Theorem tvclvec 24084

Description: A topological vector space is a vector space. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tvclvec	⊢ (𝑊 ∈ TopVec → 𝑊 ∈ LVec)

Proof of Theorem tvclvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tvclmod 24083	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ TopVec → 𝑊 ∈ LMod)
2		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3	2	tvctdrg 24078	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ TopVec → (Scalar‘𝑊) ∈ TopDRing)
4		tdrgdrng 24059	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ TopDRing → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ TopVec → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
6	2	islvec 21008	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing))
7	1, 5, 6	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝑊 ∈ TopVec → 𝑊 ∈ LVec)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6482  Scalarcsca 17164  DivRingcdr 20614  LModclmod 20763  LVecclvec 21006  TopDRingctdrg 24042  TopVecctvc 24044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-rab 3395  df-v 3438  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-iota 6438  df-fv 6490  df-ov 7352  df-lvec 21007  df-tdrg 24046  df-tlm 24047  df-tvc 24048

This theorem is referenced by: (None)