Theorem trlsegvdeglem5 30248

Description: Lemma for trlsegvdeg 30251. (Contributed by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlsegvdeg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
trlsegvdeg.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
trlsegvdeg.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
trlsegvdeg.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
trlsegvdeg.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
trlsegvdeg.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
trlsegvdeg.vx	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
trlsegvdeg.vy	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
trlsegvdeg.vz	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉)
trlsegvdeg.ix	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
trlsegvdeg.iy	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
trlsegvdeg.iz	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))

Assertion

Ref	Expression
trlsegvdeglem5	⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝑌) = {(𝐹‘𝑁)})

Proof of Theorem trlsegvdeglem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlsegvdeg.iy	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
2	1	dmeqd 5852	. 2 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝑌) = dom {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
3		fvex 6845	. . 3 ⊢ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) ∈ V
4		dmsnopg 6169	. . 3 ⊢ ((𝐼‘(𝐹‘𝑁)) ∈ V → dom {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩} = {(𝐹‘𝑁)})
5	3, 4	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → dom {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩} = {(𝐹‘𝑁)})
6	2, 5	eqtrd 2769	1 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝑌) = {(𝐹‘𝑁)})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438  {csn 4578  ⟨cop 4584   class class class wbr 5096  dom cdm 5622   ↾ cres 5624   “ cima 5625  Fun wfun 6484  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  0cc0 11024  ...cfz 13421  ..^cfzo 13568  ♯chash 14251  Vtxcvtx 29018  iEdgciedg 29019  Trailsctrls 29711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-ne 2931  df-rab 3398  df-v 3440  df-dif 3902  df-un 3904  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-dm 5632  df-iota 6446  df-fv 6498

This theorem is referenced by:  trlsegvdeglem7  30250  trlsegvdeg  30251