Theorem uhgrspan1lem2 29688

Description: Lemma 2 for uhgrspan1 29690. (Contributed by AV, 19-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uhgrspan1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
uhgrspan1.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
uhgrspan1.f	⊢ 𝐹 = {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑁 ∉ (𝐼‘𝑖)}
uhgrspan1.s	⊢ 𝑆 = ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), (𝐼 ↾ 𝐹)⟩

Assertion

Ref	Expression
uhgrspan1lem2	⊢ (Vtx‘𝑆) = (𝑉 ∖ {𝑁})

Proof of Theorem uhgrspan1lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uhgrspan1.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), (𝐼 ↾ 𝐹)⟩
2	1	fveq2i 6891	. 2 ⊢ (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), (𝐼 ↾ 𝐹)⟩)
3		uhgrspan1.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4		uhgrspan1.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
5		uhgrspan1.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑁 ∉ (𝐼‘𝑖)}
6	3, 4, 5	uhgrspan1lem1 29687	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V ∧ (𝐼 ↾ 𝐹) ∈ V)
7		opvtxfv 29391	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V ∧ (𝐼 ↾ 𝐹) ∈ V) → (Vtx‘⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), (𝐼 ↾ 𝐹)⟩) = (𝑉 ∖ {𝑁}))
8	6, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Vtx‘⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), (𝐼 ↾ 𝐹)⟩) = (𝑉 ∖ {𝑁})
9	2, 8	eqtri 2789	1 ⊢ (Vtx‘𝑆) = (𝑉 ∖ {𝑁})

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∉ wnel 3067  {crab 3419  Vcvv 3458   ∖ cdif 3905  {csn 4594  ⟨cop 4600  dom cdm 5666   ↾ cres 5668  ‘cfv 6543  Vtxcvtx 29383  iEdgciedg 29384

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fv 6551  df-1st 7995  df-vtx 29385

This theorem is used by:  uhgrspan1  29690  upgrres  29693  umgrres  29694  usgrres  29695