Theorem slmdsn0 33180

Description: The set of scalars in a semimodule is nonempty. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.) (Proof shortened by AV, 10-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
slmdsn0.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
slmdsn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
slmdsn0	⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem slmdsn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slmdsn0.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2	1	slmdsrg 33176	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 𝐹 ∈ SRing)
3		srgmnd 20108	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ SRing → 𝐹 ∈ Mnd)
4		slmdsn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
5	4	mndbn0 18658	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Mnd → 𝐵 ≠ ∅)
6	2, 3, 5	3syl 18	1 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 𝐵 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∅c0 4280  ‘cfv 6481  Basecbs 17120  Scalarcsca 17164  Mndcmnd 18642  SRingcsrg 20104  SLModcslmd 33169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-dif 3900  df-un 3902  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-cmn 19694  df-srg 20105  df-slmd 33170

This theorem is referenced by: (None)