Theorem trlsegvdeglem7 30170

Description: Lemma for trlsegvdeg 30171. (Contributed by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlsegvdeg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
trlsegvdeg.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
trlsegvdeg.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
trlsegvdeg.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
trlsegvdeg.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
trlsegvdeg.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
trlsegvdeg.vx	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
trlsegvdeg.vy	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
trlsegvdeg.vz	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉)
trlsegvdeg.ix	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
trlsegvdeg.iy	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
trlsegvdeg.iz	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))

Assertion

Ref	Expression
trlsegvdeglem7	⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝑌) ∈ Fin)

Proof of Theorem trlsegvdeglem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlsegvdeg.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		trlsegvdeg.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3		trlsegvdeg.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
4		trlsegvdeg.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
5		trlsegvdeg.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
6		trlsegvdeg.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
7		trlsegvdeg.vx	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
8		trlsegvdeg.vy	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
9		trlsegvdeg.vz	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉)
10		trlsegvdeg.ix	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
11		trlsegvdeg.iy	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
12		trlsegvdeg.iz	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	trlsegvdeglem5 30168	. 2 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝑌) = {(𝐹‘𝑁)})
14		snfi 8968	. 2 ⊢ {(𝐹‘𝑁)} ∈ Fin
15	13, 14	eqeltrdi 2836	1 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝑌) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4577  ⟨cop 4583   class class class wbr 5092  dom cdm 5619   ↾ cres 5621   “ cima 5622  Fun wfun 6476  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Fincfn 8872  0cc0 11009  ...cfz 13410  ..^cfzo 13557  ♯chash 14237  Vtxcvtx 28941  iEdgciedg 28942  Trailsctrls 29634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-mo 2533  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-om 7800  df-1o 8388  df-en 8873  df-fin 8876

This theorem is referenced by:  trlsegvdeg  30171  eupth2lem3lem2  30173