Theorem trlsegvdeglem6 30211

Description: Lemma for trlsegvdeg 30213. (Contributed by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlsegvdeg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
trlsegvdeg.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
trlsegvdeg.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
trlsegvdeg.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
trlsegvdeg.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
trlsegvdeg.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
trlsegvdeg.vx	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
trlsegvdeg.vy	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
trlsegvdeg.vz	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉)
trlsegvdeg.ix	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
trlsegvdeg.iy	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
trlsegvdeg.iz	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))

Assertion

Ref	Expression
trlsegvdeglem6	⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝑋) ∈ Fin)

Proof of Theorem trlsegvdeglem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlsegvdeg.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		trlsegvdeg.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3		trlsegvdeg.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
4		trlsegvdeg.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
5		trlsegvdeg.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
6		trlsegvdeg.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
7		trlsegvdeg.vx	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
8		trlsegvdeg.vy	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
9		trlsegvdeg.vz	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉)
10		trlsegvdeg.ix	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
11		trlsegvdeg.iy	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
12		trlsegvdeg.iz	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	trlsegvdeglem4 30209	. 2 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝑋) = ((𝐹 “ (0..^𝑁)) ∩ dom 𝐼))
14	2	trlf1 29683	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼)
15		f1fun 6781	. . . . 5 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 → Fun 𝐹)
16	6, 14, 15	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
17		fzofi 13997	. . . 4 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
18		imafi 9330	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ (0..^𝑁) ∈ Fin) → (𝐹 “ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
19	16, 17, 18	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
20		infi 9279	. . 3 ⊢ ((𝐹 “ (0..^𝑁)) ∈ Fin → ((𝐹 “ (0..^𝑁)) ∩ dom 𝐼) ∈ Fin)
21	19, 20	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “ (0..^𝑁)) ∩ dom 𝐼) ∈ Fin)
22	13, 21	eqeltrd 2835	1 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝑋) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3930  {csn 4606  ⟨cop 4612   class class class wbr 5124  dom cdm 5659   ↾ cres 5661   “ cima 5662  Fun wfun 6530  –1-1→wf1 6533  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8964  0cc0 11134  ...cfz 13529  ..^cfzo 13676  ♯chash 14353  Vtxcvtx 28980  iEdgciedg 28981  Trailsctrls 29675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-hash 14354  df-word 14537  df-wlks 29584  df-trls 29677

This theorem is referenced by:  trlsegvdeg  30213  eupth2lem3lem1  30214