MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgrspanop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgrspanop 27711
Description: A spanning subgraph of a simple graph represented by an ordered pair is a simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Aug-2017.) (Revised by AV, 16-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
uhgrspanop.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
uhgrspanop.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
usgrspanop (𝐺 ∈ USGraph → ⟨𝑉, (𝐸𝐴)⟩ ∈ USGraph)

Proof of Theorem usgrspanop
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uhgrspanop.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 uhgrspanop.e . . . . 5 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
3 vex 3441 . . . . . 6 𝑔 ∈ V
43a1i 11 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑔) = (𝐸𝐴))) → 𝑔 ∈ V)
5 simprl 769 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑔) = (𝐸𝐴))) → (Vtx‘𝑔) = 𝑉)
6 simprr 771 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑔) = (𝐸𝐴))) → (iEdg‘𝑔) = (𝐸𝐴))
7 simpl 484 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑔) = (𝐸𝐴))) → 𝐺 ∈ USGraph)
81, 2, 4, 5, 6, 7usgrspan 27707 . . . 4 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑔) = (𝐸𝐴))) → 𝑔 ∈ USGraph)
98ex 414 . . 3 (𝐺 ∈ USGraph → (((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑔) = (𝐸𝐴)) → 𝑔 ∈ USGraph))
109alrimiv 1928 . 2 (𝐺 ∈ USGraph → ∀𝑔(((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑔) = (𝐸𝐴)) → 𝑔 ∈ USGraph))
111fvexi 6818 . . 3 𝑉 ∈ V
1211a1i 11 . 2 (𝐺 ∈ USGraph → 𝑉 ∈ V)
132fvexi 6818 . . . 4 𝐸 ∈ V
1413resex 5951 . . 3 (𝐸𝐴) ∈ V
1514a1i 11 . 2 (𝐺 ∈ USGraph → (𝐸𝐴) ∈ V)
1610, 12, 15gropeld 27448 1 (𝐺 ∈ USGraph → ⟨𝑉, (𝐸𝐴)⟩ ∈ USGraph)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1539  wcel 2104  Vcvv 3437  cop 4571  cres 5602  cfv 6458  Vtxcvtx 27411  iEdgciedg 27412  USGraphcusgr 27564
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-card 9741  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-nn 12020  df-2 12082  df-n0 12280  df-z 12366  df-uz 12629  df-fz 13286  df-hash 14091  df-vtx 27413  df-iedg 27414  df-edg 27463  df-uhgr 27473  df-upgr 27497  df-umgr 27498  df-uspgr 27565  df-usgr 27566  df-subgr 27680
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator