Theorem slmdsn0 30834

Description: The set of scalars in a semimodule is nonempty. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.) (Proof shortened by AV, 10-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
slmdsn0.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
slmdsn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
slmdsn0	⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem slmdsn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slmdsn0.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2	1	slmdsrg 30830	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 𝐹 ∈ SRing)
3		srgmnd 19253	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ SRing → 𝐹 ∈ Mnd)
4		slmdsn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
5	4	mndbn0 17921	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Mnd → 𝐵 ≠ ∅)
6	2, 3, 5	3syl 18	1 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 𝐵 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ∅c0 4290  ‘cfv 6349  Basecbs 16477  Scalarcsca 16562  Mndcmnd 17905  SRingcsrg 19249  SLModcslmd 30823

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-0g 16709  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-cmn 18902  df-srg 19250  df-slmd 30824

This theorem is referenced by: (None)