Theorem slmdsn0 33296

Description: The set of scalars in a semimodule is nonempty. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.) (Proof shortened by AV, 10-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
slmdsn0.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
slmdsn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
slmdsn0	⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem slmdsn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slmdsn0.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2	1	slmdsrg 33292	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 𝐹 ∈ SRing)
3		srgmnd 20166	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ SRing → 𝐹 ∈ Mnd)
4		slmdsn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
5	4	mndbn0 18713	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Mnd → 𝐵 ≠ ∅)
6	2, 3, 5	3syl 18	1 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 𝐵 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  ∅c0 4264  ‘cfv 6489  Basecbs 17174  Scalarcsca 17218  Mndcmnd 18697  SRingcsrg 20162  SLModcslmd 33285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pr 5365

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-cmn 19752  df-srg 20163  df-slmd 33286

This theorem is referenced by: (None)