Theorem uhgrspan1lem1 29587

Description: Lemma 1 for uhgrspan1 29590. (Contributed by AV, 19-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uhgrspan1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
uhgrspan1.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
uhgrspan1.f	⊢ 𝐹 = {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑁 ∉ (𝐼‘𝑖)}

Assertion

Ref	Expression
uhgrspan1lem1	⊢ ((𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V ∧ (𝐼 ↾ 𝐹) ∈ V)

Proof of Theorem uhgrspan1lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uhgrspan1.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	fvexi 6893	. . 3 ⊢ 𝑉 ∈ V
3	2	difexi 5298	. 2 ⊢ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V
4		uhgrspan1.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
5	4	fvexi 6893	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ V
6	5	resex 6026	. 2 ⊢ (𝐼 ↾ 𝐹) ∈ V
7	3, 6	pm3.2i 475	1 ⊢ ((𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V ∧ (𝐼 ↾ 𝐹) ∈ V)

Syntax hints:   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∉ wnel 3070  {crab 3423  Vcvv 3463   ∖ cdif 3910  {csn 4591  dom cdm 5659   ↾ cres 5661  ‘cfv 6534  Vtxcvtx 29283  iEdgciedg 29284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-sb 2098  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ne 2965  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-sn 4592  df-pr 4594  df-uni 4874  df-res 5671  df-iota 6490  df-fv 6542

This theorem is referenced by:  uhgrspan1lem2  29588  uhgrspan1lem3  29589