MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trlsegvdeglem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlsegvdeglem7 30245
Description: Lemma for trlsegvdeg 30246. (Contributed by AV, 21-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
trlsegvdeg.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
trlsegvdeg.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
trlsegvdeg.f (𝜑 → Fun 𝐼)
trlsegvdeg.n (𝜑𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
trlsegvdeg.u (𝜑𝑈𝑉)
trlsegvdeg.w (𝜑𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
trlsegvdeg.vx (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
trlsegvdeg.vy (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
trlsegvdeg.vz (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉)
trlsegvdeg.ix (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
trlsegvdeg.iy (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹𝑁), (𝐼‘(𝐹𝑁))⟩})
trlsegvdeg.iz (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))
Assertion
Ref Expression
trlsegvdeglem7 (𝜑 → dom (iEdg‘𝑌) ∈ Fin)

Proof of Theorem trlsegvdeglem7
StepHypRef Expression
1 trlsegvdeg.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 trlsegvdeg.i . . 3 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3 trlsegvdeg.f . . 3 (𝜑 → Fun 𝐼)
4 trlsegvdeg.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
5 trlsegvdeg.u . . 3 (𝜑𝑈𝑉)
6 trlsegvdeg.w . . 3 (𝜑𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
7 trlsegvdeg.vx . . 3 (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
8 trlsegvdeg.vy . . 3 (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
9 trlsegvdeg.vz . . 3 (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉)
10 trlsegvdeg.ix . . 3 (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
11 trlsegvdeg.iy . . 3 (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹𝑁), (𝐼‘(𝐹𝑁))⟩})
12 trlsegvdeg.iz . . 3 (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12trlsegvdeglem5 30243 . 2 (𝜑 → dom (iEdg‘𝑌) = {(𝐹𝑁)})
14 snfi 9083 . 2 {(𝐹𝑁)} ∈ Fin
1513, 14eqeltrdi 2849 1 (𝜑 → dom (iEdg‘𝑌) ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  {csn 4626  cop 4632   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  cres 5687  cima 5688  Fun wfun 6555  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  0cc0 11155  ...cfz 13547  ..^cfzo 13694  chash 14369  Vtxcvtx 29013  iEdgciedg 29014  Trailsctrls 29708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-mo 2540  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-om 7888  df-1o 8506  df-en 8986  df-fin 8989
This theorem is referenced by:  trlsegvdeg  30246  eupth2lem3lem2  30248
  Copyright terms: Public domain W3C validator