Theorem slmdvacl 33820

Description: Closure of vector addition for a semiring left module. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
slmdvacl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
slmdvacl.a	⊢ + = (+g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
slmdvacl	⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)

Proof of Theorem slmdvacl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slmdmnd 33814	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 𝑊 ∈ Mnd)
2		slmdvacl.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		slmdvacl.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑊)
4	2, 3	mndcl 18937	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)
5	1, 4	syl3an1 1181	1 ⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Basecbs 17393  +_gcplusg 17434  Mndcmnd 18929  SLModcslmd 33808

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-nul 5259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-dif 4047  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-iota 6494  df-fv 6547  df-ov 7424  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-cmn 20002  df-slmd 33809

This theorem is used by: (None)