Theorem uhgrspan1lem1 29650

Description: Lemma 1 for uhgrspan1 29653. (Contributed by AV, 19-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uhgrspan1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
uhgrspan1.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
uhgrspan1.f	⊢ 𝐹 = {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑁 ∉ (𝐼‘𝑖)}

Assertion

Ref	Expression
uhgrspan1lem1	⊢ ((𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V ∧ (𝐼 ↾ 𝐹) ∈ V)

Proof of Theorem uhgrspan1lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uhgrspan1.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	fvexi 6895	. . 3 ⊢ 𝑉 ∈ V
3	2	difexi 5301	. 2 ⊢ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V
4		uhgrspan1.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
5	4	fvexi 6895	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ V
6	5	resex 6028	. 2 ⊢ (𝐼 ↾ 𝐹) ∈ V
7	3, 6	pm3.2i 475	1 ⊢ ((𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V ∧ (𝐼 ↾ 𝐹) ∈ V)

Syntax hints:   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∉ wnel 3064  {crab 3416  Vcvv 3455   ∖ cdif 3902  {csn 4589  dom cdm 5661   ↾ cres 5663  ‘cfv 6536  Vtxcvtx 29346  iEdgciedg 29347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-sn 4590  df-pr 4592  df-uni 4873  df-res 5673  df-iota 6492  df-fv 6544

This theorem is referenced by:  uhgrspan1lem2  29651  uhgrspan1lem3  29652