Theorem trlsegvdeglem5 30205

Description: Lemma for trlsegvdeg 30208. (Contributed by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlsegvdeg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
trlsegvdeg.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
trlsegvdeg.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
trlsegvdeg.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
trlsegvdeg.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
trlsegvdeg.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
trlsegvdeg.vx	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
trlsegvdeg.vy	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
trlsegvdeg.vz	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉)
trlsegvdeg.ix	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
trlsegvdeg.iy	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
trlsegvdeg.iz	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))

Assertion

Ref	Expression
trlsegvdeglem5	⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝑌) = {(𝐹‘𝑁)})

Proof of Theorem trlsegvdeglem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlsegvdeg.iy	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
2	1	dmeqd 5885	. 2 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝑌) = dom {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
3		fvex 6889	. . 3 ⊢ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) ∈ V
4		dmsnopg 6202	. . 3 ⊢ ((𝐼‘(𝐹‘𝑁)) ∈ V → dom {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩} = {(𝐹‘𝑁)})
5	3, 4	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → dom {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩} = {(𝐹‘𝑁)})
6	2, 5	eqtrd 2770	1 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝑌) = {(𝐹‘𝑁)})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459  {csn 4601  ⟨cop 4607   class class class wbr 5119  dom cdm 5654   ↾ cres 5656   “ cima 5657  Fun wfun 6525  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  0cc0 11129  ...cfz 13524  ..^cfzo 13671  ♯chash 14348  Vtxcvtx 28975  iEdgciedg 28976  Trailsctrls 29670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-ne 2933  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-dm 5664  df-iota 6484  df-fv 6539

This theorem is referenced by:  trlsegvdeglem7  30207  trlsegvdeg  30208