Theorem uhgrspan1lem1 27076

Description: Lemma 1 for uhgrspan1 27079. (Contributed by AV, 19-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uhgrspan1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
uhgrspan1.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
uhgrspan1.f	⊢ 𝐹 = {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑁 ∉ (𝐼‘𝑖)}

Assertion

Ref	Expression
uhgrspan1lem1	⊢ ((𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V ∧ (𝐼 ↾ 𝐹) ∈ V)

Proof of Theorem uhgrspan1lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uhgrspan1.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	fvexi 6678	. . 3 ⊢ 𝑉 ∈ V
3	2	difexi 5224	. 2 ⊢ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V
4		uhgrspan1.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
5	4	fvexi 6678	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ V
6	5	resex 5893	. 2 ⊢ (𝐼 ↾ 𝐹) ∈ V
7	3, 6	pm3.2i 473	1 ⊢ ((𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V ∧ (𝐼 ↾ 𝐹) ∈ V)

Syntax hints:   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ∉ wnel 3123  {crab 3142  Vcvv 3494   ∖ cdif 3932  {csn 4560  dom cdm 5549   ↾ cres 5551  ‘cfv 6349  Vtxcvtx 26775  iEdgciedg 26776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-sn 4561  df-pr 4563  df-uni 4832  df-res 5561  df-iota 6308  df-fv 6357

This theorem is referenced by:  uhgrspan1lem2  27077  uhgrspan1lem3  27078