MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trlsegvdeglem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlsegvdeglem7 29173
Description: Lemma for trlsegvdeg 29174. (Contributed by AV, 21-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
trlsegvdeg.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
trlsegvdeg.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
trlsegvdeg.f (πœ‘ β†’ Fun 𝐼)
trlsegvdeg.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
trlsegvdeg.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
trlsegvdeg.w (πœ‘ β†’ 𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃)
trlsegvdeg.vx (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π‘‹) = 𝑉)
trlsegvdeg.vy (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π‘Œ) = 𝑉)
trlsegvdeg.vz (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π‘) = 𝑉)
trlsegvdeg.ix (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘‹) = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^𝑁))))
trlsegvdeg.iy (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘Œ) = {⟨(πΉβ€˜π‘), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))⟩})
trlsegvdeg.iz (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘) = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0...𝑁))))
Assertion
Ref Expression
trlsegvdeglem7 (πœ‘ β†’ dom (iEdgβ€˜π‘Œ) ∈ Fin)

Proof of Theorem trlsegvdeglem7
StepHypRef Expression
1 trlsegvdeg.v . . 3 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
2 trlsegvdeg.i . . 3 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
3 trlsegvdeg.f . . 3 (πœ‘ β†’ Fun 𝐼)
4 trlsegvdeg.n . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
5 trlsegvdeg.u . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
6 trlsegvdeg.w . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃)
7 trlsegvdeg.vx . . 3 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π‘‹) = 𝑉)
8 trlsegvdeg.vy . . 3 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π‘Œ) = 𝑉)
9 trlsegvdeg.vz . . 3 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π‘) = 𝑉)
10 trlsegvdeg.ix . . 3 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘‹) = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^𝑁))))
11 trlsegvdeg.iy . . 3 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘Œ) = {⟨(πΉβ€˜π‘), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))⟩})
12 trlsegvdeg.iz . . 3 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘) = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0...𝑁))))
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12trlsegvdeglem5 29171 . 2 (πœ‘ β†’ dom (iEdgβ€˜π‘Œ) = {(πΉβ€˜π‘)})
14 snfi 8989 . 2 {(πΉβ€˜π‘)} ∈ Fin
1513, 14eqeltrdi 2846 1 (πœ‘ β†’ dom (iEdgβ€˜π‘Œ) ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {csn 4587  βŸ¨cop 4593   class class class wbr 5106  dom cdm 5634   β†Ύ cres 5636   β€œ cima 5637  Fun wfun 6491  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Fincfn 8884  0cc0 11052  ...cfz 13425  ..^cfzo 13568  β™―chash 14231  Vtxcvtx 27950  iEdgciedg 27951  Trailsctrls 28641
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-mo 2539  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-om 7804  df-1o 8413  df-en 8885  df-fin 8888
This theorem is referenced by:  trlsegvdeg  29174  eupth2lem3lem2  29176
  Copyright terms: Public domain W3C validator