Theorem trlsegvdeglem5 29477

Description: Lemma for trlsegvdeg 29480. (Contributed by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlsegvdeg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
trlsegvdeg.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
trlsegvdeg.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
trlsegvdeg.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
trlsegvdeg.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
trlsegvdeg.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
trlsegvdeg.vx	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
trlsegvdeg.vy	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
trlsegvdeg.vz	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉)
trlsegvdeg.ix	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
trlsegvdeg.iy	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
trlsegvdeg.iz	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))

Assertion

Ref	Expression
trlsegvdeglem5	⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝑌) = {(𝐹‘𝑁)})

Proof of Theorem trlsegvdeglem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlsegvdeg.iy	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
2	1	dmeqd 5906	. 2 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝑌) = dom {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
3		fvex 6905	. . 3 ⊢ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) ∈ V
4		dmsnopg 6213	. . 3 ⊢ ((𝐼‘(𝐹‘𝑁)) ∈ V → dom {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩} = {(𝐹‘𝑁)})
5	3, 4	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → dom {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩} = {(𝐹‘𝑁)})
6	2, 5	eqtrd 2773	1 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝑌) = {(𝐹‘𝑁)})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475  {csn 4629  ⟨cop 4635   class class class wbr 5149  dom cdm 5677   ↾ cres 5679   “ cima 5680  Fun wfun 6538  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  ...cfz 13484  ..^cfzo 13627  ♯chash 14290  Vtxcvtx 28256  iEdgciedg 28257  Trailsctrls 28947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fv 6552

This theorem is referenced by:  trlsegvdeglem7  29479  trlsegvdeg  29480