Theorem slmdsn0 33137

Description: The set of scalars in a semimodule is nonempty. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.) (Proof shortened by AV, 10-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
slmdsn0.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
slmdsn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
slmdsn0	⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem slmdsn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slmdsn0.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2	1	slmdsrg 33133	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 𝐹 ∈ SRing)
3		srgmnd 20075	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ SRing → 𝐹 ∈ Mnd)
4		slmdsn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
5	4	mndbn0 18653	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Mnd → 𝐵 ≠ ∅)
6	2, 3, 5	3syl 18	1 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 𝐵 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∅c0 4292  ‘cfv 6499  Basecbs 17155  Scalarcsca 17199  Mndcmnd 18637  SRingcsrg 20071  SLModcslmd 33126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-dif 3914  df-un 3916  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-0g 17380  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-cmn 19688  df-srg 20072  df-slmd 33127

This theorem is referenced by: (None)