Theorem trlsegvdeglem5 30311

Description: Lemma for trlsegvdeg 30314. (Contributed by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlsegvdeg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
trlsegvdeg.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
trlsegvdeg.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
trlsegvdeg.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
trlsegvdeg.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
trlsegvdeg.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
trlsegvdeg.vx	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
trlsegvdeg.vy	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
trlsegvdeg.vz	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉)
trlsegvdeg.ix	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
trlsegvdeg.iy	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
trlsegvdeg.iz	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))

Assertion

Ref	Expression
trlsegvdeglem5	⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝑌) = {(𝐹‘𝑁)})

Proof of Theorem trlsegvdeglem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlsegvdeg.iy	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
2	1	dmeqd 5862	. 2 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝑌) = dom {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
3		fvex 6855	. . 3 ⊢ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) ∈ V
4		dmsnopg 6179	. . 3 ⊢ ((𝐼‘(𝐹‘𝑁)) ∈ V → dom {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩} = {(𝐹‘𝑁)})
5	3, 4	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → dom {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩} = {(𝐹‘𝑁)})
6	2, 5	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝑌) = {(𝐹‘𝑁)})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442  {csn 4582  ⟨cop 4588   class class class wbr 5100  dom cdm 5632   ↾ cres 5634   “ cima 5635  Fun wfun 6494  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  0cc0 11038  ...cfz 13435  ..^cfzo 13582  ♯chash 14265  Vtxcvtx 29081  iEdgciedg 29082  Trailsctrls 29774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-dm 5642  df-iota 6456  df-fv 6508

This theorem is referenced by:  trlsegvdeglem7  30313  trlsegvdeg  30314