Theorem tvclvec 24457

Description: A topological vector space is a vector space. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tvclvec	⊢ (𝑊 ∈ TopVec → 𝑊 ∈ LVec)

Proof of Theorem tvclvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tvclmod 24456	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ TopVec → 𝑊 ∈ LMod)
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3	2	tvctdrg 24451	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ TopVec → (Scalar‘𝑊) ∈ TopDRing)
4		tdrgdrng 24432	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ TopDRing → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
5	3, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ TopVec → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
6	2	islvec 21318	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing))
7	1, 5, 6	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝑊 ∈ TopVec → 𝑊 ∈ LVec)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6535  Scalarcsca 17370  DivRingcdr 20919  LModclmod 21074  LVecclvec 21316  TopDRingctdrg 24415  TopVecctvc 24417

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-iota 6491  df-fv 6543  df-ov 7419  df-lvec 21317  df-tdrg 24419  df-tlm 24420  df-tvc 24421

This theorem is used by: (None)