠𝑊)
45 eqid 2765 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
46 gsumvsca.z . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑊)
4743, 44, 45, 46slmdvs0 30246 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑃 · 0 ) = 0 )
4839, 42, 47syl2anc 579 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 · 0 ) = 0 )
4948eqcomd 2771 . . . . . . 7 (𝜑0 = (𝑃 · 0 ))
50 mpt0 6201 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄)) = ∅
5150oveq2i 6857 . . . . . . . 8 (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑊 Σg ∅)
5246gsum0 17558 . . . . . . . 8 (𝑊 Σg ∅) = 0
5351, 52eqtri 2787 . . . . . . 7 (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))) = 0
54 mpt0 6201 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑄) = ∅
5554oveq2i 6857 . . . . . . . . 9 (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑄)) = (𝑊 Σg ∅)
5655, 52eqtri 2787 . . . . . . . 8 (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑄)) = 0
5756oveq2i 6857 . . . . . . 7 (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑄))) = (𝑃 · 0 )
5849, 53, 573eqtr4g 2824 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑄))))
5958adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝑄))))
60 ssun1 3940 . . . . . . . . 9 𝑒 ⊆ (𝑒 ∪ {𝑧})
61 sstr2 3770 . . . . . . . . 9 (𝑒 ⊆ (𝑒 ∪ {𝑧}) → ((𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑒𝐴))
6260, 61ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑒𝐴)
6362anim2i 610 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝜑𝑒𝐴))
6463imim1i 63 . . . . . 6 (((𝜑𝑒𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)))) → ((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)))))
6539ad2antrl 719 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑊 ∈ SLMod)
6642ad2antrl 719 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐺))
67 gsumvsca.b . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (Base‘𝑊)
68 slmdcmn 30226 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ SLMod → 𝑊 ∈ CMnd)
6965, 68syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑊 ∈ CMnd)
70 vex 3353 . . . . . . . . . . . . 13 𝑒 ∈ V
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑒 ∈ V)
72 simplrl 795 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑒) → 𝜑)
73 simprr 789 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
7473unssad 3954 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑒𝐴)
7574sselda 3763 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑒) → 𝑘𝐴)
76 gsumvsca1.c . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑄𝐵)
7772, 75, 76syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑒) → 𝑄𝐵)
7877fmpttd 6579 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑘𝑒𝑄):𝑒𝐵)
79 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘𝑒𝑄) = (𝑘𝑒𝑄)
80 simpll 783 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑒 ∈ Fin)
8146fvexi 6393 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ V
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 0 ∈ V)
8379, 80, 77, 82fsuppmptdm 8497 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑘𝑒𝑄) finSupp 0 )
8467, 46, 69, 71, 78, 83gsumcl 18596 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)) ∈ 𝐵)
8573unssbd 3955 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → {𝑧} ⊆ 𝐴)
86 vex 3353 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧 ∈ V
8786snss 4472 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧𝐴 ↔ {𝑧} ⊆ 𝐴)
8885, 87sylibr 225 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑧𝐴)
8976ralrimiva 3113 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝑄𝐵)
9089ad2antrl 719 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → ∀𝑘𝐴 𝑄𝐵)
91 rspcsbela 4170 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝑄𝐵) → 𝑧 / 𝑘𝑄𝐵)
9288, 90, 91syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑧 / 𝑘𝑄𝐵)
93 gsumvsca.p . . . . . . . . . . . 12 + = (+g𝑊)
9467, 93, 43, 44, 45slmdvsdi 30236 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ SLMod ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)) ∈ 𝐵𝑧 / 𝑘𝑄𝐵)) → (𝑃 · ((𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)) + 𝑧 / 𝑘𝑄)) = ((𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄))) + (𝑃 · 𝑧 / 𝑘𝑄)))
9565, 66, 84, 92, 94syl13anc 1491 . . . . . . . . . 10 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑃 · ((𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)) + 𝑧 / 𝑘𝑄)) = ((𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄))) + (𝑃 · 𝑧 / 𝑘𝑄)))
9695adantr 472 . . . . . . . . 9 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)))) → (𝑃 · ((𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)) + 𝑧 / 𝑘𝑄)) = ((𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄))) + (𝑃 · 𝑧 / 𝑘𝑄)))
97 nfcsb1v 3709 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝑧 / 𝑘𝑄
9886a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → 𝑧 ∈ V)
99 simplr 785 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → ¬ 𝑧𝑒)
100 csbeq1a 3702 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑧𝑄 = 𝑧 / 𝑘𝑄)
10197, 67, 93, 69, 80, 77, 98, 99, 92, 100gsumunsnf 18638 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑄)) = ((𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)) + 𝑧 / 𝑘𝑄))
102101oveq2d 6862 . . . . . . . . . 10 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑄))) = (𝑃 · ((𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)) + 𝑧 / 𝑘𝑄)))
103102adantr 472 . . . . . . . . 9 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)))) → (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑄))) = (𝑃 · ((𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)) + 𝑧 / 𝑘𝑄)))
104 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘𝑃
105 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘 ·
106104, 105, 97nfov 6876 . . . . . . . . . . . 12 𝑘(𝑃 · 𝑧 / 𝑘𝑄)
10772, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑒) → 𝑊 ∈ SLMod)
10872, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑒) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐺))
10967, 43, 44, 45slmdvscl 30235 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑄𝐵) → (𝑃 · 𝑄) ∈ 𝐵)
110107, 108, 77, 109syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑒) → (𝑃 · 𝑄) ∈ 𝐵)
11167, 43, 44, 45slmdvscl 30235 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 / 𝑘𝑄𝐵) → (𝑃 · 𝑧 / 𝑘𝑄) ∈ 𝐵)
11265, 66, 92, 111syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑃 · 𝑧 / 𝑘𝑄) ∈ 𝐵)
113100oveq2d 6862 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑧 → (𝑃 · 𝑄) = (𝑃 · 𝑧 / 𝑘𝑄))
114106, 67, 93, 69, 80, 110, 98, 99, 112, 113gsumunsnf 18638 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) + (𝑃 · 𝑧 / 𝑘𝑄)))
115114adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)))) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) + (𝑃 · 𝑧 / 𝑘𝑄)))
116 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)))) → (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄))))
117116oveq1d 6861 . . . . . . . . . 10 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)))) → ((𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) + (𝑃 · 𝑧 / 𝑘𝑄)) = ((𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄))) + (𝑃 · 𝑧 / 𝑘𝑄)))
118115, 117eqtrd 2799 . . . . . . . . 9 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)))) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = ((𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄))) + (𝑃 · 𝑧 / 𝑘𝑄)))
11996, 103, 1183eqtr4rd 2810 . . . . . . . 8 ((((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) ∧ (𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)))) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑄))))
120119exp31 410 . . . . . . 7 ((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) → ((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → ((𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄))) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑄))))))
121120a2d 29 . . . . . 6 ((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) → (((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)))) → ((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑄))))))
12264, 121syl5 34 . . . . 5 ((𝑒 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑒) → (((𝜑𝑒𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝑒 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝑒𝑄)))) → ((𝜑 ∧ (𝑒 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘 ∈ (𝑒 ∪ {𝑧}) ↦ 𝑄))))))
12311, 20, 29, 38, 59, 122findcard2s 8412 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → ((𝜑𝐴𝐴) → (𝑊 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝐴𝑄)))))
124123imp 395 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝜑𝐴𝐴)) → (𝑊 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝐴𝑄))))
1252, 124mpanr2 695 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝜑) → (𝑊 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝐴𝑄))))
1261, 125mpancom 679 1 (𝜑 → (𝑊 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑃 · 𝑄))) = (𝑃 · (𝑊 Σg (𝑘𝐴𝑄))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  Vcvv 3350  csb 3693  cun 3732  wss 3734  c0 4081  {csn 4336  cmpt 4890  cfv 6070  (class class class)co 6846  Fincfn 8164  Basecbs 16144  +gcplusg 16228  Scalarcsca 16231   ·𝑠 cvsca 16232  0gc0g 16380   Σg cgsu 16381  CMndccmn 18473  SLModcslmd 30221
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-inf2 8757  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-iin 4681  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-of 7099  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-supp 7502  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-1o 7768  df-oadd 7772  df-er 7951  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-fin 8168  df-fsupp 8487  df-oi 8626  df-card 9020  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10526  df-neg 10527  df-nn 11279  df-2 11339  df-n0 11543  df-z 11629  df-uz 11892  df-fz 12539  df-fzo 12679  df-seq 13014  df-hash 13327  df-ndx 16147  df-slot 16148  df-base 16150  df-sets 16151  df-ress 16152  df-plusg 16241  df-0g 16382  df-gsum 16383  df-mre 16526  df-mrc 16527  df-acs 16529  df-mgm 17522  df-sgrp 17564  df-mnd 17575  df-submnd 17616  df-mulg 17822  df-cntz 18027  df-cmn 18475  df-srg 18787  df-slmd 30222
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator