Theorem slmdvacl 31367

Description: Closure of vector addition for a semiring left module. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
slmdvacl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
slmdvacl.a	⊢ + = (+g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
slmdvacl	⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)

Proof of Theorem slmdvacl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slmdmnd 31361	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 𝑊 ∈ Mnd)
2		slmdvacl.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		slmdvacl.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑊)
4	2, 3	mndcl 18308	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)
5	1, 4	syl3an1 1161	1 ⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  Mndcmnd 18300  SLModcslmd 31355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-nul 5225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-iota 6376  df-fv 6426  df-ov 7258  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-cmn 19303  df-slmd 31356

This theorem is referenced by: (None)