Theorem tvclvec 23456

Description: A topological vector space is a vector space. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tvclvec	⊢ (𝑊 ∈ TopVec → 𝑊 ∈ LVec)

Proof of Theorem tvclvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tvclmod 23455	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ TopVec → 𝑊 ∈ LMod)
2		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3	2	tvctdrg 23450	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ TopVec → (Scalar‘𝑊) ∈ TopDRing)
4		tdrgdrng 23431	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ TopDRing → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ TopVec → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
6	2	islvec 20472	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing))
7	1, 5, 6	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝑊 ∈ TopVec → 𝑊 ∈ LVec)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6479  Scalarcsca 17062  DivRingcdr 20093  LModclmod 20229  LVecclvec 20470  TopDRingctdrg 23414  TopVecctvc 23416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-ext 2707

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-sb 2067  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-rab 3404  df-v 3443  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-br 5093  df-iota 6431  df-fv 6487  df-ov 7340  df-lvec 20471  df-tdrg 23418  df-tlm 23419  df-tvc 23420

This theorem is referenced by: (None)