Theorem uhgrspan1lem2 29235

Description: Lemma 2 for uhgrspan1 29237. (Contributed by AV, 19-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uhgrspan1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
uhgrspan1.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
uhgrspan1.f	⊢ 𝐹 = {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑁 ∉ (𝐼‘𝑖)}
uhgrspan1.s	⊢ 𝑆 = ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), (𝐼 ↾ 𝐹)⟩

Assertion

Ref	Expression
uhgrspan1lem2	⊢ (Vtx‘𝑆) = (𝑉 ∖ {𝑁})

Proof of Theorem uhgrspan1lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uhgrspan1.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), (𝐼 ↾ 𝐹)⟩
2	1	fveq2i 6868	. 2 ⊢ (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), (𝐼 ↾ 𝐹)⟩)
3		uhgrspan1.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4		uhgrspan1.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
5		uhgrspan1.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑁 ∉ (𝐼‘𝑖)}
6	3, 4, 5	uhgrspan1lem1 29234	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V ∧ (𝐼 ↾ 𝐹) ∈ V)
7		opvtxfv 28938	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V ∧ (𝐼 ↾ 𝐹) ∈ V) → (Vtx‘⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), (𝐼 ↾ 𝐹)⟩) = (𝑉 ∖ {𝑁}))
8	6, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Vtx‘⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), (𝐼 ↾ 𝐹)⟩) = (𝑉 ∖ {𝑁})
9	2, 8	eqtri 2753	1 ⊢ (Vtx‘𝑆) = (𝑉 ∖ {𝑁})

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∉ wnel 3031  {crab 3411  Vcvv 3455   ∖ cdif 3919  {csn 4597  ⟨cop 4603  dom cdm 5646   ↾ cres 5648  ‘cfv 6519  Vtxcvtx 28930  iEdgciedg 28931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pr 5395  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-ral 3047  df-rex 3056  df-rab 3412  df-v 3457  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-nul 4305  df-if 4497  df-sn 4598  df-pr 4600  df-op 4604  df-uni 4880  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5541  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fv 6527  df-1st 7977  df-vtx 28932

This theorem is referenced by:  uhgrspan1  29237  upgrres  29240  umgrres  29241  usgrres  29242