Theorem trlsegvdeglem6 30841

Description: Lemma for trlsegvdeg 30843. (Contributed by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlsegvdeg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
trlsegvdeg.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
trlsegvdeg.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
trlsegvdeg.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
trlsegvdeg.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
trlsegvdeg.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
trlsegvdeg.vx	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
trlsegvdeg.vy	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
trlsegvdeg.vz	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉)
trlsegvdeg.ix	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
trlsegvdeg.iy	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
trlsegvdeg.iz	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))

Assertion

Ref	Expression
trlsegvdeglem6	⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝑋) ∈ Fin)

Proof of Theorem trlsegvdeglem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlsegvdeg.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		trlsegvdeg.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3		trlsegvdeg.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
4		trlsegvdeg.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
5		trlsegvdeg.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
6		trlsegvdeg.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
7		trlsegvdeg.vx	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
8		trlsegvdeg.vy	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
9		trlsegvdeg.vz	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉)
10		trlsegvdeg.ix	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
11		trlsegvdeg.iy	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
12		trlsegvdeg.iz	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	trlsegvdeglem4 30839	. 2 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝑋) = ((𝐹 “ (0..^𝑁)) ∩ dom 𝐼))
14	2	trlf1 30296	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼)
15		f1fun 6791	. . . . 5 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 → Fun 𝐹)
16	6, 14, 15	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
17		fzofi 14130	. . . 4 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
18		imafi 9321	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ (0..^𝑁) ∈ Fin) → (𝐹 “ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
19	16, 17, 18	sylancl 598	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
20		infi 9275	. . 3 ⊢ ((𝐹 “ (0..^𝑁)) ∈ Fin → ((𝐹 “ (0..^𝑁)) ∩ dom 𝐼) ∈ Fin)
21	19, 20	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “ (0..^𝑁)) ∩ dom 𝐼) ∈ Fin)
22	13, 21	eqeltrd 2864	1 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝑋) ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ∩ cin 4092  {csn 4588  ⟨cop 4838   class class class wbr 5106  dom cdm 5655   ↾ cres 5657   “ cima 5658  Fun wfun 6541  –1-1→wf1 6544  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  Fincfn 8987  0cc0 11213  ...cfz 13652  ..^cfzo 13801  ♯chash 14487  Vtxcvtx 29589  iEdgciedg 29590  Trailsctrls 30288

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-er 8731  df-map 8863  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-card 10033  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-n0 12620  df-z 12707  df-uz 12979  df-fz 13653  df-fzo 13802  df-hash 14488  df-word 14672  df-wlks 30195  df-trls 30290

This theorem is used by:  trlsegvdeg  30843  eupth2lem3lem1  30844