Theorem tvclvec 24412

Description: A topological vector space is a vector space. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tvclvec	⊢ (𝑊 ∈ TopVec → 𝑊 ∈ LVec)

Proof of Theorem tvclvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tvclmod 24411	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ TopVec → 𝑊 ∈ LMod)
2		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3	2	tvctdrg 24406	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ TopVec → (Scalar‘𝑊) ∈ TopDRing)
4		tdrgdrng 24387	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ TopDRing → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
5	3, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ TopVec → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
6	2	islvec 21280	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing))
7	1, 5, 6	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝑊 ∈ TopVec → 𝑊 ∈ LVec)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6541  Scalarcsca 17340  DivRingcdr 20882  LModclmod 21036  LVecclvec 21278  TopDRingctdrg 24370  TopVecctvc 24372

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-iota 6497  df-fv 6549  df-ov 7423  df-lvec 21279  df-tdrg 24374  df-tlm 24375  df-tvc 24376

This theorem is used by: (None)